Problem z osadzaniem Connes - Connes embedding problem

Problem osadzania Connesa , sformułowany przez Alaina Connesa w latach 70., jest głównym problemem w teorii algebry von Neumanna . W tym czasie problem został przeformułowany w kilku różnych obszarach matematyki. Dan Voiculescu rozwijając swoją teorię wolnej entropii odkrył, że problem osadzania Connesa jest związany z istnieniem mikrostanów. Niektóre wyniki teorii algebr von Neumanna można uzyskać zakładając pozytywne rozwiązanie problemu. Problem wiąże się z kilkoma podstawowymi pytaniami teorii kwantowej, które doprowadziły do ​​uświadomienia sobie, że ma to również ważne implikacje w informatyce.

Problem dopuszcza szereg równoważnych sformułowań. W szczególności jest to równoważne następującym długotrwałym problemom:

• Hipoteza Kirchberga QWEP w teorii C*-algebry
• Problem Tsirelsona w kwantowej teorii informacji
• Preduał dowolnej (rozłącznej) algebry von Neumanna jest skończenie reprezentowany w klasie śladu.

W styczniu 2020 r. Ji, Natarajan, Vidick, Wright i Yuen ogłosili wynik teorii złożoności kwantowej, który implikuje negatywną odpowiedź na problem osadzania Connesa.

Oświadczenie

Niech będzie swobodnym ultrafiltrem na liczbach naturalnych i niech R będzie czynnikiem nadskończonym typu II ₁ ze śladem . Ultramoc można skonstruować w następujący sposób: niech będzie algebrą von Neumanna ciągów ograniczonych przez normę i niech . Iloraz okazuje się być czynnikiem II ₁ ze śladem , gdzie jest dowolną reprezentatywną sekwencją . ${\ Displaystyle \ omega}$${\ Displaystyle \ tau}$${\ Displaystyle R ^ {\ omega}}$${\ Displaystyle l ^ {\ infty} (R) = \ {(x_ {n}) _ {n} \ subseteq R: \ sup _ {n} | | x_ {n} | | < \ infty \}}$${\ Displaystyle I_ {\ omega} = \ {(x_ {n}) \ w l ^ {\ infty} (R): \ lim _ {n \ rightarrow \ omega} \ tau (x_ {n} ^ {*} x_{n})^{\frac {1}{2}}=0\}}$${\ Displaystyle R ^ {\ omega} = l ^ {\ infty} (R) / I_ {\ omega}}$${\ Displaystyle \ tau _ {R ^ {\ omega}} (x) = \ lim _ {n \ rightarrow \ omega} \ tau (x_ {n} + ja_ {\ omega})}$${\ Displaystyle (x_ {n}) _ {n}}$${\displaystyle x}$

Problem osadzania Connesa pyta, czy każdy czynnik typu II ₁ na separowalnej przestrzeni Hilberta może być osadzony w niektórych . ${\ Displaystyle R ^ {\ omega}}$

Pozytywne rozwiązanie problemu sugerowałoby, że podprzestrzenie niezmiennicze istnieją dla dużej klasy operatorów w czynnikach II-1 ( Uffe Haagerup ); wszystkie policzalne grupy dyskretne są hiperliniowe . Pozytywnym rozwiązaniem problemu byłaby równość pomiędzy swobodną entropią i swobodną entropią określoną przez mikrostany ( Dan Voiculescu ). W styczniu 2020 roku grupa badaczy twierdzili, że problem został rozwiązany w negatywnej, czyli istnieje typ II ₁ czynniki von Neumanna, które nie osadzono w UltraPower z hyperfinite II ₁ czynnika. ${\ Displaystyle \ chi ^ {*}}$ ${\ Displaystyle R ^ {\ omega}}$

Klasa izomorfizmu jest niezależna od ultrafiltra wtedy i tylko wtedy, gdy hipoteza continuum jest prawdziwa (Ge-Hadwin i Farah-Hart-Sherman), ale taka własność osadzania nie zależy od ultrafiltra, ponieważ algebry von Neumanna działające na separowalne przestrzenie Hilberta są, z grubsza, bardzo małe. ${\ Displaystyle R ^ {\ omega}}$

Problem dopuszcza szereg równoważnych sformułowań.

Konferencje poświęcone problemowi zakorzeniania Connesa

• Zagadnienie osadzania Connesa i warsztaty z teorii informacji kwantowej; Uniwersytet Vanderbilta w Nashville w stanie Tennessee; 1-7 maja 2020 ( przełożony; TBA )
• Wieloaspektowy problem osadzania Connesa; BIRS, Kanada; 14-19 lipca 2019 r.
• Szkoła zimowa: problem osadzania Connesa i kwantowa teoria informacji; Uniwersytet w Oslo, 07-11 stycznia 2019 r.
• Warsztaty na temat grup soficznych i hiperliniowych oraz hipotezy o osadzeniu Connesa; UFSC Florianopolis, Brazylia; 10-21 czerwca 2018
• Właściwości aproksymacyjne w algebrach operatorów i teorii ergodycznej; UCLA; 30 kwietnia - 5 maja 2018
• Algebry operatorów i kwantowa teoria informacji; Instytut Henri Poincare, Paryż; grudzień 2017
• Warsztaty na temat przestrzeni operatorskich, analizy harmonicznej i prawdopodobieństwa kwantowego; ICMAT, Madryt; 20 maja – 14 czerwca 2013 r.
• Fields Workshop wokół Connes Embedding Problem – University of Ottawa, 16-18 maja 2008

Bibliografia

Dalsza lektura

• Capraro, Valerio (2010). „Ankieta na temat osadzania Connesa hipotezy”. arXiv : 1003.2076 [ matematyka OA ].
• Farah, I.; Hart, B.; Sherman, D. (2013). „Teoria modeli algebr operatorów I: stabilność”. Biuletyn Londyńskiego Towarzystwa Matematycznego . 45 (4): 825–838. arXiv : 0908.2790 . doi : 10.1112/blms/bdt014 . S2CID  15024863 .
• Ge; Hadwina (2001). „Ultraprodukty C *-algebr”. Oper. Teoria Przysł. Zał . 127 : 305–326. doi : 10.1007/978-3-0348-8374-0_17 . Numer ISBN 978-3-0348-9539-2.
• Collins, Benoit; Dykema, Ken (2008). „Linearyzacja problemu osadzania Connesa” (PDF) . New York Journal of Mathematics . 14 : 617–641.
• Sherman, Dawid (2008). „Uwagi na temat automorfizmów ultramocy II ₁ Factors”. arXiv : 0809.4439 [ matematyka OA ].
• Pisier, Gilles . „Iloczyny tensorowe C*-algebr i przestrzeni operatorowych: problem Connesa-Kirchberga” (PDF) .