Indeks złożoności - Complexity index

We współczesnej informatyki i statystyki The indeks złożony z funkcji oznacza poziom zawartości informacyjnej, co z kolei wpływa na trudności w nauce funkcję z przykładów . Różni się to od złożoności obliczeniowej , która jest trudnością w obliczeniu funkcji. Wskaźniki złożoności charakteryzują całą klasę funkcji, do której należy ta, która nas interesuje. Skupiając się na funkcjach boolowskich , szczegóły klasy funkcji boolowskich c zasadniczo określają, jak głęboko ta klasa jest wyartykułowana. ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$

Definicja techniczna

Aby zidentyfikować tego indeksu musimy najpierw zdefiniować funkcję wartownika z . Skupmy się przez chwilę na pojedynczej funkcji c , nazwijmy ją pojęciem zdefiniowanym na zbiorze elementów, które możemy przedstawić jako punkty w przestrzeni euklidesowej . W tym kontekście powyższe współpracownicy funkcjonować c zbiór punktów, że skoro są zdefiniowane jako zewnętrzne w stosunku do koncepcji, zapobiec jej rozszerzenie do innej funkcji . Możemy podwójnie zdefiniować te punkty w kategoriach ostrzegania danego pojęcia c przed całkowitym zamknięciem (zaatakowaniem) przez inne pojęcie w klasie. Dlatego nazywamy te punkty albo wartownikami, albo punktami wartowniczymi ; są one przypisane przez funkcję wartowniczą do każdego pojęcia w taki sposób, że: ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {X}}}$${\displaystyle {\mathsf {C}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$${\displaystyle {\mathsf {C}}}$

1. punkty wartownicze są zewnętrzne w stosunku do pojęcia c, które ma być strzeżone i wewnętrzne w stosunku do co najmniej jednego innego, w tym go,
2. każda koncepcja zawierająca c ma co najmniej jeden z punktów wartowniczych c albo w przerwie między c i , albo na zewnątrz i różni się od punktów wartowniczych w , oraz${\displaystyle c'}$${\displaystyle c'}$${\displaystyle c'}$${\displaystyle c'}$
3. stanowią minimalny zestaw o tych właściwościach.

Definicja techniczna pochodząca z ( Apoloni 2006 ) jest zakorzeniona w dołączeniu rozszerzonej koncepcji złożonej z c plus jej punkty kontrolne przez inną w tej samej klasie. błąd harv: brak celu: CITEREFApolloni2006 ( pomoc )${\ Displaystyle c ^ {+}}$${\ Displaystyle \ lewo (c '\ prawo) ^ {+}}$

Definicja funkcji wartowniczej

Dla klasy koncepcji na przestrzeni , wykorzystując funkcję wartownik jest całkowita funkcja spełniająca następujące warunki: ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\ Displaystyle {\ boldsymbol {S}}: {\ mathsf {C}} \ filiżanka \ {\ pusty zestaw, {\ mathfrak {X}} \} \ mapsto 2 ^ {\ mathfrak {X}}}$

1. Strażnicy są poza pojęciem wartowników ( dla wszystkich ) .${\displaystyle c\cap {\boldsymbol {S}}(c)=\pusty zestaw}$${\displaystyle c\in {\mathsf {C}}}$
2. Strażnicy są wewnątrz koncepcji inwazyjnej ( Po wprowadzeniu zbiorów , koncepcja inwazyjna jest taka , że i . Oznaczając zbiór pojęć inwazyjnych c , musimy mieć to , jeśli , to ) .${\ Displaystyle c ^ {+} = c \ filiżanka {\ pogrubienie {S}} (c)}$${\displaystyle c'\in {\mathsf {C}}}$${\displaystyle c'\nie \subseteq c}$${\ Displaystyle c ^ {+} \ subseteq \ lewo (c '\ prawy) ^ {+}}$${\ Displaystyle \ operatorname {w górę} (c)}$${\ Displaystyle C_ {2} \ w \ operatorname {w górę} (c_ {1})}$${\displaystyle c_{2}\cap {\boldsymbol {S}}(c_{1})\neq \pusty zestaw}$
3. ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}(c)}$jest zbiorem minimalnym z powyższymi właściwościami ( Nie istnieje spełniające (1) i (2) i posiadające właściwość, że dla każdego ) .${\displaystyle {\boldsymbol {S}}'\neq {\boldsymbol {S}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}'(c)\subseteq {\boldsymbol {S}}(c)}$${\displaystyle c\in {\mathsf {C}}}$
4. Strażnicy to uczciwi strażnicy. Może tak jest, ale tak . Musi to być jednak konsekwencją faktu, że wszystkie punkty są zaangażowane w naprawdę strzeżenie c wobec innych pojęć w, a nie tylko w unikanie włączenia przez . Zatem jeśli usuniemy pozostaje niezmienione ( Zawsze i są takie , że i , wtedy ograniczenie do jest funkcją wartowniczą na tym zbiorze ) .${\ Displaystyle c \ subseteq \ lewo (c '\ prawy) ^ {+}}$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}(c)\cap c'=\pustyzestaw}$${\ Displaystyle c '\ nie \ w \ operatorname {w górę} (c)}$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}(c)}$${\ Displaystyle \ operatorname {w górę} (c)}$${\ Displaystyle c ^ {+}}$${\ Displaystyle (c ') ^ {+}}$${\displaystyle c'{\boldsymbol {S}}(c)}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{1}\podzbiór c_{2}\kubek {\boldsymbol {S}}(c_{2})}$${\displaystyle c_{2}\cap {\boldsymbol {S}}(c_{1})=\pusty zestaw}$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$${\ Displaystyle \ {C_ {1} \} \ Puchar \ operatorka {w górę} (C_ {1}) - \ {C_ {2} \}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}(c)}$jest granica z c momencie . ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

Schematyczny widok zewnętrznej funkcjonalności strażnika

W odniesieniu do obrazu po prawej stronie, jest to kandydująca granica przeciw . Wszystkie punkty znajdują się w przerwie między a i . Unikają włączenia w , pod warunkiem, że te punkty nie są używane przez ten ostatni do strzeżenia się przeciwko innym pojęciom. Odwrotnie Oczekujemy, że zastosowanie i jak własnych strażników, zastosowań i i zastosowań i analogicznie. Punkt nie jest dozwolony jako punkt wartowniczy, ponieważ, jak każda siedziba dyplomatyczna, powinien znajdować się poza wszystkimi innymi koncepcjami, aby upewnić się, że nie jest zajęty w przypadku inwazji przez . ${\ Displaystyle \ {x_ {1}, x_ {2}, x_ {3} \}}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle c_{0}\kubek \{x_{1},x_{2},x_{3}\}}$${\displaystyle c_{3}}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{3}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{3}}$${\displaystyle c_{4}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{4}}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle c_{0}}$

Definicja szczegółów

Wielkość graniczna najdroższego pojęcia, które ma być wartownicze z najmniej wydajną funkcją wartowniczej, tj. ilość

${\ Displaystyle \ operatorname {D} _ {\ mathsf {C}} = \ sup _ {{\ boldsymbol {S}}, c} \ # {\ boldsymbol {S}} (c)}$,

nazywany jest szczegół z . obejmuje również funkcje wartownicze na podzbiorach wartowniczych, w tym przypadku na przecięciach pojęć z tymi podzbiorami. Właściwie odpowiednie podzbiory mogą zawierać zadania wartownicze, które okazują się trudniejsze niż te, które pojawiają się same z siebie. ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

Szczegółowość jest miarą złożoności klas pojęciowych, podwójną do wymiaru VC . Pierwsza używa punktów do rozdzielania zbiorów pojęć, druga do dzielenia zbiorów punktów. W szczególności utrzymuje się następująca nierówność ( Apolloni 1997 )${\ Displaystyle \ operatorname {D} _ {\ mathsf {C}}}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {D} _ {{\ mathsf {V}} C}}$błąd harv: brak celu: CITEREFApolloni1997 ( pomoc )

${\ Displaystyle \ operatorname {D} _ {\ mathsf {C}} \ leq \ operatorname {D} _ {{\ mathsf {V}} C} + 1}$

Zobacz także Złożoność Rademachera, aby zapoznać się z niedawno wprowadzonym indeksem złożoności klas.

Przykład: spacje ciągłe

Klasa C kół ma szczegóły , jak pokazano na rysunku po lewej stronie poniżej. Podobnie dla klasy segmentów na , jak pokazano na rysunku po prawej stronie. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ operatorname {D} _ {\ mathsf {C}} = 2}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Dwa punkty poza c (gruby okrąg) wystarczą, aby większy okrąg, który ich nie zawiera, nie zawierał go${\displaystyle x_{1},x_{2}}$

Klasa segmentów i dwa punkty potrzebne do strzeżenia jej koncepcji${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Przykład: spacje dyskretne

Klasa, na której koncepcje są zilustrowane na poniższym schemacie, gdzie „+” oznacza element należący do , „-” element na zewnątrz i punkt wartowniczy: ${\displaystyle {\mathsf {C}}=\{c_{1},c_{2},c_{3},c_{4}\}}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}=\{x_{1},x_{2},x_{3}\}}$${\displaystyle x_{j}}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle c_{i}}$

	${\displaystyle x_{1}}$	${\displaystyle x_{2}}$	${\displaystyle x_{3}}$
${\displaystyle c_{1}=}$	​-⃝	​-⃝	-
${\displaystyle c_{2}=}$	​-⃝	+	+
${\displaystyle c_{3}=}$	+	​-⃝	+
${\displaystyle c_{4}=}$	+	+	+

Ta klasa ma . Jak zwykle możemy mieć różne funkcje wartownicze. Najgorszy przypadek S , jak pokazano, to: . Jednak tańszy to : ${\ Displaystyle \ operatorname {D} _ {\ mathsf {C}} = 2}$${\ Displaystyle \ mathbf {S} (c_ {1}) = \ {x_ {1}, x_ {2} \} \ mathbf {S} (c_ {2}) = \ {x_ {1} \}, \mathbf {S} (c_{3})=\{x_{2}\},\mathbf {S} (c_{4})=\pusty zbiór }$${\ Displaystyle \ mathbf {S} (c_ {1}) = \ {x_ {3} \} \ mathbf {S} (c_ {2}) = \ {x_ {1} \} \ mathbf {S} (c_{3})=\{x_{2}\},\mathbf {S} (c_{4})=\emptyset }$

	${\displaystyle x_{1}}$	${\displaystyle x_{2}}$	${\displaystyle x_{3}}$
${\displaystyle c_{1}=}$	-	-	​-⃝
${\displaystyle c_{2}=}$	​-⃝	+	+
${\displaystyle c_{3}=}$	+	​-⃝	+
${\displaystyle c_{4}=}$	+	+	+

Bibliografia

• Apolloni, B.; Malchiodi, D.; Gaito, S. (2006). Wnioskowanie algorytmiczne w uczeniu maszynowym . Międzynarodowa seria na temat zaawansowanej inteligencji. 5 (wyd. 2). Adelajda: Magill. Zaawansowana wiedza międzynarodowa
• Apolloni, B.; Chiaravalli, S. (1997). „Uczenie się PAC zajęć koncepcyjnych poprzez granice ich przedmiotów” . Informatyka teoretyczna . 172 (1–2): 91–120. doi : 10.1016/S0304-3975(95)00240-5 .