Twierdzenie o wykresie zamkniętym - Closed graph theorem

Funkcja sześcienna
Funkcja Heaviside
Wykres funkcji sześciennej na przedziale jest zamknięty, ponieważ funkcja jest ciągła . Wykres funkcji Heaviside on nie jest domknięty, ponieważ funkcja nie jest ciągła.

W matematyce The zamknięty twierdzenie Wykres może odnosić się do jednego z wielu podstawowych wyników charakteryzujących funkcji ciągłych pod względem wykresu . Każda daje warunki, kiedy funkcje z zamkniętymi wykresami są z konieczności ciągłe.

Wykresy i mapy z wykresami zamkniętymi

Jeśli znajduje się mapa pomiędzy przestrzeni topologicznych wtedy wykres z jest zbiorem lub równoważnie

Uważa się, że wykres jest zamknięty , gdy jest zamknięty podzbiór z (z topologią produktu ).

Każda funkcja ciągła w przestrzeni Hausdorffa ma zamknięty wykres.

Dowolne odwzorowanie liniowe, pomiędzy dwiema topologicznymi przestrzeniami wektorowymi, których topologie są (Cauchy) kompletne w odniesieniu do metryk niezmienników translacji, a jeśli dodatkowo (1a) jest sekwencyjnie ciągłe w sensie topologii iloczynu, to mapa jest ciągła i jej graf,

Gr L , jest koniecznie zamknięty. Odwrotnie, jeśli jest to odwzorowanie liniowe z zamiast (1a), wykresem (1b) jest domknięty w przestrzeni iloczynu kartezjańskiego , to jest ciągły, a zatem z konieczności sekwencyjnie ciągły.

Przykłady ciągłych map, które nie są zamknięte

Jeśli jest dowolną przestrzenią, to odwzorowanie tożsamości jest ciągłe, ale jego wykres, który jest przekątną , jest zamknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jest Hausdorff. W szczególności, jeśli nie jest Hausdorff, to jest ciągły, ale

nie zamknięty.

Niech oznaczenia liczb rzeczywistych ze zwykłymi

euklidesowej topologii i niech oznaczenia z ścisły topologii (gdzie zauważyć, że to nie Hausdorffa i że każda funkcja wycenione w sposób ciągły). Niech będą zdefiniowane przez i dla wszystkich . Wtedy jest ciągła, ale jej wykres nie jest zamknięty w .

Twierdzenie o grafach zamkniętych w topologii zbioru punktów

W topologii zbioru punktów twierdzenie o grafach zamkniętych ma następujące brzmienie:

Twierdzenie o grafie domkniętym  —  Jeśli jest mapą z przestrzeni topologicznej do zwartej przestrzeni Hausdorffa to graf jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągły .

Dla funkcji o wartości zadanej

Twierdzenie o zamkniętym grafie dla funkcji o wartościach zbioru  — w  przypadku zwartej przestrzeni zakresu Hausdorffa funkcja o wartości zbioru ma graf zamknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jest on górny półciągły, a F ( x ) jest zbiorem domkniętym dla wszystkich .

W analizie funkcjonalnej

Jeśli jest operatorem liniowym między

topologicznymi przestrzeniami wektorowymi (TVS), to mówimy, że jest operatorem domkniętym, jeśli graf jest domknięty w when i jest wyposażony w topologię iloczynu.

Twierdzenie o domkniętym grafie jest ważnym wynikiem analizy funkcjonalnej, który gwarantuje, że zamknięty operator liniowy jest ciągły w określonych warunkach. Pierwotny wynik był wielokrotnie uogólniany. Dobrze znana wersja twierdzeń o grafach zamkniętych jest następująca.

Twierdzenie  —  Odwzorowanie liniowe między dwiema F-przestrzeniami (np. przestrzeniami Banacha ) jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy jej graf jest zamknięty.

Zobacz też

Przestrzeń wektorowa o topologii określonej przez wypukłe zbiory otwarte
  • Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym (analiza funkcjonalna)  – Warunek otwarcia operatora liniowego
  • Topologiczna przestrzeń  wektorowa –
  • Przestrzeń wektorowa z pojęciem bliskości
  • Twierdzenie Ursescu  – Uogólnienie zamkniętego grafu, otwartego odwzorowania i twierdzenia o jednorodnej ograniczoności
  • Przestrzeń sieciowa  — przestrzenie, w których obowiązują twierdzenia o otwartych mapach i zamkniętych wykresach
  • Uwagi

    Bibliografia

    Bibliografia

    8210342 OCLC  .
  • Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topologiczne przestrzenie wektorowe I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 159 . Przetłumaczone przez Garlinga, DJH New York: Springer Science & Business Media. Numer ISBN 978-3-642-64988-2. MR  0248498 . OCLC  840293704 .
  • Munkres, James R. (2000). Topologia (wyd. drugie). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . Numer ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260 .
  • Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topologiczne przestrzenie wektorowe . Matematyka czysta i stosowana (wyd. drugie). Boca Raton, FL: CRC Press. Numer ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
  • Rudin, Walter (1991). Analiza funkcjonalna . Międzynarodowa seria z matematyki czystej i stosowanej. 8 (wyd. drugie). Nowy Jork, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Matth . Numer ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
  • Schäfer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologiczne przestrzenie wektorowe . GTM . 8 (wyd. drugie). Nowy Jork, NY: Springer Nowy Jork Odcisk Springer. Numer ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
  • Trèves, François (2006) [1967]. Topologiczne przestrzenie wektorowe, rozkłady i jądra . Mineola, NY: Dover Publikacje. Numer ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .
  • Wilansky, Albert (2013). Nowoczesne metody w topologicznych przestrzeniach wektorowych . Mineola, Nowy Jork: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .
  • Zălinescu, Constantin (30 lipca 2002). Analiza wypukła w ogólnych przestrzeniach wektorowych . River Edge, NJ Londyn: World Scientific Publishing . Numer ISBN 978-981-4488-15-0. MR  1921556 . OCLC  285163112 – przez Internet Archive .
  • "Dowód twierdzenia o grafach zamkniętych" . PlanetMath .