Związek rozłączny - Disjoint union
W matematyce , w Unii rozłącznego (lub dyskryminowanej unii ) z rodziny zestawów jest zestaw z injective funkcji każdego w A , tak, że obrazy zastrzyk tworzą partycję z A (to znaczy, każdy element A należy do dokładnie jeden z tych obrazów). Rozłączny związek rodziny parami rozłącznych zbiorów jest ich związkiem . W kategoriach teorii kategorii The suma rozłączna jest współprodukt z kategorii zbiorów . W ten sposób rozłączny związek jest zdefiniowany aż do bijeku.
Standardowym sposobem budowania unii rozłącznej jest zdefiniowanie A jako zbioru uporządkowanych par ( x , i ) takich, że i funkcje iniektywne przez
Przykład
Rozważ zestawy i . Możemy indeksować elementy zbioru zgodnie z pochodzeniem zbioru, tworząc powiązane zbiory
gdzie drugi element w każdej parze pasuje do indeksu zestawu źródłowego (np. in pasuje do indeksu w , itd.). Związek rozłączny można wtedy obliczyć w następujący sposób:
Definicja teorii mnogości
Formalnie, niech będzie rodziną zbiorów zaindeksowane przez The unii rozłącznych tej rodziny jest zbiorem
Elementy unii rozłącznej są parami uporządkowanymi Tutaj służy jako pomocniczy indeks wskazujący, z którego pochodzi element .
Każdy ze zbiorów jest kanonicznie izomorficzny ze zbiorem
Dzięki temu izomorfizmowi można uznać, że jest on kanonicznie osadzony w rozłącznym związku. Dla zestawów i są rozłączne, nawet jeśli zestawy i nie są.
W skrajnym przypadku, gdzie każdy z równą jakiegoś ustalonego zestawu dla każdej unii rozłącznych jest iloczyn kartezjański z i :
Od czasu do czasu można zobaczyć notację
dla rozłącznej unii rodziny zbiorów lub notacja dla rozłącznej unii dwóch zbiorów. Ten zapis ma sugerować fakt, że liczność rozłącznego związku jest sumą liczności terminów w rodzinie. Porównaj to z notacją iloczynu kartezjańskiego rodziny zbiorów.
Rozłączne związki są również czasami pisane lub
W języku teorii kategorii rozłączny związek jest koproduktem w kategorii zbiorów . Spełnia zatem związaną z nim własność uniwersalną . Oznacza to również, że Unia rozłączne jest kategoryczny podwójny z iloczynu kartezjańskiego budowy. Zobacz koprodukt, aby uzyskać więcej informacji.
Dla wielu celów szczególny wybór indeksu pomocniczego jest nieistotny, a w uproszczeniu nadużywania notacji indeksowaną rodzinę można traktować po prostu jako zbiór zbiorów. W tym przypadku jest określany jako kopia z oraz oznaczenie jest czasami używane.
Punkt widzenia teorii kategorii
W teorii kategorii rozłączny związek jest definiowany jako koprodukt w kategorii zbiorów.
Jako taki, rozłączny związek jest zdefiniowany aż do izomorfizmu, a powyższa definicja jest tylko jedną realizacją koproduktu, między innymi. Kiedy zbiory są parami rozłączne, zwykłe połączenie jest kolejną realizacją koproduktu. To uzasadnia drugą definicję w czołówce.
Ten kategoryczny aspekt związku rozłącznego wyjaśnia, dlaczego często używa się go zamiast , do oznaczenia koproduktu .
Zobacz też
- Koprodukt – Konstrukcja teoretyczna kategorii
- Limit bezpośredni
- Związek rozłączny (topologia)
- Rozłączna suma grafów
- Podział zbioru – Matematyczne sposoby grupowania elementów zbioru
- Typ sumy
- Tagged union – Struktura danych służąca do przechowywania wartości, która może przyjmować kilka różnych, ale stałych typów
- Unia (informatyka)
Bibliografia
- Lang, Serge (2004), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Poprawiony czwarty druk, poprawione trzecie wydanie), New York: Springer-Verlag, s. 60, numer ISBN 978-0-387-95385-4
- Weisstein, Eric W. „Rozłączna Unia” . MatematykaŚwiat .