Cylindryczny układ współrzędnych — Cylindrical coordinate system
Układ cylindrycznego układu współrzędnych znajduje się trójwymiarowy układ współrzędnych , który określa punkt stanowiska do wybranej odległości od osi głównej, w kierunku od osi w stosunku do wybranego kierunku odniesienia, a odległość od wybranej płaszczyzny odniesienia prostopadłą do osi. Ta ostatnia odległość jest podawana jako liczba dodatnia lub ujemna w zależności od tego, która strona płaszczyzny odniesienia jest skierowana w stronę punktu.
Pochodzenie systemu jest punkt, w którym wszystkie trzy współrzędne mogą być podane jako zero. Jest to punkt przecięcia płaszczyzny odniesienia i osi. Oś ta jest różnie nazywana osią cylindryczną lub podłużną , aby odróżnić ją od osi biegunowej , która jest promieniem leżącym w płaszczyźnie odniesienia, zaczynając od początku i wskazując w kierunku odniesienia. Inne kierunki prostopadłe do osi podłużnej nazywane są liniami promieniowymi .
Odległość od osi można nazwać odległością promieniową lub promieniem , podczas gdy współrzędną kątową określa się czasem pozycją kątową lub azymutem . Promień i azymut są wspólnie nazywane współrzędnymi biegunowymi , ponieważ odpowiadają dwuwymiarowemu układowi współrzędnych biegunowych w płaszczyźnie przechodzącej przez punkt, równoległej do płaszczyzny odniesienia. Trzecią współrzędną można nazwać wysokością lub wysokością (jeśli płaszczyzna odniesienia jest uważana za poziomą), położeniem wzdłużnym lub położeniem osiowym .
Współrzędne cylindryczne są przydatne w przypadku obiektów i zjawisk, które mają pewną symetrię obrotową względem osi podłużnej, takich jak przepływ wody w prostej rurze o okrągłym przekroju, rozkład ciepła w metalowym walcu , pola elektromagnetyczne wytwarzane przez prąd elektryczny w długi, prosty drut, dyski akrecyjne w astronomii i tak dalej.
Są one czasami nazywane „cylindrycznymi współrzędnymi biegunowymi” i „biegunowymi współrzędnymi cylindrycznymi”, a czasami są używane do określenia pozycji gwiazd w galaktyce („galaktocentryczne cylindryczne współrzędne biegunowe”).
Definicja
Trzy współrzędne ( ρ , φ , z ) punktu P są zdefiniowane jako:
- Odległość osiowa i promieniowa odległość ρ jest odległość euklidesowa z Z -osiowy do punktu P .
- Azymutu φ to kąt pomiędzy kierunkiem odniesienia w wybranej płaszczyźnie i linii od środka do projekcji P na powierzchni.
- Współrzędnych osiowych lub wysokość oo jest podpisany odległość od wybranej płaszczyźnie do punktu P .
Unikalne współrzędne cylindryczne
Podobnie jak we współrzędnych biegunowych, ten sam punkt o współrzędnych cylindrycznych ( ρ , φ , z ) ma nieskończenie wiele równoważnych współrzędnych, mianowicie ( ρ , φ ± n ×360°, z ) i (− ρ , φ ± (2 n + 1) ×180°, z ), gdzie n jest dowolną liczbą całkowitą. Co więcej, jeśli promień ρ wynosi zero, azymut jest dowolny.
W sytuacjach, gdy ktoś chce mieć unikalny zestaw współrzędnych dla każdego punktu, można ograniczyć promień tak, aby był nieujemny ( ρ ≥ 0 ), a azymut φ leżał w określonym przedziale obejmującym 360°, np. [−180°, +180°] lub [0,360°] .
Konwencje
Notacja współrzędnych cylindrycznych nie jest jednolita. ISO średnia 31-11 zaleca ( p , cp , Z ) , w którym ρ jest promieniowa współrzędnych φ azymutu i Z wysokości. Jednak promień jest również często oznaczany r lub s , azymut przez θ lub t , a trzecia współrzędna przez h lub (jeśli oś cylindryczna jest uważana za poziomą) x , lub dowolną literę specyficzną dla kontekstu.
W konkretnych sytuacjach i na wielu ilustracjach matematycznych dodatnia współrzędna kątowa jest mierzona w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, patrząc z dowolnego punktu o dodatniej wysokości.
Konwersje układu współrzędnych
Cylindryczny układ współrzędnych jest jednym z wielu trójwymiarowych układów współrzędnych. Do konwersji między nimi można użyć następujących formuł.
współrzędne kartezjańskie
W przypadku konwersji między współrzędnymi cylindrycznymi i kartezjańskimi wygodnie jest założyć, że płaszczyzną odniesienia tych pierwszych jest płaszczyzna kartezjańska xy (z równaniem z = 0 ), a oś cylindryczna jest osią kartezjańską z . Wtedy współrzędna z jest taka sama w obu układach, a współrzędne między cylindrycznymi ( ρ , φ , z ) i kartezjańskimi ( x , y , z ) są takie same jak dla współrzędnych biegunowych, a mianowicie
w jednym kierunku i
w innym. Funkcja arcsin jest odwrotnością funkcji sinus i zakłada się, że zwraca kąt z zakresu [- π/2,+π/2] = [-90°,+90°] . Wzory te dają azymut φ w zakresie [−90°,+270°] . Inne formuły można znaleźć w artykule o współrzędnych biegunowych .
Wiele nowoczesnych języków programowania zapewnia funkcję, która obliczy prawidłowy azymut φ , w zakresie (-π, π) , przy danym x i y , bez konieczności przeprowadzania analizy przypadku jak powyżej. Na przykład ta funkcja jest wywoływana przez atan2 ( y , x ) w języku programowania C i atan ( y , x ) w Common Lisp .
Współrzędne sferyczne
Współrzędne sferyczne (promień r , wzniesienie lub nachylenie θ , azymut φ ) można przekształcić na współrzędne cylindryczne poprzez:
θ to wysokość: | θ to nachylenie: |
Współrzędne cylindryczne można zamienić na współrzędne sferyczne poprzez:
θ to wysokość: | θ to nachylenie: |
Elementy linii i objętości
- Zobacz całkę wielokrotną dla szczegółów integracji objętości we współrzędnych cylindrycznych oraz Del we współrzędnych cylindrycznych i sferycznych dla wzorów rachunku wektorowego .
W wielu problemach dotyczących cylindrycznych współrzędnych biegunowych przydatna jest znajomość elementów linii i objętości; są one używane w integracji do rozwiązywania problemów dotyczących ścieżek i objętości.
Elementem linii jest
Elementem głośności jest
Element powierzchni w powierzchni o stałym promieniu ρ (pionowy walec) to
Element powierzchni w powierzchni o stałym azymucie φ (pionowa półpłaszczyzna) to
Element powierzchni na powierzchni o stałej wysokości z (płaszczyzna pozioma) to
Del operator tego systemu prowadzi do następujących wyrażeń dla gradientu , dywergencji , zwinięcie i Laplace'a :
Harmoniczne cylindryczne
Rozwiązania równania Laplace'a w układzie o symetrii cylindrycznej nazywane są harmonicznymi cylindrycznymi .
Zobacz też
- Lista kanonicznych transformacji współrzędnych
- Pola wektorowe we współrzędnych cylindrycznych i sferycznych
- Del we współrzędnych cylindrycznych i sferycznych
Bibliografia
Dalsza lektura
- Morse'a, Filipa M .; Feshbach, Herman (1953). Metody Fizyki Teoretycznej, Część I . Nowy Jork : McGraw-Hill . s. 656-657. Numer ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515 .
- Margenau, Henryk ; Murphy, George M. (1956). Matematyka Fizyki i Chemii . Nowy Jork: D. van Nostrand. P. 178 . Numer ISBN 9780882754239. LCCN 55010911 . OCLC 3017486 .
- Korn, Granino A.; Korn, Theresa M. (1961). Podręcznik matematyczny dla naukowców i inżynierów . Nowy Jork: McGraw-Hill. s. 174–175 . LCCN 59014456 . ASIN B0000CKZX7.
- Sauer, Robert; Szabó, István (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Nowy Jork: Springer-Verlag . P. 95. LCCN 67025285 .
- Zwillinger, Daniel (1992). Podręcznik integracji . Boston : Wydawnictwo Jones i Bartlett . P. 113. Numer ISBN 0-86720-293-9. OCLC 25710023 .
- Księżyc, P.; Spencera, DE (1988). „Współrzędne okrągłego cylindra (r, ψ, z)” . Podręcznik teorii pola, w tym układy współrzędnych, równania różniczkowe i ich rozwiązania (poprawione wyd. 2). Nowy Jork: Springer-Verlag. s. 12–17, tabela 1.02. Numer ISBN 978-0-387-18430-2.
Zewnętrzne linki
- "Współrzędne cylindra" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
- Opis współrzędnych cylindrycznych MathWorld
- Współrzędne cylindryczne Animacje ilustrujące współrzędne cylindryczne autorstwa Franka Wattenberga