Dedekind-nieskończony zestaw - Dedekind-infinite set

W matematyce , zestaw jest Dedekind-nieskończony (nazwany na cześć niemieckiego matematyka Richard Dedekind ) jeśli niektóre właściwy podzbiór B z A jest równoliczny do A . Wprost oznacza to, że istnieje funkcja bijektywna z A na jakiś właściwy podzbiór B z A . Zbiór jest Dedekind-skończony, jeśli nie jest Dedekind-nieskończony (tj. nie istnieje taka bijection). Zaproponowana przez Dedekinda w 1888 r. Dedekind-nieskończoność była pierwszą definicją „nieskończoności”, która nie opierała się na definicji liczb naturalnych .

Prostym przykładem jest zbiór liczb naturalnych . Z paradoksu Galileusza istnieje bijekcja, która odwzorowuje każdą liczbę naturalną n na jej kwadrat n 2 . Ponieważ zbiór kwadratów jest właściwym podzbiorem , jest Dedekind-nieskończony.

Dopóki fundamentalny kryzys matematyki nie pokazał potrzeby bardziej ostrożnego podejścia do teorii mnogości, większość matematyków zakładała, że zbiór jest nieskończony wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieskończony według Dedekinda. Na początku XX wieku teoria mnogości Zermelo-Fraenkla , dziś najczęściej używana forma aksjomatycznej teorii mnogości , została zaproponowana jako system aksjomatyczny do sformułowania teorii zbiorów wolnych od paradoksów, takich jak paradoks Russella . Używając aksjomatów teorii mnogości Zermelo-Fraenkla z pierwotnie bardzo kontrowersyjnym aksjomatem wyboru ( ZFC ) można pokazać, że zbiór jest Dedekind-skończony wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończony w zwykłym sensie. Istnieje jednak model teorii mnogości Zermelo-Fraenkla bez aksjomatu wyboru ( ZF ), w którym istnieje nieskończony zbiór Dedekind-skończony, pokazujący, że aksjomaty ZF nie są wystarczająco silne, aby udowodnić, że każdy zbiór, który jest Dedekindem -skończony jest skończony. Poza tą podaną przez Dedekinda istnieją definicje skończoności i nieskończoności zbiorów , które nie zależą od aksjomatu wyboru.

Niejasno pokrewnym pojęciem jest skończony pierścień Dedekinda . Pierścień mówi się Dedekind skończone dzwonienia AB = 1 oznacza, BA = 1 dla wszystkich dwóch elementów pierścieniowych i b . Pierścienie te zostały również nazwane bezpośrednio pierścieniami skończonymi .

Porównanie ze zwykłą definicją zbioru nieskończonego

Tę definicję „ zbioru nieskończonego ” należy porównać ze zwykłą definicją: zbiór A jest nieskończony, gdy nie można go wstawić w bijekcję ze skończoną liczbą porządkową , a mianowicie zbiorem postaci {0, 1, 2, ..., n −1} dla pewnej liczby naturalnej n – zbiór nieskończony to taki, który jest dosłownie „nieskończony” w sensie bijekcji.

W drugiej połowie XIX wieku większość matematyków po prostu zakładała, że ​​zbiór jest nieskończony wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieskończony według Dedekinda. Jednak ta równoważność nie można udowodnić z aksjomatów o aksjomaty zermelo-fraenkela bez aksjomatu wyboru (AC) (zwykle oznaczone „ ZF ”). Pełna siła AC nie jest potrzebna do udowodnienia równoważności; w rzeczywistości równoważność tych dwóch definicji jest ściśle słabsza niż aksjomat wyboru policzalnego (CC). (Patrz odnośniki poniżej.)

Dedekind-nieskończone zestawy w ZF

Zbiór A jest Dedekind-nieskończony, jeśli spełnia którykolwiek, a następnie wszystkie poniższe warunki równoważne (ponad ZF ):

jest podwójnie Dedekind-nieskończony, jeśli:

  • istnieje funkcja f  : A → A, która jest surjektywna, ale nie iniektywna;

jest słabo nieskończona Dedekind, jeśli spełnia dowolny, a następnie wszystkie z następujących warunków równoważnych (ponad ZF ):

  • istnieje surjektywna mapa od A do przeliczalnie nieskończonego zbioru;
  • zbiór mocy A jest Dedekind-nieskończony;

i jest nieskończona, jeśli:

  • dla dowolnej liczby naturalnej n nie ma bijekcji z {0, 1, 2, ..., n−1} na A .

Następnie ZF udowadnia następujące implikacje: Dedekind-nieskończone ⇒ podwójnie Dedekind-nieskończone ⇒ słabo Dedekind-nieskończone ⇒ nieskończone.

Istnieją modele ZF posiadające nieskończony zbiór Dedekind-finite. Niech A będzie takim zbiorem, a B niech będzie zbiorem skończonych ciągów iniekcyjnych z A . Ponieważ A jest nieskończone, funkcja „upuść ostatni element” z B do siebie jest surjektywna, ale nie iniektywna, więc B jest podwójnie Dedekind-nieskończony. Jednakże, ponieważ A jest Dedekind-skończony, tak samo jest z B (gdyby B miał przeliczalnie nieskończony podzbiór, to używając faktu, że elementy B są sekwencjami injektywnymi, można by wykazywać przeliczalnie nieskończony podzbiór A ).

Gdy zbiory mają dodatkowe struktury, oba rodzaje nieskończoności mogą czasem okazać się równoważne w stosunku do ZF . Na przykład ZF udowadnia, że ​​dobrze uporządkowany zbiór jest Dedekind-nieskończony wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieskończony.

Historia

Termin pochodzi od nazwiska niemieckiego matematyka Richarda Dedekinda , który jako pierwszy wprowadził tę definicję. Warto zauważyć, że ta definicja była pierwszą definicją „nieskończoności”, która nie opierała się na definicji liczb naturalnych (chyba że podąża się za Poincaré i uważa pojęcie liczby za poprzedzające nawet pojęcie zbioru). Chociaż taka definicja była znana Bernardowi Bolzano , nie mógł publikować swojej pracy w najbardziej niejasnych czasopismach z powodu jego wygnania politycznego z Uniwersytetu Praskiego w 1819 roku. Co więcej, definicja Bolzano była dokładniejszą relacją, między dwoma nieskończonymi zestawami, a nie definicją zestawu nieskończonego per se .

Przez długi czas wielu matematyków nawet nie zastanawiało się, czy istnieje różnica między pojęciami zbioru nieskończonego i zbioru nieskończonego Dedekinda. W rzeczywistości to rozróżnienie nie zostało naprawdę zrealizowane, dopóki Ernst Zermelo nie sformułował wyraźnie AC. Istnienie nieskończonych zbiorów Dedekind-skończonych zostało zbadane przez Bertranda Russella i Alfreda Northa Whiteheada w 1912 roku; te zestawy były początkowo nazywane pośrednimi kardynałami lub kardynałami Dedekind .

Wraz z ogólną akceptacją aksjomatu wyboru przez społeczność matematyczną, te kwestie odnoszące się do zbiorów nieskończonych i nieskończonych Dedekind stały się mniej istotne dla większości matematyków. Jednak badanie zbiorów Dedekind-nieskończonych odegrało ważną rolę w próbie wyjaśnienia granicy między skończonym a nieskończonym, a także ważną rolę w historii AC.

Związek z aksjomatem wyboru

Ponieważ każdy nieskończony dobrze uporządkowany zbiór jest Dedekind-nieskończony, a AC jest równoważne z twierdzeniem o dobrym uporządkowaniu mówiącym, że każdy zbiór może być dobrze uporządkowany, wyraźnie ogólne AC implikuje, że każdy nieskończony zbiór jest Dedekind-nieskończony. Jednak równoważność obu definicji jest znacznie słabsza niż pełna siła AC.

W szczególności istnieje model ZF, w którym istnieje nieskończony zbiór bez przeliczalnie nieskończonego podzbioru. Stąd w modelu tym istnieje nieskończony zbiór Dedekind-skończony. Z powyższego, taki zestaw nie może być dobrze uporządkowany w tym modelu.

Jeśli przyjmiemy aksjomat CC (tj. AC ω ), to wynika z tego, że każdy nieskończony zbiór jest Dedekind-nieskończony. Równoważność tych dwóch definicji jest jednak w rzeczywistości zdecydowanie słabsza niż nawet KC. Mówiąc wprost, istnieje model ZF, w którym każdy nieskończony zbiór jest Dedekind-nieskończony, jednak CC zawodzi (zakładając spójność ZF ).

Dowód równoważności do nieskończoności, zakładając aksjomat wyboru policzalnego

To, że każdy zbiór nieskończony Dedekinda jest nieskończony, można łatwo udowodnić w ZF: każdy zbiór skończony ma z definicji bijekcję z pewną skończoną liczbą porządkową n , i można udowodnić przez indukcję na n, że nie jest to nieskończony Dedekind.

Stosując aksjomat wyboru przeliczalnego (oznaczenie: aksjomat CC) można dowieść odwrotności, a mianowicie, że każdy nieskończony zbiór X jest Dedekind-nieskończony w następujący sposób:

Najpierw zdefiniuj funkcję nad liczbami naturalnymi (czyli nad skończonymi liczbami porządkowymi) f  : N → Potęga(Potęga( X )) , tak aby dla każdej liczby naturalnej n , f ( n ) był zbiorem skończonych podzbiorów X o rozmiarze n (tj. które mają bijekcję ze skończoną liczbą porządkową n ). f ( n ) nigdy nie jest puste, inaczej X byłoby skończone (co można udowodnić przez indukcję na n ).

Obrazu f jest policzalnych zestaw { f ( n ) | n ∈ N }, których elementy są same w sobie nieskończonymi (i ewentualnie niepoliczalnymi) zbiorami. Używając aksjomatu wyboru przeliczalnego możemy wybrać jednego członka z każdego z tych zbiorów, a ten członek sam jest skończonym podzbiorem X . Dokładniej, zgodnie z aksjomatem wyboru przeliczalnego istnieje zbiór (przeliczalny), G = { g ( n ) | n ∈ N }, tak że dla każdej liczby naturalnej n , g ( n ) należy do f ( n ) i dlatego jest skończonym podzbiorem X o rozmiarze n .

Teraz definiujemy U jako związek członków G . U jest nieskończonym, przeliczalnym podzbiorem X , a bijekcja z liczb naturalnych na U , h  : N → U , może być łatwo zdefiniowana. Możemy teraz zdefiniować bijekcję B  : X → X ∖ h (0) , która bierze każdy element spoza U do siebie i przyjmuje h ( n ) dla każdej liczby naturalnej do h ( n + 1 ) . Stąd X jest Dedekind-nieskończone i gotowe.

Uogólnienia

Wyrażony w kategoriach teoretyczno-kategorii zbiór A jest dedekind-skończony, jeśli w kategorii zbiorów każdy monomorfizm f  : A → A jest izomorfizmem. Von Neumann regularny pierścień R ma analogiczną własność w kategorii (lewy lub prawy) R -modules wtedy i tylko wtedy, jeśli w R , xy = 1 implikuje yx = 1 . Bardziej ogólnie, pierścień Dedekinda skończony to dowolny pierścień, który spełnia ten ostatni warunek. Uważaj, że pierścień może być Dedekind-skończony, nawet jeśli jego zbiór bazowy jest Dedekind-nieskończony, np. liczby całkowite.

Uwagi

Bibliografia

  • Wiara, Carlu Cliftonie. Ankiety matematyczne i monografie . Tom 65. Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. 2. wyd. Księgarnia AMS, 2004. ISBN  0-8218-3672-2
  • Moore, Gregory H., Aksjomat wyboru Zermelo , Springer-Verlag, 1982 (brak nakładu), ISBN  0-387-90670-3 , w szczególności str. 22-30 oraz tabele 1 i 2 na s. 322-323
  • Jech, Thomas J. , Aksjomat wyboru , Dover Publications, 2008, ISBN  0-486-46624-8
  • Lam, Tsit-Yuen. Pierwszy kurs w pierścieniach nieprzemiennych . Tom 131 Tekstów magisterskich z matematyki . 2. wyd. Springer, 2001. ISBN  0-387-95183-0
  • Herrlich, Horst, Aksjomat wyboru , Springer-Verlag, 2006, Lecture Notes in Mathematics 1876, ISSN wydanie drukowane 0075-8434, ISSN wydanie elektroniczne: 1617-9692, w szczególności rozdział 4.1.