Współliniowość - Collinearity
W geometrii , kolinearność z kompletem punktów jest własnością leżący na jednej linii . Mówi się, że zbiór punktów z tą właściwością jest współliniowy (czasami zapisywany jako współliniowy ). Mówiąc bardziej ogólnie, termin ten został użyty do określenia obiektów wyrównanych, to znaczy rzeczy znajdujących się „w linii” lub „w rzędzie”.
Punkty na linii
W dowolnej geometrii, zbiór punktów na linii jest określany jako współliniowy . W geometrii euklidesowej zależność ta jest intuicyjnie wizualizowana przez punkty leżące w rzędzie na „prostej”. Jednak w większości geometrii (w tym euklidesowych) linia jest zazwyczaj prymitywnym (niezdefiniowanym) typem obiektu , więc takie wizualizacje niekoniecznie będą odpowiednie. Modelem dla geometrii oferuje interpretację jak punkty, linie i inne typy obiektów odnoszą się do siebie i pojęcia takie jak kolinearności należy interpretować w kontekście tego modelu. Na przykład w geometrii sferycznej , gdzie linie są reprezentowane w modelu standardowym przez wielkie okręgi kuli, zestawy współliniowych punktów leżą na tym samym wielkim okręgu. Takie punkty nie leżą na „linii prostej” w sensie euklidesowym i nie są uważane za ustawione w rzędzie .
Odwzorowanie geometrii na samą siebie, które wysyła linie do linii, nazywane jest kolinacją ; zachowuje właściwość współliniowości. W mapy liniowe (lub funkcje liniowe) z przestrzeni wektorowej , określonych jako mapy geometrycznej, mapa linii do linii; to znaczy, odwzorowują zestawy współliniowych punktów na zbiory współliniowych, a więc są kolinacjami. W geometrii rzutowej te liniowe odwzorowania nazywane są homografiami i stanowią tylko jeden rodzaj kolinacji.
Przykłady w geometrii euklidesowej
Trójkąty
W każdym trójkącie następujące zestawy punktów są współliniowe:
- Orthocenter The circumcenter The ciężkości The punkt Exeter The point de Longchamps i ośrodkiem okrąg dziewięciu punktów są współliniowe, wszystko spada na linii zwanej Prosta Eulera .
- Punkt de Longchampsa ma również inne kolinearności .
- Każdy wierzchołek, styczności po stronie przeciwnej z excircle i punkt Nagel są współliniowe w linii zwanego rozdzielacz trójkąta.
- Środek dowolnego boku, punkt, który jest w równej odległości od niego wzdłuż granicy trójkąta w dowolnym kierunku (więc te dwa punkty przecinają obwód w połowie ) i środek koła Spiekera są współliniowe w linii zwanej tasakiem trójkąta. (The Spiekerem koło jest incircle w środkowej trójkąta i jego środek jest środkiem masy w obwodzie trójkąta).
- Każdy wierzchołek, styczność przeciwnej strony z okręgiem kolistym i punkt Gergonne są współliniowe.
- Z dowolnego punktu na okręgu opisanym na trójkącie, najbliższe punkty na każdym z trzech wydłużonych boków trójkąta są współliniowe na linii Simsona punktu na okręgu opisanym.
- Linie łączące stopy wysokości przecinają przeciwległe boki w punktach współliniowych.
- Wcięcie trójkąta , punkt środkowy wysokości i punkt styku odpowiedniego boku z łukiem w stosunku do tego boku są współliniowe.
- Twierdzenie Menelaosa stwierdza, że trzy punkty na bokach (częściowo wydłużonych ) przeciwległych wierzchołków trójkąta są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy następujące iloczyny długości segmentów są równe:
- Środek, środek ciężkości i środek koła Spiekera są współliniowe.
- Środek okręgu, punkt środkowy Brocarda i punkt lemoine w trójkącie są współliniowe.
- Dwie prostopadłe linie przecinające się w ortocentrum trójkąta przecinają każdy z przedłużonych boków trójkąta . Punkty środkowe po trzech stronach tych punktów przecięcia są współliniowe na linii Droz-Farny .
Czworokąty
- W wypukłą czworokąt ABCD którego przeciwległych boków przecinają się w punkcie E, i F , to środkowe z AC , BD i EF są współliniowe, a linia z nich nazywa się linią Newtona (czasami znanym jako linię Newton Gaussa ). Jeśli czworobok jest stycznym czworobokiem , to jego środek również leży na tej linii.
- W wypukłym czworoboku quasiortocentrum H , „środek powierzchni” G i kwazicircumcenter O są współliniowe w tej kolejności, a HG = 2 GO . (Zobacz Czworokąt # Niezwykłe punkty i linie w wypukłym czworoboku .)
- Inne współliniowości stycznego czworoboku są podane w stycznych czworoboku # Punkty współliniowe .
- W cyklicznym czworoboku środek okręgu opisanego , środek wierzchołka (przecięcie dwóch bimedianów) i środek antycentryczny są współliniowe.
- W cyklicznym czworoboku środek powierzchni , środek ciężkości wierzchołka i przecięcie przekątnych są współliniowe.
- W stycznym trapezu , z tangencies z incircle z dwoma zasadami są współliniowe z incenter.
- W trapezie stycznym środki nóg są współliniowe ze środkiem.
Sześciokąty
- Twierdzenie Pascala (znane również jako twierdzenie Hexagrammum Mysticum) stwierdza, że jeśli dowolne sześć punktów zostanie wybranych na przekroju stożkowym (tj. Elipsa , parabola lub hiperbola ) i połączone odcinkami linii w dowolnej kolejności, aby utworzyć sześciokąt , wówczas trzy pary przeciwległych boków sześciokąta (w razie potrzeby przedłużonych) spotykają się w trzech punktach leżących na linii prostej, zwanych linią Pascala sześciokąta. Odwrotna sytuacja jest również prawdą: twierdzenie Braikenridge'a-Maclaurina stwierdza, że jeśli trzy punkty przecięcia trzech par linii przechodzących przez przeciwległe boki sześciokąta leżą na prostej, to sześć wierzchołków sześciokąta leży na stożku, który może być zdegenerowane jak w twierdzeniu o sześciokącie Pappusa .
Przekroje stożkowe
- Zgodnie z twierdzeniem Monge'a dla dowolnych trzech okręgów na płaszczyźnie, z których żaden nie znajduje się całkowicie wewnątrz jednego z pozostałych, trzy punkty przecięcia trzech par prostych, z których każdy jest styczny zewnętrznie do dwóch okręgów, są współliniowe.
- W elipsie środek, dwa ogniska i dwa wierzchołki o najmniejszym promieniu krzywizny są współliniowe, a środek i dwa wierzchołki o największym promieniu krzywizny są współliniowe.
- W hiperboli środek, dwa ogniska i dwa wierzchołki są współliniowe.
Szyszki
- Środka masy od a stożkowa stałą równomiernego gęstość mieści jedną czwartą drodze od środka podstawy do wierzchołka, na prostej linii łączącej dwa.
Czworościany
- Środek masy czworościanu jest punktem środkowym pomiędzy jego punktu Monge i circumcenter . Punkty te definiują linię Eulera czworościanu, która jest analogiczna do linii Eulera trójkąta. Środek dwunastopunktowej kuli czworościanu również leży na linii Eulera.
Algebra
Współliniowość punktów, których współrzędne są podane
W geometrii współrzędnych w n -wymiarowej przestrzeni, zestaw trzech lub więcej oddzielnych punktach są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy macierz współrzędnych tych wektorów jest stopień 1 lub mniej. Na przykład, biorąc pod uwagę trzy punkty X = ( x 1 , x 2 , ..., x n ), Y = ( y 1 , y 2 , ..., y n ) i Z = ( z 1 , z 2 , ..., z n ), jeśli macierz
ma rangę 1 lub niższą, punkty są współliniowe.
Odpowiednio dla każdego podzbioru trzech punktów X = ( x 1 , x 2 , ..., x n ), Y = ( y 1 , y 2 , ..., y n ) i Z = ( z 1 , z 2 , ..., z n ), jeśli macierz
ma rangę 2 lub niższą, punkty są współliniowe. W szczególności dla trzech punktów na płaszczyźnie ( n = 2) powyższa macierz jest kwadratowa, a punkty są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik wynosi zero; ponieważ wyznacznik 3 × 3 jest plus lub minus dwukrotność powierzchni trójkąta z tymi trzema punktami jako wierzchołkami, jest to równoważne stwierdzeniu, że te trzy punkty są współliniowe wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt z tymi punktami jako wierzchołkami ma zerową powierzchnię.
Współliniowość punktów, których odległości parami są podane
Zbiór co najmniej trzech różnych punktów nazywany jest prostym , co oznacza, że wszystkie punkty są współliniowe, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych trzech z tych punktów A , B i C następujący wyznacznik wyznacznika Cayleya-Mengera wynosi zero (z d ( AB ) oznacza odległość między A i B itp.):
Wyznacznik ten jest według wzoru Herona równy −16 razy kwadratowi powierzchni trójkąta o bokach d ( AB ), d ( BC ) i d ( AC ); więc sprawdzenie, czy ten wyznacznik jest równy zero, jest równoważne sprawdzeniu, czy trójkąt z wierzchołkami A , B i C ma zerową powierzchnię (więc wierzchołki są współliniowe).
Równoważnie zbiór co najmniej trzech różnych punktów jest współliniowy wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych trzech z tych punktów A , B i C z d ( AC ) większym lub równym d ( AB ) id ( BC ) , nierówność trójkąta d ( AC ) ≤ d ( AB ) + d ( BC ) zachodzi z równością.
Teoria liczb
Dwie liczby m i n nie są względnie pierwsze - to znaczy mają wspólny czynnik inny niż 1 - wtedy i tylko wtedy, gdy dla prostokąta wykreślonego na kwadratowej siatce z wierzchołkami w (0, 0), ( m , 0), ( m , n ) i (0, n ), co najmniej jeden punkt wewnętrzny jest współliniowy z (0, 0) i ( m , n ).
Współbieżność (podwójny samolot)
W różnych geometriach płaszczyzn pojęcie zamiany ról „punktów” i „linii” przy zachowaniu relacji między nimi nazywa się dualnością płaszczyzn . Mając zbiór punktów współliniowych, przez dualność płaszczyzn otrzymujemy zbiór prostych, z których wszystkie spotykają się we wspólnym punkcie. Właściwość, którą ma ten zestaw linii (spotykających się we wspólnym punkcie), nazywa się współbieżnością , a linie są nazywane liniami współbieżnymi . Zatem współbieżność jest płaszczyzną podwójnego pojęcia współliniowości.
Wykres kolinearności
Biorąc pod uwagę częściowe geometria P , w którym dwa punkty określają co najwyżej jednej linii, wykres współliniowości z P jest wykres , którego wierzchołki są punktami P , w którym dwa wierzchołki przylega wtedy i tylko wtedy, gdy ustalą linię w P .
Wykorzystanie w statystyce i ekonometrii
W statystycznych , współliniowość odnosi się do zależności liniowej między dwoma zmiennymi wyjaśniającymi . Dwie zmienne są doskonale współliniowe, jeśli istnieje między nimi dokładna zależność liniowa, więc korelacja między nimi jest równa 1 lub -1. To znaczy i są doskonale współliniowe, jeśli istnieją parametry i takie, które mamy dla wszystkich obserwacji i
Oznacza to, że jeśli różne obserwacje ( X 1 i , X 2 i ) są wykreślone na płaszczyźnie ( X 1 , X 2 ), punkty te są współliniowe w sensie zdefiniowanym wcześniej w tym artykule.
Idealna wielokoliniowość odnosi się do sytuacji, w której k ( k ≥ 2) zmiennych objaśniających w modelu regresji wielorakiej jest idealnie powiązanych liniowo, zgodnie z
dla wszystkich obserwacji i . W praktyce rzadko mamy do czynienia z idealną współliniowością w zbiorze danych. Częściej problem współliniowości pojawia się, gdy istnieje „silna zależność liniowa” między dwiema lub więcej zmiennymi niezależnymi, co oznacza, że
gdzie wariancja jest stosunkowo niewielka.
Pojęcie współliniowości poprzecznej rozszerza ten tradycyjny pogląd i odnosi się do współliniowości między zmiennymi objaśniającymi i kryterialnymi (tj. Wyjaśnionymi).
Zastosowanie w innych obszarach
Tablice antenowe
W telekomunikacji , A współliniowe (lub współliniowe) szyku antenowego jest tablica z anten dipolowych zamontowane w taki sposób, że odpowiednie elementy każdej anteny są równoległe i dopasowane, to znaczy są usytuowane wzdłuż wspólnej linii lub osi.
Fotografia
Te równania kolinearności to zestaw dwóch równań, stosowane w fotogrametrii i komputerowego stereo wizji , aby odnosić się współrzędne w obrazie ( czujnika ) samolotu (w dwóch wymiarach) do współrzędnych obiektu (w trzech wymiarach). W warunkach fotografii, równania zostały wyprowadzone przy uwzględnieniu centralny występ o punkcie obiektu przez środek optyczny do aparatu do obrazu w obrazie (czujników) płaszczyźnie. Trzy punkty, punkt obiektu, punkt obrazu i środek optyczny, są zawsze współliniowe. Inaczej można powiedzieć, że odcinki linii łączące punkty obiektu z punktami obrazu są wszystkie współbieżne w centrum optycznym.
Zobacz też
- Twierdzenie Pappusa o sześciokącie
- Nie ma problemu z trzema w linii
- Incydent (geometria) # Współliniowość
- Współpłaszczyznowość
Uwagi
Bibliografia
- Brannan, David A .; Esplen, Matthew F .; Gray, Jeremy J. (1998), Geometry , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-59787-0
- Coxeter, HSM (1969), Introduction to Geometry , New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-50458-0
- Dembowski, Peter (1968), Finite geometries , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8 , MR 0233275