Stopnie swobody (mechanika) - Degrees of freedom (mechanics)

W fizyki , że stopnie swobody ( DOF ) z układu mechanicznego jest liczbą niezależnych parametrów , które określają jego konfiguracji lub stanu. Jest to ważne w analizie układów ciał w inżynierii mechanicznej , inżynierii budowlanej , inżynierii kosmicznej , robotyki i innych dziedzinach.

Pozycja pojedynczego wagonu (silnika) poruszającego się po torze ma jeden stopień swobody, ponieważ pozycja wagonu jest określona przez odległość wzdłuż toru. Ciąg sztywnych wagonów połączonych zawiasami z silnikiem nadal ma tylko jeden stopień swobody, ponieważ pozycje wagonów za silnikiem są ograniczone kształtem toru.

Samochód z bardzo sztywnym zawieszeniem można uznać za sztywne nadwozie podróżujące w samolocie (płaska, dwuwymiarowa przestrzeń). To ciało ma trzy niezależne stopnie swobody składające się z dwóch składowych translacji i jednego kąta obrotu. Poślizg lub drift to dobry przykład trzech niezależnych stopni swobody samochodu.

Położenie i orientację ciała sztywnego w przestrzeni określają trzy składowe przesunięcia i trzy składowe obrotu , co oznacza, że ​​ma sześć stopni swobody.

Dokładny ograniczenie mechaniczne metody projektowania zarządza stopnie swobody ani underconstrain ani overconstrain urządzenia.

Ruchy i wymiary

Pozycja n- wymiarowego ciała sztywnego jest określona przez transformację sztywną , [ T ] = [ A ,  d ], gdzie d jest n- wymiarowym przesunięciem, a A jest n  ×  n macierzą obrotu, która ma n stopni translacji swoboda i n ( n  − 1)/2 obrotowe stopnie swobody. Liczba obrotowych stopni swobody pochodzi z wymiaru grupy obrotowej  SO(n) .

Ciało niesztywne lub odkształcalne może być traktowane jako zbiór wielu drobnych cząstek (nieskończona liczba stopni DOF), jest to często aproksymowane przez skończony system DOF. Gdy głównym celem badań jest ruch obejmujący duże przemieszczenia (np. do analizy ruchu satelitów), ciało odkształcalne można aproksymować jako ciało sztywne (lub nawet cząstkę) w celu uproszczenia analizy.

Stopień swobody systemu można postrzegać jako minimalną liczbę współrzędnych wymaganych do określenia konfiguracji. Stosując tę ​​definicję, mamy:

1. Dla pojedynczej cząstki w płaszczyźnie dwie współrzędne określają jej położenie, więc ma ona dwa stopnie swobody;
2. Pojedyncza cząstka w przestrzeni wymaga trzech współrzędnych, więc ma trzy stopnie swobody;
3. Dwie cząstki w przestrzeni mają łącznie sześć stopni swobody;
4. Jeśli dwie cząstki w przestrzeni są ograniczone, aby utrzymać stałą odległość od siebie, tak jak w przypadku cząsteczki dwuatomowej, wtedy sześć współrzędnych musi spełniać pojedyncze równanie ograniczenia zdefiniowane przez wzór odległości. Zmniejsza to stopień swobody systemu do pięciu, ponieważ wzór na odległość może być użyty do obliczenia pozostałej współrzędnej po określeniu pozostałych pięciu.

Nadwozia sztywne

Sześć stopni swobody ruchu statku

Stopnie swobody ustawienia dla samolotu

Mnemoniki do zapamiętania nazw kątów

Pojedyncza bryła sztywna ma co najwyżej sześć stopni swobody (6 DOF) 3T3R składających się z trzech translacji 3T i trzech obrotów 3R .

Zobacz także Kąty Eulera .

Na przykład ruch statku na morzu ma sześć stopni swobody bryły sztywnej i jest opisany jako:

Tłumaczenie i rotacja:

1. Poruszanie się w górę i w dół (podnoszenie/podnoszenie);
2. Poruszanie się w lewo iw prawo (strafing/kołysanie);
3. Poruszanie się do przodu i do tyłu (chodzenie / falowanie);
4. Krętliki w lewo i prawo ( odchylanie );
5. Przechyla się do przodu i do tyłu ( pochylanie );
6. Obraca się na boki ( toczenie ).

Na przykład trajektoria samolotu w locie ma trzy stopnie swobody, a jego położenie wzdłuż trajektorii ma trzy stopnie swobody, co daje w sumie sześć stopni swobody.

Mniejsza mobilność

Zobacz także: Manipulator równoległy

Wiązania fizyczne mogą ograniczać liczbę stopni swobody pojedynczej bryły sztywnej. Na przykład blok ślizgający się po płaskim stole ma 3 stopnie swobody 2T1R składające się z dwóch translacji 2T i 1 obrotu 1R . Robot pozycjonujący XYZ, taki jak SCARA, ma niższą mobilność o 3 DOF 3T .

Formuła mobilności

Formuła mobilności zlicza liczbę parametrów definiujących konfigurację zestawu brył sztywnych, które są ograniczone połączeniami łączącymi te bryły.

Rozważmy, że układ n ciał sztywnych poruszających się w przestrzeni ma 6 n stopni swobody mierzonych względem ramy nieruchomej. Aby policzyć stopnie swobody tego systemu, należy uwzględnić bryłę stałą w liczeniu brył, tak aby ruchliwość była niezależna od wyboru bryły tworzącej ramę stałą. Wtedy stopień swobody układu nieograniczonego N  =  n  + 1 wynosi

${\ Displaystyle M = 6n = 6 (N-1), \!}$

ponieważ bryła nieruchoma ma zero stopni swobody względem siebie.

Połączenia łączące ciała w tym systemie usuwają stopnie swobody i zmniejszają mobilność. W szczególności zawiasy i suwaki nakładają po pięć wiązań, a zatem usuwają pięć stopni swobody. Wygodnie jest zdefiniować liczbę więzów c, które nakłada złącze w zakresie swobody złącza f , gdzie c  = 6 −  f . W przypadku zawiasu lub suwaka, które są połączeniami o jednym stopniu swobody, mają f  = 1, a zatem c  = 6 − 1 = 5.

Powoduje to, że ruchliwość układu utworzone z n ruchu łącza i j stawów każdego swobody f _{: i} , i  = 1, ..., j, jest przez

${\ Displaystyle M = 6n-\ suma _ {i = 1} ^ {j} \ (6-f_ {i}) = 6 (N-1-j) + \ suma _ {i = 1} ^ {j} \ f_{i}}$

Przypomnij sobie, że N zawiera łącze stałe.

Istnieją dwa ważne przypadki specjalne: (i) prosty łańcuch otwarty i (ii) prosty łańcuch zamknięty. Pojedynczy otwarty łańcuch składa się z n ruchomych ogniw połączonych końcami za pomocą n przegubów, z jednym końcem połączonym z ogniwem uziemiającym. Zatem w tym przypadku N  =  j  + 1, a ruchliwość łańcucha wynosi

${\ Displaystyle M = \ suma _ {i = 1} ^ {j} \ f_ {i}}$

W przypadku prostego łańcucha zamkniętego n ruchomych ogniw jest połączonych  końcami za pomocą n + 1 połączeń tak, że dwa końce są połączone z ogniwem uziemienia tworząc pętlę. W tym przypadku mamy N  =  j, a ruchliwość łańcucha wynosi

${\ Displaystyle M = \ suma _ {i = 1} ^ {j} \ f_ {i} -6}$

Przykładem prostego łańcucha otwartego jest manipulator robota szeregowego. Te zrobotyzowane systemy są zbudowane z szeregu ogniw połączonych sześcioma złączami obrotowymi lub pryzmatycznymi o jednym stopniu swobody, dzięki czemu system ma sześć stopni swobody.

Przykładem prostego łańcucha zamkniętego jest czteroprętowe zawieszenie przestrzenne RSSR. Suma swobody tych przegubów wynosi osiem, więc ruchliwość połączenia wynosi dwa, gdzie jednym ze stopni swobody jest obrót łącznika wokół linii łączącej dwa przeguby S.

Ruch płaski i sferyczny

Powszechną praktyką jest projektowanie systemu połączeń w taki sposób, aby ruch wszystkich ciał był ograniczony do leżenia na równoległych płaszczyznach, tworząc to, co jest znane jako połączenie planarne . Możliwe jest również skonstruowanie układu połączeń w taki sposób, aby wszystkie ciała poruszały się po koncentrycznych kulach, tworząc połączenie kuliste . W obu przypadkach stopnie swobody połączeń w każdym systemie wynoszą teraz trzy zamiast sześciu, a ograniczenia nałożone przez połączenia wynoszą teraz c  = 3 −  f .

W tym przypadku wzór na ruchliwość jest wyrażony przez

${\ Displaystyle M = 3 (N-1-j) + \ suma _ {i = 1} ^ {j} \ f_ {i}}$

a szczególne przypadki stają się

• płaski lub sferyczny prosty łańcuch otwarty,

${\ Displaystyle M = \ suma _ {i = 1} ^ {j} \ f_ {i}}$

• płaski lub sferyczny prosty łańcuch zamknięty,

${\ Displaystyle M = \ suma _ {i = 1} ^ {j} \ f_ {i} -3.}$

Przykładem płaskiego prostego łańcucha zamkniętego jest płaskie połączenie czteroprętowe , które jest czteroprętową pętlą z czterema przegubami o jednym stopniu swobody, a zatem ma ruchomość  M  = 1.

Systemy ciał

Przegubowe Robot z sześciu DOF w łańcuchu kinematycznym.

Układ z kilkoma ciałami miałby łączny stopień swobody, który jest sumą stopni głębi ostrości ciał, pomniejszoną o wewnętrzne więzy, jakie mogą mieć na ruch względny. Mechanizm lub łącznik zawierający szereg połączonych sztywnych korpusów może mieć więcej niż stopni swobody dla pojedynczego sztywnego korpusu. Tutaj termin stopnie swobody jest używany do opisania liczby parametrów potrzebnych do określenia przestrzennej pozy połączenia. Jest również definiowana w kontekście przestrzeni konfiguracyjnej, przestrzeni zadań i przestrzeni roboczej robota.

Specyficznym rodzajem połączenia jest otwarty łańcuch kinematyczny , w którym zestaw sztywnych ogniw jest połączonych na złączach ; połączenie może mieć jeden DOF (zawiasowy/przesuwny) lub dwa (cylindryczny). Takie łańcuchy występują powszechnie w robotyce , biomechanice , satelitach i innych strukturach kosmicznych. Uważa się, że ludzka ręka ma siedem stopni DOF. Ramię pozwala na pochylenie, odchylenie i kołysanie, łokieć na pochylenie, a nadgarstek na pochylenie, odchylenie i kołysanie. Tylko 3 z tych ruchów byłyby potrzebne, aby przenieść rękę w dowolne miejsce w przestrzeni, ale ludzie nie byliby w stanie uchwycić rzeczy pod różnymi kątami lub z różnych kierunków. Robot (lub obiekt), który ma mechanizmy do kontrolowania wszystkich 6 fizycznych DOF, jest uważany za holonomiczny . Obiekt z mniejszą liczbą kontrolowanych DOF niż całkowitymi DOF jest uważany za nieholonomiczny, a obiekt z większą liczbą kontrolowanych DOF niż całkowitymi DOF (taki jak ludzka ręka) jest uważany za zbędny. Należy jednak pamiętać, że nie jest on zbędny w ludzkim ramieniu, ponieważ dwa DOF; nadgarstek i ramię, które reprezentują ten sam ruch; toczą się, zasilają się nawzajem, ponieważ nie mogą wykonać pełnego 360. Stopnie swobody są jak różne ruchy, które można wykonać.

W robotyce mobilnej robot podobny do samochodu może osiągnąć dowolną pozycję i orientację w przestrzeni 2D, więc potrzebuje 3 stopni głębi ostrości, aby opisać swoją pozę, ale w dowolnym momencie można go przesunąć tylko ruchem do przodu i kątem skrętu. Ma więc dwa kontrolne DOF i trzy reprezentacyjne DOF; tj. jest nieholonomiczna. Samolot ze stałym skrzydłem, z 3–4 stopniami kontroli DOF (ruch do przodu, przechylenie, pochylenie i w ograniczonym stopniu odchylenie) w przestrzeni trójwymiarowej, również nie jest holonomiczny, ponieważ nie może poruszać się bezpośrednio w górę/w dół lub Lewo prawo.

Podsumowanie wzorów i metod obliczania stopni swobody w układach mechanicznych podali Pennestri, Cavacece i Vita.

Inżynieria elektryczna

W elektrotechnice stopnie swobody są często używane do opisania liczby kierunków, w których antena z układem fazowanym może tworzyć wiązki lub wartości zerowe . Jest on równy o jeden mniej niż liczba elementów zawartych w szyku, ponieważ jeden element jest używany jako odniesienie, względem którego można zastosować konstruktywne lub niszczące zakłócenia przy użyciu każdego z pozostałych elementów anteny. Praktyka radarowa i praktyka łącza komunikacyjnego, przy czym sterowanie wiązką jest bardziej rozpowszechnione w zastosowaniach radarowych, a sterowanie zerowe jest bardziej rozpowszechnione w przypadku tłumienia zakłóceń w łączach komunikacyjnych.

Zobacz też

• Blokada gimbala
• Kinematyka
• Para kinematyczna

Bibliografia