Krytyka niestandardowej analizy - Criticism of nonstandard analysis

Niestandardowa analiza i jej odgałęzienie, niestandardowy rachunek różniczkowy , zostały skrytykowane przez kilku autorów, w szczególności Erretta Bishopa , Paula Halmosa i Alaina Connesa . Te krytyczne uwagi zostały przeanalizowane poniżej.

Wprowadzenie

Ocena analiz niestandardowych w literaturze jest bardzo zróżnicowana. Paul Halmos opisał to jako specjalny techniczny rozwój logiki matematycznej. Terence Tao podsumował zalety hiperrzeczywistych ram, zauważając, że

pozwala na rygorystyczne manipulowanie takimi rzeczami, jak „zbiór wszystkich małych liczb” lub rygorystyczne mówienie takich rzeczy jak „η 1 jest mniejsze niż wszystko, co obejmuje η 0 ”, jednocześnie znacznie redukując problemy z zarządzaniem epsilon poprzez automatyczne ukrywanie wielu kwantyfikatorów w swój argument.

—  Terence Tao, „Struktura i losowość” , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne (2008)

Charakter krytyki nie jest bezpośrednio związany z logicznym statusem wyników udowodnionych za pomocą niestandardowej analizy. Jeśli chodzi o konwencjonalne podstawy matematyczne w logice klasycznej, takie wyniki są całkiem akceptowalne. Niestandardowa analiza Abrahama Robinsona nie wymaga żadnych aksjomatów poza teorią mnogości Zermelo-Fraenkla (ZFC) (co wyraźnie pokazuje ultramocowa konstrukcja hiperrzeczywistych Wilhelma Luxemburga ), podczas gdy jej wariant Edwarda Nelsona , znany jako wewnętrzna teoria mnogości , jest Podobnie konserwatywny przedłużenie od ZFC . Daje pewność, że nowość niestandardowej analizy jest wyłącznie strategią dowodową, a nie zakresem wyników. Co więcej, niestandardowa analiza teorii modeli, na przykład oparta na superstrukturach, która jest obecnie powszechnie stosowanym podejściem, nie wymaga żadnych nowych aksjomatów teorii mnogości poza tymi z ZFC.

Kontrowersje pojawiły się w kwestiach pedagogiki matematycznej. Również niestandardowa analiza, jaka została opracowana, nie jest jedynym kandydatem do spełnienia celów teorii nieskończenie małych (patrz Smooth nieskończenie mała analiza ). Philip J. Davis napisał w recenzji książki Left Back: A Century of Failed School Reforms autorstwa Diane Ravitch:

Istniał niestandardowy ruch analityczny do nauczania rachunku podstawowego. Jego akcje nieco wzrosły, zanim ruch upadł z wewnętrznej złożoności i niewielkiej konieczności.

Niestandardowy rachunek różniczkowy w klasie został przeanalizowany w badaniu K. Sullivana szkół w rejonie Chicago, co znalazło odzwierciedlenie w literaturze przedmiotu Wpływ analizy niestandardowej . Sullivan wykazał, że studenci uczestniczący w niestandardowym kursie analizy byli w stanie lepiej zinterpretować sens formalizmu matematycznego rachunku różniczkowego niż grupa kontrolna przestrzegająca standardowego programu nauczania. Zauważył to również Artigue (1994), s. 172; Chihara (2007); i Daubena (1988).

Krytyka biskupa

W opinii Erretta Bishopa matematyka klasyczna, obejmująca podejście Robinsona do niestandardowej analizy, była niekonstruktywna, a zatem pozbawiona znaczenia liczbowego ( Feferman 2000 ). Bishop był szczególnie zaniepokojony wykorzystaniem niestandardowej analizy w nauczaniu, o czym mówił w swoim eseju „Kryzys w matematyce” ( Biskup 1975 ). W szczególności po omówieniu formalistycznego programu Hilberta napisał:

Nowszą próbą matematyki przez finezję formalną jest analiza niestandardowa. Domyślam się, że spotkało się to z pewnym sukcesem, czy kosztem dostarczenia znacznie mniej znaczących dowodów, nie wiem. Moje zainteresowanie analizą niestandardową polega na tym, że podejmowane są próby wprowadzenia jej na zajęcia z rachunku różniczkowego. Aż trudno uwierzyć, że deprecjonowanie sensu mogło dojść do tej pory.

Katz i Katz (2010) zwracają uwagę, że matematycy i historycy biorący w nim udział wypowiadali się krytycznie po przemówieniu Bishopa „Crisis” podczas warsztatów American Academy of Arts and Sciences w 1974 roku. Obniżenie teorii Robinsona przez Bishopa . Katz i Katz zwracają uwagę, że niedawno wyszło na jaw, że Bishop w rzeczywistości nie powiedział ani słowa na temat teorii Robinsona na warsztatach, a jedynie dodał swoją poniżającą uwagę na etapie publikacji w kambuzie. Pomaga to wyjaśnić brak krytycznych reakcji na warsztatach. Katz & Katz konkludują, że rodzi to kwestie uczciwości ze strony Bishopa, którego opublikowany tekst nie informuje o tym, że komentarz „poniżający” został dodany na etapie kuchni i dlatego nie został usłyszany przez uczestników warsztatów, co stwarza fałszywe wrażenie, że nie zgodził się z komentarzami.

J. Dauben zauważył, że Bishop postrzegał wprowadzenie niestandardowej analizy w klasie jako „poniżanie znaczenia”. Pojęcie to zostało wyjaśnione przez Bishopa (1985, s. 1) w tekście Schizofrenia we współczesnej matematyce (po raz pierwszy rozpowszechniony w 1973) w następujący sposób:

Krytyka Brouwera dotycząca matematyki klasycznej dotyczyła tego, co będę nazywał „poniżeniem znaczenia”.

Tak więc Bishop najpierw zastosował termin „obniżanie znaczenia” do matematyki klasycznej jako całości, a później zastosował go do nieskończenie małych liczb Robinsona w klasie. W swoim Foundations of Constructive Analysis (1967, strona ix) Bishop napisał:

Nasz program jest prosty: nadać znaczenie liczbowe jak największej ilości klasycznej analizy abstrakcyjnej. Naszą motywacją jest znany skandal, bardzo szczegółowo ujawniony przez Brouwera (i innych), że klasyczna matematyka ma braki w znaczeniu liczbowym.

Uwagi biskupa poparte są dyskusją po jego wykładzie:

  • George Mackey (Harvard): „Nie chcę myśleć o tych pytaniach. Wierzę, że to, co robię, będzie miało jakiś sens…”.
  • Garrett Birkhoff (Harvard): „...Myślę, że właśnie do tego nalega Bishop. Powinniśmy śledzić nasze założenia i zachować otwarty umysł”.
  • Shreeram Abhyankar: (Purdue): „Moja gazeta całkowicie zgadza się ze stanowiskiem Bishopa”.
  • JP Kahane (U. de Paris): „…Muszę szanować pracę Bishopa, ale uważam, że jest nudna…”
  • Bishop (UCSD): „Większość matematyków uważa, że ​​matematyka ma znaczenie, ale nudzą ich, gdy próbują dowiedzieć się, co to jest…”.
  • Kahane: „Czuję, że uznanie Bishopa ma większe znaczenie niż mój brak uznania”.

Recenzja biskupa

Bishop zrecenzował książkę Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach autorstwa Howarda Jerome'a ​​Keislera , w której przedstawiono rachunek elementarny przy użyciu metod analizy niestandardowej. Bishop został wybrany przez swojego doradcę Paula Halmosa do recenzji książki. Przegląd ukazał się w Biuletynie Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego w 1977 roku. Do artykułu przywołuje się David O. Tall ( Tall 2001 ), omawiając zastosowanie analizy niestandardowej w edukacji. Wysoki napisał:

Użycie aksjomatu wyboru w podejściu niestandardowym wywołuje jednak skrajną krytykę ze strony takich, jak Bishop (1977), który nalegał na jednoznaczne konstruowanie pojęć w tradycji intuicjonistycznej.

Recenzja Bishopa dostarczyła kilka cytatów z książki Keislera, takich jak:

W 1960 roku Robinson rozwiązał trzystuletni problem, podając precyzyjne traktowanie nieskończenie małych. Osiągnięcie Robinsona będzie prawdopodobnie zaliczane do największych osiągnięć matematycznych XX wieku.

i

Omawiając rzeczywistą linię zauważyliśmy, że nie mamy możliwości dowiedzenia się, jak naprawdę wygląda linia w przestrzeni fizycznej. To może być jak hiperrzeczywista linia, prawdziwa linia lub żadna. Jednak w zastosowaniach rachunku różniczkowego pomocne jest wyobrażenie linii w przestrzeni fizycznej jako linii hiperrzeczywistej.

Recenzja skrytykowała tekst Keislera za brak dowodów na poparcie tych twierdzeń oraz za przyjęcie podejścia aksjomatycznego, gdy nie było jasne dla studentów, że istnieje jakikolwiek system, który spełniałby aksjomaty ( Tall 1980 ). Przegląd zakończył się w następujący sposób:

Komplikacje techniczne wprowadzone przez podejście Keislera mają niewielkie znaczenie. Prawdziwa szkoda leży w zaciemnieniu [Keislera] i dewitalizacji tych wspaniałych idei [standardowego rachunku różniczkowego]. Żadne odwołanie się do Newtona i Leibniza nie będzie usprawiedliwiało rozwijania rachunku różniczkowego za pomocą aksjomatów V* i VI* – na tej podstawie, że zwykła definicja granicy jest zbyt skomplikowana!

i

Chociaż wydaje się to daremne, zawsze mówię moim studentom rachunku różniczkowego, że matematyka nie jest ezoteryką: to zdrowy rozsądek. (Nawet osławiona definicja granicy (ε, δ) jest zdrowa , a ponadto ma kluczowe znaczenie dla ważnych praktycznych problemów aproksymacji i szacowania). Nie wierzą mi. W rzeczywistości pomysł sprawia, że ​​czują się niekomfortowo, ponieważ jest sprzeczny z ich wcześniejszym doświadczeniem. Teraz mamy tekst rachunku różniczkowego, który można wykorzystać do potwierdzenia ich doświadczenia z matematyką jako ezoterycznym i bezsensownym ćwiczeniem technicznym.

Odpowiedzi

W swojej odpowiedzi w The Notices Keisler (1977, s. 269) zapytał:

dlaczego Paul Halmos The Bulletin recenzja książki redaktor wybierz konstruktywistycznej jako użytkownika?

Porównując użycie prawa wykluczonego środka (odrzucanego przez konstruktywistów) do wina, Keisler porównał wybór Halmosa do „wybrania abstynenta do spróbowania wina”.

Recenzja książki Bishopa została następnie skrytykowana w tym samym czasopiśmie przez Martina Davisa , który napisał na s. 1008 Davisa (1977) :

Książka Keislera jest próbą przywrócenia intuicyjnie sugestywnych metod Leibniza, które do niedawna dominowały w nauczaniu rachunku różniczkowego i które nigdy nie zostały odrzucone w częściach matematyki stosowanej. Czytelnik recenzji książki Keislera autorstwa Erretta Bishopa nie wyobraża sobie, że to właśnie próbował zrobić Keisler, ponieważ recenzja nie omawia ani celów Keislera, ani stopnia, w jakim jego książka je realizuje.

Davis dodał (s. 1008), że Bishop wyraził swoje zastrzeżenia his

bez informowania czytelników o konstruktywistycznym kontekście, w którym przypuszczalnie należy rozumieć ten zarzut.

Fizyk Vadim Komkov (1977, s. 270) napisał:

Bishop jest jednym z czołowych badaczy opowiadających się za konstruktywnym podejściem do analizy matematycznej. Trudno jest konstruktywiście sympatyzować z teoriami zastępującymi liczby rzeczywiste przez hiperrealne .

Niezależnie od tego, czy niestandardową analizę można przeprowadzić konstruktywnie, Komkov dostrzegł fundamentalną troskę ze strony Bishopa.

Filozof matematyki Geoffrey Hellman (1993, s. 222) napisał:

Niektóre uwagi Bishopa (1967) sugerują, że jego stanowisko należy do kategorii [radykalnego konstruktywizmu]…

Historyk matematyki Joseph Dauben przeanalizował krytykę Bishopa w (1988, s. 192). Po wywołaniu „sukcesu” niestandardowej analizy

na najbardziej elementarnym poziomie, na którym można go wprowadzić, a mianowicie, na którym po raz pierwszy uczy się rachunku różniczkowego,

Dauben stwierdził:

istnieje również głębszy poziom znaczenia, na którym operuje niestandardowa analiza.

Dauben wspomniał o „imponujących” aplikacjach w

fizyki, zwłaszcza teorii kwantowej i termodynamiki , oraz w ekonomii , gdzie badanie ekonomii wymiany było szczególnie podatne na niestandardowe interpretacje.

Na tym „głębszym” poziomie znaczenia, Dauben podsumował:

Poglądy Bishopa można zakwestionować i wykazać, że są tak samo bezpodstawne, jak jego zastrzeżenia wobec niestandardowej analizy pedagogicznej.

Wielu autorów komentowało ton recenzji książki Bishopa. Artigue (1992) opisał go jako zjadliwy ; Dauben (1996), jako witriol ; Davis i Hauser (1978), jako wrogo nastawieni ; Wysoki (2001), jako ekstremalny .

Ian Stewart (1986) porównał prośbę Halmosa z prośbą Bishopa o zrecenzowanie książki Keislera z zaproszeniem Margaret Thatcher do zrecenzowania Das Kapital .

Katz i Katz (2010) zwracają uwagę, że

Bishop krytykuje jabłka za to, że nie są pomarańczami: krytyk (Bishop) i krytykowany (niestandardowa analiza Robinsona) nie mają wspólnych podstawowych ram.

Ponadto zauważają, że

Zaabsorbowanie Bishopa wykorzenieniem prawa wykluczonego środka doprowadziło go do krytyki matematyki klasycznej jako całości w równie zjadliwy sposób, jak jego krytyka analizy niestandardowej.

G. Stolzenberg odpowiedział Keisler za Zawiadomienia krytykę opinii biskupa w liście, również opublikowany w zawiadomieniach. Stolzenberg argumentuje, że krytyka recenzji Bishopa na temat książki Keislera z rachunkiem różniczkowym opiera się na fałszywym założeniu, że zostały one dokonane w konstruktywistycznym nastawieniu, podczas gdy Stolzenberg uważa, że ​​Bishop odczytał ją tak, jak miała być czytana: w klasycznym sposobie myślenia.

Krytyka Connesa

W „Brisure de symétrie spontanée et géométrie du point de vue spectral”, Journal of Geometry and Physics 23 (1997), 206-234, Alain Connes napisał:

„Odpowiedź udzielona przez niestandardową analizę, a mianowicie niestandardową liczbę rzeczywistą, jest równie rozczarowująca: każda niestandardowa liczba rzeczywista kanonicznie wyznacza niemierzalny (Lebesgue) podzbiór przedziału [0, 1], tak że jest to niemożliwe (Stern , 1985) wykazać pojedynczą [niestandardową liczbę rzeczywistą]. Proponowany przez nas formalizm da na to pytanie merytoryczną i obliczalną odpowiedź”.

W swoim artykule z 1995 roku „Nieprzemienna geometria i rzeczywistość” Connes rozwija rachunek nieskończenie małych oparty na operatorach w przestrzeni Hilberta. Następnie „wyjaśnia, dlaczego formalizm analizy niestandardowej jest nieadekwatny” do jego celów. Connes zwraca uwagę na trzy aspekty hiperrzeczywistych Robinsona:

(1) niestandardowa hiperrzeczywistość „nie może być wystawiona” (podanym powodem jest jego związek z niemierzalnymi zbiorami);

(2) „praktyczne użycie takiego pojęcia ogranicza się do obliczeń, w których końcowy wynik jest niezależny od dokładnej wartości powyższej nieskończenie małej. W ten sposób wykorzystuje się niestandardowe analizy i ultraprodukty […]”.

(3) hiperrzeczywiste są przemienne.

Katz i Katz analizują krytykę Connesa dotyczącą niestandardowej analizy i kwestionują konkretne twierdzenia (1) i (2). W odniesieniu do (1), własne nieskończenie małe Connesa podobnie opierają się na niekonstruktywnym materiale podstawowym, takim jak istnienie śladu Dixmiera . W odniesieniu do (2) Connes przedstawia niezależność wyboru nieskończenie małej jako cechę własnej teorii.

Kanovei i in. (2012) analizują twierdzenie Connesa, że ​​niestandardowe liczby są „chimeryczne”. Zauważają, że treścią jego krytyki jest to, że ultrafiltry są „chimeryczne”, i zwracają uwagę, że Connes wykorzystywał ultrafiltry w zasadniczy sposób we wcześniejszych pracach nad analizą funkcjonalną. Analizują twierdzenie Connesa, że ​​teoria hiperrealistyczna jest jedynie „wirtualna”. Odniesienia Connesa do pracy Roberta Solovay sugerują, że Connes zamierza krytykować hiperrealne za rzekomo niedefiniowalne. Jeśli tak, to twierdzenie Connesa dotyczące hiperrzeczywistych jest ewidentnie błędne, biorąc pod uwagę istnienie definiowalnego modelu hiperrzeczywistych skonstruowanego przez Vladimira Kanoveia i Saharona Shelaha (2004). Kanovei i in. (2012) dostarczają również chronologiczną tabelę coraz bardziej jadowitych epitetów stosowanych przez Connesa do oczerniania niestandardowej analizy w okresie od 1995 do 2007 roku, zaczynając od „nieadekwatnych” i „rozczarowujących”, a kończąc na „końcu drogi do bycia „wyraźnym” ”.

Katz i Leichtnam (2013) zauważają, że „dwie trzecie krytyki Connesa dotyczącej nieskończenie małego podejścia Robinsona można uznać za niespójne, w konkretnym sensie braku spójności z tym, co Connes pisze (z aprobatą) o swoim nieskończenie małym podejściu”.

Uwagi Halmosa

Paul Halmos pisze w „Invariant subspaces”, American Mathematical Monthly 85 (1978) 182-183 następująco:

„rozszerzenie na operatory wielomianowo zwarte uzyskali Bernstein i Robinson (1966). Przedstawili swoje wyniki w języku metamatematycznym zwanym analizą niestandardową, ale, jak szybko się zorientowano, była to kwestia osobistych preferencji, a nie konieczności ”.

Halmos pisze w (Halmos 1985) następująco (s. 204):

Dowód Bernsteina-Robinsona [ niezmiennej hipotezy podprzestrzennej Halmosa] wykorzystuje niestandardowe modele języków predykatów wyższego rzędu, a kiedy [Robinson] wysłał mi swój przedruk, naprawdę musiałem się pocić, aby wskazać i przetłumaczyć jego matematyczny wgląd.

Komentując „rolę niestandardowej analizy w matematyce”, Halmos pisze (s. 204):

Dla niektórych innych[... matematyków], którzy są temu przeciwni (np. Errett Bishop ), jest to sprawa równie emocjonalna...

Halmos podsumowuje swoją dyskusję na temat niestandardowej analizy w następujący sposób (s. 204):

to specjalne narzędzie, zbyt wyjątkowe, a inne narzędzia mogą zrobić wszystko, co robi. To wszystko kwestia gustu.

Katz i Katz (2010) zauważają, że

Dążenie Halmosa do oceny teorii Robinsona mogło wiązać się z konfliktem interesów [...] Halmos zainwestował znaczną energię emocjonalną (i pot , jak to pamiętnie ujmuje w swojej autobiografii) w tłumaczenie wyników Bernsteina-Robinsona [...] [H]is tępe, niepochlebne komentarze wydają się z mocą wsteczną usprawiedliwiać jego translacyjną próbę odwrócenia wpływu jednego z pierwszych spektakularnych zastosowań teorii Robinsona.

Komentarze Bosa i Miedwiediewa

Historyk Leibniza Henk Bos (1974) przyznał, że hiperreale Robinsona zapewniają:

[a] wstępne wyjaśnienie, dlaczego rachunek może rozwijać się na niepewnej podstawie akceptacji nieskończenie małych i nieskończenie dużych ilości.

F. Miedwiediew (1998) dalej wskazuje, że

Analiza niestandardowa pozwala odpowiedzieć na delikatne pytanie, związane z wcześniejszymi podejściami do historii analizy klasycznej. Jeśli nieskończenie małe i nieskończenie wielkie wielkości są uważane za pojęcia niespójne, to w jaki sposób mogą one [d] służyć jako podstawa do budowy tak [wspaniałego] gmachu jednej z najważniejszych dyscyplin matematycznych?

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Linki zewnętrzne