Twierdzenie o wykresie zamkniętym - Closed graph theorem
W matematyce The zamknięty twierdzenie Wykres może odnosić się do jednego z wielu podstawowych wyników charakteryzujących funkcji ciągłych pod względem wykresu . Każda daje warunki, kiedy funkcje z zamkniętymi wykresami są z konieczności ciągłe.
Wykresy i mapy z wykresami zamkniętymi
Jeśli znajduje się mapa pomiędzy przestrzeni topologicznych wtedy wykres z jest zbiorem lub równoważnie
Każda funkcja ciągła w przestrzeni Hausdorffa ma zamknięty wykres.
Dowolne odwzorowanie liniowe, pomiędzy dwiema topologicznymi przestrzeniami wektorowymi, których topologie są (Cauchy) kompletne w odniesieniu do metryk niezmienników translacji, a jeśli dodatkowo (1a) jest sekwencyjnie ciągłe w sensie topologii iloczynu, to mapa jest ciągła i jej graf,
Gr L , jest koniecznie zamknięty. Odwrotnie, jeśli jest to odwzorowanie liniowe z zamiast (1a), wykresem (1b) jest domknięty w przestrzeni iloczynu kartezjańskiego , to jest ciągły, a zatem z konieczności sekwencyjnie ciągły.Przykłady ciągłych map, które nie są zamknięte
Jeśli jest dowolną przestrzenią, to odwzorowanie tożsamości jest ciągłe, ale jego wykres, który jest przekątną , jest zamknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jest Hausdorff. W szczególności, jeśli nie jest Hausdorff, to jest ciągły, ale
nie zamknięty.Niech oznaczenia liczb rzeczywistych ze zwykłymi
euklidesowej topologii i niech oznaczenia z ścisły topologii (gdzie zauważyć, że to nie Hausdorffa i że każda funkcja wycenione w sposób ciągły). Niech będą zdefiniowane przez i dla wszystkich . Wtedy jest ciągła, ale jej wykres nie jest zamknięty w .Twierdzenie o grafach zamkniętych w topologii zbioru punktów
W topologii zbioru punktów twierdzenie o grafach zamkniętych ma następujące brzmienie:
Twierdzenie o grafie domkniętym — Jeśli jest mapą z przestrzeni topologicznej do zwartej przestrzeni Hausdorffa to graf jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągły .
Dla funkcji o wartości zadanej
Twierdzenie o zamkniętym grafie dla funkcji o wartościach zbioru — w przypadku zwartej przestrzeni zakresu Hausdorffa funkcja o wartości zbioru ma graf zamknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jest on górny półciągły, a F ( x ) jest zbiorem domkniętym dla wszystkich .
W analizie funkcjonalnej
Jeśli jest operatorem liniowym między
topologicznymi przestrzeniami wektorowymi (TVS), to mówimy, że jest operatorem domkniętym, jeśli graf jest domknięty w when i jest wyposażony w topologię iloczynu.Twierdzenie o domkniętym grafie jest ważnym wynikiem analizy funkcjonalnej, który gwarantuje, że zamknięty operator liniowy jest ciągły w określonych warunkach. Pierwotny wynik był wielokrotnie uogólniany. Dobrze znana wersja twierdzeń o grafach zamkniętych jest następująca.
Twierdzenie — Odwzorowanie liniowe między dwiema F-przestrzeniami (np. przestrzeniami Banacha ) jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy jej graf jest zamknięty.
Zobacz też
- Prawie otwarta mapa liniowa
- Przestrzeń Banacha – znormalizowana przestrzeń wektorowa, która jest zupełna
- Przestrzeń beczkowata — topologiczna przestrzeń wektorowa z niemal minimalnymi wymaganiami dla twierdzenia Banacha-Steinhausa.
- Wykres zamknięty – Wykres mapy zamkniętej w przestrzeni produktu
- Zamknięty operator liniowy
- Ciągły operator liniowy
- Nieciągła mapa liniowa
- Twierdzenie Kakutaniego o punkcie stałym – włączone, gdy funkcja f: S→Pow(S) na zwartym niepustym podzbiorze wypukłym S⊂ℝⁿ ma punkt stały
- Lokalnie wypukła topologiczna przestrzeń wektorowa –
Uwagi
Bibliografia
Bibliografia
- Bourbaki, Nicolas (1987) (1981). Sur sures espaces vectoriels topologiques [ Topologiczne przestrzenie wektorowe: rozdziały 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Elementy matematyczne . 2 . Przetłumaczone przez Eggleston, HG; Madan, S. Berlin Nowy Jork: Springer-Verlag. Numer ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
- Folland, Gerald B. (1984), Real Analysis: Nowoczesne techniki i ich zastosowania (1st ed.), John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-80958-6
- Jarchów, Hans (1981). Przestrzenie lokalnie wypukłe . Stuttgart: BG Teubner. Numer ISBN 978-3-519-02224-4.