Cylinder - Cylinder

Przykład: Puszka ma kształt cylindryczny.

Cylinder (z greckiego : κύλινδρος , romanizowana :  kulindros , dosł  „walec”, „tumbler”) jest tradycyjnie stały trójwymiarowy , jeden z najbardziej podstawowych krzywoliniowych kształtach geometrycznych. Jest to wyidealizowana wersja solidnej fizycznej puszki z pokrywkami na górze i na dole. Geometrycznie można go uznać za pryzmat z kołem jako podstawą.

Ten tradycyjny pogląd jest nadal używany w elementarnych zabiegach geometrii, ale zaawansowany punkt widzenia matematycznego przesunął się na nieskończoną powierzchnię krzywoliniową i tak obecnie definiuje się walec w różnych nowoczesnych gałęziach geometrii i topologii .

Zmiana podstawowego znaczenia (bryła kontra powierzchnia) spowodowała niejasność terminologiczną. Powszechnie uważa się, że kontekst wyjaśnia znaczenie. Oba punkty widzenia są zazwyczaj przedstawiane i rozróżniane przez odniesienie do litych cylindrów i cylindrycznych powierzchni , ale w literaturze termin bez zdobień cylinder może odnosić się do któregokolwiek z nich lub do jeszcze bardziej wyspecjalizowanego obiektu, prawego okrągłego cylindra .

Rodzaje

Definicje i wyniki w tej sekcji zaczerpnięto z tekstu Plane and Solid Geometry z 1913 roku autorstwa George'a Wentwortha i Davida Eugene'a Smitha ( Wentworth & Smith 1913 ).

Cylindryczną powierzchnią jest powierzchnia składa się z wszystkich punktów na wszystkich liniach, które są równoległe do danej linii, które przechodzą przez stałą płaskiej krzywej w płaszczyźnie nie równolegle do danej linii. Każda linia z tej rodziny linii równoległych nazywana jest elementem powierzchni cylindrycznej. Z punktu widzenia kinematyki , biorąc pod uwagę krzywą płaską, zwaną kierownicą , powierzchnia cylindryczna jest powierzchnią wyznaczoną linią, zwaną tworzącą , nie w płaszczyźnie kierownicy, poruszającą się równolegle do siebie i zawsze przechodzącą przez kierownicę . Każda szczególna pozycja tworzącej jest elementem powierzchni cylindrycznej.

Prawy i ukośny okrągły cylinder

Stałe ograniczonym przez cylindryczną powierzchnię i dwóch równoległych płaszczyzn jest nazywana (stały) cylindra . Odcinki linii wyznaczone przez element powierzchni cylindrycznej pomiędzy dwiema równoległymi płaszczyznami nazywamy elementem walca . Wszystkie elementy cylindra mają równe długości. Obszar ograniczony przez cylindryczną powierzchnię w jednej z równoległych płaszczyzn nazywany jest podstawą cylindra. Dwie podstawy cylindra są figurami przystającymi . Jeżeli elementy walca są prostopadłe do płaszczyzn zawierających podstawy, walec jest walcem prawym , w przeciwnym razie nazywany jest walcem ukośnym . Jeśli podstawą są dyski (regiony, których granica jest kołem ), cylinder nazywa się cylindrem kołowym . W niektórych elementarnych zabiegach cylinder zawsze oznacza cylinder okrągły.

Wysokość (lub wysokości) cylindra jest prostopadła odległość pomiędzy jego zasad.

Walec uzyskany przez obrót odcinka linii wokół ustalonej linii, do której jest on równoległy, jest walcem obrotowym . Cylinder obrotowy to prawy okrągły cylinder. Wysokość walca obrotowego to długość tworzącego odcinka linii. Linia, wokół której obraca się segment, nazywana jest osią walca i przechodzi przez środki dwóch podstaw.

Prawy walec kołowy o promieniu r i wysokości h

Cylindry okrągłe prawe

Sam termin cylinder często odnosi się do pełnego cylindra o okrągłych końcach prostopadłych do osi, to znaczy do prawego okrągłego cylindra, jak pokazano na rysunku. Powierzchnia cylindryczna bez końców nazywana jest otwartym cylindrem . Wzory określające pole powierzchni i objętość prawego okrągłego cylindra znane są od wczesnego starożytności.

Prawy okrągły walec można również traktować jako bryłę obrotową generowaną przez obrócenie prostokąta wokół jednego z jego boków. Cylindry te są wykorzystywane w technice całkowania („metoda krążkowa”) do uzyskiwania objętości brył obrotowych.

Nieruchomości

Sekcje cylindryczne

Sekcja cylindryczna

Przekrój cylindryczny to przecięcie powierzchni walca z płaszczyzną . Są to na ogół krzywe i są specjalnymi typami przekrojów płaskich . Przekrój cylindryczny przez płaszczyznę, która zawiera dwa elementy walca, jest równoległobokiem . Taki cylindryczny przekrój prawego walca jest prostokątem .

Przekrój cylindryczny, w którym przecinająca się płaszczyzna przecina się i jest prostopadły do ​​wszystkich elementów walca, nazywany jest przekrojem prawym . Jeśli prawa część cylindra jest kołem, to cylinder jest cylindrem kołowym. Mówiąc bardziej ogólnie, jeśli prawa część cylindra jest przekrojem stożkowym (parabola, elipsa, hiperbola), wtedy mówi się, że pełny cylinder jest odpowiednio paraboliczny, eliptyczny i hiperboliczny.

Cylindryczne sekcje prawego okrągłego cylindra

W przypadku prawego walca kołowego istnieje kilka sposobów, w jakie płaszczyzny mogą spotkać walec. Po pierwsze, płaszczyzny, które przecinają bazę w co najwyżej jednym punkcie. Płaszczyzna jest styczna do walca, jeśli styka się z walcem w jednym elemencie. Prawa sekcje to okręgi, a wszystkie inne płaszczyzny przecinają cylindryczną powierzchnię w elipsę . Jeśli płaszczyzna przecina podstawę cylindra dokładnie w dwóch punktach, to odcinek łączący te punkty jest częścią przekroju cylindrycznego. Jeżeli taka płaszczyzna zawiera dwa elementy, to jako przekrój cylindryczny ma prostokąt, w przeciwnym razie boki przekroju cylindrycznego są fragmentami elipsy. Wreszcie, jeśli płaszczyzna zawiera więcej niż dwa punkty podstawy, zawiera całą podstawę, a przekrój cylindryczny jest kołem.

W przypadku walca kołowego prawego o przekroju cylindrycznym, który jest elipsą, mimośrodowość e przekroju cylindrycznego i półoś wielka a przekroju cylindrycznego zależą od promienia cylindra r oraz kąta α pomiędzy sieczną płaszczyzną i osi cylindra, w następujący sposób:

${\displaystyle e=\cos \alfa,}$

${\ Displaystyle a = {\ Frac {R} {\ sin \ alfa}}.}$

Tom

Jeżeli podstawa walca kołowego ma promień r a walec ma wysokość h , to jego objętość wyrażona jest wzorem

V = π r ² godz .

Ta formuła określa, czy cylinder jest prawidłowym cylindrem, czy nie.

Formuła ta może być ustalona na podstawie zasady Cavalieriego .

Solidny walec eliptyczny z półosiami a i b dla podstawy elipsy i wysokości h

Mówiąc bardziej ogólnie, na tej samej zasadzie objętość każdego cylindra jest iloczynem powierzchni podstawy i wysokości. Na przykład walec eliptyczny o podstawie mającej półoś wielką a , półoś małą b i wysokość h ma objętość V = Ah , gdzie A jest polem elipsy podstawy (= π ab ). Ten wynik dla prawych walców eliptycznych można również uzyskać przez całkowanie, gdzie oś walca przyjmuje się jako dodatnią oś x, a A ( x ) = A pole każdego przekroju eliptycznego, a zatem:

${\ Displaystyle V = \ int _ {0} ^ {h} A (x) dx = \ int _ {0} ^ {h} \ pi abdx = \ pi ab \ int _ {0} ^ {h} dx = \pi ab.}$

Używając współrzędnych cylindrycznych , objętość prawego okrągłego cylindra można obliczyć przez całkowanie ponad

${\ Displaystyle = \ int _ {0} ^ {h} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ int _ {0} ^ {r} s \ \ ds \ d \ phi \ dz }$

${\ Displaystyle = \ pi \ r ^ {2} \ h.}$

Powierzchnia

Mając promień r i wysokość (wysokość) h , powierzchnia prawego walca kołowego zorientowanego tak, że jego oś jest pionowa, składa się z trzech części:

• pole górnej podstawy: π r ²
• powierzchnia podstawy dolnej: π r ²
• powierzchnia boku: 2π rh

Powierzchnia podstawy górnej i dolnej jest taka sama i nazywana jest obszarem podstawy , B . Powierzchnia boczna jest znany jako obszar boczny , L .

Otwarty cylinder nie zawiera górne lub dolne elementy, a więc ma powierzchnię boczną (obszar)

L = 2π rh .

Pole powierzchni pełnego prawego okrągłego cylindra składa się z sumy wszystkich trzech komponentów: górnej, dolnej i bocznej. Jego powierzchnia jest zatem,

A = L + 2 B = 2π rh + 2π r ² = 2π r ( h + r ) = π d ( r + h ) ,

gdzie d = 2 r jest średnicą okrągłej góry lub dołu.

Dla danej objętości prawy okrągły walec o najmniejszej powierzchni ma h = 2 r . Odpowiednio, dla danej powierzchni, prawy okrągły walec o największej objętości ma h = 2 r , to znaczy walec jest ściśle dopasowany do sześcianu o długości boku = wysokość ( = średnica koła podstawowego).

Powierzchnia boczna L okrągłego cylindra, który nie musi być prawym cylindrem, jest ogólniej dana wzorem:

L = e × p ,

gdzie e to długość elementu, a p to obwód prawej części walca. Daje to poprzedni wzór dla powierzchni bocznej, gdy cylinder jest prawym okrągłym cylindrem.

Pusty cylinder

Prawy okrągły pusty cylinder (powłoka cylindryczna)

Kołowym tuleja (lub cylindrycznej powłoki ) jest regionem trójwymiarowy ograniczony przez dwie odpowiednich kołowych cylindrycznych o tej samej osi i dwie równoległe pierścieniowe podstawy prostopadle do wspólnej osi cylindrów, jak na rysunku.

Niech wysokość będzie h , wewnętrzny promień r i zewnętrzny promień R . Objętość jest podana przez

${\ Displaystyle V = \ pi (R ^ {2} - r ^ {2}) h = 2 \ pi \ lewo ({\ Frac {R + R} {2}} \ prawej) h (Rr).}$.

Zatem objętość cylindrycznej powłoki wynosi 2 π (średni promień)(wysokość)(grubość).

Pole powierzchni, łącznie z górną i dolną częścią, jest podane przez

${\ Displaystyle A = 2 \ pi (R + r) h + 2 \ pi (R ^ {2}-r ^ {2}).}$.

Powłoki cylindryczne są używane w powszechnej technice całkowania do znajdowania objętości brył obrotowych.

Na sferze i cylindrze

Kula ma 2/3 objętości i powierzchni otaczającego ją cylindra, w tym podstawy

W traktacie pod tym imieniem, napisanym ok. godz. W 225 roku p.n.e. Archimedes uzyskał wynik, z którego był najbardziej dumny, a mianowicie uzyskanie wzorów na objętość i pole powierzchni kuli przez wykorzystanie relacji między kulą a jej opisanym prawym kołowym cylindrem o tej samej wysokości i średnicy . Kula ma objętość 2/3 objętości opisanego cylindra i powierzchnię 2/3 powierzchni cylindra (włącznie z podstawami). Ponieważ wartości dla cylindra były już znane, po raz pierwszy uzyskał odpowiednie wartości dla kuli. Objętość kuli o promieniu r wynosi 4/3π r ³ =2/3(2 π r ³ ) . Pole powierzchni tej kuli wynosi 4 π r ² =2/3(6 π r ² ) . Na jego prośbę na grobie Archimedesa umieszczono rzeźbioną kulę i cylinder.

Powierzchnie cylindryczne

W niektórych dziedzinach geometrii i topologii termin walec odnosi się do tego, co nazwano powierzchnią cylindryczną . Walec definiuje się jako powierzchnię składającą się ze wszystkich punktów na wszystkich liniach, które są równoległe do danej linii i które przechodzą przez krzywą o stałej płaszczyźnie w płaszczyźnie nierównoległej do danej linii. Takie cylindry były czasami określane jako cylindry uogólnione . Przez każdy punkt uogólnionego cylindra przechodzi unikalna linia zawarta w cylindrze. Tak więc definicja ta może zostać przeformułowana, aby powiedzieć, że walec to dowolna powierzchnia rządzona rozpięta jednoparametrową rodziną linii równoległych.

Cylinder ma prosty odcinek, który jest elipsy , paraboli lub hiperboli jest nazywany eliptycznego cylindra , paraboliczny cylindra i hiperboliczny cylindra , odpowiednio. Są to zdegenerowane powierzchnie kwadratowe .

Cylinder paraboliczny

Gdy główne osie kwadryki są wyrównane z układem odniesienia (zawsze możliwe dla kwadryki), ogólne równanie kwadryki w trzech wymiarach jest podane przez

${\ Displaystyle f (x, y, z) = Ax ^ {2} + przez ^ {2} + Cz ^ {2} + Dx + Ey + Gz + H = 0,}$

gdzie współczynniki są liczbami rzeczywistymi, a nie wszystkie z A , B i C wynoszą 0. Jeśli przynajmniej jedna zmienna nie występuje w równaniu, to kwadryka jest zdegenerowana. W przypadku braku jednej zmiennej możemy przez odpowiedni obrót osi założyć, że zmienna z nie występuje i równanie ogólne tego typu zdegenerowanej kwadryki można zapisać jako

${\ Displaystyle A \ lewo (x + {\ Frac {D} {2A}} \ prawej) ^ {2} + B \ lewo (y + {\ Frac {E} 2B}} \ prawej) ^ {2} = \ rho ,}$

gdzie

${\ Displaystyle \ rho = - H + {\ Frac {D ^ {2}} {4A}} + {\ Frac {E ^ {2}} {4B}}.}$

Cylinder eliptyczny

Jeśli AB > 0 to jest równanie walca eliptycznego . Dalsze uproszczenie można uzyskać poprzez translację osi i mnożenie przez skalar. Jeżeli ma taki sam znak jak współczynniki A i B , to równanie walca eliptycznego można przepisać we współrzędnych kartezjańskich jako: ${\ Displaystyle \ rho}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {x} {a}} \ po prawej) ^ {2} + \ po lewej ({\ Frac {y} {b}} \ po prawej) ^ {2} = 1.}$

To równanie walca eliptycznego jest uogólnieniem równania zwykłego walca kołowego ( a = b ). Cylindry eliptyczne są również znane jako cylindryczne , ale nazwa ta jest niejednoznaczna, ponieważ może również odnosić się do stożka Plückera .

Jeśli ma inny znak niż współczynniki, otrzymujemy wyimaginowane cylindry eliptyczne : ${\ Displaystyle \ rho}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {x} {a}} \ po prawej) ^ {2} + \ po lewej ({\ Frac {y} {b}} \ po prawej) ^ {2} = -1,}$

które nie mają na nich prawdziwych punktów. ( daje jeden prawdziwy punkt.) ${\ Displaystyle \ rho = 0}$

Cylinder hiperboliczny

Jeżeli A i B mają różne znaki i , otrzymujemy cylindry hiperboliczne , których równania można przepisać jako: ${\ Displaystyle \ rho \ neq 0}$

${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {x} {a}} \ po prawej) ^ {2} - \ po lewej ({\ Frac {y} {b}} \ po prawej) ^ {2} = 1.}$

Cylinder paraboliczny

Wreszcie, jeśli AB = 0 załóżmy, bez utraty ogólności , że B = 0 i A = 1, aby otrzymać paraboliczne walce o równaniach, które można zapisać jako:

${\ Displaystyle {x} ^ {2} + 2a {y} = 0.}$

W geometrii rzutowej cylinder jest po prostu stożkiem, którego wierzchołek znajduje się w nieskończoności, co odpowiada wizualnie cylindrowi w perspektywie, który wydaje się być stożkiem w kierunku nieba.

Geometria rzutowa

W geometrii rzutowej walec to po prostu stożek, którego wierzchołek (wierzchołek) leży na płaszczyźnie w nieskończoności . Jeśli stożek jest stożkiem kwadratowym, płaszczyzna w nieskończoności (która przechodzi przez wierzchołek) może przecinać stożek na dwóch rzeczywistych liniach, pojedynczej rzeczywistej linii (w rzeczywistości zbieżnej pary linii) lub tylko na wierzchołku. W tych przypadkach powstają odpowiednio cylindry hiperboliczne, paraboliczne lub eliptyczne.

Ta koncepcja jest przydatna przy rozważaniu zdegenerowanych stożków , które mogą obejmować stożki cylindryczne.

Pryzmaty

Budynek Planetarium Tycho Brahe w Kopenhadze jest przykładem ściętego cylindra

Stały kołowy cylinder może być traktowany jako ograniczający przypadku n -gonal pryzmat gdzie n zbliża się do nieskończoności . Połączenie jest bardzo silne i wiele starszych tekstów traktuje pryzmaty i walce jednocześnie. Wzory na pole powierzchni i objętość są wyprowadzane z odpowiednich wzorów dla pryzmatów, używając pryzmatów wpisanych i opisanych, a następnie zwiększając liczbę boków pryzmatu bez ograniczeń. Jednym z powodów wczesnego nacisku (a czasem wyłącznego traktowania) na cylindryczne cylindry jest to, że okrągła podstawa jest jedynym typem figury geometrycznej, dla której ta technika działa przy użyciu tylko elementarnych rozważań (bez odwołania się do rachunku różniczkowego lub bardziej zaawansowanej matematyki). Terminologia dotycząca pryzmatów i cylindrów jest identyczna. Tak więc, na przykład, ponieważ ścięty pryzmat jest pryzmatem, którego podstawy nie leżą w równoległych płaszczyznach, pełny cylinder, którego podstawy nie leżą w równoległych płaszczyznach, nazwano by ściętym cylindrem .

Z punktu widzenia poliedrycznego, cylinder może być również postrzegane jako podwójny z bicone jako nieskończoną jednostronne podwójnej piramidy .

Rodzina jednorodnych pryzmatów n- kątnych

• v
• T
• mi

Nazwa pryzmatu	Pryzmat dwukątny	(Trigonal) Trójkątny pryzmat	(czworokątny) pryzmat kwadratowy	Graniastosłup pięciokątny	Sześciokątny pryzmat	Graniastosłup siedmiokątny	Pryzmat ośmiokątny	Pryzmat enneagonalny	Graniastosłup dziesięciokątny	Pryzmat heksagonalny	Pryzmat dwunastokątny	...	Pryzmat apeirogonalny
Obraz wielościanu												...
Kulisty obraz kafelkowy												Samolot kafelkowy obraz
Konfiguracja wierzchołków.	2.4.4	3.4.4	4.4.4	5.4.4	6.4.4	7.4.4	8.4.4	9.4.4	10.4.4	11.4.4	12.4.4	...	.4.4
Schemat Coxetera												...

Zobacz też

• Lista kształtów
• Solid Steinmetza , przecięcie dwóch lub trzech prostopadłych walców

Uwagi

Bibliografia

• Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Solidna geometria analityczna , Dover, ISBN 978-0-486-81026-3
• Swokowski, Earl W. (1983), Rachunek z geometrią analityczną (wyd. alternatywne), Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7
• Wentworth, George; Smith, David Eugene (1913), Plane and Solid Geometry , Ginn and Co.

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Cylinder” . MatematykaŚwiat .
• Powierzchnia cylindra w MATHguide
• Objętość cylindra w MATHguide