Dyfeomorfizm - Diffeomorphism

Struktura algebraiczna → Teoria grup Teoria grup
Podstawowe pojęcia Podgrupa Podgrupa normalna Grupa ilorazowa (Pół) bezpośredni produkt Homomorfizmy grupowe jądro wizerunek suma bezpośrednia produkt wieniec prosty skończone nieskończony ciągły mnożny przyłączeniowy cykliczny abelian dwuścienny nilpotentny rozpuszczalny akcja Słowniczek teorii grup Lista tematów teorii grup
Grupy skończone Klasyfikacja skończonych grup prostych cykliczny zmienny Typ kłamstwa sporadyczny Twierdzenie Cauchy'ego Twierdzenie Lagrange'a Twierdzenia Sylowa Twierdzenie Halla grupa p Podstawowa grupa abelowa Grupa Frobenius Mnożnik Schura Grupa symetryczna S n Klein czterogrupa V Grupa dwuścienna D n Quaternion grupa Q Grupa dicykliczna Dic n
Dyskretne grupy Kraty Liczby całkowite ( Z ) Bezpłatna grupa Grupy modułowe PSL(2, Z ) SL(2, Z ) Grupa arytmetyczna Krata Grupa hiperboliczna
Grupy topologiczne i Liego Elektrozawór okrąg Ogólne liniowe GL( n ) Specjalne liniowe SL( n ) Ortogonalny O( n ) Euklidesa E( n ) Specjalne ortogonalne SO( n ) Jednostkowe U ( n ) Specjalna jednostkowa SU( n ) Symplektyczny Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Konformalne Dyfeomorfizm Pętla Nieskończenie wymiarowa grupa Liego O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Grupy algebraiczne Liniowa grupa algebraiczna Grupa redukcyjna Odmiana abelowa Krzywa eliptyczna
v t mi

Grupy kłamstw
Grupy klasyczne
Proste grupy kłamstw Klasyczny A n B n C n D n Wyjątkowy G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Inne grupy Lie okrąg Lorentz Poincaré Grupa konformalna Dyfeomorfizm Pętla Euklidesa
Algebry kłamstwa
Półprosta algebra Liego
Teoria reprezentacji
Grupy kłamstwa w fizyce
Naukowcy Sophus kłamstwo Henri Poincaré Zabijanie Wilhelma Elie Cartan Hermanna Weyla Claude Chevalley Harisz-Chandra Armand Borel
Słownik Tabela grup kłamstw
v t mi

W matematyce , o dyfeomorfizmu jest izomorfizmem z gładkich rozmaitości . Jest to funkcja odwracalna, która odwzorowuje jedną rozmaitość różniczkowalną na drugą tak, że zarówno funkcja, jak i jej odwrotność są gładkie .

Definicja

Mając dwie rozmaitości i , odwzorowywanie różniczkowe nazywamy dyfeomorfizmem, jeśli jest bijekcją, a jej odwrotność również jest różniczkowalna. Jeśli te funkcje są czasy różniczkowalne w sposób ciągły , nazywany jest -diffeomorphism .${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle N}$ ${\displaystyle f\colon M\rightarrow N}$${\ Displaystyle f ^ {-1} \ dwukropek N \ rightarrow M}$${\ Displaystyle r}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle C ^ {r}}$

Dwie rozmaitości i są dyfeomorficzne (zazwyczaj oznaczane jako ), jeśli istnieje dyfeomorfizm od do . Są - dyfeomorficzne, jeśli istnieje między nimi mapa bijektywna dająca się w sposób ciągły różniczkowalna, której odwrotność jest również różniczkowalna razy w sposób ciągły. ${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle M \ Simeq N}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle C ^ {r}}$${\ Displaystyle r}$${\ Displaystyle r}$

Dyfeomorfizmy podzbiorów rozmaitości

Mając podzbiór X rozmaitości M i podzbiór Y rozmaitości N , funkcja f  : X  → Y jest gładka, jeśli dla wszystkich p w X istnieje sąsiedztwo U  ⊆ M z p i gładka funkcja g  : U  → N takie, że ograniczenia się zgadzają: (zauważ, że g jest rozszerzeniem f ). Mówi się, że funkcja f jest dyfeomorfizmem, jeśli jest bijektywna, gładka i jej odwrotność jest gładka. ${\ Displaystyle g_ {| U \ czapka X} = f_ {| U \ czapka X}}$

Opis lokalny

Twierdzenie Hadamarda-Caccioppoliego

Jeśli U , V są połączone otwartymi podzbiory o R ⁿ takie, że V jest po prostu połączone , A różniczkowalną mapę F  : U  → V jest dyfeomorfizmu jeśli jest to właściwe i jeżeli różnica Df _x  : R ⁿ  → R ⁿ jest bijective (a więc izomorfizm liniowa ) w każdym punkcie X, w U .

Pierwsza uwaga

Istotne jest, aby V było po prostu połączone, aby funkcja f była globalnie odwracalna (pod warunkiem, że jej pochodna będzie w każdym punkcie mapą bijektywną). Rozważmy na przykład „realizację” złożonej funkcji kwadratowej

${\ Displaystyle {\ zacząć {przypadki} f: \ mathbf {R} ^ {2} \ setminus \ {(0,0) \} \ do \ mathbf {R} ^ {2} \ setminus \ {(0,0) )\}\\(x,y)\mapsto (x^{2}-y^{2},2xy).\end{cases}}}$

Wtedy f jest surjektywne i spełnia

${\ Displaystyle \ det Df_ {x} = 4 (x ^ {2} + Y ^ {2}) \ neq 0.}$

Tak więc, chociaż Df _x jest bijektywna w każdym punkcie, f nie jest odwracalne, ponieważ nie jest iniektywne (np. f (1, 0) = (1, 0) = f (-1, 0)).

Druga uwaga

Ponieważ różniczka w punkcie (dla funkcji różniczkowalnej)

${\ Displaystyle Df_ {x}: T_ {x} U \ do T_ {f (x)} V}$

jest mapą liniową , ma dobrze zdefiniowaną odwrotność wtedy i tylko wtedy, gdy Df _x jest bijekcją. Matryca przedstawia Df _x jest n  x  n macierzy pierwszego rzędu pochodne cząstkowe , którego pozycja w ı -tego rzędu i j -tej kolumny jest . Ta tak zwana macierz Jakobian jest często używana do obliczeń jawnych. ${\ Displaystyle \ częściowe f_ {i} / \ częściowe x_ {j}}$

Trzecia uwaga

Dyfeomorfizmy są z konieczności między rozmaitościami tego samego wymiaru . Wyobraź sobie, że f przechodzi od wymiaru n do wymiaru k . Jeśli n  <  k to Df _x nigdy nie może być surjektywne, a jeśli n  >  k to Df _x nigdy nie może być iniektywne. W obu przypadkach, w związku z tym, Df _x nie być bijection.

Uwaga czwarta

Jeśli Df _x jest bijekcją w punkcie x, to f mówi się, że jest lokalnym dyfeomorfizmem (ponieważ przez ciągłość, Df _y będzie również bijektywna dla wszystkich y wystarczająco bliskich x ).

Piąta uwaga

Biorąc pod uwagę gładką mapę od wymiaru n do wymiaru k , jeśli Df (lub lokalnie Df _x ) jest surjektywne, f mówi się, że jest zanurzeniem (lub, lokalnie, „lokalnym zanurzeniem”); i jeśli DF (lub miejscowo, DF _x ) to za pomocą wstrzyknięć, f mówi się o zanurzenie (lub lokalnie, „lokalnej zanurzenie”).

Szósta uwaga

Różniczkowalna bijection to nie koniecznie dyfeomorfizmu. f ( x ) =  x ³ , na przykład, nie jest dyfeomorfizmem od R do siebie samego, ponieważ jego pochodna znika w 0 (a zatem jej odwrotność nie jest różniczkowalna w 0). To jest przykład homeomorfizmu, który nie jest dyfeomorfizmem.

Siódma uwaga

Gdy f jest mapa pomiędzy różniczkowalnych rozmaitości, o diffeomorphic f jest silniejsza niż homeomorficzny warunek f . Dla dyfeomorfizmu f i jego odwrotność muszą być różniczkowalne ; dla homeomorfizmu f i jego odwrotność muszą być tylko ciągłe . Każdy dyfeomorfizm jest homeomorfizmem, ale nie każdy homeomorfizm jest dyfeomorfizmem.

f  : M  → N nazywamy dyfeomorfizmem, jeśli na wykresach współrzędnych spełnia powyższą definicję. Dokładniej: wybierz dowolną osłonę M za pomocą zgodnych wykresów współrzędnych i zrób to samo dla N . Niech φ i ψ będą wykresami odpowiednio na M i N , gdzie U i V będą odpowiednio obrazami φ i ψ. Odwzorowanie ψ f φ ^-1  : U  → V jest wtedy dyfeomorfizmem jak w definicji powyżej, gdy f (φ ^-1 (U)) ⊆ ψ ^-1 (V).

Przykłady

Ponieważ każda rozmaitość może być lokalnie sparametryzowana, możemy rozważyć pewne wyraźne odwzorowania z R ² na R ² .

• Pozwolić

${\ Displaystyle f (x, y) = \ lewo (x ^ {2} + Y ^ {3}, x ^ {2}-y ^ {3} \ prawej).}$

Możemy obliczyć macierz Jakobianu:

${\ Displaystyle J_ {f} = {\ zacząć {pmatrix} 2x i 3y ^ {2} \ \ 2x i 3y ^ {2} \ koniec {pmatrix}}.}$

Macierz Jakobian ma wyznacznik zerowy wtedy i tylko wtedy, gdy xy = 0. Widzimy, że f może być tylko dyfeomorfizmem od osi x i osi y . Jednak f nie jest bijektywna, ponieważ f ( x ,  y ) = f (- x ,  y ), a zatem nie może być dyfeomorfizmem.

• Pozwolić

${\ Displaystyle g (x, y) = \ lewo (a_ {0}+ a_ {1,0} x + a_ {0,1} y + \ cdots, \ b_ {0}+ b_ {1,0} x + b_{0,1}y+\cdots \right)}$

gdzie i są dowolnymi liczbami rzeczywistymi , a pominięte wyrazy są co najmniej dwa w x i y . Możemy obliczyć macierz Jakobian na 0 : ${\displaystyle a_{i,j}}$${\displaystyle b_{i,j}}$

${\ Displaystyle J_ {g} (0,0) = {\ zacząć {pmatrix} a_ {1,0} i a_ {0,1} \ \ b_ {1,0} i b_ {0,1} \ koniec {pmatrix} }.}$

Widzimy, że g jest lokalnym dyfeomorfizmem w punkcie 0 wtedy i tylko wtedy, gdy

${\ Displaystyle a_ {1,0} b_ {0,1} -a_ {0,1} b_ {1,0} \ neq 0,}$

tj. wyrazy liniowe w składowych g są liniowo niezależne jako wielomiany .

• Pozwolić

${\ Displaystyle h (x, y) = \ lewo (\ sin (x ^ {2} + Y ^ {2}), \ cos (x ^ {2} + Y ^ {2}) \ prawej).}$

Możemy obliczyć macierz Jakobianu:

${\ Displaystyle J_ {h} = {\ zacząć {pmatrix} 2x \ cos (x ^ {2} + y ^ {2}) i 2y \ cos (x ^ {2} + y ^ {2}) \ \ -2x \sin(x^{2}+y^{2})&-2y\sin(x^{2}+y^{2})\end{pmatrix}}.}$

Macierz Jakobian ma wszędzie zerowy wyznacznik! W rzeczywistości widzimy, że obraz h jest kołem jednostkowym .

Odkształcenia powierzchni

W mechanice transformacja wywołana naprężeniem nazywana jest deformacją i może być opisana przez dyfeomorfizm. Dyfeomorfizm f  : U → V pomiędzy dwiema powierzchniami U i V ma jakobian macierz Df , która jest macierzą odwracalną . W rzeczywistości jest to wymagane, że dla p w U , jest sąsiedztwo z p , w którym Jacobiego Df pozostaje nieosobliwe . Załóżmy, że na wykresie powierzchni${\displaystyle f(x,y)=(u,v).}$

Całkowitą różnicę z U jest

${\ Displaystyle du = {\ Frac {\ częściowy u} {\ częściowy x}} dx + {\ Frac {\ częściowy u} {\ częściowy r}} dy}$i podobnie dla v .

Wtedy obraz jest przekształceniem liniowym , ustalającym pochodzenie i wyrażalnym jako działanie liczby zespolonej określonego typu. Gdy ( dx ,  dy ) jest również interpretowane jako ten typ liczby zespolonej, akcja polega na mnożeniu zespolonym na odpowiedniej płaszczyźnie liczb zespolonych. W związku z tym istnieje typ kąta ( euklidesowy , hiperboliczny lub nachylenie ), który jest zachowywany w takim mnożeniu. Ponieważ Df jest odwracalny, typ liczby zespolonej jest jednorodny na całej powierzchni. W konsekwencji deformacja powierzchni lub dyfeomorfizm powierzchni ma konformalną właściwość zachowywania (odpowiedniego rodzaju) kątów. ${\ Displaystyle (du, dv) = (dx, dy) DF}$

Grupa dyfeomorfizmu

Niech M będzie rozmaitością różniczkowalną, która jest przeliczalna i Hausdorff . Grupa dyfeomorfizmu z M jest grupa wszystkich C ^r Dyfeomorfizm od M do siebie, oznaczony przez Diff ^R ( M ) lub, gdy R jest zrozumiałym, Diff ( M ). Jest to „duża” grupa, w tym sensie, że — pod warunkiem, że M nie jest zerowo-wymiarowe — nie jest lokalnie zwarta .

Topologia

Grupa dyfeomorfizmu ma dwie naturalne topologie : słabą i silną ( Hirsch 1997 ). Gdy rozmaitość jest zwarta , te dwie topologie są zgodne. Słaba topologia jest zawsze metryzowalna . Gdy rozmaitość nie jest zwarta, silna topologia wychwytuje zachowanie funkcji „w nieskończoności” i nie jest metryzowalna. To jednak nadal Baire .

Ustalające Riemanna metryki na M , słabe topologia jest topologią rodziny metryk

${\ Displaystyle d_ {K} (f, g) = \ sup \ nolimity _ {x \ w K} d (f (x), g (x)) + \ suma \ nolimits _ {1 \ równoważnik p \ równoważnik r }\sup \nolimits _{x\in K}\left\|D^{p}f(x)-D^{p}g(x)\right\|}$

ponieważ K zmienia się w zwartych podzbiorach M . Rzeczywiście, ponieważ M jest σ-zwarty, istnieje ciąg zwartych podzbiorów K _n, których suma jest M . Następnie:

${\ Displaystyle d (f, g) = \ suma \ nolimity _ {n} 2 ^ {-n} {\ Frac {d_ {K_ {n}} (f, g)} {1 + d_ {K_ {n} }(f,g)}}.}$

Grupa dyfeomorfizmu wyposażony słabej topologii jest lokalnie homeomorficzny przestrzeni C ^R pól wektorowych ( Leslie 1967 ). Na zwartym podzbiorze M następuje to poprzez ustalenie metryki Riemanna na M i użycie mapy wykładniczej dla tej metryki. Jeśli r jest skończone, a rozmaitość zwarta, to przestrzeń pól wektorowych jest przestrzenią Banacha . Co więcej, mapy przejść z jednego wykresu tego atlasu do drugiego są gładkie, co sprawia, że ​​grupa dyfeomorfizmu staje się rozmaitością Banacha z gładkimi tłumaczeniami prawymi; lewe tłumaczenia i inwersja są tylko ciągłe. Jeśli r  = ∞, przestrzeń pól wektorowych jest przestrzenią Frécheta . Co więcej, mapy przejść są gładkie, dzięki czemu grupa dyfeomorfizmu staje się rozmaitością Frécheta, a nawet regularną grupą Liego Frécheta . Jeśli rozmaitość jest σ-zwarta i nie jest zwarta, pełna grupa dyfeomorfizmu nie jest lokalnie kurczliwa dla żadnej z dwóch topologii. Trzeba ograniczyć grupę, kontrolując odchylenie od tożsamości bliskiej nieskończoności, aby otrzymać grupę dyfeomorfizmu, która jest rozmaitością; patrz ( Michor i Mumford 2013 ).

Algebra kłamstwa

Algebra Liego grupy dyfeomorfizmu z M składa się z wszystkich pól wektorowych na M wyposażonych w uchwycie Lie pól wektorowych . Nieco formalnie widać to po wprowadzeniu niewielkiej zmiany współrzędnej w każdym punkcie przestrzeni: ${\displaystyle x}$

${\ Displaystyle x ^ {\ mu} \ mapsto x ^ {\ mu} + \ varepsilon h ^ {\ mu} (x)}$

więc nieskończenie małe generatory to pola wektorowe vector

${\ Displaystyle L_ {h} = h ^ {\ mu} (x) {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x ^ {\ mu}}}.}$

Przykłady

• Gdy M  = G jest grupą Liego , następuje naturalne włączenie G do własnej grupy dyfeomorfizmu poprzez lewą translację. Niech Diff( G ) oznacza grupę dyfeomorfizmu G , wtedy mamy rozszczepienie Diff( G ) ≃ G  × Diff( G ,  e ), gdzie Diff( G ,  e ) jest podgrupą Diff( G ), która ustala tożsamość element grupy.
• Grupa dyfeomorfizmu przestrzeni euklidesowej R ⁿ składa się z dwóch składowych, składających się z dyfeomorfizmu z zachowaniem orientacji i dyfeomorfizmu z odwróceniem orientacji. W istocie pełna grupa liniowa jest odciągane odkształcenie podgrupy Diff ( R ⁿ , 0) z Dyfeomorfizm mocujących pochodzenia pod mapą f ( x ) ↦ F ( tx )  / t , t  ∈ (0,1]. W w szczególności ogólna grupa liniowa jest również wycofaniem odkształcenia pełnej grupy dyfeomorfizmu. 
• Dla skończonego zbioru punktów grupa dyfeomorfizmu jest po prostu grupą symetryczną . Podobnie, jeśli M jest jakąkolwiek rozmaitością, istnieje rozszerzenie grupy 0 → Rozn ₀ ( M ) → Rozn( M ) → Σ(π ₀ ( M )). Tutaj Diff ₀ ( M ) jest podgrupą Diff( M ), która zachowuje wszystkie składniki M , a Σ(π ₀ ( M )) jest grupą permutacyjną zbioru π ₀ ( M ) (składniki M ). Ponadto obraz odwzorowania Diff( M ) → Σ(π ₀ ( M )) to bijekcje π ₀ ( M ), które zachowują klasy dyfeomorfizmu.

Przechodniość

Dla połączonej rozmaitości M grupa dyfeomorfizmu działa przechodnie na M . Bardziej ogólnie, grupa dyfeomorfizmu działa przechodnie w przestrzeni konfiguracyjnej C _k M . Jeśli M jest co najmniej dwuwymiarowe, grupa dyfeomorfizmu działa przechodnie na przestrzeń konfiguracyjną F _k M, a działanie na M jest wielokrotnie przechodnie ( Banyaga 1997 , s. 29).

Rozszerzenia dyfeomorfizmów

W 1926 Tibor Radó zapytał, czy harmoniczne rozszerzenie dowolnego homeomorfizmu lub dyfeomorfizmu koła jednostkowego na dysk jednostkowy daje dyfeomorfizm na otwartym dysku. Eleganckiego dowodu dostarczył niedługo potem Hellmuth Kneser . W 1945 roku Gustave Choquet , najwyraźniej nieświadomy tego wyniku, przedstawił zupełnie inny dowód.

Grupa dyfeomorfizmu (zachowująca orientację) koła jest połączona ścieżkami. Można to zobaczyć, zauważając, że każdy taki dyfeomorfizm można podnieść do dyfeomorfizmu f liczb rzeczywistych spełniających [ f ( x  + 1) = f ( x ) + 1]; ta przestrzeń jest wypukła, a więc połączona ze ścieżkami. Gładka, ostatecznie stała ścieżka do tożsamości daje drugi, bardziej elementarny sposób rozszerzenia dyfeomorfizmu z koła na otwarty dysk jednostkowy (szczególny przypadek sztuczki Alexandra ). Ponadto grupa dyfeomorfizmu koła ma typ homotopii grupy ortogonalnej O(2).

Odpowiedni problem rozszerzenia dla dyfeomorfizmów sfer o wyższych wymiarach S ^{n- 1} był intensywnie badany w latach pięćdziesiątych i sześćdziesiątych XX wieku, przy znaczącym wkładzie René Thoma , Johna Milnora i Stephena Smale'a . Przeszkodą dla takich rozszerzeń jest skończona grupa abelowa Γ _n , " grupa skręconych sfer " , zdefiniowana jako iloraz abelowej grupy składowej grupy dyfeomorficznej przez podgrupę klas rozciągających się na dyfeomorfizmy kuli B ⁿ .

Powiązanie

W przypadku rozmaitości grupa dyfeomorfizmu zwykle nie jest połączona. Jego grupa komponentów nazywana jest grupą klas mapujących . W wymiarze 2 (tj. powierzchnie ) grupa klas odwzorowania jest skończoną grupą generowaną przez skręty Dehna ( Dehn , Lickorish , Hatcher ). Max Dehn i Jakoba Nielsen wykazały, że może być identyfikowany z zewnętrznym grupy automorfizm części podstawowej grupy na powierzchni.

William Thurston udoskonalił tę analizę, klasyfikując elementy grupy klas mapujących na trzy typy: te równoważne okresowemu dyfeomorfizmowi; te równoważne dyfeomorfizmowi pozostawiając prosty niezmiennik krzywej zamkniętej; i te równoważne dyfeomorfizmom pseudo-Anosowa . W przypadku torusa S ¹  ×  S ¹  = R ² / Z ² , grupą klas odwzorowania jest po prostu grupa modularna SL(2,  Z ) i klasyfikacja staje się klasyczna w kategoriach macierzy eliptycznych , parabolicznych i hiperbolicznych . Thurston zrealizować jego klasyfikację poprzez obserwację, że grupa działała klasa mapowanie naturalnie na zwartego w przestrzeni Teichmüller ; ponieważ ta powiększona przestrzeń była homeomorficzna z kulą zamkniętą, twierdzenie Brouwera o punkcie stałym zaczęło mieć zastosowanie. Smale przypuszczał, że jeśli M jest zorientowaną, gładko zamkniętą rozmaitością, składnik tożsamościowy grupy dyfeomorfizmów zachowujących orientację jest prosty . Po raz pierwszy udowodnił to dla produktu kręgów Michel Herman ; zostało to udowodnione w pełnej ogólności przez Thurstona.

Rodzaje homotopii

• Grupa dyfeomorfizmu S ² ma typ homotopii podgrupy O(3). Udowodnił to Steve Smale.
• Grupa dyfeomorfizmu torusa ma homotopijny typ swoich automorfizmów liniowych : S ¹  ×  S ¹  × GL(2, Z ).
• Grupy dyfeomorfizmu orientowalnych powierzchni rodzaju g  > 1 mają typ homotopii swoich grup klas odwzorowania (tj. składniki są kurczliwe).
• Typ homotopii grup dyfeomorfizmu 3-rozmaitościowych jest dość dobrze zrozumiany dzięki pracom Iwanowa, Hatchera, Gabaia i Rubinsteina, chociaż istnieje kilka wybitnych otwartych przypadków (głównie 3-rozmaitościowe ze skończonymi grupami podstawowymi ).
• Grupy dyfeomorfizmu typu homotopii n -rozmaitości dla n  > 3 są słabo poznane. Na przykład, otwartym problemem jest to, czy Diff( S ⁴ ) ma więcej niż dwie składowe. Poprzez Milnor Kahn i Antonelli, jednak wiadomo, że pod warunkiem, n  > 6 różnicowego ( S ⁿ ) nie mają homotopy typu o skończonej CW-kompleks .

Homeomorfizm i dyfeomorfizm

W przeciwieństwie do homeomorfizmów niedyfeomorficznych, stosunkowo trudno jest znaleźć parę homeomorficznych rozmaitości, które nie są dyfeomorficzne. W wymiarach 1, 2 i 3 każda para homeomorficznych gładkich rozmaitości jest dyfeomorficzna. W wymiarze 4 lub większym znaleziono przykłady par homeomorficznych, ale nie dyfeomorficznych. Pierwszy taki przykład skonstruował John Milnor w wymiarze 7. Skonstruował on gładką 7-wymiarową rozmaitość (zwaną obecnie sferą Milnora ), która jest homeomorficzna do standardowej 7-sfery, ale nie dyfeomorficzna do niej. W rzeczywistości istnieje 28 zorientowanych klas dyfeomorfizmu rozmaitości homeomorficznych z 7-sferą (każda z nich jest całkowitą przestrzenią wiązki włókien nad 4-sferą z 3-sferą jako włóknem).

Bardziej niezwykłe zjawiska występują w przypadku 4-rozmaitości . W 1980 roku, połączenie wyników ze względu Simon Donaldson i Michael Freedman doprowadziły do odkrycia egzotycznych R ⁴ S : są uncountably wielu parami nie diffeomorphic otwarte podzestawu R ⁴ , z których każdy jest homeomorficzny R ⁴ , a także są uncountably wielu parami nie diffeomorphic rozróżnialne kolektory homeomorficzny R ⁴ , które nie pozwalają na umieszczanie płynnie w R ⁴ .

Zobacz też

• Dyfeomorfizm Anosowa, taki jak mapa kota Arnolda
• Anomalia Diffeo znana również jako anomalia grawitacyjna , typ anomalii w mechanice kwantowej
• Dyfeologia , płynna parametryzacja na zbiorze, która tworzy przestrzeń dyfeologiczną
• Dyfeomorfometria , metryczne badanie kształtu i formy w anatomii obliczeniowej
• Etale morfizm
• Duży dyfeomorfizm
• Lokalny dyfeomorfizm
• Superdyfeomorfizm

Uwagi

Bibliografia

• Krantz, Steven G.; Parki, Harold R. (2013). Twierdzenie o funkcji uwikłanej: historia, teoria i zastosowania . Nowoczesna klasyka Birkhäuser. Boston. Numer ISBN 978-1-4614-5980-4.
• Chaudhuri, Shyamoli; Kawai, Hikaru; Tye, S.-H. Henryka (1987.08.15). „Sformułowanie ścieżkowo-całkowe ciągów zamkniętych” (PDF) . Przegląd fizyczny D . 36 (4): 1148–1168. Kod Bibcode : 1987PhRvD..36.1148C . doi : 10.1103/physrevd.36.1148 . ISSN  0556-2821 . PMID  9958280 .
• Banyaga, Augustin (1997), Struktura klasycznych grup dyfeomorficznych , Matematyka i jej zastosowania, 400 , Kluwer Academic, ISBN 0-7923-4475-8
• Duren, Peter L. (2004), Mapowania harmoniczne w samolocie , Cambridge Mathematical Tracts, 156 , Cambridge University Press, ISBN 0-521-64121-7
• „Diffeomorphism” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Hirsch, Morris (1997), Topologia różnicowa , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90148-0
• Kriegla, Andreasa; Michor, Peter (1997), Wygodne ustawienie analizy globalnej , Mathematical Surveys and Monographs, 53 , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0780-3
• Leslie, JA (1967), „W sprawie struktury różniczkowej dla grupy dyfeomorfizmów”, Topologia , 6 (2): 263-271, doi : 10.1016/0040-9383 (67) 90038-9 , ISSN  0040-9383 , MR  0210147
• Michor, Peter W.; Mumford, David (2013), "Zoo grup dyfeomorfizmu na R ⁿ .", Annals of Global Analysis and Geometry , 44 (4): 529-540, arXiv : 1211.5704 , doi : 10.1007/s10455-013-9380-2 , S2CID  118624866
• Milnor, John W. (2007), Dzieła zebrane tom. III, Topologia różnicowa , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 978-0-8218-4230-0
• Omori, Hideki (1997), Nieskończenie wymiarowe grupy kłamstwa , Tłumaczenia monografii matematycznych, 158 , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, ISBN 0-8218-4575-6
• Kneser, Hellmuth (1926), „Lösung der Aufgabe 41.”, Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (w języku niemieckim), 35 (2): 123