Wykrywanie krawędzi - Edge detection

Wykrywanie krawędzi obejmuje szereg metod matematycznych , które mają na celu identyfikację krawędzi , krzywych w obrazie cyfrowym, w których jasność obrazu gwałtownie się zmienia lub, bardziej formalnie, ma nieciągłości . Ten sam problem znajdowania nieciągłości w sygnałach jednowymiarowych jest znany jako detekcja skokowa, a problem znajdowania nieciągłości sygnału w czasie jest znany jako detekcja zmiany . Wykrywanie krawędzi jest podstawowym narzędziem w przetwarzaniu obrazu , wizji maszynowej i wizji komputerowej , szczególnie w obszarach wykrywania i wyodrębniania cech .

Motywacje

Sprytne wykrywanie krawędzi zastosowane do zdjęcia

Celem wykrywania ostrych zmian jasności obrazu jest uchwycenie ważnych wydarzeń i zmian we właściwościach świata. Można wykazać, że przy dość ogólnych założeniach modelu formowania obrazu, nieciągłości w jasności obrazu prawdopodobnie odpowiadają:

  • nieciągłości w głąb,
  • nieciągłości w orientacji powierzchni,
  • zmiany właściwości materiałów i
  • różnice w oświetleniu sceny.

W idealnym przypadku wynik zastosowania detektora krawędzi do obrazu może prowadzić do zestawu połączonych krzywych, które wskazują granice obiektów, granice oznaczeń powierzchni oraz krzywych odpowiadających nieciągłościom orientacji powierzchni. Zatem zastosowanie algorytmu wykrywania krawędzi do obrazu może znacznie zmniejszyć ilość danych do przetworzenia, a zatem może odfiltrować informacje, które mogą być uważane za mniej istotne, przy jednoczesnym zachowaniu ważnych właściwości strukturalnych obrazu. Jeżeli etap wykrywania krawędzi zakończy się pomyślnie, kolejne zadanie interpretacji zawartości informacji w oryginalnym obrazie może zatem zostać znacznie uproszczone. Jednak nie zawsze jest możliwe uzyskanie takich idealnych krawędzi z rzeczywistych obrazów o umiarkowanej złożoności.

Krawędzie wyodrębnione z nietrywialnych obrazów są często utrudnione przez fragmentację , co oznacza, że ​​krzywe krawędziowe nie są połączone, brakujące segmenty krawędziowe, a także fałszywe krawędzie nieodpowiadające interesującym zjawiskom na obrazie – komplikując w ten sposób kolejne zadanie interpretacji danych obrazu.

Wykrywanie krawędzi jest jednym z podstawowych etapów przetwarzania obrazu, analizy obrazu, rozpoznawania wzorców obrazu i technik widzenia komputerowego.

Właściwości krawędzi

Krawędzie wyodrębnione z dwuwymiarowego obrazu sceny trójwymiarowej można sklasyfikować jako zależne od punktu widzenia lub niezależne od punktu widzenia. Widzenia niezależnie krawędzi zwykle odzwierciedla wewnętrzne właściwości trójwymiarowych obiektów, takich jak oznakowania powierzchni i kształtu powierzchni. Krawędź zależne widzenia może zmieniać się wraz ze zmianą punktu widzenia, i zwykle odpowiada geometrii sceny, takie jak obiekty blokujący siebie.

Typową krawędzią może być na przykład granica między blokiem koloru czerwonego a blokiem koloru żółtego. W przeciwieństwie do tego linia (którą można wyodrębnić za pomocą detektora grzbietu ) może składać się z niewielkiej liczby pikseli o innym kolorze na niezmiennym tle. W przypadku linii zazwyczaj może znajdować się jedna krawędź po każdej stronie linii.

Prosty model krawędzi

Chociaż pewna literatura rozważała wykrywanie idealnych krawędzi stopnia, krawędzie uzyskane z naturalnych obrazów zwykle wcale nie są idealnymi krawędziami stopnia. Zamiast tego zwykle wpływa na nie jeden lub kilka z następujących efektów:

Wielu badaczy wykorzystało wygładzoną krawędź kroku Gaussa (funkcję błędu) jako najprostsze rozszerzenie idealnego modelu krawędzi kroku do modelowania efektów rozmycia krawędzi w zastosowaniach praktycznych. W ten sposób obraz jednowymiarowy, który ma dokładnie jedną krawędź umieszczoną na, może być modelowany jako:

Po lewej stronie krawędzi intensywność to , a po prawej stronie to . Parametr skali nazywa się skalą rozmycia krawędzi. Idealnie ten parametr skali powinien być dostosowany w oparciu o jakość obrazu, aby uniknąć zniszczenia rzeczywistych krawędzi obrazu.

Dlaczego jest to nietrywialne zadanie

Aby zilustrować, dlaczego wykrywanie krawędzi nie jest trywialnym zadaniem, rozważ problem wykrywania krawędzi w następującym jednowymiarowym sygnale. Tutaj możemy intuicyjnie powiedzieć, że pomiędzy 4 a 5 pikselem powinna znajdować się krawędź.

5 7 6 4 152 148 149

Gdyby różnica intensywności była mniejsza między 4 i 5 pikselami i gdyby różnice intensywności między sąsiednimi pikselami były większe, nie byłoby tak łatwo stwierdzić, że w odpowiednim obszarze powinna znajdować się krawędź. Co więcej, można by argumentować, że ten przypadek to taki, w którym występuje kilka krawędzi.

5 7 6 41 113 148 149

W związku z tym, aby stanowczo określić konkretny próg określający, jak duża jest zmiana intensywności między dwoma sąsiednimi pikselami, stwierdzenie, że między tymi pikselami powinna być krawędź, nie zawsze jest proste. Rzeczywiście, jest to jeden z powodów, dla których wykrywanie krawędzi może być nietrywialnym problemem, chyba że obiekty na scenie są szczególnie proste, a warunki oświetlenia można dobrze kontrolować (patrz na przykład krawędzie wyodrębnione z obrazu z dziewczyną powyżej ).

Podejścia

Istnieje wiele metod wykrywania krawędzi, ale większość z nich można podzielić na dwie kategorie, oparte na wyszukiwaniu i oparte na przejściu przez zero . Metody oparte na wyszukiwaniu wykrywają krawędzie, najpierw obliczając miarę siły krawędzi, zwykle wyrażenie pochodnej pierwszego rzędu, takie jak wielkość gradientu, a następnie szukając lokalnych maksimów kierunkowych wielkości gradientu przy użyciu obliczonej oceny lokalnej orientacji krawędź, zwykle kierunek gradientu. Metody oparte na przejściu przez zero wyszukują przejścia przez zero w wyrażeniu pochodnej drugiego rzędu obliczonej z obrazu w celu znalezienia krawędzi, zwykle przejść przez zero Laplace'a lub przejść przez zero nieliniowego wyrażenia różnicowego. Jako etap wstępnego przetwarzania do wykrywania krawędzi , prawie zawsze stosowany jest etap wygładzania, zwykle wygładzanie Gaussa (patrz także redukcja szumów ).

Opublikowane metody wykrywania krawędzi różnią się głównie rodzajem stosowanych filtrów wygładzających oraz sposobem obliczania miar siły krawędzi. Ponieważ wiele metod wykrywania krawędzi opiera się na obliczaniu gradientów obrazu, różnią się one również typami filtrów stosowanych do obliczania oszacowań gradientów w kierunkach x i y .

Przegląd wielu różnych metod wykrywania krawędzi można znaleźć w (Ziou i Tabbone 1998); zobacz także artykuły encyklopedyczne dotyczące wykrywania krawędzi w Encyclopedia of Mathematics i Encyclopedia of Computer Science and Engineering.

Sprytny

John Canny rozważał matematyczny problem uzyskania optymalnego filtra wygładzającego, biorąc pod uwagę kryteria wykrywania, lokalizacji i minimalizacji wielu odpowiedzi na pojedynczą krawędź. Pokazał, że optymalny filtr przy tych założeniach jest sumą czterech wyrazów wykładniczych. Pokazał również, że filtr ten można dobrze przybliżyć pochodnymi pierwszego rzędu Gaussa. Canny wprowadził również pojęcie niemaksymalnego tłumienia, co oznacza, że ​​biorąc pod uwagę filtry wygładzające, punkty krawędziowe są definiowane jako punkty, w których wielkość gradientu przyjmuje lokalne maksimum w kierunku gradientu. Poszukiwanie przejścia przez zero drugiej pochodnej wzdłuż kierunku gradientu zostało po raz pierwszy zaproponowane przez Haralicka . Niecałe dwie dekady zajęło znalezienie nowoczesnego geometrycznego znaczenia wariacyjnego dla tego operatora, który łączy go z detektorem krawędzi Marr-Hildreth (przejście przez zero przez Laplacian). Spostrzeżenie to przedstawili Ron Kimmel i Alfred Bruckstein .

Chociaż jego praca została wykonana we wczesnych dniach widzenia komputerowego, wykrywacz krawędzi Canny (w tym jego odmiany) jest nadal najnowocześniejszym wykrywaczem krawędzi. Detektory krawędzi, które działają lepiej niż Canny, zwykle wymagają dłuższego czasu obliczeń lub większej liczby parametrów.

Detektor Canny-Deriche został wyprowadzony z podobnych kryteriów matematycznych, co detektor krawędzi Canny'ego, chociaż począwszy od dyskretnego punktu widzenia, a następnie prowadząc do zestawu filtrów rekurencyjnych do wygładzania obrazu zamiast filtrów wykładniczych lub filtrów Gaussa.

Różnica krawędź czujnik opisany poniżej, może być postrzegane jako powtórzeniem metody Canny'ego w tym z punktu widzenia różnicowych invarianty obliczone z reprezentacji przestrzeni skalę , co prowadzi do szeregu zalet zarówno pod względem teoretycznym i wykonania analizy subpikseli. Pod tym względem filtr Log Gabor okazał się dobrym wyborem do wyodrębniania granic w naturalnych scenach.

Inne metody pierwszego rzędu

Do oszacowania gradientów obrazu z obrazu wejściowego lub jego wygładzonej wersji można zastosować różne operatory gradientu. Najprostszym podejściem jest wykorzystanie różnic centralnych:

odpowiadające zastosowaniu następujących masek filtrów do danych obrazu:

Znany i wcześniejszy operator Sobela opiera się na następujących filtrach:

Biorąc pod uwagę takie szacunki pochodnych obrazu pierwszego rzędu , wielkość gradientu jest następnie obliczana jako:

natomiast orientację gradientu można oszacować jako

Inne operatory różnic pierwszego rzędu do szacowania gradientu obrazu zostały zaproponowane w operatorze Prewitta , krzyżu Robertsa , operatorze Kayyali i operatorze Frei-Chen .

Możliwe jest rozszerzenie wymiarów filtrów, aby uniknąć problemu rozpoznawania krawędzi na obrazie o niskim współczynniku SNR. Kosztem tej operacji jest strata pod względem rozdzielczości. Przykładami są rozszerzony Prewitt 7×7.

Progowanie i łączenie

Po obliczeniu miary siły krawędzi (zazwyczaj wielkości gradientu), następnym etapem jest zastosowanie progu, aby zdecydować, czy krawędzie są obecne, czy nie w punkcie obrazu. Im niższy próg, tym więcej krawędzi zostanie wykrytych, a wynik będzie coraz bardziej podatny na szum i wykrywanie krawędzi o nieistotnych cechach obrazu. I odwrotnie, wysoki próg może pominąć subtelne krawędzie lub spowodować fragmentację krawędzi.

Jeśli krawędź zostanie zastosowana tylko do obrazu wielkości gradientu, wynikowe krawędzie będą na ogół grube i konieczne jest wykonanie postprocessingu pocieniającego krawędzie. Jednak w przypadku krawędzi wykrytych z niemaksymalnym tłumieniem krzywe krawędzi są z definicji cienkie, a piksele krawędzi można połączyć w wielokąt krawędzi za pomocą procedury łączenia krawędzi (śledzenia krawędzi). Na dyskretnej siatce, niemaksymalny etap tłumienia może być realizowany poprzez oszacowanie kierunku gradientu za pomocą pochodnych pierwszego rzędu, następnie zaokrąglenie kierunku gradientu do wielokrotności 45 stopni, a na koniec porównanie wartości wielkości gradientu w szacowanym gradiencie kierunek.

Powszechnie stosowanym podejściem do rozwiązania problemu odpowiednich progów dla progowania jest zastosowanie progowania z histerezą . Ta metoda wykorzystuje wiele progów do znajdowania krawędzi. Zaczynamy od górnego progu, aby znaleźć początek krawędzi. Gdy mamy punkt początkowy, śledzimy ścieżkę krawędzi przez obraz piksel po pikselu, zaznaczając krawędź, gdy jesteśmy powyżej dolnego progu. Przestajemy oznaczać naszą krawędź dopiero wtedy, gdy wartość spadnie poniżej naszego dolnego progu. Podejście to zakłada, że ​​krawędzie mogą być krzywymi ciągłymi, i pozwala nam śledzić słaby fragment krawędzi, którą widzieliśmy wcześniej, bez oznaczania, że ​​każdy zaszumiony piksel na obrazie jest oznaczony jako krawędź. Wciąż jednak mamy problem z doborem odpowiednich parametrów progowych, a odpowiednie wartości progowe mogą się zmieniać na obrazie.

Przerzedzenie krawędzi

Pocienianie krawędzi to technika używana do usuwania niechcianych fałszywych punktów na krawędziach obrazu. Ta technika jest stosowana po przefiltrowaniu obrazu pod kątem szumu (przy użyciu mediany, filtra Gaussa itp.), zastosowano operator krawędzi (jak te opisane powyżej, canny lub sobel ) w celu wykrycia krawędzi i po ich wygładzeniu stosując odpowiednią wartość progową. Usuwa to wszystkie niechciane punkty, a przy ostrożnym zastosowaniu daje elementy krawędzi o grubości jednego piksela.

Zalety:

  1. Ostre i cienkie krawędzie prowadzą do większej efektywności rozpoznawania obiektów.
  2. Jeśli do wykrywania linii i elips używa się przekształceń Hougha , pocienienie może dać znacznie lepsze wyniki.
  3. Jeśli krawędź jest granicą regionu, pocienienie może z łatwością dać parametry obrazu, takie jak obwód, bez dużej algebry.

W tym celu wykorzystuje się wiele popularnych algorytmów, jeden z nich opisano poniżej:

  1. Wybierz rodzaj połączenia, np. 8, 6 lub 4.
  2. 8 łączność jest preferowana, gdy brane są pod uwagę wszystkie najbliższe piksele otaczające dany piksel.
  3. Usuń punkty z północy, południa, wschodu i zachodu.
  4. Zrób to w wielu przełęczach, tj. po przejściu północnym użyj tego samego częściowo przetworzonego obrazu w innych przełęczach i tak dalej.
  5. Usuń punkt, jeśli:
    Punkt nie ma sąsiadów na północy (jeśli znajdujesz się na przełęczy północnej i odpowiednie kierunki dla innych przełęczy).
    Punkt nie jest końcem linii.
    Punkt jest odizolowany.
    Usunięcie punktów nie spowoduje w żaden sposób odłączenia sąsiadów.
  6. W przeciwnym razie zachowaj rację.

Liczbę przejść w poprzek należy dobrać w zależności od pożądanego poziomu dokładności.

Podejścia drugiego rzędu

Niektóre operatory wykrywania krawędzi są zamiast tego oparte na pochodnych drugiego rzędu intensywności. To zasadniczo oddaje tempo zmian w gradiencie intensywności. Tak więc, w idealnym przypadku ciągłym, wykrywanie przejść przez zero w drugiej pochodnej wychwytuje lokalne maksima w gradiencie.

Wczesny operator Marra-Hildretha opiera się na wykrywaniu przejść przez zero operatora Laplace'a zastosowanego do wygładzonego obrazu Gaussa. Można jednak wykazać, że ten operator zwróci również fałszywe krawędzie odpowiadające lokalnym minimom wielkości gradientu. Co więcej, ten operator da słabą lokalizację na zakrzywionych krawędziach. Dlatego ten operator ma dziś głównie znaczenie historyczne.

Mechanizm różnicowy

Bardziej wyrafinowane podejście do wykrywania krawędzi drugiego rzędu, które automatycznie wykrywa krawędzie z dokładnością subpikselową, wykorzystuje następujące podejście różnicowe wykrywania przejść przez zero pochodnej kierunkowej drugiego rzędu w kierunku gradientu:

Podążając za różniczkowym geometrycznym sposobem wyrażenia wymogu niemaksymalnego tłumienia zaproponowanym przez Lindeberga, wprowadźmy w każdym punkcie obrazu lokalny układ współrzędnych , z kierunkiem -równoległym do kierunku gradientu. Zakładając, że obraz został wstępnie wygładzony przez wygładzanie Gaussa i obliczono reprezentację w przestrzeni skali w skali , możemy wymagać, aby wielkość gradientu reprezentacji w przestrzeni skali , która jest równa pochodnej kierunkowej pierwszego rzędu w kierunku - , powinien mieć swoją pochodną kierunkową pierwszego rzędu w kierunku - równą zero

natomiast pochodna kierunkowa drugiego rzędu w kierunku - powinna być ujemna, tj.

Napisane jako wyraźne wyrażenie w kategoriach lokalnych pochodnych cząstkowych , ta definicja krawędzi może być wyrażona jako krzywe przechodzące przez zero niezmiennika różniczkowego

które spełniają warunek znaku na następującym niezmienniku różniczkowym

gdzie

oznaczają pochodne cząstkowe obliczone na podstawie reprezentacji w przestrzeni skali uzyskanej przez wygładzenie oryginalnego obrazu za pomocą jądra Gaussa . W ten sposób krawędzie zostaną automatycznie uzyskane jako ciągłe krzywe z dokładnością subpikselową. Próg histerezy można również zastosować do tych segmentów krawędzi różnicowych i subpikselowych.

W praktyce aproksymacje pochodnych pierwszego rzędu można obliczyć za pomocą różnic centralnych, jak opisano powyżej, podczas gdy pochodne drugiego rzędu można obliczyć z reprezentacji przestrzeni skali zgodnie z:

odpowiadające następującym maskom filtrów:

Pochodne wyższego rzędu dla warunku znaku trzeciego rzędu można otrzymać w analogiczny sposób.

Faza na podstawie zgodności

Niedawny rozwój technik wykrywania krawędzi wykorzystuje podejście domeny częstotliwości do znajdowania lokalizacji krawędzi. Metody zgodności fazowej (znane również jako koherencja fazowa) próbują znaleźć miejsca na obrazie, w których wszystkie sinusoidy w domenie częstotliwości są w fazie. Te lokalizacje będą ogólnie odpowiadać lokalizacji postrzeganej krawędzi, niezależnie od tego, czy krawędź jest reprezentowana przez dużą zmianę intensywności w domenie przestrzennej. Kluczową zaletą tej techniki jest to, że silnie reaguje na pasma Macha i pozwala uniknąć fałszywych alarmów, które zwykle znajdują się na krawędziach dachu . Krawędź dachu jest nieciągłością w pierwszym rzędzie pochodną profilu szarego.

Inspirowane fizyką

Ulepszanie cech obrazu ( Katedra św. Pawła , Londyn) przy użyciu przekształcenia z rozciąganiem fazy (PST). Lewy panel pokazuje oryginalny obraz, a prawy panel pokazuje wykryte funkcje przy użyciu PST.

Odcinek faza przekształcać lub PST jest fizyka inspirowane obliczeniowa podejście do sygnału i przetwarzania obrazu. Jednym z jego narzędzi jest wykrywanie i klasyfikowanie cech. PST jest efektem badań nad dyspersyjną transformatą Fouriera w czasie . PST przekształca obraz, emulując propagację przez ośrodek dyfrakcyjny o specjalnie zaprojektowanych właściwościach dyspersyjnych 3D (wskaźnik załamania). Działanie opiera się na symetrii profilu dyspersji i może być rozumiane w kategoriach dyspersyjnych funkcji własnych lub trybów rozciągania. PST wykonuje podobną funkcjonalność jak mikroskopia z kontrastem fazowym, ale na obrazach cyfrowych. PST ma również zastosowanie do obrazów cyfrowych, a także do czasowych, szeregów czasowych, danych.

Subpiksel

Aby zwiększyć precyzję wykrywania krawędzi, zaproponowano kilka technik subpikselowych, w tym metody dopasowywania krzywych, metody oparte na momencie, rekonstrukcyjne i metody efektu częściowego obszaru. Metody te mają różne cechy. Metody dopasowywania krzywych są proste obliczeniowo, ale łatwo na nie wpływają szumy. Metody oparte na momencie wykorzystują podejście oparte na całce w celu zmniejszenia wpływu hałasu, ale w niektórych przypadkach mogą wymagać więcej obliczeń. Metody rekonstrukcyjne wykorzystują gradienty poziome lub pionowe, aby zbudować krzywą i znaleźć szczyt krzywej jako krawędź subpiksela. Metody efektu częściowego obszaru oparte są na hipotezie, że każda wartość piksela zależy od obszaru po obu stronach krawędzi wewnątrz tego piksela, co daje dokładne indywidualne oszacowanie dla każdego piksela krawędzi. Wykazano, że niektóre warianty techniki opartej na momencie są najdokładniejsze dla izolowanych krawędzi.

Wykrywanie krawędzi na obrazie angiograficznym. Po lewej stronie wykrywanie krawędzi odbywa się na poziomie pikseli. Po prawej stronie funkcja wykrywania krawędzi subpiksela precyzyjnie lokalizuje krawędź wewnątrz piksela

Zobacz też

Bibliografia

  1. ^ Umbaugh, Scott E (2010). Cyfrowe przetwarzanie i analiza obrazu : aplikacje do widzenia ludzkiego i komputerowego z narzędziami CVIPtools (wyd. 2). Boca Raton, FL: CRC Press. Numer ISBN 978-1-4398-0205-2.
  2. ^ HG Barrow i JM Tenenbaum (1981) „Interpretowanie rysunków liniowych jako powierzchnie trójwymiarowe”, Sztuczna Inteligencja, tom 17, wydania 1-3, strony 75-116.
  3. ^ a b Lindeberg, Tony (2001) [1994], "Wykrywanie krawędzi" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press
  4. ^ a b c d T. Lindeberg (1998) „Wykrywanie krawędzi i wykrywanie grzbietu z automatycznym wyborem skali”, International Journal of Computer Vision, 30, 2, strony 117-154.
  5. ^ W. Zhang i F. Bergholm (1997) „ wieloskalowe oszacowanie rozmycia i klasyfikacja typu krawędzi do analizy sceny ”, International Journal of Computer Vision, tom 24, wydanie 3, strony: 219-250.
  6. ^ D. Ziou i S. Tabbone (1998) „ Techniki wykrywania krawędzi: przegląd ”, International Journal of Pattern Recognition and Image Analysis, 8 (4): 537-559, 1998
  7. ^ JM Park i Y. Lu (2008) „Wykrywanie krawędzi w obrazach w skali szarości, kolorze i zakresie”, w BW Wah (redaktor) Encyklopedia informatyki i inżynierii, doi 10.1002/9780470050118.ecse603
  8. ^ J. Canny (1986) „ obliczeniowe podejście do wykrywania krawędzi ”, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol 8, strony 679-714.
  9. ^ R. Haralick, (1984) „ Cyfrowe krawędzie kroku od przejścia przez zero pochodnych drugiego kierunku ”, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 6 (1): 58-68.
  10. ^ R. Kimmel i AM Bruckstein (2003) „Na uregulowanych przejściach zerowych Laplace'a i innych optymalnych integratorów krawędzi”, International Journal of Computer Vision , 53(3) strony 225-243.
  11. ^ Shapiro LG i Stockman GC (2001) Wizja komputerowa. Londyn itp.: Prentice Hall, strona 326.
  12. ^ R. Deriche (1987) Używając kryteriów Canny'ego do wyprowadzenia optymalnego detektora krawędzi rekurencyjnie zaimplementowanego , Int. J. Computer Vision, tom 1, strony 167-187.
  13. ^ Sylvain Fischer, Rafael Redondo, Laurent Perrinet, Gabriel Cristobal. Rzadkie przybliżenie obrazów inspirowanych architekturą funkcjonalną pierwotnych obszarów wizualnych . EURASIP Journal on Advances in Signal Processing, wydanie specjalne dotyczące postrzegania obrazu, 2007
  14. ^ Dim, Jules R.; Takamura, Tamio (11.12.2013). „Alternatywne podejście do klasyfikacji chmur satelitarnych: aplikacja Edge Gradient” . Postępy w meteorologii . 2013 : 1-8. doi : 10.1155/2013/584816 . ISSN  1687-9309 .
  15. ^ T. Lindeberg (1993) „dyskretne przybliżenia pochodne z właściwościami skali-przestrzeni: podstawa do ekstrakcji cech niskiego poziomu”, J. of Mathematical Imaging and Vision, 3(4), strony 349-376.
  16. ^ T. Pajdla i V. Hlavac (1993) „ Nieciągłości powierzchni w obrazach zakresu ” w Proc IEEE 4th Int. Konf. Komputer. Wizja, s. 524-528.
  17. ^ MH Asghari i B. Jalali, „Wykrywanie krawędzi w obrazach cyfrowych przy użyciu dyspersyjnego rozciągania fazy”, International Journal of Biomedical Imaging, tom. 2015, artykuł nr 687819, s. 1–6 (2015).
  18. ^ MH Asghari i B. Jalali, „ Inspirowane fizyką wykrywanie krawędzi obrazu ”, IEEE Global Signal and Information Processing Symposium (GlobalSIP 2014), artykuł: WdBD-L.1, Atlanta, grudzień 2014.
  19. ^ B. Jalali i A. Mahjoubfar, „ Dopasowanie sygnałów szerokopasmowych z fotonicznym akceleratorem sprzętowym ”, Proceedings of the IEEE, tom. 103, nr 7, s. 1071–1086 (2015).
  20. ^ Ghosal, S.; Mehrota, R. (1993-01-01). „Ortogonalne operatory momentu do wykrywania krawędzi podpikseli”. Rozpoznawanie wzorców . 26 (2): 295-306. doi : 10.1016/0031-3203(93)90038-X .
  21. ^ B Christian, John (01.01.2017). „Dokładna lokalizacja kończyn planetarnych do nawigacji statków kosmicznych w oparciu o obrazy”. Dziennik statków kosmicznych i rakiet . 54 (3): 708–730. Kod Bibcode : 2017JSpRo..54..708C . doi : 10.2514/1.A33692 .
  22. ^ Trujillo-Pino, Agustín; Krissian, Karl; Alemán-Flores, Miguel; Santana-Cedrés, Daniel (01.01.2013). „Dokładna lokalizacja krawędzi subpiksela na podstawie efektu częściowego obszaru”. Obliczenia obrazu i wizji . 31 (1): 72–90. doi : 10.1016/j.imavis.2012.10.005 . hdl : 10553/43474 .

Dalsza lektura