Kompaktowa przestrzeń - Compact space

Zgodnie z kryteriami zwartości przestrzeni euklidesowej, jak podano w twierdzeniu Heinego-Borela , przedział A = (−∞, −2] nie jest zwarty, ponieważ nie jest ograniczony. Przedział C = (2, 4) nie jest zwarty, ponieważ nie jest nie jest domknięty. Przedział B = [0, 1] jest zwarty, ponieważ jest zarówno domknięty, jak i ograniczony.

W matematyce , szczególnie ogólnego topologii , zwartość jest właściwością, która jest uogólnieniem pojęcie podzbioru przestrzeni euklidesowej jest zamknięty (zawierający wszystkich punktów granicznych ) i ograniczony (mający wszystkie punkty leżą w pewnej ustalonej odległości od siebie). Przykłady zwartych przestrzeni obejmują domknięty przedział rzeczywisty , sumę skończonej liczby zamkniętych przedziałów, prostokąt lub skończony zbiór punktów. Pojęcie to jest definiowane dla bardziej ogólnych przestrzeni topologicznych na różne sposoby, które zwykle są równoważne w przestrzeni euklidesowej, ale mogą być nierównoważne w innych przestrzeniach.

Jednym z takich uogólnień jest to, że przestrzeń topologiczna jest sekwencyjnie zwarta, jeśli każdy nieskończony ciąg punktów pobranych z przestrzeni ma nieskończony podciąg, który zbiega się do pewnego punktu przestrzeni. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa mówi, że podzbiór przestrzeni euklidesowej jest zwarty w tym sekwencyjnym sensie wtedy i tylko wtedy, gdy jest zamknięty i ograniczony. Tak więc, jeśli wybierze się nieskończoną liczbę punktów w przedziale domkniętej jednostki [0, 1] , niektóre z tych punktów będą arbitralnie zbliżać się do pewnej liczby rzeczywistej w tej przestrzeni. Na przykład, niektóre liczby w sekwencji 1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7, … sumują się do 0 (podczas gdy inne kumulują się do 1). Ten sam zbiór punktów nie gromadziłby się w żadnym punkcie przedziału otwartej jednostki (0, 1) , więc przedział otwartej jednostki nie jest zwarty. Chociaż podzbiory (podprzestrzenie) przestrzeni euklidesowej mogą być zwarte, cała przestrzeń sama w sobie nie jest zwarta, ponieważ nie jest ograniczona. Na przykład, biorąc pod uwagę , cała oś liczb rzeczywistych, ciąg punktów 0, 1, 2, 3, … , nie ma podciągu, który jest zbieżny do dowolnej liczby rzeczywistej.

Zwartość została formalnie wprowadzona przez Maurice'a Frécheta w 1906 roku w celu uogólnienia twierdzenia Bolzano-Weierstrassa z przestrzeni punktów geometrycznych na przestrzenie funkcji . Twierdzenie Arzelà-Ascoli i twierdzenie Peano o istnieniu są przykładami zastosowania tego pojęcia zwartości do analizy klasycznej. Po jego wstępnym wprowadzeniu w ogólnych przestrzeniach metrycznych opracowano różne równoważne pojęcia zwartości, w tym zwartość sekwencyjną i zwartość w punkcie granicznym . Jednak w ogólnych przestrzeniach topologicznych te pojęcia zwartości niekoniecznie są równoważne. Najbardziej użyteczne pojęcie — i standardowa definicja nieokreślonego terminu zwartość — jest sformułowane w kategoriach istnienia skończonych rodzin zbiorów otwartych, które „ pokrywają ” przestrzeń w tym sensie, że każdy punkt przestrzeni leży w jakimś zbiorze zawartym w zbiorze rodzina. To bardziej subtelne pojęcie, wprowadzone przez Pawła Aleksandrowa i Pawła Urysohna w 1929 roku, ukazuje przestrzenie zwarte jako uogólnienia zbiorów skończonych . W przestrzeniach, które są w tym sensie zwarte, często można połączyć informacje, które przechowują lokalnie — to znaczy w sąsiedztwie każdego punktu — w odpowiadające im zdania, które utrzymują się w całej przestrzeni, a wiele twierdzeń ma ten charakter.

Termin zbiór zwarty jest czasem używany jako synonim przestrzeni zwartej, ale często odnosi się również do zwartej podprzestrzeni przestrzeni topologicznej.

Rozwój historyczny

W XIX wieku zrozumiano kilka odmiennych właściwości matematycznych, które później były postrzegane jako konsekwencje zwartości. Z jednej strony Bernard Bolzano ( 1817 ) był świadomy, że każdy ograniczony ciąg punktów (na przykład w linii lub płaszczyźnie) ma podciąg, który ostatecznie musi zbliżyć się arbitralnie do innego punktu, zwanego punktem granicznym . Dowód Bolzano opierał się na metodzie bisekcji : ciąg został umieszczony w przedziale, który następnie został podzielony na dwie równe części i wybrano część zawierającą nieskończenie wiele wyrazów ciągu. Proces można następnie powtórzyć, dzieląc uzyskany mniejszy przedział na coraz mniejsze części — aż do zamknięcia się w pożądanym punkcie granicznym. Pełne znaczenie twierdzenia Bolzano i jego metody dowodowej wyłoniły się dopiero prawie 50 lat później, gdy zostało ono ponownie odkryte przez Karla Weierstrassa .

W latach 80. XIX wieku stało się jasne, że wyniki podobne do twierdzenia Bolzano-Weierstrassa można sformułować dla przestrzeni funkcji, a nie tylko liczb lub punktów geometrycznych. Idea traktowania funkcji jako samych punktów przestrzeni uogólnionej sięga badań Giulio Ascoli i Cesare Arzelà . Zwieńczeniem ich badań, twierdzeniem Arzelà-Ascoli , było uogólnienie twierdzenia Bolzano-Weierstrassa na rodziny funkcji ciągłych , z którego dokładnym wnioskiem było to, że możliwe było wyodrębnienie jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji z odpowiedniej rodziny funkcji Funkcje. Jednolita granica tej sekwencji odgrywała wtedy dokładnie tę samą rolę, co „punkt graniczny” Bolzano. Na początku XX wieku w dziedzinie równań całkowych zaczęły gromadzić się wyniki podobne do wyników Arzeli i Ascoli , co badali David Hilbert i Erhard Schmidt . W przypadku pewnej klasy funkcji Greena pochodzących z rozwiązań równań całkowych Schmidt wykazał, że właściwość analogiczna do twierdzenia Arzelà-Ascoliego zachodzi w sensie średniej zbieżności — lub zbieżności w tym, co później zostanie nazwane przestrzenią Hilberta . To ostatecznie doprowadziło do pojęcia operatora zwartego jako odgałęzienia ogólnego pojęcia zwartej przestrzeni. To Maurice Fréchet w 1906 r. wydestylował istotę własności Bolzano–Weierstrassa i ukuł termin zwartość w odniesieniu do tego ogólnego zjawiska (użył tego terminu już w pracy z 1904 r., która doprowadziła do słynnej tezy z 1906 r.).

Jednak pod koniec XIX wieku z badań kontinuum powoli wyłoniło się również inne pojęcie zwartości , które uznano za fundamentalne dla rygorystycznego formułowania analizy. W 1870 roku Eduard Heine wykazał, że funkcja ciągła zdefiniowana na przedziale domkniętym i ograniczonym jest w rzeczywistości jednostajnie ciągła . W trakcie dowodu posłużył się lematem, że z dowolnego policzalnego pokrycia przedziału mniejszymi przedziałami otwartymi można było wybrać skończoną liczbę takich, które również go pokrywały. Znaczenie tego lematu docenił Émile Borel ( 1895 ), a Pierre Cousin (1895) i Henri Lebesgue ( 1904 ) uogólnili go na dowolne zbiory interwałów . Twierdzenie Heinego-Borela , jak wynik jest obecnie znany, jest kolejną specjalną własnością, jaką posiadają zamknięte i ograniczone zbiory liczb rzeczywistych.

Właściwość ta była istotna, ponieważ pozwalała na przejście od lokalnej informacji o zbiorze (takiej jak ciągłość funkcji) do globalnej informacji o zbiorze (takiej jak jednolita ciągłość funkcji). Ten sentyment wyraził Lebesgue (1904) , który wykorzystał je również w rozwoju całki noszącej teraz jego imię . Ostatecznie rosyjska szkoła topologii zbioru punktowego , kierowana przez Pawła Aleksandrowa i Pawła Urysohna , sformułowała zwartość Heinego-Borela w sposób, który można zastosować do współczesnego pojęcia przestrzeni topologicznej . Alexandrov i Urysohn (1929) wykazali, że wcześniejsza wersja zwartości Frécheta, nazywana obecnie (względną) zwartością sekwencyjną , w odpowiednich warunkach była następstwem wersji zwartości sformułowanej w kategoriach istnienia skończonych podkrywek. Właśnie to pojęcie zwartości stało się dominujące, ponieważ było nie tylko silniejszą właściwością, ale mogło być sformułowane w bardziej ogólnym otoczeniu przy minimum dodatkowych maszyn technicznych, ponieważ opierało się tylko na strukturze zbiorów otwartych. w przestrzeni.

Podstawowe przykłady

Każda skończona przestrzeń jest trywialnie zwarta. Nietrywialnym przykład niewielkiej przestrzeni jest (zamknięte) przedział jednostkowy [0,1] z liczb rzeczywistych . Jeśli wybierze się nieskończoną liczbę odrębnych punktów w przedziale jednostkowym, to w tym przedziale musi być jakiś punkt akumulacji . Na przykład, nieparzyste wyrazy ciągu 1, 1/2, 1/3, 3/4, 1/5, 5/6, 1/7, 7/8, ... zbliżają się arbitralnie do 0, podczas gdy te o numerach parzystych zbliżają się arbitralnie do 1. Podana sekwencja przykładowa pokazuje, jak ważne jest uwzględnienie punktów granicznych przedziału, ponieważ punkty graniczne muszą znajdować się w samej przestrzeni — otwarty (lub półotwarty) przedział przedziału liczby rzeczywiste nie są zwarte. Istotne jest również, aby przedział był ograniczony , gdyż w przedziale [0,∞) , można by wybrać ciąg punktów 0, 1, 2, 3, ... , z których żaden podciąg nie zbliża się ostatecznie arbitralnie do dowolna podana liczba rzeczywista.

W dwóch wymiarach dyski zamknięte są zwarte, ponieważ dla dowolnej nieskończonej liczby punktów pobranych z dysku, pewien podzbiór tych punktów musi arbitralnie zbliżyć się albo do punktu na dysku, albo do punktu na granicy. Jednak otwarty dysk nie jest zwarty, ponieważ sekwencja punktów może dążyć do granicy — bez zbliżania się arbitralnie do żadnego punktu we wnętrzu. Podobnie sfery są zwarte, ale sfera, której brakuje punktu, nie jest taka, ponieważ sekwencja punktów może nadal dążyć do tego brakującego punktu, a tym samym nie zbliżać się arbitralnie do żadnego punktu w przestrzeni. Linie i płaszczyzny nie są zwarte, ponieważ można wziąć zestaw równo rozmieszczonych punktów w dowolnym kierunku bez zbliżania się do żadnego punktu.

Definicje

Mogą mieć zastosowanie różne definicje zwartości, w zależności od poziomu ogólności. W szczególności podzbiór przestrzeni euklidesowej nazywany jest zwartą, jeśli jest domknięta i ograniczona . Oznacza to, zgodnie z twierdzeniem Bolzano-Weierstrassa , że każda nieskończona sekwencja ze zbioru ma podciąg, który jest zbieżny do punktu w zbiorze. W ogólnych przestrzeniach metrycznych można opracować różne równoważne pojęcia zwartości, takie jak zwartość sekwencyjna i zwartość w punkcie granicznym .

W przeciwieństwie do tego, różne pojęcia zwartości nie są równoważne w ogólnych przestrzeniach topologicznych , a najbardziej użyteczne pojęcie zwartości – pierwotnie nazywane bikompaktowością – jest definiowane za pomocą okładek składających się z otwartych zbiorów (patrz Definicja otwartej okładki poniżej). To, że ta forma zwartości obowiązuje dla zamkniętych i ograniczonych podzbiorów przestrzeni euklidesowej, jest znane jako twierdzenie Heinego-Borela . Zwartość, zdefiniowana w ten sposób, często pozwala na przejęcie informacji, które są znane lokalnie — w sąsiedztwie każdego punktu przestrzeni — i rozszerzenie ich na informacje, które są przechowywane globalnie w całej przestrzeni. Przykładem tego zjawiska jest twierdzenie Dirichleta, do którego pierwotnie zastosował je Heine, że funkcja ciągła na przedziale zwartym jest jednostajnie ciągła ; tutaj ciągłość jest lokalną własnością funkcji, a jednolita ciągłość odpowiadającą jej własnością globalną.

Otwórz definicję okładki

Formalnie przestrzeń topologiczną X nazywamy zwartą, jeśli każda z jej otwartych pokryw ma skończoną podpokrywę . Oznacza to, że X jest zwarty, jeśli dla każdego zbioru C otwartych podzbiorów X takiego, że

,

istnieje skończony podzbiór F z C taki, że

Niektóre gałęzie matematyki, takie jak geometria algebraiczna , typowo pod wpływem francuskiej szkoły Bourbaki , używają terminu quasi-zwartego dla ogólnego pojęcia i rezerwują termin zwarty dla przestrzeni topologicznych, które są zarówno Hausdorffa, jak i quasi-zwarte . Zbiór kompaktowy jest czasami określany jako compactum , liczba mnoga compacta .

Zwartość podzbiorów

Podzbiór K przestrzeni topologicznej X jest zwarty, jeśli jest zwarty jako podprzestrzeń (w topologii podprzestrzennej ). Oznacza to, że K jest zwarty, jeśli dla każdego dowolnego zbioru C otwartych podzbiorów X takiego, że

,

istnieje skończony podzbiór F z C taki, że

.

Zwartość jest właściwością „topologiczną”. To znaczy, jeśli , przy podzbiorze Z wyposażonym w topologię podprzestrzenną, to K jest zwarty w Z wtedy i tylko wtedy, gdy K jest zwarty w Y .

Równoważne definicje

Jeśli X jest przestrzenią topologiczną, to poniższe są równoważne:

  1. X jest kompaktowy.
  2. Każda otwarta pokrywa z X ma skończoną subcover .
  3. X ma podbazę taką, że każde pokrycie przestrzeni, przez elementy podbazy, ma skończoną podbazę ( twierdzenie o podbazie Aleksandra ).
  4. X to Lindelöf i przeliczalnie kompaktowy .
  5. Każdy zbiór zamkniętych podzbiorów X z właściwością skończonego przecięcia ma niepuste przecięcie.
  6. Każda sieć na X ma zbieżną podsieć (zobacz artykuł o sieciach, aby uzyskać dowód).
  7. Każdy filtr w X ma zbieżne udoskonalenie.
  8. Każda sieć na X ma punkt skupienia.
  9. Każdy filtr na X ma punkt skupienia.
  10. Każdy ultrafiltr na X zbiega się do co najmniej jednego punktu.
  11. Każdy nieskończony podzbiór X ma pełny punkt akumulacji .

Przestrzeń euklidesowa

Dla każdego podzbioru A w przestrzeni euklidesowej , jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest zamknięty i ograniczony ; jest to twierdzenie Heinego-Borela .

Ponieważ przestrzeń euklidesowa jest przestrzenią metryczną, warunki w następnym podrozdziale odnoszą się również do wszystkich jej podzbiorów. Spośród wszystkich równoważnych warunków w praktyce najłatwiej jest zweryfikować, czy podzbiór jest domknięty i ograniczony, na przykład dla przedziału domkniętego lub domkniętej n- kulki.

Przestrzenie metryczne

Dla dowolnej przestrzeni metrycznej ( X , d ) następujące są równoważne (zakładając policzalny wybór ):

  1. ( X , d ) jest zwarty.
  2. ( X , d ) jest zupełna i całkowicie ograniczona (jest to również równoznaczne ze zwartością przestrzeni jednorodnych ).
  3. ( X , d ) jest sekwencyjnie zwarty; oznacza to, że każdy ciąg w X ma zbieżny podciąg, którego granica jest w X (jest to również równoważne zwartości dla pierwszych przeliczalnych przestrzeni jednorodnych ).
  4. ( X , d ) to punkt graniczny zwarty (zwany także słabo przeliczalnie zwartym); oznacza to, że każdy nieskończony podzbiór X ma co najmniej jeden punkt graniczny w X .
  5. ( X , d ) jest przeliczalnie zwarta ; to znaczy, każda policzalna otwarta okładka X ma skończoną podokładkę.
  6. ( X , d ) jest obrazem funkcji ciągłej ze zbioru Cantora .
  7. Każdy malejący ciąg zbiorów domkniętych F1F2 ⊇ … w ( X , d ) ma niepuste przecięcie.
  8. ( X , d ) jest domknięta i całkowicie ograniczona.

Kompaktowa przestrzeń metryczna ( X , d ) spełnia również następujące właściwości:

  1. Lebesgue'a o liczbie Lebesgue'a : Dla każdej otwartej pokrywy X istnieje liczba δ > 0 taka, że ​​każdy podzbiór X o średnicy < δ jest zawarty w jakimś elemencie pokrywy.
  2. ( X , d ) jest przeliczalna w sekundach , rozłączna i Lindelöf – te trzy warunki są równoważne dla przestrzeni metrycznych. Odwrotność nie jest prawdą; np. policzalna dyskretna przestrzeń spełnia te trzy warunki, ale nie jest zwarta.
  3. X jest zamknięty i ograniczony (jako podzbiór dowolnej przestrzeni metryki, której ograniczona metryka to d ). Odwrotność może zawieść dla przestrzeni nieeuklidesowej; np prawdziwa linia wyposażona w dyskretne metryki jest zamknięty i ograniczony, ale nie zwarta, jak zbiór wszystkich pojedynczych przestrzeni jest otwarta pokrywa, która przyznaje żadnej skończonej subcover. Jest kompletna, ale nie do końca ograniczona.

Charakteryzacja za pomocą funkcji ciągłych

Niech X będzie przestrzenią topologiczną a C( X ) pierścieniem rzeczywistych funkcji ciągłych na X . Dla każdego pX , mapa oceny podana przez ev p ( f ) = f ( p ) jest homomorfizmem pierścienia. Jądro z ev s jest ilość idealny , ponieważ pozostałości pola C ( X ) / ker ev P jest polem liczb rzeczywistych przez pierwszy twierdzenia izomorfizmu . Przestrzeń topologiczna X jest pseudozwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każdy maksymalny ideał w C( X ) ma pole resztowe liczb rzeczywistych. Dla całkowicie regularnych przestrzeni jest to równoważne każdemu maksymalnemu ideałowi będącemu jądrem homomorfizmu oceny. Istnieją jednak przestrzenie pseudozwarte, które nie są zwarte.

Ogólnie rzecz biorąc, dla przestrzeni niepseudozwartych zawsze istnieją ideały maksymalne m w C( X ) takie, że pole resztowe C( X )/ m jest ( niearchimedesowym ) polem hiperrzeczywistym . Ramy analizy niestandardowej pozwalają na następującą alternatywną charakterystykę zwartości: przestrzeń topologiczna X jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt x rozszerzenia naturalnego *X jest nieskończenie blisko punktu x 0 z X (dokładniej x zawarta jest w monadzie o X 0 ).

Definicja hiperrealistyczna

Przestrzeń X jest zwarta, jeśli jej hiperrzeczywiste rozszerzenie *X (zbudowane na przykład przez konstrukcję ultrapotężną ) ma tę właściwość, że każdy punkt *X jest nieskończenie blisko pewnego punktu X*X . Na przykład otwarty przedział rzeczywisty X = (0, 1) nie jest zwarty, ponieważ jego hiperrzeczywiste rozszerzenie *(0,1) zawiera nieskończenie małe liczby, które są nieskończenie bliskie 0, co nie jest punktem X .

Wystarczające warunki

  • Zamknięty podzbiór kompaktowej przestrzeni jest zwarty.
  • Skończone połączenie zbiorów kompaktowych jest zwarte.
  • Ciągły obraz przestrzeni zwartej jest zwarty.
  • Przecięcie dowolnego niepustego zbioru zwartych podzbiorów przestrzeni Hausdorffa jest zwarte (i zamknięte);
    • Jeśli X nie jest Hausdorffem, przecięcie dwóch zwartych podzbiorów może nie być zwarte (patrz na przykład przypis).
  • Produkt z każdej kolekcji zwartych jest zwarta. (Jest to twierdzenie Tychonowa , które jest równoważne aksjomatowi wyboru .)
  • W przestrzeni metryzowalnej podzbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest sekwencyjnie zwarty (zakładając policzalny wybór )
  • Skończony zbiór wyposażony w dowolną topologię jest zwarty.

Właściwości zwartych przestrzeni

  • Zwarty podzbiór przestrzeni Hausdorffa X jest zamknięty.
    • Jeśli X nie jest Hausdorff, to zwarty podzbiór X może nie być zamkniętym podzbiorem X (patrz na przykład przypis).
    • Jeśli X nie jest Hausdorffem, to zamknięcie zbioru zwartego może nie być zwarte (patrz na przykład przypis).
  • W dowolnej topologicznej przestrzeni wektorowej (TVS) zwarty podzbiór jest kompletny . Jednak każdy TVS inny niż Hausdorff zawiera zwarte (a zatem kompletne) podzbiory, które nie są zamknięte.
  • Jeśli i B są rozłączne zwarte podzbiory przestrzeni Hausdorffa X , to istnieje rozłączne zbiór otwarty U i V w X taki, że U i BV .
  • Ciągła bijekcja z przestrzeni zwartej w przestrzeń Hausdorffa to homeomorfizm .
  • Kompaktowa przestrzeń Hausdorffa jest normalna i regularna .
  • Jeśli przestrzeń X jest zwarta i Hausdorff, to żadna drobniejsza topologia na X nie jest zwarta i żadna grubsza topologia na X nie jest Hausdorffem.
  • Jeśli podzbiór przestrzeni metrycznej ( X , d ) jest zwarty, to jest on ograniczony d .

Funkcje i kompaktowe przestrzenie

Ponieważ ciągły obraz przestrzeni zwartej jest zwarty, twierdzenie o wartościach ekstremalnych : ciągła funkcja o wartościach rzeczywistych na niepustej przestrzeni zwartej jest ograniczona powyżej i osiąga swoje najwyższe. (Nieco ogólniej, dotyczy to funkcji górnej półciągłej.) Jako rodzaj odwrotności do powyższych stwierdzeń, wstępny obraz zwartej przestrzeni pod właściwą mapą jest zwarty.

Zagęszczenia

Każda przestrzeń topologiczna X jest otwartą gęstą podprzestrzenią przestrzeni zwartej mającej co najwyżej jeden punkt więcej niż X , przez jednopunktowe zagęszczenie Alexandroffa . Zgodnie z tą samą konstrukcją, każda lokalnie zwarta przestrzeń X Hausdorffa jest otwartą gęstą podprzestrzenią zwartej przestrzeni Hausdorffa mającej co najwyżej jeden punkt więcej niż X .

Uporządkowane kompaktowe przestrzenie

Niepusty zwarty podzbiór liczb rzeczywistych ma największy i najmniejszy element.

Niech X będzie prostym uporządkowanym zbiorem wyposażonym w topologię porządku . Wtedy X jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy X jest pełną siecią (tj. wszystkie podzbiory mają supremę i infimę).

Przykłady

  • Każda skończona przestrzeń topologiczna , w tym zbiór pusty , jest zwarta. Mówiąc bardziej ogólnie, każda przestrzeń o skończonej topologii (tylko skończenie wiele zbiorów otwartych) jest zwarta; dotyczy to w szczególności trywialnej topologii .
  • Każda przestrzeń mieszcząca topologię cofinite jest zwarta.
  • Dowolną lokalnie zwartą przestrzeń Hausdorffa można przekształcić w zwartą przestrzeń, dodając do niej pojedynczy punkt, za pomocą jednopunktowego zagęszczenia Alexandroffa . Jednopunktowe zagęszczenie jest homeomorficzne względem okręgu S 1 ; jednopunktowe zagęszczenie 2 jest homeomorficzne ze sferą S 2 . Stosując zagęszczenie jednopunktowe, można również łatwo skonstruować zwarte przestrzenie, które nie są Hausdorffem, zaczynając od przestrzeni niehausdorffa.
  • Prawo topologia porządkowa lub topologia porządkowa lewo na dowolnym ograniczonym całkowicie uporządkowany zbiór jest zwarty. W szczególności przestrzeń Sierpińskiego jest zwarta.
  • Żadna dyskretna przestrzeń z nieskończoną liczbą punktów nie jest zwarta. Zbiór wszystkich pojedynczych przestrzeni jest otwarta pokrywa, która przyznaje żadnej skończonej subcover. Skończone, dyskretne przestrzenie są kompaktowe.
  • W niosącym topologię dolnego limitu żaden niepoliczalny zbiór nie jest zwarty.
  • W topologii przeliczalnej na zbiorze niepoliczalnym żaden zbiór nieskończony nie jest zwarty. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, przestrzeń jako całość nie jest lokalnie zwarta, ale nadal jest Lindelöf .
  • Zamknięty przedział jednostkowy [0, 1] jest zwarty. Wynika to z twierdzenia Heinego-Borela . Przedział otwarty (0, 1) nie jest zwarty: otwarta pokrywa dla n = 3, 4, …  nie ma skończonej podpokrywy. Podobnie zbiór liczb wymiernych w przedziale domkniętym [0,1] nie jest zwarty: zbiory liczb wymiernych w przedziałach obejmują wszystkie wymierne w [0, 1] dla n = 4, 5, ...  ale to okładka nie ma skończonej okładki. Tutaj zbiory są otwarte w topologii podprzestrzeni, mimo że nie są otwarte jako podzbiory  .
  • Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych nie jest zwarty, ponieważ istnieje pokrycie przedziałów otwartych, które nie ma skończonej podpokrywy. Na przykład przedziały ( n − 1,  n + 1) , gdzie n przyjmuje wszystkie wartości całkowite w Z , pokrycie ℝ , ale nie ma skończonego podpokrycia.
  • Z drugiej strony, rozszerzona linia liczb rzeczywistych niosąca analogiczną topologię jest zwarta; zauważ, że okładka opisana powyżej nigdy nie osiągnęłaby punktów w nieskończoności. W rzeczywistości zbiór ma homeomorfizm [−1, 1] przyporządkowania każdej nieskończoności do odpowiadającej jej jednostki i każdej liczby rzeczywistej do jej znaku pomnożonej przez unikalną liczbę w dodatniej części przedziału, co daje jej wartość bezwzględną po podzieleniu przez jeden minus, a ponieważ homeomorfizmy zachowują okładki, można wywnioskować własność Heine-Borel.
  • Dla każdej liczby naturalnej n , z n -sphere jest zwarty. Ponownie z twierdzenia Heinego-Borela, kula jednostek zamkniętych dowolnej skończenie wymiarowej przestrzeni unormowanej jest zwarta. Nie dotyczy to nieskończonych wymiarów; w rzeczywistości unormowana przestrzeń wektorowa jest skończenie wymiarowa wtedy i tylko wtedy, gdy jej kula zamknięta jest zwarta.
  • Z drugiej strony, kula jednostki zamkniętej dualnej przestrzeni unormowanej jest zwarta dla topologii słabej*. ( Twierdzenie Alaoglu )
  • Zestaw Cantor jest kompaktowy. W rzeczywistości każda zwarta przestrzeń metryczna jest ciągłym obrazem zbioru Cantora.
  • Rozważ zbiór K wszystkich funkcji f  : ℝ → [0, 1] od osi liczb rzeczywistych do zamkniętego przedziału jednostkowego i zdefiniuj topologię na K tak, aby ciąg w K był zbieżny w kierunku fK wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieżny w kierunku f ( x ) dla wszystkich liczb rzeczywistych x . Jest tylko jedna taka topologia; nazywa się to topologią zbieżności punktowej lub topologią iloczynową . Wtedy K jest zwartą przestrzenią topologiczną; wynika to z twierdzenia Tychonowa .
  • Rozważmy zbiór K wszystkich funkcji f  : [0, 1]  → [0, 1] spełniających warunek Lipschitza | f ( x ) −  f ( y ) | ≤ | x  −  y | dla wszystkich xy  ∈  [0,1] . Rozważmy na K metrykę indukowaną przez jednorodną odległość Następnie według twierdzenia Arzelà-Ascoli przestrzeń K jest zwarta.
  • Widmo każdej ograniczonym operatora liniowego na powierzchni banachowskiej jest niepusty zwarty podzbiór liczb zespolonych . I odwrotnie, każdy zwarty podzbiór powstaje w ten sposób, jako widmo pewnego ograniczonego operatora liniowego. Na przykład operator diagonalny w przestrzeni Hilberta może mieć dowolny zwarty niepusty podzbiór jako widmo.

Przykłady algebraiczne

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Bibliografia

Zewnętrzne linki


Ten artykuł zawiera materiały z przykładów kompaktowych przestrzeni na PlanetMath , które są objęte licencją Creative Commons Attribution/Share-Alike License .