Czworokąt cykliczny - Cyclic quadrilateral

Przykłady cyklicznych czworokątów

W geometrii euklidesowej , w cyklicznej czworokąta lub WPISUJE czworoboku jest A czworoboku , którego wierzchołki wszystkich leżą na jednym okręgu . Ten krąg jest nazywany circumcircle lub Okrąg opisany na wielokącie , a wierzchołki są uważane concyclic . Środek okręgu i jego promień nazywane są circumcenter i circumradius odpowiednio. Inne nazwy tych czworokątów to czworobok koncykliczny i czworokąt akordowy , te ostatnie, ponieważ boki czworokąta są akordami okręgu opisanego. Zazwyczaj przyjmuje się, że czworokąt jest wypukły , ale zdarzają się również czworokąty cykliczne skrzyżowane. Poniższe wzory i właściwości obowiązują w przypadku wypukłym.

Słowo cykliczny pochodzi ze starożytnego greckiego κύκλος ( kuklos ), co oznacza „koło” lub „koło”.

Wszystkie trójkąty mają okrąg opisany , ale nie wszystkie czworoboki mają. Przykładem czworoboku, który nie może być cykliczny, jest romb niekwadratowy . Poniższa charakterystyka przekroju określa, jakie konieczne i wystarczające warunki musi spełniać czworokąt, aby mieć okrąg opisany.

Przypadki specjalne

Każdy kwadrat , prostokąt , trapez równoramienny lub antyrównoległy jest cykliczny. Latawiec jest cykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy ma dwa kąty proste. Bicentric czworoboku jest cyklicznym czworoboku, który jest styczny i ex bicentric czworoboku jest cyklicznym czworoboku, który jest również były styczne . Harmonicznej czworoboku jest cyklicznym czworoboku, w którym iloczyn długości przeciwległych boków są równe.

Charakterystyki

Cykliczny czworokąt ABCD

Centrum obwodowe

Wypukły czworokąt jest cykliczny wtedy i tylko wtedy, gdy cztery prostopadłe do boków są zbieżne . Ten wspólny punkt to obwódka okrągła .

Kąty uzupełniające

Wypukły czworokąt $ABCD$ jest cykliczny wtedy i tylko wtedy, gdy jego przeciwne kąty są uzupełniające , czyli

{\ Displaystyle \ alfa + \ gamma = \ beta + \ delta = \ pi \ {\ tekst {radiany}} \ (= 180 ^ {\ circ}).}

Bezpośrednią twierdzenie było Proposition 22 w Księdze 3 Euclid „s Elements . Równoważnie wypukły czworokąt jest cykliczny wtedy i tylko wtedy, gdy każdy kąt zewnętrzny jest równy przeciwnemu kątowi wewnętrznemu .

W 1836 Duncan Gregory uogólnił ten wynik w następujący sposób: Biorąc pod uwagę dowolny wypukły cykliczny 2 n- gon, wtedy obie sumy naprzemiennych kątów wewnętrznych są równe ( n -1) . $\pi$

Biorąc stereograficzną projekcję (styczną półkątową) każdego kąta, można to ponownie wyrazić,

{\frac {\tan {\frac {\alfa}{2}}+\tan {\frac {\gamma}{2}}}{1-\tan {\frac {\alfa}{2} }\tan {\frac {\gamma }{2}}}}={\frac {\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\delta }{2}}}{ 1-\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\delta }{2}}}}=\infty .

Co oznacza, że

\tan {\frac {\alfa}{2}}\tan {\frac {\gamma}{2}}=\tan {\frac {\beta}{2}}{\tan {\frac { \delta }{2}}}=1

Kąty między bokami i przekątnymi

Wypukły czworokąt $ABCD$ jest cykliczny wtedy i tylko wtedy, gdy kąt między bokiem a przekątną jest równy kątowi między przeciwległym bokiem a drugą przekątną. Czyli na przykład

{\ Displaystyle \ kąt ACB = \ kąt ADB.}

Punkty Pascala

ABCD to cykliczny czworobok. E jest punktem przecięcia przekątnych a F jest punktem przecięcia przedłużeń boków BC i AD . jest okręgiem, którego średnica jest segmentem, EF . P i Q to punkty Pascala utworzone przez okrąg . Trójkąty FAB i FCD są podobne.

{\ Displaystyle \ omega}

{\ Displaystyle \ omega}

Innymi koniecznymi i wystarczającymi warunkami, aby wypukły czworokąt $ABCD$ był cykliczny, to: niech $E$ będzie punktem przecięcia przekątnych, $F$ będzie punktem przecięcia przedłużeń boków $AD$ i $BC$ , niech będzie okręgiem o średnicy równej średnicy odcinek, $EF$ i niech $P$ i $Q$ będą punktami Pascala na bokach $AB$ i $CD$ utworzonych przez okrąg . (1) $ABCD$ jest czworokątem cyklicznym wtedy i tylko wtedy, gdy punkty $P$ i $Q$ są współliniowe ze środkiem $O$ koła . (2) $ABCD$ jest czworokątem cyklicznym wtedy i tylko wtedy, gdy punkty $P$ i $Q$ są środkami boków $AB$ i $CD$ . ${\ Displaystyle \ omega}$ ${\ Displaystyle \ omega}$
${\ Displaystyle \ omega}$

Przecięcie przekątnych

Jeżeli dwie linie, jedna zawierająca odcinek $AC$ i druga zawierająca odcinek $BD$ , przecinają się w punkcie $E$ , to cztery punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ są koncykliczne wtedy i tylko wtedy, gdy

{\ Displaystyle \ Displaystyle AE \ cdot EC = BE \ cdot ED.}

Przecięcie $E$ może być wewnętrzne lub zewnętrzne w stosunku do okręgu. W pierwszym przypadku czworokąt cykliczny to $ABCD$ , aw drugim przypadku czworokąt cykliczny to $ABDC$ . Gdy przecięcie jest wewnętrzne, równość stanowi, że iloczyn długości segmentów, na które dzieli jedną przekątną $E,$ jest równy iloczynowi drugiej przekątnej. Jest to znane jako twierdzenie o przecinających się cięciwach, ponieważ przekątne czworokąta cyklicznego są cięciwami okręgu opisanego.

Twierdzenie Ptolemeusza

Twierdzenie Ptolemeusza wyraża iloczyn długości dwóch przekątnych $e$ i $f$ cyklicznego czworoboku równy sumie iloczynów przeciwległych boków:

\displaystyle ef=ac+bd

, gdzie a, b, c, d są długościami boków w kolejności.

Odwrotne jest prawdziwe. Oznacza to, że jeśli to równanie jest spełnione w czworoboku wypukłym, powstaje czworokąt cykliczny.

Trójkąt ukośny

ABCD to cykliczny czworobok. EFG to ukośny trójkąt ABCD . Punkt T przecięcia bimedianów ABCD należy do dziewięciopunktowego okręgu EFG .

We wypukłym czworoboku $ABCD$ niech $EFG$ będzie trójkątem przekątnym $ABCD$ i niech będzie dziewięciopunktowym okręgiem $EFG$ . $ABCD$ jest cykliczny wtedy i tylko wtedy, gdy punkt przecięcia bimedianów $ABCD$ należy do okręgu dziewięciopunktowego . ${\ Displaystyle \ omega}$ ${\ Displaystyle \ omega}$

Powierzchnia

Obszar $K$ cyklicznego czworoboku o bokach , $b$ , $c$ , $d$ jest przez wzorze Brahmagupta za

{\ Displaystyle K = {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (sd)}} \,}

gdzie $s$ , półobwód , to $s =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} 1/2( a + b + c + d )$ . Jest to konsekwencją o wzorze Bretschneider jest w ogólnym kształcie czworoboku, ponieważ przeciwne kąty są uzupełniające w przypadku cyklicznej. Jeśli również $d = 0$ , cykliczny czworokąt staje się trójkątem i wzór sprowadza się do wzoru Herona .

Cykliczny czworokąt ma maksymalną powierzchnię spośród wszystkich czworokątów o tej samej długości boków (niezależnie od kolejności). To kolejny wniosek z formuły Bretschneidera. Można to również udowodnić za pomocą rachunku różniczkowego .

Cztery nierówne długości, każda mniejsza niż suma pozostałych trzech, są bokami każdego z trzech nieprzystających czworoboków cyklicznych, które według wzoru Brahmagupty mają tę samą powierzchnię. W szczególności, w przypadku boków $a$ , $b$ , $c$ i $d$ , bok $a$ może znajdować się po przeciwnej stronie dowolnego boku $b$ , boku $c$ lub boku $d$ .

Pole powierzchni czworoboku cyklicznego z kolejnymi bokami $a$ , $b$ , $c$ , $d$ oraz kątem $B$ pomiędzy bokami $a$ i $b$ można wyrazić jako

{\ Displaystyle K = {\ tfrac {1} {2}} (ab + CD) \ grzech {B}}

lub

{\ Displaystyle K = {\ tfrac {1} {2}} (ac + bd) \ grzech {\ theta}}

gdzie $θ$ jest dowolnym kątem między przekątnymi. Pod warunkiem, że $A$ nie jest kątem prostym, obszar można również wyrazić jako

{\ Displaystyle K = {\ tfrac {1} {4}} (a ^ {2}-b ^ {2}-c ^ {2} + d ^ {2}) \ tan {A}.}

Inna formuła to

{\ Displaystyle \ Displaystyle K = 2R ^ {2} \ grzech {A} \ grzech {B} \ grzech {\ theta}}

gdzie $R$ jest promieniem okręgu opisanego . W bezpośredniej konsekwencji

{\ Displaystyle K \ leq 2R ^ {2}}

gdzie jest równość wtedy i tylko wtedy, gdy czworokąt jest kwadratem.

Przekątne

W cyklicznym czworoboku z kolejnymi wierzchołkami $A$ , $B$ , $C$ , $D$ i bokami $a = AB$ , $b = BC$ , $c = CD$ i $d = DA$ , długości przekątnych $p = AC$ i $q = BD$ można wyrazić w postaci boków jako

p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}}

oraz

q={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ab+cd)}{reklama+bc}}}

więc pokazuje twierdzenie Ptolemeusza

pq=ac+bd.

Zgodnie z drugim twierdzeniem Ptolemeusza ,

{\ Displaystyle {\ Frac {p} {q}} = {\ Frac {reklama + bc} {ab + cd}}}

używając tych samych notacji jak powyżej.

Dla sumy przekątnych mamy nierówność

p+q\geq 2{\sqrt {ac+bd}}.

Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy przekątne mają jednakową długość, co można udowodnić za pomocą nierówności AM-GM .

Ponadto,

{\ Displaystyle (p + q) ^ {2} \ leq (a + c) ^ {2} + (b + d) ^ {2}.}

W każdym czworoboku wypukłym dwie przekątne dzielą czworokąt na cztery trójkąty; w cyklicznym czworoboku przeciwległe pary tych czterech trójkątów są podobne do siebie.

Jeżeli $M$ i $N$ są środkami przekątnych $AC$ i $BD$ , to

{\ Displaystyle {\ Frac {MN} {EF}} = {\ Frac {1} {2}} \ lewo | {\ Frac {AC} {BD}} - {\ Frac {BD} {AC}} \ prawej |}

gdzie $E$ i $F$ są punktami przecięcia przedłużeń przeciwległych boków.

Jeśli $ABCD$ jest cyklicznym czworokątem, w którym $AC$ spotyka $BD$ w $E$ , wtedy

{\ Displaystyle {\ Frac {AE} {CE}} = {\ Frac {AB} {CB}} \ cdot {\ Frac {AD} {CD}}.}

Zestaw boków, które mogą tworzyć cykliczny czworobok, może być ułożony w dowolną z trzech odrębnych sekwencji, z których każda może tworzyć cykliczny czworobok o tym samym obszarze w tym samym okręgu opisanym (obszary są takie same według wzoru powierzchni Brahmagupty). Dowolne dwa z tych cyklicznych czworokątów mają wspólną długość przekątną.

Wzory kątów

Przez cykliczne czworoboku z kolejnych boków $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , semiperimeter $s$ , a kąt $A$ między bokami i $d$ , na trygonometryczne z $A$ są podane

{\ Displaystyle \ cos A = {\ Frac {a ^ {2} + d ^ {2}-b ^ {2}-c ^ {2}} {2 (reklama + bc)}}}

{\ Displaystyle \ sin A = {\ Frac {2 {\ sqrt {(sa) (sb) (sc) (SD)}}} {(reklama + bc)}}}

{\ Displaystyle \ tan {\ Frac {A} {2}} = {\ sqrt {\ Frac {(sa) (SD)} {(SB) (SC)}}}.}

Kąt $θ$ między przekątnymi spełnia

\tan {\frac {\theta}{2}}={\sqrt {\frac {(sb)(sd)}{(sa)(sc)}}}.

Jeżeli przedłużenia przeciwległych boków $a$ i $c$ przecinają się pod kątem $φ$ , wtedy

{\ Displaystyle \ cos {\ Frac {\ varphi } {2}} = {\ sqrt {\ Frac {(sb) (SD) (b + d) ^ {2}} {(ab + cd) (reklama + bc )}}}}

gdzie $s$ jest półobwodem .

Wzór na obwód promienia Parameśwary

Cykliczny czworoboku z kolejnych stronach , $b$ , $c$ , $d$ i semiperimeter $y$ ma circumradius (The promienia na okręgu opisanego ), wydane przez

{\ Displaystyle R = {\ Frac {1} {4}}{\ sqrt {\ Frac {(AB+CD)(AC+BD)(Ad+BC)}{(SA)(SB)(SC)(SD )}}}.}

Zostało to wyprowadzone przez indyjskiego matematyka Vatasseri Parameshvarę w XV wieku.

Używając wzoru Brahmagupty , wzór Parameśwary można przekształcić jako

{\ Displaystyle 4KR = {\ sqrt {(ab + cd) (ac + bd) (reklama + bc)}}}

gdzie $K$ jest obszarem cyklicznego czworoboku.

Antycentrum i kolinearność

Cztery odcinki linii, każdy prostopadły do jednej strony cyklicznego czworoboku i przechodzący przez punkt środkowy przeciwnej strony , są współbieżne . Te odcinki są nazywane maltitudes , co jest skrótem od wysokości środkowego. Ich wspólny punkt nazywa się antycentrum . Ma właściwość bycia odbiciem okręgu opisanego w „centrum wierzchołków” . Tak więc w cyklicznym czworoboku, circumcenter, „centrum wierzchołków” i antycentrum są współliniowe .

Jeśli przekątne cyklicznego czworokąta przecinają się $P$ , oraz środkowe przekątnych są $M$ i $N$ , wówczas anticenter czworokąta jest orthocenter z trójkąta $MNP$ .

Inne właściwości

Japońskie twierdzenie

W cykliczny czworokąt $ABCD$ , że incenters M ₁ , M ₂ , M ₃ , M ₄ (patrz rysunek po prawej stronie) w trójkątów $DAB$ , $ABC$ , $BCD$ i $CDA$ są wierzchołki prostokąta . Jest to jedno z twierdzeń znanych jako twierdzenie japońskie . W orthocenters tych samych czterech trójkątów są wierzchołkami czworokąta przystającej do $ABCD$ , zaś centroidy w tych czterech trójkątów są wierzchołki z innym cyklicznym czworoboku.
W cyklicznym czworoboku $ABCD$ o środku okręgu $O$ , niech $P$ będzie punktem przecięcia przekątnych $AC$ i $BD$ . Wtedy kąt $APB$ jest średnią arytmetyczną kątów $AOB$ i $COD$ . Jest to bezpośrednia konsekwencja twierdzenia o kącie wpisanym i twierdzenia o kącie zewnętrznym .
Nie ma cyklicznych czworokątów z wymierną powierzchnią i nierównymi wymiernymi bokami zarówno w postępie arytmetycznym, jak i geometrycznym .

Jeśli cykliczny czworokąt ma długości boków, które tworzą postęp arytmetyczny, czworokąt jest również ex-bicentryczny .
Jeśli przeciwległe boki cyklicznego czworokąta są przedłużone tak, aby spotykały się w punktach $E$ i $F$ , wówczas wewnętrzne dwusieczne kątów kątów w punktach $E$ i $F$ są prostopadłe.

czworokąty Brahmagupta

Brahmagupta czworoboku jest cyklicznym czworokąt o bokach całkowita, liczbę całkowitą, a przekątnych powierzchni całkowitej. Wszystkie czworokąty Brahmagupta o bokach $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , przekątnych $e$ , $f$ , powierzchni $K$ i promieniu promienia $R$ można uzyskać usuwając mianowniki z następujących wyrażeń zawierających parametry wymierne $t$ , $u$ , i $v$ :

a=[t(u+v)+(1-uv)][u+vt(1-uv)]

{\ Displaystyle b = (1 + u ^ {2}) (vt) (1 + telewizor)}

{\ Displaystyle c = t (1 + u ^ {2}) (1 + v ^ {2})}

{\ Displaystyle d = (1 + v ^ {2}) (ut) (1 + tu)}

{\ Displaystyle e = u (1 + t ^ {2}) (1 + v ^ {2})}

{\ Displaystyle f = v (1 + t ^ {2}) (1 + u ^ {2})}

{\ Displaystyle K = uv [2t (1-uv) - (u + v) (1-t ^ {2})][2 (u + v) t + (1-uv) (1-t ^ {2} )]}

{\ Displaystyle 4R = (1 + u ^ {2}) (1 + v ^ {2}) (1 + t ^ {2}).}

Przypadek ortoprzekątny

Promień i obszar

W przypadku czworoboku cyklicznego, który jest również ortodiagonalny (ma przekątne prostopadłe), załóżmy, że przecięcie przekątnych dzieli jedną przekątną na odcinki o długościach $p 1$ i $p 2,$ a drugą przekątną na odcinki o długościach $q 1$ i $q 2$ . Następnie (pierwsza równość jest Proposition 11 w Archimedesa " Księdze lematy )

D^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}=a^{2} +c^{2}=b^{2}+d^{2}

gdzie $D$ jest średnicą okręgu opisanego . Dzieje się tak, ponieważ przekątne są prostopadłymi cięciwami okręgu . Z równań tych wynika, że promień promienia $R$ można wyrazić jako

{\ Displaystyle R = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {p_ {1} ^ {2} + p_ {2} ^ {2} + Q_ {1} ^ {2} + Q_ {2} ^{2}}}}

lub pod względem boków czworoboku, jak

{\ Displaystyle R = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {a ^ {2} + c ^ {2}}} = {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {b ^ { 2}+d^{2}}}.}

Wynika z tego również, że

{\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} = 8R ^ {2}.}

Zatem zgodnie z czworokątnym twierdzeniem Eulera promień okręgu można wyrazić w postaci przekątnych $p$ i $q$ , a odległość $x$ między punktami środkowymi przekątnych jako

{\ Displaystyle R = {\ sqrt {\ Frac {p ^ {2} + Q ^ {2} + 4 x ^ {2} {8}}}.}

Wzór na pole $K$ cyklicznego czworoboku ortodiagonalnego w ujęciu czterech boków otrzymuje się bezpośrednio, łącząc twierdzenie Ptolemeusza i wzór na pole czworoboku ortodiagonalnego . Wynik to

{\ Displaystyle K = {\ tfrac {1} {2}} (ac + bd).}

Inne właściwości

W cyklicznym czworoboku ortodiagonalnym antycentrum pokrywa się z punktem przecięcia przekątnych.
Twierdzenie Brahmagupty mówi, że dla czworoboku cyklicznego, który jest również ortodiagonalny , prostopadła z dowolnej strony przez punkt przecięcia przekątnych przecina przeciwną stronę.
Jeśli czworokąt cykliczny jest również ortodiagonalny, odległość od środka opisanego do dowolnego boku jest równa połowie długości przeciwległego boku.
W cyklicznym czworoboku ortodiagonalnym odległość między środkami przekątnych jest równa odległości między środkiem opisanym a punktem przecięcia przekątnych.

Cykliczne czworoboki sferyczne

W geometrii sferycznej czworokąt sferyczny utworzony z czterech przecinających się większych okręgów jest cykliczny wtedy i tylko wtedy, gdy sumy przeciwnych kątów są równe, tj. α + γ = β + δ dla kolejnych kątów α, β, γ, δ czworokąta . Jeden kierunek tego twierdzenia wykazał IA Lexell w 1786 r. Lexell wykazał, że w czworoboku kulistym wpisanym w mały okrąg kuli sumy przeciwnych kątów są równe, a w czworoboku opisanym sumy przeciwległych boków są równe. Pierwsze z tych twierdzeń jest sferycznym odpowiednikiem twierdzenia o płaszczyźnie, a drugie twierdzenie to jego dualność, czyli wynik zamiany wielkich okręgów i ich biegunów. Kiper i in. okazało się odwrotnością twierdzenia: jeśli sumy przeciwległych boków są równe w czworoboku sferycznym, to istnieje okrąg wpisujący dla tego czworokąta.

Languages

In other projects

Czworokąt cykliczny - Cyclic quadrilateral

Zawartość

Przypadki specjalne

Charakterystyki

Centrum obwodowe

Kąty uzupełniające

Kąty między bokami i przekątnymi

Punkty Pascala

Przecięcie przekątnych

Twierdzenie Ptolemeusza

Trójkąt ukośny

Powierzchnia

Przekątne

Wzory kątów

Wzór na obwód promienia Parameśwary

Antycentrum i kolinearność

Inne właściwości

czworokąty Brahmagupta

Przypadek ortoprzekątny

Promień i obszar

Inne właściwości

Cykliczne czworoboki sferyczne

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura

Zewnętrzne linki