Harmoniczna sześcienna - Cubic harmonic
W dziedzinach takich jak chemia obliczeniowa oraz fizyka ciała stałego i materii skondensowanej tak zwane orbitale atomowe lub orbitale spinowe , jak pojawiają się w podręcznikach fizyki kwantowej, są często częściowo zastępowane harmonicznymi sześciennymi z wielu powodów. W dziedzinie fizyki materii skondensowanej harmoniki te są zwykle nazywane harmonikami tesseralnymi, w których nazwa harmoniki kubiczne odnosi się raczej do reprezentacji nieredukowalnych w sześciennej grupie punktowej.
Wstęp
Wodór jak orbitali atomowych z głównego liczby kwantów i krętu liczby kwantów często wyraża się jako
w którym jest promieniową częścią funkcji falowej i jest częścią zależną od kąta. Są to harmoniczne sferyczne , będące rozwiązaniami operatora momentu pędu . Harmoniczne sferyczne są reprezentacjami funkcji pełnej grupy obrotowej SO(3) z symetrią obrotową. W wielu dziedzinach fizyki i chemii te sferyczne harmoniczne są zastępowane harmonijkami sześciennymi, ponieważ symetria obrotowa atomu i jego otoczenia jest zniekształcona lub ponieważ harmoniczne sześcienne oferują korzyści obliczeniowe.
Symetria i układ współrzędnych
W wielu przypadkach, zwłaszcza w chemii oraz fizyce ciała stałego i materii skondensowanej , badany układ nie ma symetrii obrotowej. Często ma jakąś niższą symetrię , ze specjalną reprezentacją grupy punktów , lub w ogóle nie ma symetrii przestrzennej . Układy biologiczne i biochemiczne , takie jak aminokwasy i enzymy, często należą do niskocząsteczkowych grup punktowych symetrii . Te stałe kryształy elementów często należą do grup przestrzennych i grup punktów o wysokiej symetrii. (Reprezentacje sześciennych harmonicznych są często wymieniane i przywoływane w tabelach grup punktów ). System ma przynajmniej stałą orientację w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej . Dlatego układ współrzędnych używany w takich przypadkach jest najczęściej kartezjańskim układem współrzędnych zamiast sferycznego układu współrzędnych . W kartezjańskim układzie współrzędnych orbitale atomowe są często wyrażane jako
z harmonicznych sześciennych , jako zestaw podstawa . Obliczenia LCAO i MO w chemii obliczeniowej lub obliczenia ścisłego wiązania w fizyce ciała stałego wykorzystują harmoniczne sześcienne jako podstawę orbity atomowej. Indeksy lc oznaczają pewien rodzaj reprezentacji kartezjańskiej.
Przekształcenia bazowe
Do reprezentacji sferycznych harmonicznych wybierany jest sferyczny układ współrzędnych z główną osią w kierunku z . Dla harmonicznych sześciennych ta oś jest również najwygodniejszym wyborem. Dla stanów o większej liczbie kwantowej momentu pędu i wyższym wymiarze liczby możliwych rotacji lub przekształceń bazowych w przestrzeni Hilberta rośnie, podobnie jak liczba możliwych reprezentacji ortogonalnych, które można zbudować na podstawie zbioru -wymiarowej harmoniki sferycznej. Istnieje większa swoboda wyboru reprezentacji, która pasuje do symetrii grupy punktów problemu. Przedstawione w tabeli reprezentacje sześcienne są wynikiem transformacji, która obejmuje obrót 2D o 45° i obrót o 90° względem osi rzeczywistej, jeśli to konieczne, np.
Znaczna część harmonicznych sferycznych jest zestawiona w Tabeli harmonicznych sferycznych .
Korzyści obliczeniowe
Przede wszystkim harmoniczne sześcienne są funkcjami rzeczywistymi , a sferyczne są funkcjami złożonymi . Liczby zespolone są dwuwymiarowe z częścią rzeczywistą i częścią urojoną. Liczby zespolone oferują bardzo ładne i skuteczne narzędzia do analitycznego rozwiązywania problemów matematycznych, ale nie są zbyt efektywne, gdy są używane do obliczeń numerycznych. Pominięcie części urojonej pozwala zaoszczędzić połowę wysiłku obliczeniowego w sumowaniu, współczynnik cztery w mnożeniach i często współczynniki osiem lub nawet więcej, jeśli chodzi o obliczenia dotyczące macierzy.
Harmoniczne sześcienne często pasują do symetrii potencjału lub otoczenia atomu. Powszechnym otoczeniem atomów w ciałach stałych i kompleksach chemicznych jest otoczenie oktaedryczne z oktaedryczną symetrią sześciennych grup punktowych . Reprezentacje sześciennych harmonicznych często mają wysoką symetrię i wielokrotność, więc operacje takie jak integracje można zredukować do ograniczonej lub nieredukowalnej części dziedziny funkcji, która ma być oceniana. Problem z 48-krotnie ośmiościenny O H symetrii można obliczyć znacznie szybciej, jeśli jeden granicach obliczenie, jak integracji do nieredukowalnego część domeny funkcji.
Tabela harmonicznych sześciennych
Orbitale s
Do S orbitale tylko promieniową część.
n=1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
R n0 |
Orbitale p
Te trzy p-orbitale są orbitali atomowych o o kątowym numer pęd kwantowej £ -l = 1 . Sześcienny wyraz harmoniczny p-orbitali
z
p z | p x | P r |
---|---|---|
Orbitale d
W pięć dni orbitalami są orbitali atomowych o o kątowym numer pęd kwantowej £ -l = 2 . Kątowa część kwasu D-orbitali często wyrażone jak
Kątowa część kwasu D-orbitali są harmoniczne sześciennych
z
d z 2 | d xz | d yz | d xy | d x 2 -y 2 |
---|---|---|---|---|
F-orbitale
Te siedem F orbitale są orbitali atomowych o o kątowym numer pęd kwantowej £ -l = 3 . często wyrażane jak
Kątowa część F-orbitali są harmoniczne sześciennych . W wielu przypadkach różne kombinacje liniowe sferycznych harmonicznych są wybierane do budowy sześciennego zbioru bazowego f-orbitalnego.
z
f oo 3 | f Xz 2 | f yz 2 | f xyz | fz (x 2 -y 2 ) | F (x x 2 -3y 2 ) | f y(3x 2 - y 2 ) |
---|---|---|---|---|---|---|