Dystans - Distance

Odległość to liczbowa miara odległości obiektów lub punktów. W fizyce lub codziennym użyciu odległość może odnosić się do fizycznej długości lub oszacowania opartego na innych kryteriach (np. „dwa hrabstwa powyżej”). Odległość od punktu A do punktu B jest czasami oznaczana jako . W większości przypadków „odległość od A do B” jest wymienna z „odległość od B do A”. W matematyce funkcja odległości lub metryka jest uogólnieniem pojęcia odległości fizycznej; jest to sposób na opisanie, co to znaczy, że elementy jakiejś przestrzeni są „blisko” lub „daleko” od siebie. W psychologii i naukach społecznych odległość jest miarą nienumeryczną; Dystans psychologiczny definiuje się jako „różne sposoby, w jakie przedmiot może zostać usunięty” z „ja” w takich wymiarach, jak „czas, przestrzeń, dystans społeczny i hipotetyka”.

Przegląd i definicje

Odległości fizyczne

Trasy lotnicze między Los Angeles a Tokio przebiegają w przybliżeniu po trasie po ortodromie (na górze), ale kierując się na wschód , korzystaj ze strumienia strumieniowego (na dole). Zauważ, że najkrótsza trasa jest wyświetlana jako krzywa, a nie linia prosta, ponieważ ta mapa jest odwzorowaniem Mercatora , które nie skaluje wszystkich odległości w równym stopniu w porównaniu z rzeczywistą sferyczną powierzchnią Ziemi.
Odległość Manhattanu ” na siatce

Odległość fizyczna może oznaczać kilka różnych rzeczy:

  • Przebyta odległość: długość określonej ścieżki przebytej między dwoma punktami, na przykład odległość przebyta podczas nawigowania labiryntem
  • Odległość w linii prostej (euklidesowa): Długość najkrótszej możliwej ścieżki w przestrzeni, między dwoma punktami, którą można by pokonać, gdyby nie było przeszkód (zwykle sformalizowana jako odległość euklidesowa )
  • Odległość geodezyjna: długość najkrótszej ścieżki między dwoma punktami, która pozostaje na pewnej powierzchni, na przykład odległość wielkiego okręgu wzdłuż krzywej Ziemi
  • Długość określonej ścieżki, która powraca do punktu początkowego, np. piłka rzucona prosto w górę lub Ziemia po ukończeniu jednego okrążenia .
Tablica pokazująca odległości w pobliżu Visakhapatnam

„Odległość kołowa” to odległość przebyta przez koło, która może być przydatna przy projektowaniu pojazdów lub przekładni mechanicznych. Obwód koła wynosi 2 π  × promień, a zakładając promień równy 1, każdy obrót koła odpowiada odległości 2 π radianów. W inżynierii często używa się ω  = 2 πƒ , gdzie ƒ jest częstotliwością .

Nietypowe definicje odległości mogą być pomocne w modelowaniu pewnych sytuacji fizycznych, ale są również stosowane w matematyce teoretycznej:

  • Odległość Manhattanu ” to odległość prostoliniowa, nazwana na podstawie liczby przecznic (w kierunku północnym, południowym, wschodnim lub zachodnim), którą musi przebyć taksówka, aby dotrzeć do celu na siatce ulic w niektórych częściach Nowego Jorku .
  • „Odległość szachownicy”, sformalizowana jako odległość Czebyszewa , to minimalna liczba ruchów, które król musi wykonać na szachownicy , aby przejść między dwoma polami.

Miary odległości w kosmologii komplikują rozszerzanie się wszechświata oraz efekty opisane przez teorię względności (takie jak skrócenie długości poruszających się obiektów).

Odległości teoretyczne

Termin „odległość” jest również używany przez analogię do mierzenia bytów niefizycznych w określony sposób.

W informatyce istnieje pojęcie „ odległości edycji ” między dwoma ciągami. Na przykład słowa „pies” i „kropka”, które różnią się tylko jedną literą, są bliższe niż „pies” i „kot”, które różnią się trzema literami. Ten pomysł jest używany w sprawdzaniach pisowni i w teorii kodowania i jest matematycznie sformalizowany na kilka różnych sposobów, takich jak:

W matematyce przestrzeń metryczna to zbiór, dla którego zdefiniowane są odległości między wszystkimi elementami zbioru. W ten sposób można obliczyć wiele różnych typów „odległości”, takich jak przemierzanie wykresów , porównywanie rozkładów i krzywych oraz używanie nietypowych definicji „przestrzeni” (na przykład przy użyciu rozmaitości lub odbić ). Pojęcie odległości w teorii grafów zostało użyte do opisania sieci społecznych , na przykład z liczbą Erdősa lub liczbą Bacona — liczbą relacji współpracy, które osoba dzieli od płodnego matematyka Paula Erdősa i aktora Kevina Bacona , odpowiednio.

W psychologii, geografii człowieka i naukach społecznych dystans jest często teoretyzowany nie jako obiektywny miernik, ale jako subiektywne doświadczenie.

Odległość a skierowana odległość i przemieszczenie

Odległość na ścieżce w porównaniu z przemieszczeniem

Zarówno odległość, jak i przemieszczenie mierzą ruch obiektu. Odległość nie może być ujemna i nigdy się nie zmniejsza. Odległość jest wielkością skalarną lub wielkością , podczas gdy przemieszczenie jest wielkością wektorową zawierającą zarówno wielkość, jak i kierunek . Może być ujemna, zerowa lub dodatnia. Ukierunkowana odległość nie mierzy ruchu; mierzy odległość dwóch punktów i może być wektorem dodatnim, zerowym lub ujemnym.

Odległość przebytą przez pojazd (na przykład zarejestrowaną przez drogomierz ), osobę, zwierzę lub przedmiot po zakrzywionej ścieżce od punktu A do punktu B należy odróżnić od odległości w linii prostej od A do B . Na przykład niezależnie od odległości pokonanej podczas podróży w obie strony z A do B iz powrotem do A , przemieszczenie wynosi zero, ponieważ punkty początkowe i końcowe pokrywają się. Ogólnie odległość w linii prostej nie jest równa przebytej odległości, z wyjątkiem podróży w linii prostej.

Skierowana odległość

Odległości skierowane mogą być wyznaczane wzdłuż linii prostych i wzdłuż linii krzywych.

Odległości skierowane wzdłuż linii prostych to wektory określające odległość i kierunek między punktem początkowym a końcowym. Skierowana odległość punktu C od punktu A w kierunku B na prostej AB w euklidesowej przestrzeni wektorowej jest odległością od A do C, jeśli C pada na promień AB , ale jest ujemna tej odległości, jeśli C pada na promień BA (tj. jeśli C nie jest po tej samej stronie A co B ). Na przykład skierowana odległość od masztu flagowego Biblioteki Głównej Miasta Nowy Jork do masztu flagowego Statuy Wolności ma:

  • Punkt wyjścia: maszt flagowy biblioteki
  • Punkt końcowy: maszt z flagą statuy
  • Kierunek: -38°
  • Odległość: 8,72 km

Innym rodzajem ukierunkowanej odległości jest odległość między dwiema różnymi cząstkami lub masami punktowymi w danym czasie. Na przykład odległość od środka ciężkości Ziemi A i środka ciężkości Księżyca B (co nie oznacza ściśle ruchu z A do B ) należy do tej kategorii.

Skierowana odległość wzdłuż zakrzywionej linii nie jest wektorem i jest reprezentowana przez odcinek tej zakrzywionej linii określony przez punkty końcowe A i B , z pewnymi konkretnymi informacjami wskazującymi zwrot (lub kierunek) idealnego lub rzeczywistego ruchu z jednego punktu końcowego segment do drugiego (patrz rysunek). Na przykład samo oznaczenie dwóch punktów końcowych jako A i B może wskazywać na sens, jeśli założono uporządkowaną sekwencję ( A , B ), co oznacza, że A jest punktem początkowym.

Przemieszczenie

Przemieszczenie (patrz wyżej) to specjalny rodzaj ukierunkowanej odległości zdefiniowanej w mechanice . Odległość skierowana nazywa się przemieszczeniem, gdy jest to odległość wzdłuż linii prostej (odległość minimalna) od A i B , a gdy A i B są pozycjami zajmowanymi przez tę samą cząstkę w dwóch różnych momentach czasu. To implikuje ruch cząstki. Odległość przebyta przez cząsteczkę musi być zawsze większa lub równa jej przemieszczeniu, przy czym równość występuje tylko wtedy, gdy cząsteczka porusza się po prostej drodze.

Matematyka

Geometria

W geometrii analitycznej The euklidesową odległość między dwoma punktami w tej płaszczyźnie xy można znaleźć stosując wzór odległości. Odległość między ( x 1 , y 1 ) a ( x 2 , y 2 ) jest wyrażona wzorem:

Podobnie, biorąc pod uwagę punkty ( x 1 , y 1 , z 1 ) i ( x 2 , y 2 , z 2 ) w trzech przestrzeniach odległość między nimi wynosi:

Wzór ten można łatwo wyprowadzić, konstruując trójkąt prostokątny z odnogą na przeciwprostokątnej innej (z drugą odnogą prostopadłą do płaszczyzny zawierającej pierwszy trójkąt) i stosując twierdzenie Pitagorasa . Ta formuła odległości może być również rozszerzona na formułę długości łuku . Inne odległości z innymi wzorami są używane w geometrii nieeuklidesowej .

Odległość w przestrzeni euklidesowej

W przestrzeni euklidesowej R n odległość między dwoma punktami jest zwykle podawana jako odległość euklidesowa (odległość dwunormowa). Czasami zamiast tego stosuje się inne odległości, oparte na innych normach .

Dla punktu ( x 1 , x 2 , ..., x n ) i punktu ( y 1 , y 2 , ..., y n ) odległość Minkowskiego rzędu p ( odległość p - norma ) jest zdefiniowana jako :

Odległość 1 norma
Odległość 2 norm
p -normalna odległość
nieskończoność norma odległość

p nie musi być liczbą całkowitą, ale nie może być mniejsze niż 1, ponieważ w przeciwnym razie nierówność trójkąta nie zachodzi.

Odległość 2 norm to odległość euklidesowa , uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na więcej niż dwie współrzędne . Oto, co można by uzyskać, gdyby odległość między dwoma punktami była mierzona linijką : „intuicyjne” pojęcie odległości.

Dystans 1-normowy jest bardziej barwnie nazywany normą taksówkową lub dystansem Manhattan , ponieważ jest to odległość, jaką przejechałby samochód w mieście rozłożonym na kwadraty (jeśli nie ma ulic jednokierunkowych).

Odległość normy nieskończoności jest również nazywana odległością Czebyszewa . W 2D jest to minimalna liczba ruchów potrzebnych królom do przejścia między dwoma polami szachownicy .

P -norm jest rzadko używany dla wartości p innej niż 1, 2, i nieskończoności, ale zobaczyć superelipsa .

W przestrzeni fizycznej odległość euklidesowa jest poniekąd najbardziej naturalna, ponieważ w tym przypadku długość ciała sztywnego nie zmienia się wraz z obrotem .

Wariacyjne sformułowanie odległości

Odległość euklidesową między dwoma punktami w przestrzeni ( i ) można zapisać w postaci wariacyjnej, gdzie odległość jest minimalną wartością całki:

Oto trajektoria (ścieżka) między dwoma punktami. Wartość całki (D) reprezentuje długość tej trajektorii. Odległość jest minimalną wartością tej całki i jest uzyskiwana, gdy gdzie jest optymalna trajektoria. W znanym przypadku euklidesowym (powyższa całka) ta optymalna trajektoria jest po prostu linią prostą. Powszechnie wiadomo, że najkrótszą drogą między dwoma punktami jest linia prosta. Linie proste można formalnie uzyskać, rozwiązując równania Eulera-Lagrange'a dla powyższego funkcjonału . W rozmaitościach nieeuklidesowych (przestrzeniach zakrzywionych), gdzie charakter przestrzeni jest reprezentowany przez tensor metryczny, podcałkę należy zmodyfikować do , gdzie zastosowano konwencję sumowania Einsteina .

Uogólnienie na obiekty o wyższych wymiarach

Odległość euklidesowa między dwoma obiektami może być również uogólniona na przypadek, w którym obiekty nie są już punktami, ale są rozmaitościami wyższego wymiaru , takimi jak krzywe przestrzenne, więc oprócz mówienia o odległości między dwoma punktami można omówić pojęcia odległości między dwoma smyczki. Ponieważ nowe obiekty, którymi się zajmujemy, są obiektami rozszerzonymi (już nie punktami), dodatkowe pojęcia, takie jak nierozszerzalność, ograniczenia krzywizny i nielokalne interakcje, które wymuszają nieprzekraczanie, stają się kluczowe dla pojęcia odległości. Odległość między dwiema rozmaitościami jest wielkością skalarną wynikającą z minimalizacji uogólnionego funkcjonału odległości, który reprezentuje transformację między dwiema rozmaitościami:

Powyższa całka podwójna jest uogólnionym funkcjonałem odległości między konformacjami dwóch polimerów. jest parametrem przestrzennym i jest pseudoczasem. Oznacza to, że jest to konformacja polimer/struna w czasie i jest sparametryzowana wzdłuż długości struny przez . Podobnie jest z trajektorią nieskończenie małego odcinka struny podczas przekształcania całej struny z konformacji w konformację . Termin z kofaktorem to mnożnik Lagrange'a, a jego rolą jest zapewnienie, że długość polimeru pozostanie taka sama podczas transformacji. Jeśli dwa dyskretne polimery są nierozciągliwe, to transformacja na minimalną odległość między nimi nie obejmuje już ruchu czysto prostoliniowego, nawet w metryce euklidesowej. Istnieje potencjalne zastosowanie tak uogólnionego dystansu do problemu fałdowania białek .

Ta uogólniona odległość jest analogiczna do działania Nambu-Goto w teorii strun , jednak nie ma dokładnej korespondencji, ponieważ odległość euklidesowa w przestrzeni 3 nie jest równoważna odległości czasoprzestrzennej zminimalizowanej dla klasycznej struny relatywistycznej.

Odległość algebraiczna

Jest to metryka często używana w wizji komputerowej, którą można zminimalizować za pomocą estymacji metodą najmniejszych kwadratów . [1] [2] W przypadku krzywych lub powierzchni podanych równaniem (takich jak stożka we współrzędnych jednorodnych ), algebraiczna odległość od punktu do krzywej wynosi po prostu . Może służyć jako „wstępne przypuszczenie” odległości geometrycznej w celu udoskonalenia oszacowań krzywej za pomocą dokładniejszych metod, takich jak nieliniowe metody najmniejszych kwadratów .

Ogólna metryka

W matematyce , w szczególności w geometrii , funkcją odległości na danym zbiorze M jest funkcja d : M × MR , gdzie R oznacza zbiór liczb rzeczywistych , który spełnia następujące warunki:

  • d ( x , y ) ≥ 0 i d ( x , y ) = 0 wtedy i tylko wtedy , gdy x = y . (Odległość jest dodatnia między dwoma różnymi punktami i wynosi dokładnie zero od punktu do siebie).
  • Jest symetryczny : d ( x , y ) = d ( y , x ) . (Odległość między x i y jest taka sama w obu kierunkach.)
  • Spełnia nierówność trójkąta : d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) . (Odległość między dwoma punktami to najkrótsza odległość na dowolnej ścieżce). Taka funkcja odległości nazywana jest metryką . Wraz z kompletem tworzy przestrzeń metryczną .

Na przykład zwykła definicja odległości między dwiema liczbami rzeczywistymi x i y to: d ( x , y ) = | xy | . Definicja ta spełnia trzy powyższe warunki i odpowiada standardowej topologii na prostej rzeczywistej . Ale odległość na danym zestawie to wybór definicyjny. Innym możliwym wyborem jest zdefiniowanie: d ( x , y ) = 0 jeśli x = y , a 1 inaczej. To również definiuje metrykę, ale daje zupełnie inną topologię, „ topologię dyskretną ”; przy tej definicji liczby nie mogą być arbitralnie zbliżone.

Odległości między zbiorami oraz między punktem a zbiorem

d ( AB ) >  d ( AC ) +  d ( CB )

Możliwe są różne definicje odległości między obiektami. Na przykład między ciałami niebieskimi nie należy mylić odległości powierzchnia-powierzchnia z odległością od środka do środka. Jeśli pierwsza jest znacznie mniejsza niż druga, tak jak w przypadku niskiej orbity okołoziemskiej , zwykle podaje się pierwszą (wysokość), w przeciwnym razie, np. dla odległości Ziemia-Księżyc, druga.

Istnieją dwie wspólne definicje odległości między dwoma niepustymi podzbiorami danej przestrzeni metrycznej :

  • Jedną z wersji odległości między dwoma niepustymi zbiorami jest dolna granica odległości między dowolnymi dwoma odpowiednimi punktami, co jest codziennym znaczeniem tego słowa, tj.
To jest symetryczna premetryka . W zbiorze zbiorów, z których niektóre dotykają się lub nakładają na siebie, nie jest to „oddzielanie”, ponieważ odległość między dwoma różnymi, ale stykającymi się lub zachodzącymi na siebie zbiorami wynosi zero. Również nie jest hemimetryczny , tzn. nierówność trójkąta nie zachodzi, z wyjątkiem szczególnych przypadków. Dlatego tylko w szczególnych przypadkach odległość ta sprawia, że ​​zbiór zbiorów jest przestrzenią metryczną .
  • Odległość Hausdorff jest większą z dwóch wartości, z których jedna jest Supremum dla punktu rozmieszczonych na jeden zestaw, z infimum dla drugiego punktu rozmieszczonych na drugim zestawie, odległości pomiędzy punktami, a druga wartość, jest podobnie zdefiniowane, ale z zamienionymi rolami dwóch zestawów. Ta odległość sprawia, że ​​zbiór niepustych, kompaktowych podzbiorów przestrzeni metrycznej sam w sobie jest przestrzenią metryczną .

Odległość między punktem a zestaw jest infimum od odległości pomiędzy punktem i te w zestawie. Odpowiada to odległości, zgodnie z pierwszą wspomnianą powyżej definicją odległości między zestawami, od zestawu zawierającego tylko ten punkt do drugiego zestawu.

W tym sensie można uprościć definicję odległości Hausdorffa: jest to większa z dwóch wartości, z których jedna jest najwyższą, dla punktu mieszczącego się w jednym zbiorze, odległości między punktem a zbiorem, a druga wartość podobnie zdefiniowane, ale z zamienionymi rolami dwóch zestawów.

Teoria grafów

W teorii wykres odległość między dwoma wierzchołkami jest długością najkrótszej ścieżki między tymi wektorami.

Odległości statystyczne

W statystyce i geometrii informacji istnieje wiele rodzajów odległości statystycznych , zwłaszcza rozbieżności , zwłaszcza rozbieżności Bregmana i f- dywergencje . Obejmują one i uogólniają wiele pojęć „różnic między dwoma rozkładami prawdopodobieństwa ” i pozwalają na ich badanie geometryczne jako rozmaitości statystyczne . Najbardziej elementarny jest kwadrat odległości euklidesowej , który stanowi podstawę najmniejszych kwadratów ; to jest najbardziej podstawowa rozbieżność Bregmana. Najważniejsza w teorii informacji jest entropia względna ( rozbieżność Kullbacka-Leiblera ), która pozwala na analogiczne badanie geometryczne oszacowania maksymalnego prawdopodobieństwa ; jest to najbardziej podstawowa dywergencja f , a także dywergencja Bregmana (i jest to jedyna dywergencja będąca jedną i drugą). Rozmaitości statystyczne odpowiadające rozbieżnościom Bregmana są płaskimi rozmaitościami w odpowiedniej geometrii, co pozwala na wykorzystanie analogu twierdzenia Pitagorasa (które jest tradycyjnie prawdziwe dla kwadratu odległości euklidesowej) do liniowych problemów odwrotnych we wnioskowaniu przez teorię optymalizacji .

Inne ważne odległości statystyczne obejmują odległość Mahalanobisa , w odległości energii i wiele innych.

Inne matematyczne „odległości”

W psychologii

Dystans psychologiczny definiuje się jako „różne sposoby, w jakie przedmiot może zostać usunięty” z „ja” w takich wymiarach, jak „czas, przestrzeń, dystans społeczny i hipotetyka”. Związek między dystansem psychologicznym a stopniem , w jakim myślenie jest abstrakcyjne lub konkretne, opisuje teoria poziomu konstruktywnego , która jest podstawą podejmowania decyzji .

Zobacz też

Wsparcie biblioteki

Bibliografia

Bibliografia