Teoria Einsteina-Cartana - Einstein–Cartan theory

W fizyce teoretycznej The teorii Einsteina- Cartana , znany również jako teorii Einsteina- Cartana-Sciama, krokietów , jest to klasyczny teoria grawitacji podobną do ogólnej wzgl . Teoria ta została po raz pierwszy zaproponowana przez Élie Cartana w 1922 roku. Teoria Einsteina-Cartana jest najprostszą teorią cechowania Poincarégo .

Przegląd

Teoria Einsteina-Cartana różni się od ogólnej teorii względności na dwa sposoby: (1) jest sformułowana w ramach geometrii Riemanna-Cartana, która posiada lokalnie zmierzoną symetrię Lorentza, podczas gdy ogólna teoria względności jest sformułowana w ramach geometrii Riemanna, która nie ; (2) istnieje dodatkowy zestaw równań, które wiążą skręcanie z wirowaniem. Różnicę tę można uwzględnić w

ogólna teoria względności (Einstein-Hilbert) → ogólna teoria względności (Palatini) → Einstein-Cartan

najpierw przeformułując ogólną teorię względności na geometrię Riemanna-Cartana, zastępując działanie Einsteina-Hilberta na geometrii Riemanna przez działanie Palatiniego na geometrii Riemanna-Cartana; a po drugie, usunięcie ograniczenia zerowego skręcania z działania Palatiniego, co skutkuje dodatkowym zestawem równań dla spinu i skręcania, a także dodaniem dodatkowych członów związanych z spinem w samych równaniach pola Einsteina.

Teoria ogólnej teorii względności została pierwotnie sformułowana w układzie geometrii riemannowskiej przez działanie Einsteina-Hilberta , z którego wynikają równania pola Einsteina . W momencie jego pierwotnego sformułowania nie było koncepcji geometrii Riemanna-Cartana. Nie było też wystarczającej świadomości pojęcia symetrii cechowania , aby zrozumieć , że geometrie riemannowskie nie posiadają wymaganej struktury , aby ucieleśniać lokalnie zmierzoną symetrię Lorentza , taką jak byłaby wymagana do wyrażenia równań ciągłości i praw zachowania dla rotacji i wzmocnienia . symetrie lub opisać spinory w zakrzywionych geometriach czasoprzestrzeni. Rezultatem dodania tej infrastruktury jest geometria Riemanna-Cartana. W szczególności opisanie spinorów wymaga włączenia struktury spinowej , która wystarcza do wytworzenia takiej geometrii.

Główną różnicą między geometrią Riemanna-Cartana a geometrią Riemanna jest to, że w pierwszym przypadku połączenie afiniczne jest niezależne od metryki, podczas gdy w drugim wywodzi się z metryki jako połączenie Levi-Civita , różnica między tymi dwoma jest dalej contorsion . W szczególności antysymetryczna część połączenia (określana jako skręcanie ) wynosi zero dla połączeń Levi-Civita, jako jeden z warunków definiujących takie połączenia.

Ponieważ skręcenie można wyrazić liniowo w kategoriach skręcania, możliwe jest również bezpośrednie przełożenie działania Einsteina-Hilberta na geometrię Riemanna-Cartana, w wyniku czego działanie Palatiniego (patrz także wariacja Palatiniego ). Jest on wyprowadzany przez przepisanie działania Einsteina-Hilberta w kategoriach połączenia afinicznego, a następnie oddzielne nałożenie ograniczenia, które wymusza zarówno skręcanie, jak i skręcanie, aby były równe zero, co wymusza w ten sposób połączenie afiniczne, aby było równe połączeniu Levi-Civita. Ponieważ jest to bezpośrednie przełożenie równań akcji i pola ogólnej teorii względności, wyrażonych w kategoriach relacji Levi-Civita, można ją uznać za samą teorię ogólnej teorii względności, przetransponowaną w ramy geometrii Riemanna-Cartana.

Teoria Einsteina-Cartana łagodzi ten warunek i odpowiednio rozluźnia założenie ogólnej teorii względności, że połączenie afiniczne ma znikającą część antysymetryczną ( tensor torsyjny ). Zastosowana akcja jest taka sama jak akcja Palatiniego, z wyjątkiem usunięcia ograniczenia skręcania. Skutkuje to dwiema różnicami w stosunku do ogólnej teorii względności: (1) równania pola są teraz wyrażane w postaci połączenia afinicznego, a nie połączenia Levi-Civita, a zatem w równaniach pola Einsteina występują dodatkowe terminy dotyczące skręcenia, których nie ma w równania pola wyprowadzone ze sformułowania Palatiniego; (2) istnieje teraz dodatkowy zestaw równań, które wiążą skręcanie z wewnętrznym momentem pędu ( spin ) materii, podobnie jak połączenie afiniczne jest sprzężone z energią i pędem materii. W teorii Einsteina-Cartana skręcanie jest teraz zmienną w zasadzie stacjonarnego działania, która jest połączona z zakrzywionym sformułowaniem czasoprzestrzeni spinu ( tensor spinu ). Te dodatkowe równania wyrażają skręcanie liniowo w kategoriach tensora spinu związanego ze źródłem materii, co oznacza, że ​​skręcanie jest ogólnie niezerowe wewnątrz materii.

Konsekwencją liniowości jest to, że poza materią występuje zero skręcania, tak że zewnętrzna geometria pozostaje taka sama, jak to, co opisano w ogólnej teorii względności. Różnice między teorią Einsteina-Cartana a ogólną teorią względności (sformułowaną w kategoriach działania Einsteina-Hilberta na geometrii Riemanna lub działania Palatiniego na geometrii Riemanna-Cartana) opierają się wyłącznie na tym, co dzieje się z geometrią wewnątrz źródeł materii. Czyli: „skręcanie się nie rozchodzi”. Rozważano uogólnienia działania Einsteina-Cartana, które pozwalają na propagację skręcania.

Ponieważ geometrie Riemanna-Cartana mają symetrię Lorentza jako lokalną symetrię cechowania, możliwe jest sformułowanie powiązanych praw zachowania. W szczególności uznanie tensorów metrycznych i torsyjnych za zmienne niezależne daje prawidłowe uogólnienie prawa zachowania całkowitego (orbitalnego plus wewnętrznego) momentu pędu na obecność pola grawitacyjnego.

Historia

Teoria ta została po raz pierwszy zaproponowana przez Élie Cartana w 1922 roku i wyjaśniona w następnych kilku latach. Albert Einstein związał się z tą teorią w 1928 r. podczas nieudanej próby dopasowania skręcania do tensora pola elektromagnetycznego w ramach zunifikowanej teorii pola. Ten tok myślenia zaprowadził go do pokrewnej, ale innej teorii telerównoległości .

Dennis Sciama i Tom Kibble niezależnie powrócili do tej teorii w latach 60., a ważny przegląd został opublikowany w 1976 roku.

Teoria Einsteina-Cartana została historycznie przyćmiona przez jej odpowiednik pozbawiony torsji i inne alternatywy, takie jak teoria Bransa-Dickego, ponieważ skręcanie wydawało się przynosić niewielkie korzyści predykcyjne kosztem wykonalności jej równań. Ponieważ teoria Einsteina-Cartana jest czysto klasyczna, nie zajmuje się również w pełni kwestią grawitacji kwantowej . W teorii Einsteina-Cartana równanie Diraca staje się nieliniowe, a zatem zasada superpozycji stosowana w zwykłych technikach kwantyzacji nie zadziała. Ostatnio zainteresowanie teorią Einsteina-Cartana skierowano w kierunku implikacji kosmologicznych , a przede wszystkim unikania osobliwości grawitacyjnej na początku Wszechświata. Teoria ta jest uważana za wykonalną i pozostaje aktywnym tematem w społeczności fizyków.

Równania pola

The Einstein równania pola ogólnej teorii względności można wyprowadzić przez postulował grawitacyjna całka działania , aby być prawdziwa akcja czasoprzestrzeni, a następnie zmieniając że działania w odniesieniu do tensora metrycznego. Równania pola teorii Einsteina-Cartana pochodzą z dokładnie tego samego podejścia, z wyjątkiem tego, że zakłada się ogólne asymetryczne połączenie afiniczne, a nie symetryczne połączenie Levi-Civita (tj. zakłada się, że czasoprzestrzeń ma skręcanie oprócz krzywizny ), a następnie metryka i skręcanie są zróżnicowane niezależnie.

Pozwolić reprezentują Lagrange'a gęstość materii i reprezentują Lagrange'a gęstość pola grawitacyjnego. Gęstość Lagrange'a dla pola grawitacyjnego w teorii Einsteina-Cartana jest proporcjonalna do skalara Ricciego :

gdzie jest wyznacznikiem tensora metrycznego i jest stałą fizyczną obejmującą stałą grawitacyjną i prędkość światła . Zgodnie z zasadą Hamiltona zmienność całkowitego działania pola grawitacyjnego i materii znika:

Zmiana w odniesieniu do tensora metrycznego daje równania Einsteina:

gdzie jest tensorem Ricciego i jest tensorem kanonicznym naprężenie-energia-pęd . Tensor Ricciego nie jest już symetryczny, ponieważ połączenie zawiera niezerowy tensor skręcania; w związku z tym prawa strona równania również nie może być symetryczna, co oznacza, że musi zawierać asymetryczny wkład, który można wykazać, że jest powiązany z tensorem spinu . Ten kanoniczny tensor energia-pęd jest powiązany z bardziej znanym symetrycznym tensorem energii-pędu w procedurze Belinfante-Rosenfeld .

Zmienność względem tensora skręcania daje równania połączenia spinowego Cartana

gdzie jest tensor spinu . Ponieważ równanie torsyjne jest raczej ograniczeniem algebraicznym niż cząstkowym równaniem różniczkowym , pole torsyjne nie rozchodzi się jako fala i znika poza materią. Dlatego w zasadzie skręcanie można algebraicznie wyeliminować z teorii na rzecz tensora spinu, który generuje efektywną nieliniową samooddziaływanie „spin-spin” wewnątrz materii.

Unikanie osobliwości

Twierdzenia o osobliwościach, które są oparte na założeniach i sformułowane w ramach geometrii riemannowskiej (np. twierdzenia o osobliwości Penrose'a-Hawkinga ) nie muszą być zgodne z geometrią Riemanna-Cartana. W konsekwencji teoria Einsteina-Cartana jest w stanie uniknąć ogólnie relatywistycznego problemu osobliwości w Wielkim Wybuchu . Minimalne sprzężenie między skręcaniem a spinorami Diraca generuje efektywną nieliniową samooddziaływanie spin-spin, która staje się istotna wewnątrz materii fermionowej przy ekstremalnie wysokich gęstościach. Przypuszcza się, że taka interakcja zastąpi pojedynczy Wielki Wybuch podobnym do wierzchołka Wielkim Odbiciem przy minimalnym, ale skończonym współczynniku skali , przed którym obserwowalny Wszechświat się kurczył . Scenariusz ten wyjaśnia również, dlaczego obecny Wszechświat w największych skalach wydaje się przestrzennie płaski, jednorodny i izotropowy, stanowiąc fizyczną alternatywę dla kosmicznej inflacji . Skręcanie pozwala na rozciąganie przestrzenne fermionów zamiast „punktowych” , co pomaga uniknąć powstawania osobliwości, takich jak czarne dziury, i usuwa rozbieżność w ultrafiolecie w kwantowej teorii pola. Zgodnie z ogólną teorią względności grawitacyjne kolaps wystarczająco zwartej masy tworzy pojedynczą czarną dziurę. W teorii Einsteina-Cartana zapadnięcie osiąga natomiast odbicie i tworzy regularny most Einsteina-Rosena ( tunel czasoprzestrzenny ) do nowego, rosnącego wszechświata po drugiej stronie horyzontu zdarzeń .

Zobacz też

Bibliografia

Dalsza lektura