Wielokąt styczny — Tangential polygon

W geometrii euklidesowej , A stycznej wielokąta , znany również jako ograniczonego wielokąta , jest wypukła wielokąta , który zawiera koło wpisany (również nazywany incircle ). Jest to okrąg, który jest styczny do każdego z boków wielokąta. Podwójnego wielokąta stycznej wielokąta jest cykliczny wielobok , który ma odgraniczone koło przez każde ze swoich wierzchołkach .

Wszystkie trójkąty są styczne, podobnie jak wszystkie regularne wielokąty o dowolnej liczbie boków. Dobrze poznaną grupą wielokątów stycznych są czworokąty styczne , do których należą romb i latawce .

Charakterystyki

Wielokąt wypukły ma okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jego wewnętrzne dwusieczne kąta są współbieżne . Ten wspólny punkt jest incenter (centrum incircle).

Istnieje wielokąt styczny o n kolejnych bokach a ₁ , ..., a _n wtedy i tylko wtedy, gdy układ równań

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=a_{1},\quad x_{2}+x_{3}=a_{2},\quad \ldots,\quad x_{n}+x_{1 }=a_{n}}$

ma rozwiązanie ( x ₁ , ... , x _n ) w dodatnich liczbach rzeczywistych . Jeśli takie rozwiązanie istnieje, to x ₁ , ..., x _n są długościami stycznymi wielokąta (długości od wierzchołków do punktów, w których okręg jest styczny do boków).

Wyjątkowość i nieunikalność

Jeżeli liczba boków n jest nieparzysta, to dla dowolnego zestawu długości boków spełniającego powyższe kryterium istnienia istnieje tylko jeden wielokąt styczny. Ale jeśli n jest nawet to jest ich nieskończona ilość. Na przykład w przypadku czworokąta, w którym wszystkie boki są równe, możemy mieć romb o dowolnej wartości kątów ostrych, a wszystkie romby są styczne do okręgu. ${\displaystyle a_{1},\kropki,a_{n}}$

Promień

Jeśli n boki wielokąta stycznym są ₁ , ..., _n The inradius ( promień od incircle) jest

${\ Displaystyle r = {\ Frac {K} {s}} = {\ Frac {2K} {\ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {i}}}}$

gdzie K to pole wielokąta, a s to półobwód . (Ponieważ wszystkie trójkąty są styczne, ten wzór dotyczy wszystkich trójkątów.)

Inne właściwości

• W przypadku wielokąta stycznego o nieparzystej liczbie boków wszystkie boki są równe wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie kąty są równe (a więc wielokąt jest regularny). Wielokąt styczny o parzystej liczbie boków ma wszystkie boki równe wtedy i tylko wtedy, gdy kąty naprzemienne są równe (to znaczy kąty A , C , E , ... są równe, a kąty B , D , F , ... są równe).
• W wieloboku stycznym o parzystej liczbie boków suma długości boków o numerach nieparzystych jest równa sumie długości boków o numerach parzystych.
• Wielokąt styczny ma większą powierzchnię niż jakikolwiek inny wielokąt o tym samym obwodzie i tych samych kątach wewnętrznych w tej samej kolejności.
• Środek ciężkości dowolnego wielokąta stycznego, środek ciężkości jego punktów granicznych i środek wpisanego okręgu są współliniowe , przy czym środek ciężkości wielokąta znajduje się między innymi i jest dwa razy dalej od środka niż środka granicy granicy.

Trójkąt styczny

Podczas gdy wszystkie trójkąty są styczne do jakiegoś okręgu, trójkąt nazywamy trójkątem stycznym trójkąta odniesienia, jeśli styczne trójkąta stycznego z okręgiem są jednocześnie wierzchołkami trójkąta odniesienia.

Czworokąt styczny

Sześciokąt styczny

• W stycznym sześciokątnym ABCDEF główne przekątne AD , BE i CF są zbieżne zgodnie z twierdzeniem Brianchona .

Zobacz też

• Circumgon

Bibliografia