Związek rozłączny - Disjoint union

W matematyce , w Unii rozłącznego (lub dyskryminowanej unii ) z rodziny zestawów jest zestaw z injective funkcji każdego w A , tak, że obrazy zastrzyk tworzą partycję z A (to znaczy, każdy element A należy do dokładnie jeden z tych obrazów). Rozłączny związek rodziny parami rozłącznych zbiorów jest ich związkiem . W kategoriach teorii kategorii The suma rozłączna jest współprodukt z kategorii zbiorów . W ten sposób rozłączny związek jest zdefiniowany aż do bijeku. ${\ Displaystyle (A_ {i} \ dwukropek i \ w I)}$${\ Displaystyle A = \ bigsqcup _ {i \ w I} A_ {i}}$${\ Displaystyle A_ {i}}$

Standardowym sposobem budowania unii rozłącznej jest zdefiniowanie A jako zbioru uporządkowanych par ( x , i ) takich, że i funkcje iniektywne przez${\ Displaystyle x \ w A_ {i},}$${\ Displaystyle A_ {i} \ do A}$${\displaystyle x\mapsto (x,i).}$

Przykład

Rozważ zestawy i . Możemy indeksować elementy zbioru zgodnie z pochodzeniem zbioru, tworząc powiązane zbiory ${\displaystyle A_{0}=\{5,6,7\}}$${\displaystyle A_{1}=\{5,6\}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} A_ {0} ^ {*} i = \ {(5,0), (6,0), (7,0) \} \ \ A_ {1} ^ {*} &=\{(5,1),(6,1)\},\end{wyrównany}}}$

gdzie drugi element w każdej parze pasuje do indeksu zestawu źródłowego (np. in pasuje do indeksu w , itd.). Związek rozłączny można wtedy obliczyć w następujący sposób: ${\ Displaystyle 0}$${\ Displaystyle (5,0)}$${\displaystyle A_{0}}$${\displaystyle A_{0}\sqcup A_{1}}$

${\ Displaystyle A_ {0} \ sqcup A_ {1} = A_ {0} ^ {*} \ filiżanka A_ {1} ^ {*} = \ {(5,0), (6, 0), (7, 0),(5,1),(6,1)\}.}$

Definicja teorii mnogości

Formalnie, niech będzie rodziną zbiorów zaindeksowane przez The unii rozłącznych tej rodziny jest zbiorem ${\ Displaystyle \ lewo \ {A_ {i}: ja \ w I \ prawo \}}$${\ Displaystyle I.}$

${\ Displaystyle \ bigsqcup _ {i \ w I} A_ {i} = \ bigcup _ {i \ w I} \ lewo \ {(x, i): x \ w A_ {i} \ po prawej \}.}$

Elementy unii rozłącznej są parami uporządkowanymi Tutaj służy jako pomocniczy indeks wskazujący, z którego pochodzi element . ${\displaystyle (x,i).}$${\displaystyle i}$${\ Displaystyle A_ {i}}$${\displaystyle x}$

Każdy ze zbiorów jest kanonicznie izomorficzny ze zbiorem ${\ Displaystyle A_ {i}}$

${\ Displaystyle A_ {i} ^ {*} = \ lewo \ {(x, i): x \ w A_ {i} \ prawej \}.}$

Dzięki temu izomorfizmowi można uznać, że jest on kanonicznie osadzony w rozłącznym związku. Dla zestawów i są rozłączne, nawet jeśli zestawy i nie są. ${\ Displaystyle A_ {i}}$${\displaystyle i\neqj,}$${\ Displaystyle A_ {i} ^ {*}}$${\ Displaystyle A_ {j} ^ {*}}$${\ Displaystyle A_ {i}}$${\ Displaystyle A_ {j}}$

W skrajnym przypadku, gdzie każdy z równą jakiegoś ustalonego zestawu dla każdej unii rozłącznych jest iloczyn kartezjański z i : ${\ Displaystyle A_ {i}}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle ja\w ja}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle I}$

${\ Displaystyle \ bigsqcup _ {i \ w I} A_ {i} = A \ razy I.}$

Od czasu do czasu można zobaczyć notację

${\ Displaystyle \ suma _ {i \ w I} A_ {i}}$

dla rozłącznej unii rodziny zbiorów lub notacja dla rozłącznej unii dwóch zbiorów. Ten zapis ma sugerować fakt, że liczność rozłącznego związku jest sumą liczności terminów w rodzinie. Porównaj to z notacją iloczynu kartezjańskiego rodziny zbiorów. ${\displaystyle A+B}$

Rozłączne związki są również czasami pisane lub${\ Displaystyle \ biguplus _ {i \ w I} A_ {i}}$${\ Displaystyle \ \ cdot \! \! \! \! \! \ bigcup _ {i \ w I} A_ {i}.}$

W języku teorii kategorii rozłączny związek jest koproduktem w kategorii zbiorów . Spełnia zatem związaną z nim własność uniwersalną . Oznacza to również, że Unia rozłączne jest kategoryczny podwójny z iloczynu kartezjańskiego budowy. Zobacz koprodukt, aby uzyskać więcej informacji.

Dla wielu celów szczególny wybór indeksu pomocniczego jest nieistotny, a w uproszczeniu nadużywania notacji indeksowaną rodzinę można traktować po prostu jako zbiór zbiorów. W tym przypadku jest określany jako kopia z oraz oznaczenie jest czasami używane. ${\ Displaystyle A_ {i} ^ {*}}$${\ Displaystyle A_ {i}}$${\ Displaystyle {\ underset {A \ w C} {\, \, \ bigcup \ nolimits ^ {*} \!}} A}$

Punkt widzenia teorii kategorii

W teorii kategorii rozłączny związek jest definiowany jako koprodukt w kategorii zbiorów.

Jako taki, rozłączny związek jest zdefiniowany aż do izomorfizmu, a powyższa definicja jest tylko jedną realizacją koproduktu, między innymi. Kiedy zbiory są parami rozłączne, zwykłe połączenie jest kolejną realizacją koproduktu. To uzasadnia drugą definicję w czołówce.

Ten kategoryczny aspekt związku rozłącznego wyjaśnia, dlaczego często używa się go zamiast , do oznaczenia koproduktu . ${\displaystyle \coprod}$${\ Displaystyle \ bigsqcup}$

Zobacz też

• Koprodukt  – Konstrukcja teoretyczna kategorii
• Limit bezpośredni
• Związek rozłączny (topologia)
• Rozłączna suma grafów
• Podział zbioru  – Matematyczne sposoby grupowania elementów zbioru
• Typ sumy
• Tagged union  – Struktura danych służąca do przechowywania wartości, która może przyjmować kilka różnych, ale stałych typów
• Unia (informatyka)

Bibliografia

• Lang, Serge (2004), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Poprawiony czwarty druk, poprawione trzecie wydanie), New York: Springer-Verlag, s. 60, numer ISBN 978-0-387-95385-4
• Weisstein, Eric W. „Rozłączna Unia” . MatematykaŚwiat .