Dyskretna przestrzeń - Discrete space

W topologii , A przestrzeń dyskretna jest szczególnie prosty przykład topologii powierzchni lub podobnym elemencie, w którym punkty tworzą nieciągłą sekwencji , oznacza, że są izolowane od siebie, w pewnym sensie. Topologia dyskretna to najlepsza topologia, jaką można podać w zestawie. Każdy podzbiór jest otwarty w topologii dyskretnej, tak że w szczególności każdy podzbiór pojedynczych jest zbiorem otwartym w topologii dyskretnej.

Definicje

Biorąc pod uwagę zestaw :

  • dyskretnych Topologia na określa się przez umożliwienie każdy podzbiór o być otwarty (a więc także zamknięte ) i jest dyskretna przestrzeń topologiczna , jeżeli jest on wyposażony w dyskretnych topologii;
  • dyskretnych jednorodność na określa się przez umożliwienie każdej rozszerzeniem przekątnej w Be otoczenie i jest dyskretna przestrzeń jednorodna , jeśli jest ona wyposażona z dyskretnych jednolitości.
  • dyskretnych metrycznych na jest określona
    dla każdego . W tym przypadku nazywana jest dyskretną przestrzenią metryczną lub przestrzenią izolowanych punktów .
  • zestaw jest dyskretny w przestrzeni metrycznej , dla , jeśli dla każdego , istnieje kilka (w zależności ) takie, że dla wszystkich ; taki zbiór składa się z punktów izolowanych . Zbiór jest jednostajnie dyskretny w przestrzeni metrycznej , dla , jeśli istnieje taki , że dla dowolnych dwóch różnych , .

Mówi się, że przestrzeń metryczna jest jednolicie dyskretna, jeśli istnieje promień upakowania taki, że dla dowolnego , jeden ma albo lub . Topologia leżąca u podstaw przestrzeni metryki może być dyskretna, ale metryka nie jest jednolicie dyskretna: na przykład zwykła metryka w zestawie .

Dowód, że dyskretna przestrzeń niekoniecznie jest równomiernie dyskretna

Rozważmy ten zbiór używając zwykłej metryki na liczbach rzeczywistych. Następnie jest dyskretną przestrzeń, ponieważ dla każdego punktu , możemy otoczyć go z przedziału , gdzie . Skrzyżowanie jest więc trywialnie singletonem . Ponieważ przecięcie dwóch otwartych zbiorów jest otwarte, a singletony są otwarte, wynika z tego, że jest to przestrzeń dyskretna.

Jednak nie może być jednolicie dyskretny. Aby zobaczyć dlaczego, załóżmy, że istnieje taki, że kiedykolwiek . Wystarczy wykazać, że istnieją co najmniej dwa punkty i w które są bliżej siebie niż . Ponieważ odległość pomiędzy sąsiednimi punktami i is , musimy znaleźć a, który spełnia tę nierówność:

Ponieważ zawsze istnieje większa niż jakakolwiek podana liczba rzeczywista, wynika z tego, że zawsze będą co najmniej dwa punkty, które są bliżej siebie niż jakikolwiek dodatni , a zatem nie jest jednostajnie dyskretny.

Nieruchomości

Podstawowa jednorodność w dyskretnej przestrzeni metrycznej jest dyskretną jednorodnością, a podstawowa topologia dyskretnej jednolitej przestrzeni jest dyskretną topologią. W ten sposób różne pojęcia przestrzeni dyskretnej są ze sobą kompatybilne. Z drugiej strony, podstawowa topologia niedyskretnej przestrzeni jednolitej lub metrycznej może być dyskretna; przykładem jest przestrzeń metryki (z metryką odziedziczoną z linii rzeczywistej i podaną przez ). To nie jest miara dyskretna; również ta przestrzeń nie jest kompletna, a zatem nie jest dyskretna jako jednolita przestrzeń. Niemniej jednak jako przestrzeń topologiczna jest dyskretna. Mówimy, że jest topologicznie dyskretny, ale nie jednostajnie dyskretny lub metrycznie dyskretny .

Dodatkowo:

  • Topologiczna wymiar dyskretnego przestrzeni jest równe 0.
  • Przestrzeń topologiczna jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy jej singletony są otwarte, co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera punktów akumulacji .
  • Singletony tworzą podstawę dla dyskretnej topologii.
  • Jednolita przestrzeń jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy przekątna jest otoczeniem .
  • Każda dyskretna przestrzeń topologiczna spełnia każdy z aksjomatów separacji ; w szczególności każda dyskretna przestrzeń jest Hausdorff , to znaczy oddzielona.
  • Dyskretna przestrzeń jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończona .
  • Każda dyskretna przestrzeń jednolita lub metryczna jest kompletna .
  • Łącząc powyższe dwa fakty, każda dyskretna przestrzeń jednolita lub metryczna jest całkowicie ograniczona wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończona.
  • Każda dyskretna przestrzeń metryczna jest ograniczona .
  • Każda dyskretna przestrzeń jest policzalna jako pierwsza ; jest ponadto policzalny w sekundach wtedy i tylko wtedy, gdy jest policzalny .
  • Każda dyskretna przestrzeń jest całkowicie odłączona .
  • Każda niepusta dyskretna przestrzeń jest drugą kategorią .
  • Dowolne dwie dyskretne przestrzenie o tej samej kardynalnościhomeomorficzne .
  • Każda dyskretna przestrzeń jest metryzowalna (przez metrykę dyskretną).
  • Skończona przestrzeń jest metryzowalna tylko wtedy, gdy jest dyskretna.
  • Jeżeli jest przestrzenią topologiczną i jest zbiorem niosącym topologię dyskretną, to jest równomiernie pokryta (pożądanym pokryciem jest mapa rzutowania)
  • Topologia podprzestrzeni na całkowite jako podprzestrzeni prostej rzeczywistej jest topologia dyskretna.
  • Dyskretna przestrzeń jest rozdzielna wtedy i tylko wtedy, gdy jest policzalna.
  • Każda topologiczna podprzestrzeń (z jej zwykłą topologią euklidesową ), która jest dyskretna, jest z konieczności policzalna .

Każda funkcja z dyskretnej przestrzeni topologicznej do innej przestrzeni topologicznej jest ciągła , a każda funkcja z dyskretnej jednolitej przestrzeni do innej jednolitej przestrzeni jest jednostajnie ciągła . Oznacza to, że przestrzeń dyskretna jest wolna na zbiorze w kategorii przestrzeni topologicznych i odwzorowań ciągłych lub w kategorii przestrzeni jednorodnych i odwzorowań jednostajnie ciągłych. Fakty te są przykładami znacznie szerszego zjawiska, w którym struktury dyskretne są zwykle swobodne na zbiorach.

Z przestrzeniami metrycznymi sprawy są bardziej skomplikowane, ponieważ istnieje kilka kategorii przestrzeni metrycznych, w zależności od tego, co jest wybrane dla morfizmów . Z pewnością dyskretna przestrzeń metryczna jest wolna, gdy wszystkie morfizmy są mapami jednostajnie ciągłymi lub wszystkimi mapami ciągłymi, ale to nie mówi nic ciekawego o strukturze metrycznej , tylko o strukturze jednolitej lub topologicznej. Kategorie bardziej związane ze strukturą metryczną można znaleźć, ograniczając morfizmy do map ciągłych Lipschitza lub do map krótkich ; jednak te kategorie nie mają wolnych obiektów (na więcej niż jednym elemencie). Jednak dyskretna przestrzeń metryczna jest wolna w kategorii ograniczonych przestrzeni metrycznych i ciągłych mapach Lipschitza oraz jest wolna w kategorii przestrzeni metrycznych ograniczonych przez 1 i krótkich mapach. Oznacza to, że każda funkcja z dyskretnej przestrzeni metrycznej do innej ograniczonej przestrzeni metrycznej jest ciągła Lipschitza, a każda funkcja z dyskretnej przestrzeni metrycznej do innej przestrzeni metrycznej ograniczonej przez 1 jest krótka.

Idąc w drugą stronę, funkcja z przestrzeni topologicznej do przestrzeni dyskretnej jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest lokalnie stała w tym sensie, że każdy punkt w ma sąsiedztwo, które jest stałe.

Każdy Ultrafiltr na niepustym zbiorze mogą być związane z topologią na z własności, że każdy niepusty podzbiór właściwy ze jest albo podzbiorem otwartym lub też podzbiór domknięty , ale nigdy oba. Mówiąc inaczej, każdy podzbiór jest otwarty lub zamknięty, ale (w przeciwieństwie do dyskretnej topologii) jedynymi podzbiorami, które są zarówno otwarte, jak i zamknięte (tj. clopen ), są i . Dla porównania, każdy podzbiór jest otwarty i zamknięty w dyskretnej topologii.

Zastosowania

Struktura dyskretna jest często używana jako „struktura domyślna” w zestawie, który nie zawiera żadnej innej naturalnej topologii, jednorodności ani metryki; dyskretne struktury mogą być często używane jako „ekstremalne” przykłady do testowania konkretnych przypuszczeń. Na przykład dowolną grupę można uznać za grupę topologiczną , nadając jej dyskretną topologię, co oznacza, że ​​twierdzenia o grupach topologicznych mają zastosowanie do wszystkich grup. Rzeczywiście, analitycy mogą odnosić się do zwykłych, nietopologicznych grup badanych przez algebraistów jako do „ grup dyskretnych ”. W niektórych przypadkach może to być użytecznie zastosowane, na przykład w połączeniu z dualizmem Pontryagin . Rozmaitość 0-wymiarowa (lub rozmaitość różniczkowalna lub analityczna) to nic innego jak dyskretna przestrzeń topologiczna. Możemy zatem postrzegać dowolną grupę dyskretną jako 0-wymiarową grupę Liego .

Produkt z przeliczalnie nieskończonych kopii dyskretnej przestrzeni liczb naturalnych jest homeomorficzny w przestrzeni liczb nieracjonalne , przy homeomorfizmu podanej przez ułamka ekspansji. Iloczyn przeliczalnie nieskończonych kopii przestrzeni dyskretnej {0,1} jest homeomorficzny w stosunku do zbioru Cantora ; i faktycznie jednostajnie homeomorficzny do zbioru Cantora, jeśli zastosujemy jednorodność produktu na produkcie. Taki homeomorfizm podaje się za pomocą trójskładnikowej notacji liczb. (Zobacz przestrzeń Cantora .)

W podstawach matematyki badanie właściwości zwartości produktów {0,1} ma kluczowe znaczenie dla topologicznego podejścia do zasady ultrafiltru , która jest słabą formą wyboru .

Niedyskretne przestrzenie

Pod pewnymi względami przeciwieństwem topologii dyskretnej jest topologia trywialna (zwana również topologią niedyskretną ), która ma najmniej możliwych zbiorów otwartych (tylko zbiór pusty i sama przestrzeń). Tam, gdzie topologia dyskretna jest początkowa lub swobodna, topologia niedyskretna jest ostateczna lub cowolna : każda funkcja od przestrzeni topologicznej do przestrzeni niedyskretnej jest ciągła itd.

Zobacz też

Bibliografia