Deltahedron - Deltahedron

Największym ściśle wypukłym trójkątem jest dwudziestościan foremny

Jest to ścięty czworościan z sześciokątami podzielonymi na trójkąty. Ta figura nie jest ściśle wypukłym trójkątem, ponieważ współpłaszczyznowe ściany nie są dozwolone w definicji.

W geometrii deltahedron ( liczba mnoga deltahedra ) to wielościan, którego twarze są trójkątami równobocznymi . Nazwa pochodzi od greckiej wielkiej litery delta (Δ), która ma kształt trójkąta równobocznego. Istnieje nieskończenie wiele deltaedrów, wszystkie mają parzystą liczbę twarzy według lematu uścisku dłoni . Spośród nich tylko osiem jest wypukłych , o 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 i 20 ścianach. Poniżej wymieniono liczbę ścian, krawędzi i wierzchołków dla każdego z ośmiu wypukłych deltaedrów.

Osiem wypukłych deltaedrów

Istnieje tylko osiem ściśle wypukłych deltaedrów: trzy to wielościany regularne , a pięć to bryły Johnsona .

Regularny deltaedra
Obraz	Nazwa	Twarze	Krawędzie	Wierzchołki	Konfiguracje wierzchołków	Grupa symetrii
	czworościan	4	6	4	4 × 3 ³	T _d , [3,3]
	oktaedr	8	12	6	6 × 3 ⁴	O _H [4,3]
	dwudziestościan	20	30	12	12 × 3 ⁵	ja _h , [5,3]
deltaedra Johnsona
Obraz	Nazwa	Twarze	Krawędzie	Wierzchołki	Konfiguracje wierzchołków	Grupa symetrii
	trójkątna bipiramida	6	9	5	2 × 3 ³ 3 × 3 ⁴	D _3h , [3,2]
	dwupiramida pięciokątna	10	15	7	5 × 3 ⁴ 2 × 3 ⁵	D _5h , [5,2]
	zadarty dysfenoid	12	18	8	4 × 3 ⁴ 4 × 3 ⁵	D _2d , [2,2]
	triaugmentowany pryzmat trójkątny	14	21	9	3 × 3 ⁴ 6 × 3 ⁵	D _3h , [3,2]
	kwadratowa bipiramida o wydłużonym żyro	16	24	10	2 × 3 ⁴ 8 × 3 ⁵	D _4d , [4,2]

W deltaościanie 6-ścianowym, niektóre wierzchołki mają stopień 3 i pewien stopień 4. W deltaścianie 10-, 12-, 14- i 16-ścianowym, niektóre wierzchołki mają stopień 4 i pewien stopień 5. Tych pięć nieregularnych deltaedrów należy do klasa brył Johnsona : wielościany wypukłe z wielokątami foremnymi dla ścian.

Deltahedry zachowują swój kształt, nawet jeśli krawędzie mogą swobodnie obracać się wokół ich wierzchołków, dzięki czemu kąty między krawędziami są płynne. Nie wszystkie wielościany mają tę właściwość: na przykład, jeśli rozluźnisz niektóre kąty sześcianu , sześcian może zostać zdeformowany w nieprawy kwadratowy pryzmat .

Nie ma 18-ścian wypukły deltahedron. Jednak dwudziestościan o skróconej krawędzi daje przykład ośmiościanu, który może być albo wypukły z 18 nieregularnymi trójkątnymi ścianami, albo wykonany z trójkątów równobocznych, które zawierają dwa współpłaszczyznowe zestawy trzech trójkątów.

Przypadki nieściśle wypukłe

Istnieje nieskończenie wiele przypadków z trójkątami współpłaszczyznowymi, pozwalającymi na przekroje płytek nieskończonych trójkątów . Jeśli zbiory trójkątów współpłaszczyznowych są traktowane jako pojedyncza ściana, można policzyć mniejszy zbiór ścian, krawędzi i wierzchołków. Współpłaszczyznowe trójkątne ściany można połączyć w rombowe, trapezowe, sześciokątne lub inne równoboczne ściany wielokątów. Każda ściana musi być wypukłym poliamondem, takim jak , , , , , , i , ...

Niektóre mniejsze przykłady obejmują:

deltaedry współpłaszczyznowe
Nazwa	Twarze	Krawędzie	Wierzchołki	Konfiguracje wierzchołków	Grupa symetrii
Augmented octahedron Augmentation 1 tet + 1 oct	10	15	7	1 × 3 ³ 3 × 3 ⁴ 3 × 3 ⁵ 0 × 3 ⁶	C _3v , [3]
Augmented octahedron Augmentation 1 tet + 1 oct	4 3	12	7	1 × 3 ³ 3 × 3 ⁴ 3 × 3 ⁵ 0 × 3 ⁶	C _3v , [3]
Trigonal trapezohedron Augmentation 2 tets + 1 oct	12	18	8	2 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 6 × 3 ⁵ 0 × 3 ⁶	C _3v , [3]
Trigonal trapezohedron Augmentation 2 tets + 1 oct	6	12	8	2 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 6 × 3 ⁵ 0 × 3 ⁶	C _3v , [3]
Augmentacja 2 tets + 1 oct	12	18	8	2 × 3 ³ 1 × 3 ⁴ 4 × 3 ⁵ 1 × 3 ⁶	C _2v , [2]
Augmentacja 2 tets + 1 oct	2 2 2	11	7	2 × 3 ³ 1 × 3 ⁴ 4 × 3 ⁵ 1 × 3 ⁶	C _2v , [2]
Trójkątna augmentacja frustum 3 tets + 1 oct	14	21	9	3 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 3 × 3 ⁵ 3 × 3 ⁶	C _3v , [3]
Trójkątna augmentacja frustum 3 tets + 1 oct	1 3 1	9	6	3 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 3 × 3 ⁵ 3 × 3 ⁶	C _3v , [3]
Wydłużony ośmiościan Augmentation 2 tets + 2 octs	16	24	10	0 × 3 ³ 4 × 3 ⁴ 4 × 3 ⁵ 2 × 3 ⁶	D _2h , [2,2]
Wydłużony ośmiościan Augmentation 2 tets + 2 octs	4 4	12	6	0 × 3 ³ 4 × 3 ⁴ 4 × 3 ⁵ 2 × 3 ⁶	D _2h , [2,2]
Rozszerzenie Tetrahedron 4 tets + 1 oct	16	24	10	4 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 0 × 3 ⁵ 6 × 3 ⁶	T _d , [3,3]
Rozszerzenie Tetrahedron 4 tets + 1 oct	4	6	4	4 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 0 × 3 ⁵ 6 × 3 ⁶	T _d , [3,3]
Rozszerzenie 3 tets + 2 octs	18	27	11	1 × 3 ³ 2 × 3 ⁴ 5 × 3 ⁵ 3 × 3 ⁶	D _2h , [2,2]
Rozszerzenie 3 tets + 2 octs	2 1 2 2	14	9	1 × 3 ³ 2 × 3 ⁴ 5 × 3 ⁵ 3 × 3 ⁶	D _2h , [2,2]
Dwudziestościan skrócony krawędziowo	18	27	11	0 × 3 ³ 2 × 3 ⁴ 8 × 3 ⁵ 1 × 3 ⁶	C _2v , [2]
Dwudziestościan skrócony krawędziowo	12 2	22	10	0 × 3 ³ 2 × 3 ⁴ 8 × 3 ⁵ 1 × 3 ⁶	C _2v , [2]
Trójkątne bifrustum Augmentacja 6 tets + 2 octs	20	30	12	0 × 3 ³ 3 × 3 ⁴ 6 × 3 ⁵ 3 × 3 ⁶	D _3h , [3,2]
Trójkątne bifrustum Augmentacja 6 tets + 2 octs	2 6	15	9	0 × 3 ³ 3 × 3 ⁴ 6 × 3 ⁵ 3 × 3 ⁶	D _3h , [3,2]
Trójkątna kopuła Augmentacja 4 tets + 3 octs	22	33	13	0 × 3 ³ 3 × 3 ⁴ 6 × 3 ⁵ 4 × 3 ⁶	C _3v , [3]
Trójkątna kopuła Augmentacja 4 tets + 3 octs	3 3 1 1	15	9	0 × 3 ³ 3 × 3 ⁴ 6 × 3 ⁵ 4 × 3 ⁶	C _3v , [3]
Trójkątna bipiramida Augmentation 8 tets + 2 octs	24	36	14	2 × 3 ³ 3 × 3 ⁴ 0 × 3 ⁵ 9 × 3 ⁶	D _3H , [3]
Trójkątna bipiramida Augmentation 8 tets + 2 octs	6	9	5	2 × 3 ³ 3 × 3 ⁴ 0 × 3 ⁵ 9 × 3 ⁶	D _3H , [3]
Sześciokątny antypryzmat	24	36	14	0 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 12 × 3 ⁵ 2 × 3 ⁶	D _6d , [12,2 ⁺ ]
Sześciokątny antypryzmat	12 2	24	12	0 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 12 × 3 ⁵ 2 × 3 ⁶	D _6d , [12,2 ⁺ ]
Ścięty czworościan Augmentacja 6 tets + 4 octs	28	42	16	0 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 12 × 3 ⁵ 4 × 3 ⁶	T _d , [3,3]
Ścięty czworościan Augmentacja 6 tets + 4 octs	4 4	18	12	0 × 3 ³ 0 × 3 ⁴ 12 × 3 ⁵ 4 × 3 ⁶	T _d , [3,3]
Tetrakis sześcio-ośmiościan ośmiościanu Powiększanie 8 tets + 6 OCT	32	48	18	0 × 3 ³ 12 × 3 ⁴ 0 × 3 ⁵ 6 × 3 ⁶	O _H [4,3]
	8	12	6	0 × 3 ³ 12 × 3 ⁴ 0 × 3 ⁵ 6 × 3 ⁶	O _H [4,3]

Formy niewypukłe

Istnieje nieskończona liczba form niewypukłych.

Kilka przykładów deltaedrów przecinających twarze:

Wielki dwudziestościan - bryła Keplera-Poinsota z 20 przecinającymi się trójkątami

Inne niewypukłe deltaedry można wygenerować, dodając równoboczne piramidy do ścian wszystkich 5 wielościanów foremnych:

triakis czworościan	sześcian tetrakis	triakis ośmiościan ( stella octagula )	pentakis dwunastościan	triakis dwudziestościan

12 trójkątów	24 trójkąty		60 trójkątów

Inne rozszerzenia czworościanu obejmują:

Przykłady: rozszerzone czworościany
8 trójkątów	10 trójkątów	12 trójkątów

Również dodając odwrócone piramidy do ścian:

Odkopany dwunastościan

60 trójkątów	48 trójkątów
Odkopany dwunastościan	Toroidalny deltahedron

Zobacz też

Simplicial polytope - polytopes ze wszystkimi jednostronnymi fasetami

Bibliografia

Dalsza lektura

Rausenberger, O. (1915), „Konveexe pseudoreguläre Polyeder”, Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht , 46 : 135-142.
Cundy, H. Martyn (grudzień 1952), „Deltahedra”, Gazeta Matematyczna , 36 : 263-266, doi : 10.2307/3608204 , JSTOR 3608204.
Cundy, H. Martyn ; Rollett, A. (1989), „3.11. Deltahedra”, Modele matematyczne (3rd ed.), Stradbroke, Anglia: Tarquin Pub., s. 142-144.
Gardner, Martin (1992), Fractal Music, Hypercards and More: Mathematical Recreations z Scientific American , Nowy Jork: WH Freeman, s. 40, 53 i 58-60.
Pugh, Anthony (1976), Wielościany: podejście wizualne , Kalifornia: University of California Press Berkeley, ISBN 0-520-03056-7 s. 35–36

Languages

In other projects