Podział (matematyka) - Division (mathematics)

20/4 = 5, zilustrowane tutaj jabłkami. To jest powiedziane werbalnie: „Dwadzieścia podzielone przez cztery równa się pięć”.

Dzielenie to jedna z czterech podstawowych operacji arytmetycznych , czyli sposobów łączenia liczb w celu uzyskania nowych liczb. Inne operacje to dodawanie , odejmowanie i mnożenie .

Na poziomie elementarnym podział dwóch liczb naturalnych jest, między innymi możliwymi interpretacjami , procesem obliczania, ile razy jedna liczba jest zawarta w drugiej. Ta liczba razy nie zawsze jest liczbą całkowitą (liczba, którą można uzyskać za pomocą innych działań arytmetycznych na liczbach naturalnych).

Division z pozostałym lub euklidesowej podziału dwóch liczb naturalnych stanowi całkowita ilorazu , który jest wiele razy druga liczba jest całkowicie zawarty w pierwszym numerem oraz resztę , którą stanowi część pierwszej liczby, która pozostaje, jeżeli w w trakcie obliczania ilorazu nie można przydzielić dalszego pełnego kawałka wielkości drugiej liczby.

Aby dzielenie zawsze dawało jedną liczbę, a nie iloraz plus resztę, liczby naturalne muszą zostać rozszerzone na liczby wymierne (liczby, które można uzyskać za pomocą arytmetyki na liczbach naturalnych) lub liczby rzeczywiste . W tych powiększonych systemach liczbowych dzielenie jest operacją odwrotną do mnożenia, to znaczy a = c / b oznacza a × b = c , o ile b nie jest zerem. Jeśli b = 0 , to jest to dzielenie przez zero , które nie jest zdefiniowane.

Obie formy podziału występują w różnych strukturach algebraicznych , różnych sposobach definiowania struktury matematycznej. Te, w których zdefiniowano podział euklidesowy (z resztą) są nazywane domenami euklidesowymi i zawierają pierścienie wielomianowe w jednym nieokreślonym (które definiują mnożenie i dodawanie we wzorach z jedną zmienną). Te, w których zdefiniowany jest podział (z jednym wynikiem) przez wszystkie niezerowe elementy, nazywamy polami i pierścieniami podziału . W pierścieniu elementy, według których podział jest zawsze możliwy, nazywane są jednostkami (na przykład 1 i -1 w pierścieniu liczb całkowitych). Innym uogólnieniem podziału na struktury algebraiczne jest grupa ilorazowa , w której wynikiem „dzielenia” jest grupa, a nie liczba.

Wstęp

Najprostszy sposób widzenia podziału jest w zakresie quotition i partycji : z punktu quotition, 20/5 oznacza liczbę od 5 sekund, które muszą być dodane, aby 20. W odniesieniu do stref, 20/5 oznacza rozmiar każdego z 5 części, na które podzielony jest zestaw o rozmiarze 20. Na przykład 20 jabłek dzieli się na pięć grup po cztery jabłka, co oznacza, że dwadzieścia podzielone przez pięć równa się cztery . Jest to oznaczane jako 20 / 5 = 4 , lub 20/5= 4 . Co jest podzielony nazywany jest dywidenda , która jest dzielona przez dzielnik , a wynik nazywa się iloraz . W tym przykładzie 20 to dzielna, 5 to dzielnik, a 4 to iloraz.

W przeciwieństwie do innych podstawowych operacji, podczas dzielenia liczb naturalnych czasami pozostaje reszta , która nie zostanie równo podzielona na dywidendę; na przykład 10/3 pozostawia resztę 1, ponieważ 10 nie jest wielokrotnością 3. Czasami ta reszta jest dodawana do ilorazu jako część ułamkowa , więc 10/3 jest równe 3+1/3lub 3,33... , ale w kontekście dzielenia liczb całkowitych , gdzie liczby nie mają części ułamkowej, reszta jest trzymana oddzielnie (lub wyjątkowo odrzucana lub zaokrąglana ). Gdy reszta jest przechowywana jako ułamek, prowadzi to do liczby wymiernej . Zbiór wszystkich liczb wymiernych tworzy się przez rozszerzenie liczb całkowitych o wszystkie możliwe wyniki dzielenia liczb całkowitych.

W przeciwieństwie do mnożenia i dodawania, dzielenie nie jest przemienne , co oznacza, że a / b nie zawsze jest równe b / a . Dzielenie również nie jest ogólnie asocjacyjne , co oznacza, że ​​przy wielokrotnym dzieleniu kolejność dzielenia może zmienić wynik. Na przykład (20 / 5) / 2 = 2 , ale 20 / (5 / 2) = 8 (gdzie użycie nawiasów wskazuje, że operacje wewnątrz nawiasów są wykonywane przed operacjami poza nawiasami).

Podział jest tradycyjnie uważany za lewostronnie skojarzeniowy . Oznacza to, że jeśli istnieje wiele działów w rzędzie, kolejność obliczeń przebiega od lewej do prawej:

Dzielenie jest prawostronne w stosunku do dodawania i odejmowania w tym sensie, że:

To samo dotyczy mnożenia , jak . Jednak podział nie jest lewostronny , ponieważ

Inaczej jest w przypadku mnożenia, które jest zarówno lewostronne, jak i prawostronne, a więc dystrybutywne .

Notacja

Plusy i minusy. Obelus stosowany jako wariant znaku minus w wyciągu z oficjalnego formularza oświadczenia norweski handlowego zwanego «Næringsoppgave 1» za rok podatkowy 2010.

Podział ten jest często widoczne w Algebra i nauki poprzez umieszczenie dywidendę przez dzielnik do linii poziomej, zwany także pasek frakcję między nimi. Na przykład „ a podzielone przez b ” można zapisać jako:

które można również przeczytać na głos jako „podziel a przez b ” lub „ a nad b ”. Sposób wyrażania dział w jednej linii jest do zapisu dywidendę (lub licznik), potem ukośnik , następnie dzielnik (lub mianownik) w następujący sposób:

Jest to typowy sposób określania dzielenia w większości języków programowania komputerów , ponieważ można go łatwo wpisać jako prostą sekwencję znaków ASCII . Niektóre programy matematyczne , takie jak MATLAB i GNU Octave , umożliwiają pisanie operandów w odwrotnej kolejności przy użyciu odwrotnego ukośnika jako operatora dzielenia:

Typograficzna odmiana w połowie drogi między tymi dwiema formami wykorzystuje solidus (ukośnik ułamkowy), ale podnosi dywidendę i obniża dzielnik:

Każdy z tych formularzy może służyć do wyświetlania ułamka . Ułamek to wyrażenie dzielenia, w którym zarówno dzielnik, jak i dzielnik są liczbami całkowitymi (zwykle nazywane licznikiem i mianownikiem ) i nie ma żadnego wpływu na to, że dzielenie musi być dalej oceniane. Drugim sposobem na pokazanie dzielenia jest użycie znaku dzielenia (÷, znanego również jako obelus, choć termin ten ma dodatkowe znaczenia), powszechnego w arytmetyce, w ten sposób:

Ta forma jest rzadka, z wyjątkiem arytmetyki elementarnej. ISO 80000-2 -9.6 stwierdza, że ​​nie należy go używać. Ten znak dzielenia jest również używany samodzielnie do przedstawienia samej operacji dzielenia, na przykład jako etykieta na klawiszu kalkulatora . Obelus został wprowadzony przez szwajcarskiego matematyka Johanna Rahna w 1659 roku w Teutsche Algebra . Symbol ÷ jest używany do oznaczenia odejmowania w niektórych krajach europejskich, więc jego użycie może być źle zrozumiane.

W niektórych krajach nieanglojęzycznych dwukropek oznacza podział:

Zapis ten został wprowadzony przez Gottfrieda Wilhelma Leibniza w jego Acta eruditorum z 1684 roku . Leibniz nie lubił mieć oddzielnych symboli dla proporcji i dzielenia. Jednak w języku angielskim dwukropek ogranicza się do wyrażenia pokrewnej koncepcji stosunków .

Od XIX wieku w amerykańskich podręcznikach używano lub oznaczano a dzielone przez b , zwłaszcza przy omawianiu dzielenia długiego . Historia tej notacji nie jest do końca jasna, ponieważ ewoluowała ona w czasie.

Przetwarzanie danych

Metody ręczne

Podział wprowadzany jest często przez pojęcie „podzielenia” zbioru przedmiotów, na przykład stosu lizaków, na kilka równych części. Rozkładanie obiektów kilka naraz w każdej rundzie dzielenia na każdą porcję prowadzi do idei „ chunkingu ” – formy podziału, w której wielokrotnie odejmuje się wielokrotności dzielnika od samej dywidendy.

Pozwalając odjąć więcej wielokrotności, niż pozwala na to częściowa reszta na danym etapie, można również opracować bardziej elastyczne metody, takie jak dwukierunkowy wariant chunkingu.

Bardziej systematycznie i efektywniej dwie liczby całkowite można podzielić ołówkiem i papierem metodą dzielenia krótkiego , jeśli dzielnik jest mały, lub dzielenia długiego , jeśli dzielnik jest większy. Jeśli dywidenda ma część ułamkową (wyrażoną jako ułamek dziesiętny ), można kontynuować procedurę poza tymi miejscami tak daleko, jak to konieczne. Jeśli dzielnik ma część ułamkową, można powtórzyć problem, przesuwając przecinek w prawo w obu liczbach, aż dzielnik nie będzie miał ułamka, co może ułatwić rozwiązanie problemu (np. 10/2,5 = 100/25 = 4 ).

Podział można obliczyć za pomocą liczydła .

Tabele logarytmów mogą służyć do dzielenia dwóch liczb, odejmując logarytmy tych dwóch liczb, a następnie sprawdzając antylogarytm wyniku.

Dzielenie można obliczyć za pomocą suwaka , wyrównując dzielnik na skali C z dywidendą na skali D. Iloraz można znaleźć na skali D, gdzie jest wyrównany z lewym indeksem na skali C. Użytkownik jest jednak odpowiedzialny za mentalne śledzenie przecinka dziesiętnego.

Przez komputer

Nowoczesne kalkulatory i komputery obliczają dzielenie metodami podobnymi do dzielenia długiego lub szybszymi metodami; zobacz Algorytm dzielenia .

W arytmetyce modularnej (modulo a liczba pierwsza) i liczbach rzeczywistych liczby niezerowe mają odwrotność multiplikatywną . W takich przypadkach dzielenie przez x można obliczyć jako iloczyn przez odwrotność multiplikatywną x . Takie podejście jest często związane z szybszymi metodami w arytmetyce komputerowej.

Podział w różnych kontekstach

podział euklidesowy

Podział euklidesowy to matematyczne sformułowanie wyniku zwykłego procesu dzielenia liczb całkowitych. Twierdzi, że przy danych dwóch liczbach całkowitych, a , dzielna i b , dzielnik , takie, że b ≠ 0, istnieją unikalne liczby całkowite q , iloraz , i r , reszta, taka, że a = bq + r i 0 ≤ r < | b |, gdzie | b | oznacza wartość bezwzględną w b .

liczb całkowitych

Liczby całkowite nie są zamykane podczas dzielenia. Poza tym, że dzielenie przez zero jest nieokreślone, iloraz nie jest liczbą całkowitą, chyba że dzielna jest całkowitą wielokrotnością dzielnika. Na przykład 26 nie można podzielić przez 11, aby otrzymać liczbę całkowitą. W takim przypadku stosuje się jedno z pięciu podejść:

  1. Powiedz, że 26 nie można podzielić przez 11; podział staje się funkcją częściową .
  2. Podaj przybliżoną odpowiedź jako „ prawdziwą ” liczbę. Jest to podejście zwykle stosowane w obliczeniach numerycznych .
  3. Podaj odpowiedź jako ułamek reprezentujący liczbę wymierną , więc wynik dzielenia 26 przez 11 jest (lub jako liczba mieszana , więc ) Zwykle wynikowy ułamek powinien być uproszczony: wynik dzielenia 52 przez 22 jest również . To uproszczenie można osiągnąć poprzez wydzielenie największego wspólnego dzielnika .
  4. Podaj odpowiedź jako iloraz całkowity i resztę , więc Aby odróżnić od poprzedniego przypadku, ten podział, w wyniku którego powstają dwie liczby całkowite, jest czasami nazywany dzieleniem euklidesowym , ponieważ jest podstawą algorytmu euklidesowego .
  5. Jako odpowiedź podaj iloraz całkowity, więc Jest to funkcja podłogi , czasami nazywana też dzieleniem liczb całkowitych na poziomie elementarnym.

Dzielenie liczb całkowitych w programie komputerowym wymaga szczególnej ostrożności. Niektóre języki programowania traktują dzielenie liczb całkowitych jak w przypadku 5 powyżej, więc odpowiedzią jest liczba całkowita. Inne języki, takie jak MATLAB i każdy system algebry komputerowej, zwracają liczbę wymierną jako odpowiedź, tak jak w przypadku 3 powyżej. Te języki udostępniają również funkcje umożliwiające uzyskanie wyników innych przypadków, bezpośrednio lub z wyniku przypadku 3.

Nazwy i symbole używane do dzielenia liczb całkowitych obejmują div, /, \ i %. Definicje różnią się w odniesieniu do dzielenia liczb całkowitych, gdy dzielnik lub dzielnik jest ujemny: zaokrąglanie może odbywać się w kierunku zera (tzw. dzielenie T) lub w kierunku −∞ (dzielenie F); mogą wystąpić rzadsze style – patrz Operacja Modulo po szczegóły.

Reguły podzielności mogą czasem służyć do szybkiego określenia, czy jedna liczba całkowita dzieli się dokładnie na drugą.

Liczb wymiernych

Wynikiem dzielenia dwóch liczb wymiernych jest kolejna liczba wymierna, gdy dzielnik nie jest równy 0. Dzielenie dwóch liczb wymiernych p / q i r / s można obliczyć jako

Wszystkie cztery wielkości są liczbami całkowitymi, a tylko p może wynosić 0. Ta definicja zapewnia, że ​​dzielenie jest odwrotną operacją mnożenia .

Liczb rzeczywistych

Dzielenie dwóch liczb rzeczywistych daje w wyniku kolejną liczbę rzeczywistą (gdy dzielnik jest niezerowy). Jest zdefiniowany tak, że a / b = c wtedy i tylko wtedy, gdy a = cb i b ≠ 0.

Liczb zespolonych

Dzielenie dwóch liczb zespolonych (gdy dzielnik jest niezerowy) daje w wyniku kolejną liczbę zespoloną, którą można znaleźć za pomocą sprzężenia mianownika:

Ten proces mnożenia i dzielenia przez nazywa się „realizacją” lub (przez analogię) racjonalizacją . Wszystkie cztery wielkości p , q , r , s są liczbami rzeczywistymi, a r i s nie mogą być obie równe 0.

Dzielenie na liczby zespolone wyrażone w postaci biegunowej jest prostsze niż powyższa definicja:

Ponownie wszystkie cztery wielkości p , q , r , s są liczbami rzeczywistymi, a r nie może być równe 0.

wielomianów

Można zdefiniować operację dzielenia wielomianów w jednej zmiennej nad ciałem . Następnie, tak jak w przypadku liczb całkowitych, mamy resztę. Zobacz euklidesowy podział wielomianów i, dla obliczeń odręcznych, wielomianowy dzielenie długie lub dzielenie syntetyczne .

Matryc

Dla macierzy można zdefiniować operację dzielenia. Zwykłym sposobem osiągnięcia tego jest zdefiniowanie A / B = AB -1 , gdzie B -1 oznacza odwrotność z B , ale jest o wiele bardziej powszechne pisać AB -1 wyraźnie, aby uniknąć pomyłki. Podział elementwise mogą być definiowane w odniesieniu do produktu Hadamarda .

Podział na lewą i prawą stronę

Ponieważ mnożenie macierzy nie jest przemienne , można również zdefiniować dzielenie w lewo lub tak zwane dzielenie odwrotnym ukośnikiem jako A \ B = A −1 B . Aby było to dobrze zdefiniowane, B- 1 nie musi istnieć, jednak A- 1 musi istnieć. Aby uniknąć nieporozumień, dzielenie zdefiniowane przez A / B = AB -1 jest czasami nazywane w tym kontekście dzieleniem prawym lub dzieleniem z ukośnikiem .

Zauważ, że przy tak zdefiniowanym dzieleniu na lewo i prawo, A /( BC ) nie jest generalnie tym samym co ( A / B )/ C , ani ( AB )\ C nie jest tym samym co A \( B \ C ) . Jednak utrzymuje, że A / ( BC ) = ( A / C ) / B i ( AB ) \ C = B \ ( A \ C ) .

Pseudoodwrotność

Aby uniknąć problemów, gdy A- 1 i/lub B- 1 nie istnieją, dzielenie można również zdefiniować jako mnożenie przez pseudoodwrotność . Oznacza to, że A / B = AB + i A \ B = A + B , gdzie A + i B + oznaczają pseudoodwrotności A i B .

Algebra abstrakcyjna

W abstrakcyjnej Algebra , otrzymuje magmy z operacji binarnej * (który może teoretycznie być określany rozmnażanie), lewy podział z B przez (napisany w \ b ) jest zazwyczaj definiowane jako roztwór w x równania A * x = b , jeżeli istnieje i jest wyjątkowy. Podobnie, prawa podziału z b o o (napisany b / ) jest rozwiązaniem r z równaniem y * = b . Podział w tym sensie nie wymaga, aby ∗ miał jakieś szczególne właściwości (takie jak przemienność, asocjatywność lub element tożsamości).

"Podział" w sensie "anulowania" można wykonać w dowolnej magmie przez element z właściwością cancel . Przykłady obejmują algebry macierzowe i algebry kwaternionów . Quasi-grupa jest struktura, w której podział jest zawsze możliwe, a nawet bez elementu osobistego, a zatem i odwrotne. W dziedzinie integralnej , w której nie każdy element musi mieć odwrotność, dzielenie przez element kasujący a może być nadal przeprowadzane na elementach postaci ab lub ca przez odpowiednio lewe lub prawe skreślenie. Jeżeli pierścień jest skończony i każdy niezerowy element jest kasujący, to dzięki zastosowaniu zasady przegródki każdy niezerowy element pierścienia jest odwracalny i możliwy jest podział przez dowolny niezerowy element. Aby dowiedzieć się, kiedy algebry (w sensie technicznym) mają operację dzielenia, zobacz stronę o algebrach dzielenia . W szczególności okresowość Botta może być wykorzystana do wykazania, że ​​każda rzeczywista algebra unormowanego dzielenia musi być izomorficzna z liczbami rzeczywistymi R , liczbami zespolonymi C , kwaternionymi H lub oktonionami O .

Rachunek różniczkowy

Pochodną ilorazu dwóch funkcji jest przez reguły iloraz :

Dzielenie przez zero

Dzielenie dowolnej liczby przez zero w większości systemów matematycznych jest niezdefiniowane, ponieważ zero pomnożone przez dowolną liczbę skończoną daje zawsze iloczyn zera. Wprowadzenie takiego wyrażenia do większości kalkulatorów powoduje wyświetlenie komunikatu o błędzie. Jednak w niektórych matematyce wyższego poziomu dzielenie przez zero jest możliwe za pomocą pierścienia zerowego i algebr, takich jak koła . W tych algebrach znaczenie dzielenia różni się od tradycyjnych definicji.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki