Topologia różnicowa - Differential topology

W matematyce , różnica topologii jest czynienia pola o właściwościach topologicznych i gładkość z gładkimi rurami rozgałęźnymi . W tym sensie topologia różniczkowa różni się od ściśle powiązanej dziedziny geometrii różniczkowej , która dotyczy geometrycznych właściwości gładkich rozmaitości, w tym pojęć rozmiaru, odległości i sztywnego kształtu. Dla porównania topologia różniczkowa dotyczy bardziej zgrubnych właściwości, takich jak liczba dziur w rozmaitości, typ homotopii lub topologia grupy dyfeomorfizmu . Ponieważ wiele z tych bardziej zgrubnych właściwości można uchwycić algebraicznie , topologia różniczkowa ma silne powiązania z topologią algebraiczną .

Morse teoria funkcji wysokości na torusa może opisać swoje homotopy typu .

Głównym celem dziedziny topologii różniczkowej jest klasyfikacja wszystkich gładkich rozmaitości aż do dyfeomorfizmu . Ponieważ wymiar jest niezmiennikiem gładkich rozmaitości aż do typu dyfeomorfizmu, klasyfikacja ta jest często badana przez klasyfikację ( połączonych ) rozmaitości w każdym wymiarze osobno:

W wymiarze 1 jedynymi gładkimi rozmaitościami aż do dyfeomorfizmu są okrąg , oś liczb rzeczywistych i dopuszczający granicę , przedział pół-domknięty i przedział całkowicie domknięty . ${\ Displaystyle [0,1)}$ $[0,1]$
W wymiarze 2 każda zamknięta powierzchnia jest klasyfikowana do dyfeomorfizmu według rodzaju , liczby otworów (lub równoważnie jej cechy Eulera ) oraz tego, czy jest orientowalna . Jest to słynna klasyfikacja powierzchni zamkniętych . Już w dwóch wymiarów klasyfikacja nie- zwartej powierzchni, staje się utrudnione, z powodu istnienia przestrzeni egzotycznych takich jak drabiny Jacoba .
W wymiarze 3 William Thurston „S geometryzacja przypuszczenie , świadczy Grigori Perelman daje częściową klasyfikacji kompaktowych trzech rozdzielaczy. Zawarte w tym twierdzeniu jest przypuszczenie Poincarégo , które stwierdza, że każdy zamknięty, po prostu połączony trójrozmaitość jest homeomorficzny (a w rzeczywistości diffeomorficzny) z 3-sferą .

Bordyzm ( W , M , N ), które upowszechnia pojęcie dyfeomorfizmu.

Począwszy od wymiaru 4, klasyfikacja staje się znacznie trudniejsza z dwóch powodów. Po pierwsze, każda skończenie przedstawiona grupa jawi się jako grupa podstawowa jakiejś 4-rozmaitości , a ponieważ grupa podstawowa jest niezmiennikiem dyfeomorfizmu, sprawia to, że klasyfikacja 4-rozmaitości jest co najmniej tak trudna, jak klasyfikacja grup skończenie prezentowanych. Za pomocą zadania tekstowego dla grup , które jest równoważne zagadnieniu zatrzymania , nie można sklasyfikować takich grup, a więc pełna klasyfikacja topologiczna jest niemożliwa. Po drugie, począwszy od wymiaru czwartego, możliwe jest posiadanie gładkich rozmaitości, które są homeomorficzne, ale z odrębnymi, niedyfeomorficznymi strukturami gładkimi . Dotyczy to nawet przestrzeni euklidesowej , która dopuszcza wiele egzotycznych struktur. Oznacza to, że badanie topologii różniczkowej w wymiarach 4 i wyższych musi używać narzędzi rzeczywiście znajdujących się poza domeną regularnej ciągłej topologii rozmaitości topologicznych . Jednym z głównych otwartych problemów w topologii różniczkowej jest czterowymiarowa gładka hipoteza Poincarégo , która pyta, czy każda gładka 4-rozmaitość, która jest homeomorficzna z 4-sferą , jest również z nią dyfeomorficzna. To znaczy, czy 4-sfera dopuszcza więcej niż jedną gładką strukturę ? To przypuszczenie jest prawdziwe w wymiarach 1, 2 i 3, zgodnie z powyższymi wynikami klasyfikacji, ale wiadomo, że jest fałszywe w wymiarze 7 z powodu sfer Milnor . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$

Ważnymi narzędziami w badaniu topologii różniczkowej rozmaitości gładkich są konstruowanie gładkich niezmienników topologicznych takich rozmaitości, takich jak kohomologia de Rhama czy forma przecięcia , a także wygładzanie konstrukcji topologicznych, takich jak teoria gładkiej chirurgii czy konstrukcja kobordyzmów . Teoria Morse'a jest ważnym narzędziem, które wygładzają badania kolektorów rozważając krytycznych punktów z funkcji różniczkowalnych na kolektorze, demonstrując jak gładka struktura kolektora wchodzi w zestaw narzędzi dostępnych. Często można zastosować więcej technik geometrycznych lub analitycznych, wyposażając gładką rozmaitość w metrykę Riemanna lub badając na niej równanie różniczkowe . Należy zadbać o to, aby otrzymane informacje były niewrażliwe na ten wybór dodatkowej struktury, a zatem rzeczywiście odzwierciedlały tylko topologiczne właściwości leżącej pod spodem gładkiej rozmaitości. Na przykład twierdzenie Hodge'a dostarcza geometrycznej i analitycznej interpretacji kohomologii de Rhama, a teoria cechowania została wykorzystana przez Simona Donaldsona do udowodnienia faktów na temat formy przecięcia prostych połączonych czterech rozmaitości. W niektórych przypadkach mogą pojawić się techniki ze współczesnej fizyki , takie jak topologiczna kwantowa teoria pola , która może służyć do obliczania topologicznych niezmienników gładkich przestrzeni.

Znani twierdzenia w topologii różniczkowej obejmują Whitney osadzanie twierdzenie The włochaty twierdzenie piłka The twierdzenie Hopf The twierdzenie Poincare-Hopf , twierdzenie Donaldsona , a hipoteza Poincarégo .

Opis

Topologia różniczkowa uwzględnia właściwości i struktury, które wymagają zdefiniowania jedynie gładkiej struktury na rozmaitości. Rozmaitości gładkie są „miększe” niż rozmaitości z dodatkowymi strukturami geometrycznymi, które mogą działać jako przeszkody dla pewnych typów równoważności i deformacji występujących w topologii różniczkowej. Na przykład objętość i krzywizna Riemanna są niezmiennikami, które mogą rozróżniać różne struktury geometryczne na tej samej gładkiej rozmaitości — to znaczy można gładko „spłaszczyć” pewne rozmaitości, ale może to wymagać zniekształcenia przestrzeni i wpływania na krzywiznę lub objętość.

Z drugiej strony, rozmaitości gładkie są bardziej sztywne niż rozmaitości topologiczne . John Milnor odkrył, że niektóre sfery mają więcej niż jedną gładką strukturę — patrz Sfera egzotyczna i twierdzenie Donaldsona . Michel Kervaire wykazał rozmaitości topologiczne bez żadnej gładkiej struktury. Niektóre konstrukcje gładkiej teorii rozmaitości, takie jak istnienie wiązek stycznych , można wykonać w układzie topologicznym przy znacznie większej ilości pracy, a inne nie.

Jednym z głównych tematów topologii różniczkowej jest badanie specjalnych rodzajów gładkich odwzorowań między rozmaitościami, a mianowicie immersji i submersji oraz przecięć podrozmaitości przez transwersalność . Bardziej ogólnie, interesuje nas własności i niezmienniki gładkich rozmaitości, które są przenoszone przez dyfeomorfizmy , inny specjalny rodzaj gładkiego odwzorowania. Teoria Morse'a inna gałąź różnicowego topologii, w której informacja o topologii kolektora jest wyprowadzona ze zmian stopnia w jakobian funkcji.

Listę tematów dotyczących topologii różniczkowej można znaleźć w następującym dokumencie: Lista tematów dotyczących geometrii różniczkowej .

Topologia różnicowa a geometria różniczkowa

Topologia różniczkowa i geometria różniczkowa są najpierw charakteryzowane przez ich podobieństwo . Obaj badają przede wszystkim właściwości rozmaitości różniczkowalnych, czasami z narzuconymi różnymi strukturami.

Animacja przedstawiająca filiżankę kawy zmieniającą się w kształt pączka

Jedna główna różnica polega na naturze problemów, które każdy przedmiot próbuje rozwiązać. Z jednego punktu widzenia, topologia różniczkowa różni się od geometrii różniczkowej, badając przede wszystkim te problemy, które są z natury globalne . Rozważmy przykład filiżanki kawy i pączka. Z punktu widzenia topologii różniczkowej pączek i filiżanka kawy są (w pewnym sensie) takie same . Jest to jednak z natury pogląd globalny, ponieważ topolog różniczkowy nie może stwierdzić, czy te dwa obiekty są takie same (w tym sensie), patrząc tylko na mały ( lokalny ) fragment jednego z nich. Muszą mieć dostęp do każdego całego ( globalnego ) obiektu.

Z punktu widzenia geometrii różnicowej, filiżanka i pączek różnią się tym, że nie da się obrócić filiżanki kawy w taki sposób, aby jej konfiguracja pasowała do pączka. To także globalny sposób myślenia o problemie. Ale ważnym rozróżnieniem jest to, że geometr nie potrzebuje całego obiektu, aby to zadecydować. Patrząc na przykład na mały kawałek rączki, mogą stwierdzić, że filiżanka kawy różni się od pączka, ponieważ rączka jest cieńsza (lub bardziej zakrzywiona) niż jakikolwiek kawałek pączka.

Krótko mówiąc, topologia różniczkowa bada struktury na rozmaitościach, które w pewnym sensie nie mają interesującej struktury lokalnej. Geometria różniczkowa bada struktury na rozmaitościach, które mają interesującą lokalną (a czasem nawet nieskończenie małą) strukturę.

Bardziej matematycznie, na przykład, problem konstruowania dyfeomorfizmu między dwiema rozmaitościami tego samego wymiaru jest z natury globalny, ponieważ lokalnie dwie takie rozmaitości są zawsze dyfeomorficzne. Podobnie problem obliczania ilości na rozmaitości, która jest niezmienna w odwzorowaniach różniczkowalnych, jest z natury globalny, ponieważ każdy niezmiennik lokalny będzie trywialny w tym sensie, że już występuje w topologii . Co więcej, topologia różniczkowa niekoniecznie ogranicza się do badania dyfeomorfizmu. Na przykład topologia symplektyczna — podgałęź topologii różniczkowej — bada globalne właściwości rozmaitości symplektycznych . Geometria różniczkowa zajmuje się problemami — które mogą być lokalne lub globalne — które zawsze mają pewne nietrywialne właściwości lokalne. Zatem geometria różniczkowa może badać rozmaitości różniczkowe wyposażone w połączenie , metrykę (która może być riemannowska , pseudo-riemannowska , albo Finsler ), specjalny rodzaj dystrybucji (taki jak struktura CR ) i tak dalej. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

To rozróżnienie między geometrią różniczkową a topologią różniczkową jest jednak zamazane w pytaniach odnoszących się konkretnie do lokalnych niezmienników dyfeomorfizmu, takich jak przestrzeń styczna w punkcie. Topologia różniczkowa zajmuje się również takimi pytaniami, które odnoszą się konkretnie do właściwości odwzorowań różniczkowalnych (na przykład wiązka styczna , wiązki dżetowe , twierdzenie o rozszerzaniu Whitneya itd.). ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Rozróżnienie jest zwięzłe i abstrakcyjne:

Topologia różniczkowa jest badaniem (nieskończenie małych, lokalnych i globalnych) właściwości struktur na rozmaitościach, które mają tylko trywialne moduły lokalne .
Geometria różniczkowa to takie badanie struktur na rozmaitościach, które mają jeden lub więcej nietrywialnych modułów lokalnych.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Bloch, Ethan D. (1996). Pierwszy kurs z topologii geometrycznej i geometrii różniczkowej . Boston: Birkhäuser. Numer ISBN 978-0-8176-3840-5.
Hirscha, Morrisa (1997). Topologia różnicowa . Springer-Verlag. Numer ISBN 978-0-387-90148-0.
Lashof, Richard (grudzień 1972). „Styczna wiązka rozmaitości topologicznej”. Amerykański miesięcznik matematyczny . 79 (10): 1090–1096. doi : 10.2307/2317423 . JSTOR 2317423 .
Kervaire, Michel A. (grudzień 1960). „Rozmaitość, która nie dopuszcza żadnej różniczkowalnej struktury”. Commentarii Mathematici Helvetici . 34 (1): 257–270. doi : 10.1007/BF02565940 .

Zewnętrzne linki

„Topologia różnicowa” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]

Languages

In other projects