Złożona płaszczyzna rzutowa - Complex projective plane

W matematyce The kompleks rzutowa płaszczyzny , zwykle oznaczany P ² ( C ) jest dwuwymiarowy kompleks przestrzeni rzutowej . Jest to złożona rozmaitość o złożonym wymiarze 2, opisana trzema złożonymi współrzędnymi

${\ Displaystyle (Z_ {1}, Z_ {2}, Z_ {3}) \ w \ mathbf {C} ^ {3}, \ qquad (Z_ {1}, Z_ {2}, Z_ {3}) \ neq (0,0,0)}$

gdzie jednak identyfikuje się trójki różniące się ogólnym przeskalowaniem:

${\ Displaystyle (Z_ {1}, Z_ {2}, Z_ {3}) \ equiv (\ lambda Z_ {1}, \ lambda Z_ {2}, \ lambda Z_ {3}); \ quad \ lambda \ in \ mathbf {C}, \ qquad \ lambda \ neq 0.}$

Oznacza to, że są to jednorodne współrzędne w tradycyjnym sensie geometrii rzutowej .

Topologia

Te liczby bettiego o skomplikowanej powierzchni projekcyjnej są

1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, .....

Środkowy wymiar 2 jest uwzględniany przez klasę homologii złożonej linii rzutowej lub sfery Riemanna leżącej w płaszczyźnie. Nietrywialnymi grupami homotopii złożonej płaszczyzny rzutowej są . Grupa podstawowa jest trywialna, a wszystkie inne wyższe grupy homotopii należą do grupy 5-sferycznej, czyli skrętnej. ${\ displaystyle \ pi _ {2} = \ pi _ {5} = \ mathbb {Z}}$

Geometria algebraiczna

W geometrii dwiracyjnej złożoną powierzchnią wymierną jest dowolna powierzchnia algebraiczna równoważna dwukierunkowo złożonej płaszczyźnie rzutowej. Wiadomo, że każdą inną, wymierną odmianę niejednolitą uzyskuje się z płaszczyzny przez sekwencję wysadzania transformacji i ich odwrotności („wydmuchiwania”) krzywych, które muszą być bardzo szczególnego typu. Jako szczególny przypadek, niejednolita złożona kwadryka w P ³ jest uzyskiwana z płaszczyzny przez wysadzenie dwóch punktów do krzywych, a następnie przedmuchanie linii przechodzącej przez te dwa punkty; odwrotnością tego przekształcenia można zobaczyć poprzez punkt P w Quadric Q , przedmuchiwanie go i wystające na ogólnej płaszczyzny P, ³ o rysunek linii przez P .

Grupą dwiracyjnych automorfizmów złożonej płaszczyzny rzutowej jest grupa Cremona .

Geometria różniczkowa

Jako rozmaitość riemannowska, złożona płaszczyzna rzutowa jest kolektorem 4-wymiarowym, którego krzywizna przekroju jest ćwierć-ściśnięta, ale nie ściśle. Oznacza to, że osiąga obie granice i tym samym unika bycia kulą, jak wymagałoby to twierdzenie o kuli . Konkurencyjne normalizacje dotyczą zakrzywienia ściśniętego między 1/4 a 1; alternatywnie między 1 a 4. W odniesieniu do poprzedniej normalizacji, osadzona powierzchnia określona przez złożoną linię rzutową ma krzywiznę Gaussa 1. W odniesieniu do drugiej normalizacji, osadzona rzeczywista płaszczyzna rzutowa ma krzywiznę Gaussa 1.

Wyraźną demonstrację tensorów Riemanna i Ricciego podano w podrozdziale n = 2 artykułu na temat metryki Fubiniego-Study .

Zobacz też

• powierzchnia del Pezzo
• Toryczna geometria
• Fałszywy samolot projekcyjny

Bibliografia

• CE Springer (1964) Geometry and Analysis of Projective Spaces , strony 140–3, WH Freeman and Company .