Przestrzeń konfiguracji (fizyka) - Configuration space (physics)

W mechanice parametry definiujące konfigurację systemu nazywane są uogólnione współrzędnych , a przestrzeń wektorem określonym przez współrzędne te nazywa się przestrzeń konfiguracji z systemu fizycznej . Często jest tak, że parametry te spełniają ograniczenia matematyczne, tak że zbiór rzeczywistych konfiguracji układu jest rozmaitością w przestrzeni współrzędnych uogólnionych. Ten kolektor nazywany jest kolektorem konfiguracyjnym systemu. Zauważ, że jest to pojęcie „nieograniczonej” przestrzeni konfiguracyjnej, tj. W której różne cząstki punktowe mogą zajmować tę samą pozycję. W matematyce, aw szczególności w topologii, stosuje się najczęściej pojęcie „ograniczonej” przestrzeni konfiguracyjnej , w której usuwane są przekątne reprezentujące „zderzające się” cząstki.

Przykład: cząstka w przestrzeni 3D

Pozycja pojedynczej cząstki poruszającej się w zwykłej przestrzeni euklidesowej 3 jest określona przez wektor , a zatem jej przestrzeń konfiguracyjna to . Symbolem punktu w przestrzeni konfiguracji jest zwykle używane ; Taka jest konwencja zarówno w hamiltonowskim sformułowaniu mechaniki klasycznej , jak iw mechanice lagranżowskiej . Symbol jest używany do oznaczenia pędu; symbol odnosi się do prędkości.

Cząstka może być zmuszona do poruszania się po określonej rozmaitości . Na przykład, jeśli cząstka jest przymocowana do sztywnego połączenia, swobodnie kołysząc się wokół źródła, jest skutecznie zmuszona do leżenia na kuli. Jego przestrzeń konfiguracyjna jest podzbiorem współrzędnych definiujących punkty na kuli . W tym przypadku mówi się, że kolektor jest kulą, tj .

Dla n odłączonych, nieoddziałujących cząstek punktowych przestrzeń konfiguracji wynosi . Generalnie jednak interesuje nas przypadek, w którym cząstki oddziałują na siebie: na przykład są to określone miejsca w pewnym zespole kół zębatych, pasowych, toczących się kulek itp., Często zmuszone do poruszania się bez poślizgu. W tym przypadku przestrzeń konfiguracyjna to nie całość , ale podprzestrzeń (podrozmaitość) dopuszczalnych pozycji, które mogą zająć punkty.

Przykład: bryła sztywna w przestrzeni 3D

Zbiór współrzędnych, które definiują położenie punktu odniesienia i orientację układu współrzędnych przymocowanych do sztywnego korpusu w przestrzeni trójwymiarowej, tworzą jego przestrzeń konfiguracyjną, często oznaczoną gdzie reprezentuje współrzędne początku ramy przymocowanej do ciała , i reprezentuje macierze obrotu, które definiują orientację tej ramki względem ramy podstawowej. Konfiguracja sztywnego ciała jest określona przez sześć parametrów, trzy z i trzy z , i mówi się, że ma sześć stopni swobody .

W tym przypadku przestrzeń konfiguracyjna jest sześciowymiarowa, a punkt jest po prostu punktem w tej przestrzeni. „Położenie” w tej przestrzeni konfiguracyjnej jest opisane za pomocą współrzędnych uogólnionych ; zatem trzy ze współrzędnych mogą opisywać położenie środka ciężkości ciała sztywnego, podczas gdy trzy kolejne mogą oznaczać kąty Eulera opisujące jego orientację. Nie ma kanonicznego wyboru współrzędnych; można też wybrać końcówkę lub punkt końcowy sztywnego ciała zamiast środka jego masy; można by zdecydować się na użycie kwaternionów zamiast kątów Eulera i tak dalej. Jednak parametryzacja nie zmienia właściwości mechanicznych systemu; wszystkie różne parametryzacje ostatecznie opisują tę samą (sześciowymiarową) rozmaitość, ten sam zestaw możliwych pozycji i orientacji.

Niektóre parametryzacje są łatwiejsze w użyciu niż inne, a wiele ważnych oświadczeń można sformułować, pracując w sposób wolny od współrzędnych. Przykłady stwierdzeń bez współrzędnych są takie, że przestrzeń styczna odpowiada prędkościom punktów , podczas gdy przestrzeń cotangens odpowiada pędom. (Prędkości i pędy można łączyć; w najbardziej ogólnym, abstrakcyjnym przypadku odbywa się to za pomocą dość abstrakcyjnego pojęcia tautologicznej jednej postaci ).

Przykład: ramię robota

W przypadku ramienia robota składającego się z wielu sztywnych łączników, przestrzeń konfiguracyjna składa się z położenia każdego łącznika (traktowanego jako sztywny korpus, jak w powyższej sekcji), z zastrzeżeniem ograniczeń związanych ze sposobem połączenia łączników oraz ich dozwolony zakres ruchu. Zatem w przypadku powiązań można wziąć pod uwagę całkowitą przestrzeń

poza tym, że wszystkie różne przyłączenia i ograniczenia oznaczają, że nie każdy punkt w tej przestrzeni jest osiągalny. Zatem przestrzeń konfiguracyjna jest koniecznie podprzestrzenią przestrzeni konfiguracji -sztywnego ciała.

Należy jednak zauważyć, że w robotyce termin przestrzeń konfiguracji może również odnosić się do jeszcze bardziej zredukowanego podzbioru: zestawu pozycji osiągalnych przez efektor końcowy robota . Ta definicja prowadzi jednak do złożoności opisanej przez holonomię : to znaczy, może istnieć kilka różnych sposobów rozmieszczenia ramienia robota w celu uzyskania określonej lokalizacji efektora końcowego, a nawet możliwe jest, aby ramię robota poruszało się, utrzymując jednocześnie efektor końcowy nieruchomy. Tak więc pełny opis ramienia, nadający się do zastosowania w kinematyce, wymaga określenia wszystkich położeń i kątów przegubów, a nie tylko niektórych z nich.

Wspólne parametry robota są używane jako uogólnione współrzędne do definiowania konfiguracji. Zbiór wspólnych wartości parametrów nosi nazwę wspólnej przestrzeni . Równania kinematyki do przodu i odwrotnej kinematyki robota definiują mapy między konfiguracjami i pozycjami efektorów końcowych lub między przestrzenią stawów a przestrzenią konfiguracji. Planowanie ruchu robota wykorzystuje to odwzorowanie, aby znaleźć ścieżkę we wspólnej przestrzeni, która zapewnia osiągalną trasę w przestrzeni konfiguracyjnej efektora końcowego.

Definicja formalna

W mechanice klasycznej konfiguracja systemu składa się z pozycji zajmowanych przez wszystkie komponenty podlegające ograniczeniom kinematycznym.

Przestrzeń fazowa

Przestrzeń konfiguracyjna jest niewystarczająca, aby w pełni opisać układ mechaniczny: nie uwzględnia on prędkości. Zbiór prędkości dostępnych w systemie definiuje płaszczyznę styczną do kolektora konfiguracyjnego układu. W pewnym momencie ta płaszczyzna styczna jest oznaczona przez . Wektory pędu to liniowe funkcjonały płaszczyzny stycznej, znane jako wektory cotangens; na przykład ta płaszczyzna styczna jest oznaczona przez . Zbiór położeń i momentów układu mechanicznego tworzy wiązkę cotangent kolektora konfiguracyjnego . Ta większa rozmaitość nazywana jest przestrzenią fazową układu.

Przestrzeń stanów

W mechanice kwantowej analogiczne pojęcie nazywa się przestrzenią stanów. W tym przypadku używany jest raczej inny zestaw formalizmów i notacji. Analog „punkt cząstka” staje się jednym punktem , w złożonym rzutowej linii , znany również jako sfery Blocha . Jest złożona, ponieważ kwantowo-mechaniczna funkcja falowa ma złożoną fazę; jest rzutowa, ponieważ funkcja falowa jest znormalizowana do prawdopodobieństwa jednostkowego. To znaczy, biorąc pod uwagę funkcję falową, można ją znormalizować według całkowitego prawdopodobieństwa , czyniąc ją w ten sposób rzutową.

Zobacz też

Bibliografia

  1. ^ John J. Craig, Wprowadzenie do robotyki: mechanika i sterowanie , wyd. Prentice-Hall, 2004
  2. ^ Sussman, Gerald (2001). Struktura i interpretacja mechaniki klasycznej . Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN   0262194554 .

Zewnętrzne linki