Pętla Costasa - Costas loop

Pętli Costas jest pętla synchronizacji fazy (PLL) obwodu dla których stosuje się nośnik częstotliwości odzyskiwania z tłumienia nośnych modulacji sygnałów (na przykład podwójne bocznej tłumione sygnałów nośnych) i sygnałów modulacji fazy (na przykład BPSK , QPSK ). Został wynaleziony przez Johna P. Costasa w General Electric w latach 50. XX wieku. Jego wynalazek został opisany jako mający „głęboki wpływ na współczesną komunikację cyfrową”. Podstawowym zastosowaniem pętli Costasa są odbiorniki bezprzewodowe. Jego przewaga nad innymi detektorami opartymi na PLL polega na tym, że przy małych odchyleniach napięcie błędu pętli Costasa wynosi ${\ Displaystyle \ sin (2 (\ theta _ {i} - \ theta _ {f}))}$ w porównaniu do . Przekłada się to na podwojenie czułości, a także sprawia, że pętla Costasa jest wyjątkowo przystosowana do śledzenia nośnych przesuniętych dopplerowsko , zwłaszcza w odbiornikach OFDM i GPS . ${\ Displaystyle \ grzech (\ theta _ {i} - \ theta _ {f})}$

Klasyczna realizacja

Pętla Costas działająca w stanie zablokowanym.

W klasycznym realizacji pętli Costasem, lokalny oscylator sterowany napięciem (VCO) stanowi kwadraturowe wyjść, jedno dla każdego z dwóch czujników fazowych , np , detektory produktu . Ta sama faza sygnału wejściowego jest również podawana do obu detektorów fazy, a wyjście każdego detektora fazy jest przepuszczane przez filtr dolnoprzepustowy . Wyjścia tych filtrów dolnoprzepustowych są wejściami do innego detektora fazy, którego wyjście przechodzi przez filtr redukcji szumów, zanim zostanie użyte do sterowania oscylatorem sterowanym napięciem. Ogólna odpowiedź pętli jest kontrolowana przez dwa indywidualne filtry dolnoprzepustowe, które poprzedzają detektor trzeciej fazy, podczas gdy trzeci filtr dolnoprzepustowy pełni trywialną rolę pod względem wzmocnienia i marginesu fazy.

Powyższy rysunek pętli Costas jest rysowany w stanie „zablokowania”, w którym częstotliwość VCO i częstotliwość nośna przychodzącej stały się takie same w wyniku procesu pętli Costasa. Rysunek nie przedstawia stanu „odblokowanego”.

Modele matematyczne

W domenie czasu

Model w dziedzinie czasu pętli BPSK Costas

W najprostszym przypadku . Dlatego nie wpływa na wejście filtra redukcji szumów. Sygnały oscylatora sterowanego nośną i napięciem (VCO) są okresowymi oscylacjami o wysokich częstotliwościach . Blok jest mnożnikiem analogowym . ${\ Displaystyle m ^ {2} (t) = 1}$ ${\ Displaystyle m ^ {2} (t) = 1}$ $f_{ref,vco}(\theta_{ref,vco}(t))$ ${\dot {\theta}}_{ref,vco}(t)$ $\bigotimes$

Z matematycznego punktu widzenia filtr liniowy można opisać układem liniowych równań różniczkowych

{\ Displaystyle {\ zacznij {tablica} {ll} {\ kropka {x}} = Ax + bu_ {d} (t), i u_ {LF} = c ^ {*} x. \ koniec {tablica}}}

Tutaj jest macierzą stałą, wektorem stanu filtra i wektorami stałymi. ${\ Displaystyle A}$ $x(t)$ $b$ $c$

Zazwyczaj zakłada się, że model VCO jest liniowy

{\ Displaystyle {\ zacząć {tablica} {ll} {\ kropka {\ theta}} _ {vco} (t) = \ omega _ {vco} ^ {wolny} + K_ {vco} u_ {LF} (t) ,&t\w [0,T],\end{tablica}}}

gdzie jest częstotliwością swobodnego działania oscylatora sterowanego napięciem i jest wzmocnieniem oscylatora. Podobnie można rozważyć różne nieliniowe modele VCO. ${\ Displaystyle \ omega _ {vco} ^ {darmowy}}$ ${\ Displaystyle K_ {vco}}$

Załóżmy, że częstotliwość generatora głównego jest stała Równanie VCO i równanie wydajności filtra ${\ Displaystyle {\ kropka {\ theta}} _ {ref} (t) \ równoważnik \ omega _ {ref}.}$

{\ Displaystyle {\ rozpocznij tablicę {ll} {\ kropka {x}} = Ax + bf_ {ref} (\ theta _ {ref} (t)) f_ {vco} (\ theta _ {vco} (t )),&{\dot {\theta }}_{vco}=\omega _{vco}^{bezpłatny}+K_{vco}c^{*}x.\end{array}}}

System jest nieautonomiczny i raczej trudny do zbadania.

W dziedzinie częstotliwości fazowej

Równoważny model domeny częstotliwości i fazy pętli Costas

Wejście VCO dla modelu domeny fazowo-częstotliwościowej pętli Costas

W najprostszym przypadku, kiedy

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} f_ {ref} \ duży (} \ theta _ {ref} (t) {\ duży )} = \ cos {\ duży (} \ omega _ {ref} t {\ duży )},\ f_{vco}{\big (}\theta _{vco}(t){\big )}&=\sin {\big (}\theta _{vco}(t){\big )} \\f_{ref}{\big (}\theta _{ref}(t){\big )}^{2}f_{vco}\left(\theta _{vco}(t)\right)f_{ vco}\left(\theta _{vco}(t)-{\frac {\pi }{2}}\right)&=-{\frac {1}{8}}{\Big (}2\sin (2\theta _{vco}(t))+\sin(2\theta _{vco}(t)-2\omega _{ref}t)+\sin(2\theta _{vco}(t) +2\omega _{ref}t){\duży )}\end{wyrównany}}}

standardowe założenie inżynierskie jest takie, że filtr usuwa górną wstęgę boczną z częstotliwością z wejścia, ale pozostawia dolną wstęgę bez zmian. Tak więc zakłada się, że wejście VCO jest To sprawia, że pętla Costasa jest równoważna pętli fazowej z charakterystyką detektora fazy odpowiadającą poszczególnym przebiegom oraz sygnałom wejściowym i VCO. Można wykazać, że wyjścia filtrów w domenie czasu i częstotliwości fazowej są prawie równe. ${\ Displaystyle \ varphi (\ theta _ {ref} (t) - \ theta _ {vco} (t)) = {\ Frac {1} {8}} \ sin (2 \ omega _ {ref} t-2 \theta _{vco}(t)).}$ $\varphi (\theta)$ $f_{ref}(\theta)$ $f_{vco}(\theta)$

W ten sposób można badać prostszy autonomiczny układ równań różniczkowych

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ kropka {x}} i = topór + b \ varphi (\ delta \ theta), \ \ \ delta {\ kropka {\ theta}} i = \ omega _ {vco} ^{free}-\omega _{ref}+K_{vco}c^{*}x,\\\Delta \theta &=\theta _{vco}-\theta _{ref}.\end{aligned} }}

.

Metoda uśredniania Kryłowa-Bogoliubowa pozwala na udowodnienie, że rozwiązania równań nieautonomiczne i autonomicznych są blisko w pewnych założeń. W ten sposób schemat blokowy pętli Costasa w przestrzeni czasowej może być asymptotycznie zmieniony na schemat blokowy na poziomie relacji fazowo-częstotliwościowych.

Przejście do analizy autonomicznego modelu dynamicznego pętli Costasa (w miejsce nieautonomicznego) pozwala przezwyciężyć trudności związane z modelowaniem pętli Costasa w dziedzinie czasu, gdzie trzeba jednocześnie obserwować bardzo szybką skalę czasową sygnałów wejściowych i powolna skala czasowa fazy sygnału. Ta idea umożliwia obliczenie podstawowych charakterystyk wydajnościowych — zakresów utrzymania, wciągania i blokowania .

Akwizycja częstotliwości

Pętla Costasa przed synchronizacją

Pętla Costas po synchronizacji

Sygnały Carrier i VCO przed synchronizacją

Wejście VCO podczas synchronizacji

Sygnały Carrier i VCO po synchronizacji

Klasyczna pętla Costasa będzie działać w kierunku sprawienia, aby różnica faz między przewoźnikiem a VCO stała się małą, najlepiej zerową wartością. Mała różnica faz oznacza, że osiągnięto blokadę częstotliwości.

Pętla QPSK Costas

Klasyczna pętla Costasa może być dostosowana do modulacji QPSK dla wyższych szybkości transmisji danych.

Klasyczna pętla QPSK Costas

Sygnał wejściowy QPSK jest następujący

{\ Displaystyle m_ {1} (t) \ cos \ lewo (\ omega _ {\ tekst {ref}} t \ po prawej) + m_ {2} (t) \ sin \ lewo (\ omega _ {\ tekst {ref }}t\prawo),m_{1}(t)=\pm 1,m_{2}(t)=\pm 1.}

Wejścia filtrów dolnoprzepustowych LPF1 i LPF2 są

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ varphi _ {1} (t) & = \ cos \ lewo (\ theta _ {\ tekst {vco}} \ po prawej) \ lewo (m_ {1} (t) \ cos) \left(\omega _{\text{ref}}t\right)+m_{2}(t)\sin \left(\omega _{\text{ref}}t\right)\right),\\ \varphi _{2}(t)&=\sin \left(\theta _{\text{vco}}\right)\left(m_{1}(t)\cos \left(\omega _{\text {ref}}t\right)+m_{2}(t)\sin \left(\omega _{\text{ref}}t\right)\right).\end{aligned}}}

Po synchronizacji wyjścia LPF1 i LPF2 są używane do uzyskania zdemodulowanych danych ( i ). Aby dostosować częstotliwość VCO do sygnałów częstotliwości odniesienia i przejść przez ograniczniki i zwielokrotnić: ${\ Displaystyle Q (t)}$ ${\ Displaystyle I (t)}$ $m_{1}(t)$ $m_{2}(t)$ ${\ Displaystyle Q (t)}$ ${\ Displaystyle I (t)}$

{\ Displaystyle u_ {d} (t) = ja (t) \ nazwa operatora {sgn} (Q (t)) - Q (t) \ nazwa operatora {sgn} (I (t)).}

Następnie sygnał jest filtrowany przez filtr Loop i tworzy sygnał strojenia dla VCO podobnie jak w pętli BPSK Costas. Zatem QPSK Costas można opisać za pomocą systemu ODE ${\ Displaystyle u_ {d} (t)}$ ${\ Displaystyle u_ {\ tekst {LF}} (t)}$

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {\ kropka {x}} _ {1} i = A_ {\ tekst {LPF}} x_ {1} + b_ {\ tekst {LPF}} \ varphi _ {1} ( t),\\{\dot {x}}_{2}&=A_{\text{LPF}}x_{2}+b_{\text{LPF}}\varphi _{2}(t),\ \{\dot {x}}&=A_{\text{LF}}x+b_{\text{LF}}\left(c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}\nazwa operatora { sgn} \left(c_{\text{LPF}}^{*}x_{2}\right)-c_{\text{LPF}}^{*}x_{2}\operatorname {sgn} \left(c_ {\text{LPF}}^{*}x_{1}\right)\right),\\{\dot {\theta }}_{\text{vco}}&=\omega _{\text{vco }}^{\text{wolny}}+K_{\text{VCO}}\left(c_{\text{LF}}^{*}x+h\left(c_{\text{LPF}}^{ *}x_{1}\operatorname {sgn} \left(c_{\text{LPF}}^{*}x_{2}\right)-c_{\text{LPF}}^{*}x_{2} \operatorname {sgn} \left(c_{\text{LPF}}^{*}x_{1}\right)\right)\right).\\\end{aligned}}}

Tutaj - parametry LPF1 i LPF2 oraz - parametry filtra pętli. ${\ Displaystyle A_ {\ tekst {LPF}}, b_ {\ tekst {LPF}}, c_ {\ tekst {LPF}}}$ ${\ Displaystyle A_ {\ tekst {LF}}, b_ {\ tekst {LF}}, c_ {\ tekst {LF}}, h_ {\ tekst {LF}}}$