Rozliczanie mianowników - Clearing denominators

W matematyce metoda czyszczenia mianowników , zwana także czyszczeniem ułamków , jest techniką uproszczenia równania zrównującego dwa wyrażenia, z których każde jest sumą wyrażeń wymiernych – co obejmuje ułamki proste .

Przykład

Rozważ równanie

${\ Displaystyle {\ Frac {x}{6}} + {\ Frac {y} {15z}} = 1.}$

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch mianownika 6 i 15 Z 30 z , tak jeden mnoży dwustronnie 30 Z :

${\displaystyle 5xz+2y=30z.\,}$

Wynikiem jest równanie bez ułamków.

Uproszczone równanie nie jest w pełni równoważne z oryginałem. Kiedy podstawimy y = 0 i z = 0 w ostatnim równaniu, obie strony upraszczają się do 0, więc otrzymujemy 0 = 0 , prawdę matematyczną. Ale to samo podstawienie zastosowane do pierwotnego równania daje w wyniku x /6 + 0/0 = 1 , co jest matematycznie bez znaczenia .

Opis

Bez utraty ogólności możemy założyć, że prawa strona równania to 0, ponieważ równanie E ₁ = E ₂ można równoważnie przepisać do postaci E ₁ − E ₂ = 0 .

Niech więc równanie ma postać

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {P_ {i}} {Q_ {i}}} = 0.}$

Pierwszym krokiem jest określenie wspólnego mianownika D z tych frakcji - najlepiej co najmniej wspólnego mianownika , co stanowi najmniejszą wspólną wielokrotność z Q _ı .

Oznacza to, że każdy Q _i jest czynnikiem z D , tak, D = R _I P _I jakiegoś ekspresji R _ı , który nie jest frakcją. Następnie

${\ Displaystyle {\ Frac {P_ {i}} {Q_ {i}}} = {\ Frac {R_ {i} P_ {i}} {R_ {i} Q_ {i}}} = {\ Frac {R_ {i}P_{i}}{D}}\,,}$

pod warunkiem, że R _i Q _i nie przyjmie wartości 0 – w takim przypadku również D jest równe 0.

Więc mamy teraz

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {P_ {i}} {Q_ {i}}} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {R_ { i}P_{i}}{D}}={\frac {1}{D}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}P_{i}=0.}$

O ile D nie przyjmie wartości 0, to drugie równanie jest równoważne z

${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} R_ {i} P_ {i} = 0 \ ,,}$

w którym zniknęły mianowniki.

Jak wynika z zastrzeżeniami, Należy zwrócić uwagę, aby nie wprowadzać zer z D - widziana w zależności od nieznanych równania - jako fałszywych rozwiązań .

Przykład 2

Rozważ równanie

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {x (x + 1)}} + {\ Frac {1} {x (x + 2)}} - {\ Frac {1} {(x + 1) (x + 2)}}=0.}$

Najmniejszym wspólnym mianownikiem jest x ( x + 1)( x + 2 ) .

Postępowanie zgodnie z metodą opisaną powyżej powoduje:

${\ Displaystyle (x + 2) + (x + 1) - x = 0.}$

Upraszczając to dalej, otrzymujemy rozwiązanie x = −3 .

Łatwo sprawdzić, że żadne z zer x ( x + 1)( x + 2) – czyli x = 0 , x = −1 i x = −2 – nie jest rozwiązaniem końcowego równania, a więc żadnych fałszywych rozwiązań zostali wprowadzeni.

Bibliografia

• Richarda N. Aufmanna; Joanna Lockwood (2012). Algebra: Początek i średniozaawansowany (3 wyd.). Nauka Cengage. P. 88. Numer ISBN 978-1-133-70939-8.