Zamieszanie odwrotności - Confusion of the inverse

Pomylenie odwrotności , zwane również błędem prawdopodobieństwa warunkowego lub błędem odwrotnym , jest błędem logicznym, w którym prawdopodobieństwo warunkowe jest zrównane z jego odwrotnością; że jest, biorąc pod uwagę dwa zdarzenia A i B , prawdopodobieństwo A happening skoro B działo się wyniesie w przybliżeniu taka sama jak prawdopodobieństwo B podano A , gdy w rzeczywistości nie ma dowodów na to założenie. Bardziej formalnie zakłada się , że P ( A | B ) jest w przybliżeniu równe P ( B | A ).

Przykłady

Przykład 1

Względny rozmiar	Złośliwy	Łagodny	Całkowity
Test pozytywny	0,8 (prawdziwie dodatni)	9,9 (fałszywie dodatnie)	10,7
Test negatywny	0,2 (fałszywie ujemny)	89,1 (prawdziwie ujemny)	89,3
Całkowity	1	99	100

W jednym badaniu poproszono lekarzy o podanie szans na nowotwór złośliwy z 1% prawdopodobieństwem wystąpienia. Test może wykryć 80% nowotworów złośliwych i ma 10% odsetek wyników fałszywie dodatnich. Jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia nowotworu złośliwego w przypadku pozytywnego wyniku testu? Około 95 na 100 lekarzy odpowiedziało, że prawdopodobieństwo wystąpienia nowotworu złośliwego wynosiło około 75%, najwyraźniej dlatego, że lekarze uważali, że szanse wystąpienia nowotworu złośliwego w przypadku pozytywnego wyniku testu były w przybliżeniu takie same jak szanse pozytywnego wyniku testu w przypadku nowotworu złośliwego.

Prawidłowe prawdopodobieństwo złośliwości przy pozytywnym wyniku testu, jak podano powyżej, wynosi 7,5%, wyprowadzone z twierdzenia Bayesa :

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i {} \ qquad P ({\ tekst {złośliwy}} | {\ tekst {pozytywny}}) \ \ [8 pkt] & = {\ Frac {P ({\ tekst {pozytywny} }}|{\text{złośliwy}})P({\text{złośliwy}})}{P({\text{dodatni}}|{\text{złośliwy}})P({\text{złośliwy}} )+P({\text{dodatni}}|{\text{łagodny}})P({\text{łagodny}})}}\\[8pt]&={\frac {(0,80\cdot 0,01)} {(0,80\cdot 0,01)+(0,10\cdot 0,99)}}=0,075\end{wyrównany}}}$

Inne przykłady zamieszania to:

• Osoby używające twardych narkotyków mają tendencję do używania marihuany ; dlatego użytkownicy marihuany mają tendencję do używania twardych narkotyków (pierwsze prawdopodobieństwo to używanie marihuany w przypadku używania twardych narkotyków, drugie to używanie twardych narkotyków w przypadku używania marihuany).
• Większość wypadków ma miejsce w promieniu 25 mil od domu; dlatego jesteś najbezpieczniejszy, gdy jesteś daleko od domu.
• Terroryści mają zazwyczaj wykształcenie inżynierskie; więc inżynierowie mają skłonność do terroryzmu.

W przypadku innych błędów w prawdopodobieństwie warunkowym, zobacz problem Monty Halla i błąd stopy bazowej . Porównaj z nielegalną konwersją .

Przykład 2

Względny rozmiar (%)	Chory	Dobrze	Całkowity
Test pozytywny	0,99 (prawdziwe pozytywne)	0,99 (fałszywie dodatni)	1,98
Test negatywny	0,01 (fałszywie ujemny)	98.01 (prawdziwe negatywne)	98.02
Całkowity	1	99	100

W celu identyfikacji osób cierpiących na poważną chorobę we wczesnouleczalnej postaci można rozważyć badanie przesiewowe dużej grupy osób. Chociaż korzyści są oczywiste, argumentem przeciwko takim badaniom przesiewowym jest zakłócenie spowodowane fałszywie dodatnimi wynikami badań przesiewowych: jeśli w początkowym badaniu błędnie stwierdzi się, że osoba nie chora na tę chorobę, najprawdopodobniej będzie zaniepokojona, a nawet jeśli następnie poddają się dokładniejszemu testowi i dowiadują się, że czują się dobrze, ich życie może nadal mieć negatywny wpływ. Jeśli podejmą się niepotrzebnego leczenia choroby, mogą im zaszkodzić skutki uboczne i koszty leczenia.

Skalę tego problemu najlepiej zrozumieć w kategoriach prawdopodobieństw warunkowych.

Załóżmy, że 1% grupy cierpi na tę chorobę, a reszta ma się dobrze. Losowy wybór osoby,

${\ Displaystyle P ({\ tekst {chorego}}) = 1 \% = 0,01 {\ tekst {i}} P ({\ tekst {dobrze}}) = 99 \% = 0,99.}$

Załóżmy, że gdy test przesiewowy zostanie zastosowany u osoby bez choroby, istnieje 1% szansy na uzyskanie wyniku fałszywie dodatniego (a zatem 99% szansy na uzyskanie wyniku prawdziwie ujemnego, liczba znana jako swoistość testu ), tj

${\ Displaystyle P ({\ tekst {pozytywny}} | {\ tekst {dobrze}}) = 1 \%, {\ tekst {i}} P ({\ tekst {ujemny}} | {\ tekst {dobrze}} )=99\%.}$

Na koniec załóżmy, że gdy test zostanie zastosowany u osoby chorej, istnieje 1% szansy na wynik fałszywie negatywny (i 99% szansy na uzyskanie prawdziwie pozytywnego wyniku, znanego jako czułość testu), tj.

${\ Displaystyle P ({\ tekst {ujemny}} | {\ tekst {chorą}}) = 1 \$

Obliczenia

Odsetek osób w całej grupie, które są zdrowe i mają wynik negatywny (prawdziwy negatywny):

${\ Displaystyle P ({\ tekst {dobrze}} \ czapka {\ tekst {ujemny}}) = P ({\ tekst {dobrze}}) \ razy P ({\ tekst {ujemny}} | {\ tekst {dobrze }})=99\%\razy 99\%=98.01\%.}$

Odsetek osób w całej grupie, które są chore i mają pozytywny wynik testu (prawdziwie pozytywny):

${\ Displaystyle P ({\ tekst {chorą}} \ cap {\ tekst {pozytywny}}) = P ({\ tekst {chorą}}) \ razy P ({\ tekst {pozytywny}} | {\ tekst {chorą }})=1\%\razy 99\%=0,99\%.}$

Odsetek osób w całej grupie, które mają wyniki fałszywie dodatnie:

${\ Displaystyle P ({\ tekst {dobrze}} \ czapka {\ tekst {pozytywny}}) = P ({\ tekst {dobrze}}) \ razy P ({\ tekst {pozytywny}} | {\ tekst {dobrze }})=99\%\razy 1\%=0.99\%.}$

Odsetek osób w całej grupie, które mają wyniki fałszywie ujemne:

${\ Displaystyle P ({\ tekst {chorą}} \ cap {\ tekst {ujemny}}) = P ({\ tekst {chorą}}) \ razy P ({\ tekst {ujemny}} | {\ tekst {chorą }})=1\%\razy 1\%=0,01\%.}$

Ponadto odsetek osób w całej grupie, które uzyskały wynik pozytywny:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} P ({\ tekst {pozytywny}}) i {} = P ({\ tekst {dobrze}} \ czapka {\ tekst {pozytywna}}) + P ({\ tekst {chorą }}\cap {\text{dodatni}})\\&{}=0,99\%+0,99\%=1,98\%.\end{wyrównany}}}$

Wreszcie prawdopodobieństwo, że dana osoba rzeczywiście ma chorobę, biorąc pod uwagę, że wynik testu jest pozytywny:

${\ Displaystyle P ({\ tekst {chorą}} | {\ tekst {pozytywny}}) = {\ Frac {P ({\ tekst {chorą}} \ cap {\ tekst {pozytywny}})} {P ({{ \text{pozytywny}})}}={\frac {0.99\%}{1.98\%}}=50\%.}$

Wniosek

W tym przykładzie powinno być łatwo odnieść się do różnicy między prawdopodobieństwami warunkowymi P (dodatnie | złe), które przy założonych prawdopodobieństwach wynosi 99%, a P (ill | dodatnie), które wynosi 50%: pierwsze to prawdopodobieństwo, że osoba, u której testy choroby są pozytywne; drugie to prawdopodobieństwo, że osoba, u której wynik testu jest pozytywny, rzeczywiście ma chorobę. Tak więc, z prawdopodobieństwami wybranymi w tym przykładzie, mniej więcej taka sama liczba osób otrzymuje korzyści z wczesnego leczenia, jaka jest zaniepokojona fałszywymi trafieniami; te pozytywne i negatywne skutki mogą być następnie brane pod uwagę przy podejmowaniu decyzji, czy przeprowadzić badanie przesiewowe lub, jeśli to możliwe, czy dostosować kryteria testu, aby zmniejszyć liczbę wyników fałszywie dodatnich (możliwe kosztem większej liczby wyników fałszywie ujemnych).

Zobacz też

• Converse (logiczne)
• Błąd prokuratora

Uwagi

Bibliografia

• Villejoubert, Gaëlle; Mandel, David (2002). „Odwrotny błąd: konto odchyleń od twierdzenia Bayesa i zasady addytywności” . Pamięć i poznanie . 30 (5): 171–178. doi : 10.3758/BF03195278 . PMID  12035879 .
• Eddy, David M. (1982). Rozumowanie probabilistyczne w medycynie klinicznej: problemy i możliwości. W D. Kahneman , P. Slovic i A. Tversky (red.) Wyrok w sytuacji niepewności: Heurystyki i stronniczość (str. 249–267). Nowy Jork: Cambridge University Press.
• Pośpiech, Reid ; Robyn Dawes (2001). Racjonalny wybór w niepewnym świecie . Numer ISBN 978-0-7619-2275-9.
• Plos, Scott (1993). Psychologia sądzenia i podejmowania decyzji . Numer ISBN 978-0-07-050477-6.