Stabilność kierunkowa - Directional stability

Stabilność kierunkowa to stabilność poruszającego się ciała lub pojazdu wokół osi, która jest prostopadła do kierunku jego ruchu. Stabilność pojazdu wiąże się z tendencją pojazdu do powrotu do swojego pierwotnego kierunku w stosunku do nadjeżdżającego medium (woda, powietrze, nawierzchnia drogi itp.), Gdy jest on poruszany (obracany) od tego pierwotnego kierunku. Jeśli pojazd jest stabilny kierunkowo, wytwarzany jest moment przywracający, który jest w kierunku przeciwnym do zaburzenia obrotu. To „popycha” pojazd (w ruchu obrotowym), aby przywrócić go do pierwotnej orientacji, starając się w ten sposób utrzymać pojazd zorientowany w pierwotnym kierunku.

Stabilność kierunkowa jest często nazywana „znikaniem pogody”, ponieważ stabilny kierunkowo pojazd, który może swobodnie obracać się wokół swojego środka masy, jest podobny do wiatrowskazu obracającego się wokół (pionowego) obrotu.

Z wyjątkiem statków kosmicznych, pojazdy na ogół mają rozpoznawalny przód i tył i są zaprojektowane tak, aby przód był mniej więcej skierowany w kierunku ruchu. Bez tej stabilności mogą się przewracać, obracać lub orientować się pod dużym kątem natarcia , nawet burtą w kierunku ruchu. Przy dużych kątach natarcia siły oporu mogą stać się nadmierne, pojazd może być niemożliwy do opanowania, a nawet może ulec uszkodzeniu strukturalnemu. Ogólnie rzecz biorąc, pojazdy lądowe, morskie, powietrzne i podwodne są projektowane tak, aby wykazywały naturalną tendencję do wskazywania kierunku ruchu.

Przykład: pojazd drogowy

Strzały, strzałki, rakiety i sterowce mają powierzchnie ogonowe, aby zapewnić stabilność. Pojazd drogowy nie ma elementów specjalnie zaprojektowanych do utrzymania stabilności, ale opiera się głównie na rozłożeniu masy .

Wprowadzenie

Te punkty najlepiej zilustrować przykładem. Pierwszym etapem badania stateczności pojazdu drogowego jest wyprowadzenie rozsądnego przybliżenia do równań ruchu.

Schemat przedstawia pojazd czterokołowy, w którym przednia oś znajduje się w pewnej odległości przed środkiem ciężkości, a tylna w odległości za cg. Nadwozie samochodu jest skierowane w kierunku (theta) podczas jazdy w kierunku (psi). Na ogół to nie to samo. Bieżnik opony styka się w miejscu styku w kierunku jazdy, ale piasty są wyrównane z nadwoziem pojazdu, a kierownica jest utrzymywana centralnie. Opony odkształcają się, gdy obracają się, aby skompensować to niewspółosiowość, iw konsekwencji generują siły boczne. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ psi}$

Siła boczna netto Y działająca na pojazd to siła dośrodkowa powodująca zmianę kierunku jazdy:

${\ Displaystyle MV {\ Frac {d \ psi} {dt}} = Y \, \ cos (\ theta - \ psi)}$

gdzie M to masa pojazdu, a V to prędkość. Zakłada się, że wszystkie kąty są małe, więc równanie siły bocznej wygląda następująco:

${\ Displaystyle MV {\ Frac {d \ psi} {dt}} = Y}$

Obrót ciała poddanego momentowi odchylającemu N zależy od:

${\ Displaystyle I {\ Frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} = N}$

gdzie jestem moment bezwładności w odchyleniu. Siły i momenty zainteresowania wynikają ze zniekształcenia opon. Kąt między kierunkiem toczenia się bieżnika a piastą nazywany jest kątem poślizgu . To trochę mylące określenie, ponieważ opona jako całość w rzeczywistości nie ślizga się, część obszaru stykającego się z drogą przylega, a część obszaru ślizga się. Zakładamy, że siła opony jest wprost proporcjonalna do kąta poślizgu ( ). Składa się na to poślizg pojazdu jako całości zmodyfikowany przez prędkość kątową nadwozia. Na przednią oś: ${\ displaystyle \ phi}$

${\ Displaystyle \ phi (przód) = \ theta - \ psi - {\ Frac {a} {V}} {\ Frac {d \ theta} {dt}}}$

natomiast dla osi tylnej:

${\ Displaystyle \ phi (tył) = \ theta - \ psi + {\ Frac {b} {V}} {\ Frac {d \ theta} {dt}}}$

Niech stała proporcjonalności będzie k. Siła boczna jest zatem:

${\ Displaystyle Y = 2k (\ phi (przód) + \ phi (tył)) = 4k (\ teta - \ psi) + 2k {\ Frac {(ba)} {V}} {\ Frac {d \ theta} {dt}}}$

Chwila jest:

${\ Displaystyle N = 2k (a \ phi (przód) -b \ phi (tył)) = 2k (ab) (\ teta - \ psi) -2k {\ Frac {(a ^ {2} + b ^ {2 })} {V}} {\ frac {d \ theta} {dt}}}$

Oznaczając prędkość kątową , równaniami ruchu są: ${\ displaystyle \ omega}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d \ omega} {dt}} = 2k {\ Frac {(ab)} {ja}} (\ theta - \ psi) -2 k {\ Frac {(a ^ {2} + b ^ {2})} {VI}} \ omega}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d \ theta} {dt}} = \ omega}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d \ psi} {dt}} = {\ Frac {4k} {MV}} (\ theta - \ psi) + 2k {\ Frac {(ba)} {MV ^ {2}} } \ omega}$

Niech (beta), kąt poślizgu pojazdu jako całości: ${\ Displaystyle \ theta - \ psi = \ beta}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d \ omega} {dt}} = 2k {\ Frac {(ab)} {ja}} \ beta -2k {\ Frac {(a ^ {2} + b ^ {2}) } {VI}} \ omega}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d \ beta} {dt}} = - {\ Frac {4k} {MV}} \ beta + (1-2 k {\ Frac {(ba)} {MV ^ {2}}} ) \ omega}$

Eliminacja daje następujące równanie w : ${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ beta}$

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} \ beta} {dt ^ {2}}} + ({\ Frac {4k} {MV}} + {\ Frac {2k (a ^ {2} + b ^ {2})} {VI}}) {\ frac {d \ beta} {dt}} + ({\ frac {4k ^ {2} (a + b) ^ {2}} {MV ^ {2} I }} + {\ frac {2k (ba)} {I}}) \ beta = 0}$

Nazywa się to liniowym równaniem jednorodnym drugiego rzędu, a jego właściwości stanowią podstawę większości teorii sterowania .

Analiza stabilności

Nie musimy jawnie rozwiązywać równania ruchu, aby zdecydować, czy rozwiązanie rozbiega się w nieskończoność, czy też zbiega się do zera po początkowym zaburzeniu. Forma rozwiązania zależy od znaków współczynników.

Współczynnik będzie nazywany „ tłumieniem ” przez analogię z amortyzatorem masa-sprężyna, która ma podobne równanie ruchu. ${\ displaystyle {\ frac {d \ beta} {dt}}}$

Przez tę samą analogię współczynnik będzie nazywany „sztywnością”, ponieważ jego funkcją jest przywrócenie układu do zerowego ugięcia, w taki sam sposób jak sprężyna. ${\ displaystyle \ beta}$

Forma rozwiązania zależy tylko od oznak tłumienia i sztywności. Rysunek przedstawia cztery możliwe typy rozwiązań.

Jedyne zadowalające rozwiązanie wymaga, aby zarówno sztywność, jak i tłumienie były dodatnie.

Termin tłumienia to:

${\ Displaystyle ({\ Frac {4k} {MV}} + {\ Frac {2k (a ^ {2} + b ^ {2})} {VI}})}$

Współczynnik poślizgu k jest dodatni, podobnie jak masa, moment bezwładności i prędkość, więc tłumienie jest dodatnie, a ruch kierunkowy powinien być dynamicznie stabilny.

Określenie sztywności to:

${\ Displaystyle ({\ Frac {4k ^ {2} (a + b) ^ {2}} {MIV ^ {2}}} + {\ Frac {2k (ba)} {I}})}$

Jeśli środek ciężkości znajduje się przed środkiem rozstawu osi ( zawsze będzie to wartość dodatnia, a pojazd będzie stabilny przy wszystkich prędkościach. Jeśli jednak znajduje się dalej za rufą), wartość może stać się ujemna powyżej prędkości podane przez: ${\ displaystyle (b> a)}$

${\ Displaystyle V ^ {2} = {\ Frac {2k (a + b) ^ {2}} {M (ab)}}}$

Powyżej tej prędkości pojazd będzie niestabilny kierunkowo .

Względny wpływ opon przednich i tylnych

Jeśli z jakiegoś powodu (nieprawidłowe ciśnienie w oponach, zużyty bieżnik) opony na jednej osi nie będą w stanie wytworzyć znacznej siły bocznej, to oczywiście wpłynie to na stabilność.

Załóżmy na początek, że tylne opony są uszkodzone, jaki to ma wpływ na stabilność? Jeśli tylne opony nie wytwarzają znaczących sił, siła boczna i moment zbaczający stają się:

${\ Displaystyle Y = 2k (\ phi (przód)) = 2k (\ theta - \ psi) -2k {\ Frac {a} {V}} {\ Frac {d \ theta} {dt}}}$

${\ Displaystyle N = 2k (a \ phi (przód)) = 2ka (\ theta - \ psi) -2k {\ Frac {a ^ {2}} {V}} {\ Frac {d \ theta} {dt} }}$

Równanie ruchu staje się:

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} \ beta} {dt ^ {2}}} + ({\ Frac {2k} {MV}} + {\ Frac {2ka ^ {2}} {VI}} ) {\ frac {d \ beta} {dt}} - ({\ frac {2ka} {I}}) \ beta = 0}$

Współczynnik jest ujemny, więc pojazd będzie niestabilny. ${\ displaystyle \ beta}$

Rozważmy teraz wpływ wadliwych opon z przodu. Siła boczna i moment odchylający stają się:

${\ Displaystyle Y = 2k (\ phi (tył)) = 2k (\ teta - \ psi) + 2k {\ Frac {b} {V}} {\ Frac {d \ theta} {dt}}}$

${\ Displaystyle N = -2k (b \ phi (tył)) = - 2kb (\ theta - \ psi) -2k {\ Frac {b ^ {2}} {V}} {\ Frac {d \ theta} { dt}}}$

Równanie ruchu staje się:

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} \ beta} {dt ^ {2}}} + ({\ Frac {2k} {MV}} + {\ Frac {2kb ^ {2}} {VI}} ) {\ frac {d \ beta} {dt}} + ({\ frac {2kb} {I}}) \ beta = 0}$

Współczynnik jest dodatni, więc pojazd będzie stabilny, ale niestabilny. ${\ displaystyle \ beta}$

Wynika z tego, że stan opon tylnych jest bardziej krytyczny dla stabilności kierunkowej niż stan opon przednich. Ponadto zablokowanie tylnych kół za pomocą hamulca ręcznego powoduje niestabilność kierunkową pojazdu, powodując jego buksowanie. Ponieważ pojazd nie jest pod kontrolą podczas korkociągu, „ zakręt na hamulcu ręcznym ” jest zwykle nielegalny na drogach publicznych.

Siły kierujące

Odchylenie kierownicy zmienia kąt poślizgu przednich opon, generując siłę boczną. Przy konwencjonalnym układzie kierowniczym opony są odchylane o różne wartości, ale na potrzeby tej analizy dodatkowy poślizg zostanie uznany za równy dla obu opon przednich.

Siła boczna staje się:

${\ Displaystyle Y = 2k (\ phi (przód) + \ phi (tył)) = 4k (\ teta - \ psi) + 2k {\ Frac {(ba)} {V}} {\ Frac {d \ theta} {dt}} + 2k \ eta}$

gdzie (eta) to odchylenie kierownicy. Podobnie moment odchylenia staje się: ${\ displaystyle \ eta}$

${\ Displaystyle N = 2k (a \ phi (przód) -b \ phi (tył)) = 2k (ab) (\ teta - \ psi) -2k {\ Frac {(a ^ {2} + b ^ {2 })} {V}} {\ frac {d \ theta} {dt}} + 2ka \ eta}$

Włączenie terminu sterującego wprowadza wymuszoną reakcję:

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} \ beta} {dt ^ {2}}} + ({\ Frac {4k} {MV}} + {\ Frac {2k (a ^ {2} + b ^ {2})} {VI}}) {\ frac {d \ beta} {dt}} + ({\ frac {4k ^ {2} (a + b) ^ {2}} {MV ^ {2} I }} + {\ frac {2k (ba)} {I}}) \ beta = - {\ frac {2k} {MV}} {\ frac {d \ eta} {dt}} + ({\ frac {2ka } {I}} - {\ frac {4k ^ {2} b (a + b)} {IMV ^ {2}}}) \ eta}$

Reakcja w stanie ustalonym jest przy wszystkich pochodnych czasowych ustawionych na zero. Stabilność wymaga, aby współczynnik był dodatni, więc o znaku odpowiedzi decyduje współczynnik : ${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ eta}$

${\ Displaystyle ({\ Frac {2ka} {I}} - {\ Frac {4k ^ {2} b (a + b)} {IMV ^ {2}}})}$

Jest to funkcja prędkości. Przy małej prędkości poślizg jest ujemny, a nadwozie wychodzi z zakrętu ( podsterowność ). Z prędkością określoną przez:

${\ Displaystyle V ^ {2} = {\ Frac {2kb (a + b)} {Ma}}}$

Ciało wskazuje kierunek ruchu. Powyżej tej prędkości nadwozie wskazuje róg ( nadsterowność ).

Jako przykład:

przy k = 10 kN / radian, M = 1000 kg, b = 1,0 m, a = 1,0 m, pojazd jest podsterowny poniżej 11,3 mil na godzinę.

Wyraźne przesunięcie środka ciężkości do przodu zwiększa tę prędkość, powodując tendencję do podsterowności pojazdu .

Uwaga: Zainstalowanie ciężkiego, mocnego silnika w lekkim pojeździe produkcyjnym zaprojektowanym z myślą o małym silniku zwiększa zarówno jego stabilność kierunkową, jak i jego skłonność do podsterowności. Rezultatem jest zbyt mocny pojazd ze słabymi osiągami w zakrętach.

Jeszcze gorsza jest instalacja nadwymiarowego zespołu napędowego w seryjnym pojeździe z silnikiem tylnym bez odpowiedniej modyfikacji zawieszenia lub rozkładu masy, w wyniku czego kierunek będzie niestabilny przy dużej prędkości.

Ograniczenia analizy

Siły powstające w wyniku poślizgu zależą od obciążenia opony oraz kąta poślizgu, efekt ten został zignorowany, ale można go uwzględnić, przyjmując różne wartości k dla osi przedniej i tylnej. Ruch toczenia spowodowany pokonywaniem zakrętów spowoduje redystrybucję obciążenia opon między bliższą i spaloną stroną pojazdu, ponownie modyfikując siły działające na opony. Również moment obrotowy silnika rozkłada obciążenie między przednią i tylną oponę.

Pełna analiza powinna również uwzględniać reakcję na zawieszenie .

Pełna analiza jest niezbędna do projektowania wysokowydajnych pojazdów drogowych, ale wykracza poza zakres tego artykułu.

Bibliografia

• Barwell FT: Automation and Control in Transport, Pergamon Press, 1972.
• Synge JL i BA Griffiths: Principles of Mechanics, Section 6.3, McGraw-Hill Kogakusha Ltd, 3. wydanie, 1970.

Zobacz też

• Zrelaksowana stabilność
• Obsługa samochodu
• Dynamika lotu
• Wzdłużna stabilność statyczna
• Oscylacja myśliwska