Definiowana liczba rzeczywista - Definable real number

Pierwiastek z 2 jest równa długości przeciwprostokątnej z trójkąta prostokątnego z nogami o długości 1, a zatem liczba konstruowalne

Nieformalnie, definiowalna liczba rzeczywista to liczba rzeczywista, którą można jednoznacznie określić poprzez jej opis. Opis może być wyrażony jako konstrukcja lub formuła języka formalnego . Na przykład, dodatni pierwiastek kwadratowy z 2, , można zdefiniować jako unikalne dodatnie rozwiązanie równania i można go skonstruować za pomocą kompasu i liniału pomiarowego.

Różne wybory języka formalnego lub jego interpretacji rodzą różne pojęcia definiowalności. Konkretne odmiany liczb definiowalnych obejmują liczby konstruowalne geometrii, liczby algebraiczne i liczby obliczalne . Ponieważ języki formalne mogą mieć tylko przeliczalnie wiele formuł, każde pojęcie liczb definiowalnych ma co najwyżej przeliczalnie wiele definiowalnych liczb rzeczywistych. Jednakże, zgodnie z argumentem ukośnym Cantora , istnieje niezliczona ilość liczb rzeczywistych, więc prawie każda liczba rzeczywista jest niedefiniowalna.

Liczby do zbudowania

Jednym ze sposobów określenia liczby rzeczywistej są techniki geometryczne. Liczba rzeczywista jest liczbą konstruktywną, jeśli istnieje metoda skonstruowania odcinka o długości za pomocą cyrkla i liniału mierniczego, zaczynając od odcinka ustalonego o długości 1.

Każda dodatnia liczba całkowita i każda dodatnia liczba wymierna jest konstruktywna. Dodatni pierwiastek kwadratowy z 2 jest konstruowalny. Jednak korzeń sześcianu 2 nie jest konstruowalny; wiąże się to z niemożliwością podwojenia sześcianu .

Rzeczywiste liczby algebraiczne

Liczby algebraiczne na płaszczyźnie zespolonej pokolorowane stopniami (czerwony=1, zielony=2, niebieski=3, żółty=4)

Liczba rzeczywista nazywana jest rzeczywistą liczbą algebraiczną, jeśli istnieje wielomian , z tylko współczynnikami całkowitymi, więc jest to pierwiastek z , czyli . Każdą liczbę rzeczywistą algebraiczną można zdefiniować indywidualnie za pomocą relacji porządku na liczbach rzeczywistych. Na przykład, jeśli wielomian ma 5 pierwiastków rzeczywistych, trzeci może być zdefiniowany jako unikalny taki i taki, że istnieją dwie różne liczby mniejsze niż przy którym jest zero.

Wszystkie liczby wymierne są algebraiczne, a wszystkie liczby konstruowalne są algebraiczne. Istnieją liczby, takie jak pierwiastek sześcienny z 2, które są algebraiczne, ale nie można ich skonstruować.

Liczby algebraiczne rzeczywiste tworzą podciało liczb rzeczywistych. Oznacza to, że 0 i 1 są liczbami algebraicznymi, a ponadto, jeśli i są liczbami algebraicznymi, to również są , , a jeśli jest niezerowe, .

Rzeczywiste liczby algebraiczne mają również tę własność, która wykracza poza bycie podciałem liczb rzeczywistych, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej i każdej rzeczywistej liczby algebraicznej wszystkie pierwiastki z tej liczby są również algebraiczne.

Liczb algebraicznych jest tylko przeliczalnie wiele , ale liczb rzeczywistych jest niepoliczalnie wiele, więc w sensie kardynalności większość liczb rzeczywistych nie jest algebraiczna. Ten niekonstruktywny dowód, że nie wszystkie liczby rzeczywiste są algebraiczne, został po raz pierwszy opublikowany przez Georga Cantora w jego pracy z 1874 r. „ O własności zbioru wszystkich liczb rzeczywistych algebraicznych ”.

Liczby niealgebraiczne nazywane są liczbami przestępnymi . Najbardziej znanymi liczbami przestępnymi są π i e .

Obliczalne liczby rzeczywiste

Liczba rzeczywista jest liczbą obliczalną, jeśli istnieje algorytm, który przy danej liczbie naturalnej tworzy rozwinięcie dziesiętne liczby z dokładnością do miejsc dziesiętnych. Pojęcie to zostało wprowadzone przez Alana Turinga w 1936 roku.

Liczby obliczalne obejmują liczby algebraiczne wraz z wieloma liczbami przestępnymi, w tym i . Podobnie jak liczby algebraiczne, liczby obliczalne również tworzą podciało liczb rzeczywistych, a dodatnie liczby obliczalne są zamykane przez wyciągnięcie pierwiastków dla każdego dodatniego .

Nie wszystkie liczby rzeczywiste są obliczalne. Konkretne przykłady nieobliczalnych liczb rzeczywistych obejmują granice ciągów Speckera i algorytmicznie losowe liczby rzeczywiste, takie jak liczby Ω Chaitina .

Definiowalność w arytmetyce

Inne pojęcie definiowalności pochodzi z formalnych teorii arytmetyki, takich jak arytmetyka Peano . Język arytmetyki ma symboli 0, 1, operacji następca, dodatkowo, i mnożenie, powinno być interpretowane w zwykły sposób w ciągu liczb naturalnych . Ponieważ żadne zmienne w tym języku nie wykraczają poza liczby rzeczywiste , potrzebny jest inny rodzaj definiowalności w odniesieniu do liczb rzeczywistych. Liczba rzeczywista jest definiowalna w języku arytmetyki (lub arytmetyki ), jeśli jej cięcie Dedekind można zdefiniować jako predykat w tym języku; to znaczy, jeśli istnieje formuła pierwszego rzędu w języku arytmetyki, z trzema wolnymi zmiennymi, takimi, że

Tutaj m , n i p są rozłożone na nieujemnych liczbach całkowitych.

Język drugiego rzędu arytmetyki jest taka sama jak w języku pierwszego rzędu, z wyjątkiem, że zmienne i kwantyfikatory mogą wynosić ponad zestawy Naturals. Rzeczywistość drugiego rzędu definiowalna w języku arytmetyki nazywa się analityczną .

Każda obliczalna liczba rzeczywista jest arytmetyczna, a liczby arytmetyczne tworzą podciało liczb rzeczywistych, podobnie jak liczby analityczne. Każda liczba arytmetyczna jest analityczna, ale nie każda liczba analityczna jest arytmetyczna. Ponieważ liczb analitycznych jest tylko przeliczalnie wiele, większość liczb rzeczywistych nie ma charakteru analitycznego, a zatem również nie jest arytmetyczna.

Każda liczba obliczalna jest arytmetyczna, ale nie każda liczba arytmetyczna jest obliczalna. Na przykład granica sekwencji Speckera to liczba arytmetyczna, której nie można obliczyć.

Definicje rzeczywistości arytmetycznych i analitycznych można podzielić na hierarchię arytmetyczną i hierarchię analityczną . Ogólnie rzecz biorąc, liczba rzeczywista jest obliczalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej cięcie Dedekind znajduje się na poziomie hierarchii arytmetycznej, jednym z najniższych poziomów. Podobnie liczby rzeczywiste z cięciami arytmetycznymi Dedekinda tworzą najniższy poziom hierarchii analitycznej.

Definiowalność w modelach ZFC

Liczba rzeczywista jest definiowana w pierwszym rzędzie w języku teorii mnogości, bez parametrów , jeśli istnieje formuła w języku teorii mnogości , z jedną wolną zmienną , taką jak unikalna liczba rzeczywista, która obowiązuje . Pojęcie to nie może być wyrażone jako formuła w języku teorii mnogości.

Wszystkie liczby analityczne, aw szczególności wszystkie liczby obliczalne, są definiowalne w języku teorii mnogości. Tak więc liczby rzeczywiste definiowalne w języku teorii mnogości obejmują wszystkie znane liczby rzeczywiste, takie jak 0 , 1 , , , i tak dalej, wraz ze wszystkimi liczbami algebraicznymi. Zakładając, że tworzą one zbiór w modelu, liczby rzeczywiste definiowalne w języku teorii mnogości nad konkretnym modelem ZFC tworzą ciało .

Każdy model mnogościowy teorii mnogości ZFC, który zawiera niezliczoną ilość liczb rzeczywistych, musi zawierać liczby rzeczywiste, które nie są definiowalne w obrębie (bez parametrów). Wynika to z faktu, że formuł jest przeliczalnie wiele, a więc tylko przeliczalnie wiele elementów da się zdefiniować na . Jeśli więc ma nieprzeliczalnie wiele liczb rzeczywistych, można "z zewnątrz" udowodnić, że nie każda liczba rzeczywista jest definiowalna na .

Ten argument staje się bardziej problematyczny, jeśli zostanie zastosowany do modeli klasowych ZFC, takich jak wszechświat von Neumanna . Twierdzenie „liczba rzeczywista jest definiowalna w modelu klasowym ” nie może być wyrażone jako formuła ZFC. Podobnie pytanie, czy wszechświat von Neumanna zawiera liczby rzeczywiste, których nie może zdefiniować, nie może być wyrażone jako zdanie w języku ZFC. Ponadto istnieją modele przeliczalne ZFC, w których wszystkie liczby rzeczywiste, wszystkie zbiory liczb rzeczywistych, funkcje na liczbach rzeczywistych itp. są definiowalne.

Zobacz też

Bibliografia