Równania pola Einsteina - Einstein field equations

W ogólnej teorii względności , że równania Einsteina polowe ( EFE ; znany również jako równań Einsteina ) dotyczą geometrii czasoprzestrzeni do rozkładu materii w nim.

Równania zostały po raz pierwszy opublikowane przez Einsteina w 1915 roku w postaci równania tensorowego, które powiązało lokalne krzywiznę czasoprzestrzeni (wyrażonątensorem Einsteina) z lokalną energią,pędemi naprężeniem w obrębie tej czasoprzestrzeni (wyrażonątensorem naprężenie-energia).

Analogicznie do sposobu, w jaki pola elektromagnetyczne są powiązane z rozkładem ładunków i prądów za pomocą równań Maxwella , EFE wiąże geometrię czasoprzestrzeni z rozkładem masy-energii, pędu i naprężenia, czyli wyznacza tensor metryczny czasoprzestrzeni dla dany układ naprężenia-energii-pędu w czasoprzestrzeni. Związek między tensorem metrycznym a tensorem Einsteina umożliwia zapisanie EFE jako zestawu nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych, gdy jest używany w ten sposób. Rozwiązania EFE są składnikami tensora metrycznego. W bezwładności trajektorie i promieniowanie ( geodezyjnych ) w otrzymana geometria Następnie oblicza się za pomocą geodezyjnej równanie .

Oprócz implikowania lokalnej zasady zachowania energii i pędu, EFE redukuje się do prawa grawitacji Newtona w granicach słabego pola grawitacyjnego i prędkości znacznie mniejszych niż prędkość światła .

Dokładne rozwiązania dla EFE można znaleźć tylko przy uproszczonych założeniach, takich jak symetria . Najczęściej badane są specjalne klasy dokładnych rozwiązań, ponieważ modelują one wiele zjawisk grawitacyjnych, takich jak obracające się czarne dziury i rozszerzający się wszechświat . Dalsze uproszczenie osiągnięto w aproksymacji czasoprzestrzeni jako posiadającej jedynie niewielkie odchylenia od płaskiej czasoprzestrzeni , co prowadzi do linearyzowanego efektu EFE . Równania te służą do badania zjawisk, takich jak fale grawitacyjne .

Forma matematyczna

Równania pola Einsteina (EFE) można zapisać w postaci:

${\ Displaystyle G_ {\ mu \ nu} + \ Lambda g_ {\ mu \ nu} = \ kappa T_ {\ mu \ nu}}$

EFE na ścianie w Lejdzie

gdzie $G μν$ jest tensorem Einsteina , $g μν$ jest tensorem metrycznym , $T μν$ jest tensorem naprężenia i energii , $Λ$ jest stałą kosmologiczną, a $κ$ jest stałą grawitacyjną Einsteina.

Einstein tensor jest zdefiniowany jako

{\ Displaystyle G_ {\ mu \ nu} = R_ {\ mu \ nu} - {\ Frac {1} {2}} Rg_ {\ mu \ nu},}

gdzie $R μν$ jest tensorem krzywizny Ricciego , a $R$ jest krzywizną skalarną . Jest to symetryczny tensor drugiego stopnia, który zależy tylko od tensora metrycznego oraz jego pierwszej i drugiej pochodnej.

Stała grawitacyjna Einstein jest zdefiniowany jako

{\ Displaystyle \ kappa = {\ Frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \ około 2,077 \ razy 10 ^ {-43} \ {\ textrm {N}} ^ {-1}}

gdzie $G$ jest newtonowską stałą grawitacji, a $c$ jest prędkością światła w próżni.

EFE można zatem również zapisać jako

{\ Displaystyle R_ {\ mu \ nu} - {\ Frac {1} {2}} Rg_ {\ mu \ nu} + \ Lambda g_ {\ mu \ nu} = \ kappa T_ {\ mu \ nu}.}

W standardowych jednostkach każdy termin po lewej stronie ma jednostki 1/długość ² .

Wyrażenie po lewej reprezentuje krzywiznę czasoprzestrzeni określoną przez metrykę; wyrażenie po prawej przedstawia zawartość naprężenia, energii i pędu w czasoprzestrzeni. EFE można następnie interpretować jako zestaw równań określających, w jaki sposób naprężenie-energia-pęd określa krzywiznę czasoprzestrzeni.

Równania te, wraz z geodezyjnej wzoru , który dyktuje jak spada swobodnie porusza materię czasoprzestrzeni, tworzą rdzeń matematyczne sformułowania o ogólnym wzgl .

EFE jest równaniem tensorowym odnoszącym się do zbioru symetrycznych tensorów 4 × 4 . Każdy tensor ma 10 niezależnych elementów. Cztery tożsamości Bianchi zmniejszają liczbę niezależnych równań z 10 do 6, pozostawiając metrykę z czterema stopniami swobody ustalającymi mierniki , które odpowiadają swobodzie wyboru układu współrzędnych.

Chociaż równania pola Einsteina zostały początkowo sformułowane w kontekście teorii czterowymiarowej, niektórzy teoretycy zbadali ich konsekwencje w $n$ wymiarach. Równania w kontekstach poza ogólną teorią względności są nadal określane jako równania pola Einsteina. Równania pola próżniowego (uzyskane, gdy $T μν$ jest wszędzie równe zeru) definiują rozmaitości Einsteina .

Równania są bardziej złożone, niż się wydaje. Mając określony rozkład materii i energii w postaci tensora naprężenie-energia, EFE są rozumiane jako równania dla tensora metrycznego $g μν$ , ponieważ zarówno tensor Ricciego, jak i krzywizna skalarna zależą od metryki w skomplikowany nieliniowy sposób. W pełni napisany EFE jest układem dziesięciu sprzężonych, nieliniowych, hiperboliczno-eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych .

Konwencja znaków

Powyższa forma EFE jest standardem ustanowionym przez Misnera, Thorne'a i Wheelera (MTW). Autorzy przeanalizowali istniejące konwencje i sklasyfikowali je według trzech znaków ([S1] [S2] [S3]):

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} g_ {\ mu \ nu} i = [S1] \ razy \ operatorname {diag} (-1, +1, +1, +1) \ \ [6 pkt] {R ^ { \mu }}_{\alpha \beta \gamma }&=[S2]\times \left(\Gamma _{\alpha \gamma ,\beta }^{\mu }-\Gamma _{\alpha \beta , \gamma }^{\mu }+\Gamma _{\sigma \beta }^{\mu }\Gamma _{\gamma \alpha }^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \gamma }^{\ mu }\Gamma _{\beta \alpha }^{\sigma }\right)\\[6pt]G_{\mu \nu }&=[S3]\times \kappa T_{\mu \nu }\end{ wyrównany}}}

Trzeci znak powyżej związany jest z wyborem konwencji dla tensora Ricciego:

{\ Displaystyle R_ {\ mu \ nu} = [S2] \ razy [S3] \ razy {R ^ {\ alfa}} _ {\ mu \ alfa \ nu}}

Z tymi definicjami Misner, Thorne i Wheeler klasyfikują się jako $(+++)$ , podczas gdy Weinberg (1972) to $(+--)$ , Peebles (1980) oraz Efstathiou i in. (1990) są $(- + +)$ , Rindler (1977), Atwater (1974), Collins Martin & Squires (1989) i Peacock (1999) są $(- + -)$ .

Autorzy, w tym Einstein, zastosowali w swojej definicji inny znak dla tensora Ricciego, co powoduje, że znak stałej po prawej stronie jest ujemny:

{\ Displaystyle R_ {\ mu \ nu} - {\ Frac {1} {2}} Rg_ {\ mu \ nu} - \ Lambda g_ {\ mu \ nu} = - \ kappa T_ {\ mu \ nu}. }

Znak terminu kosmologicznego zmieniłby się w obu tych wersjach, gdyby zastosowana została konwencja znaku metrycznego $(+ - - -)$ zamiast przyjętej tutaj konwencji znaku metrycznego MTW $(- + + +)$ .

Równoważne preparaty

Biorąc ślad w odniesieniu do metryki obu stron EFE otrzymuje się

{\ Displaystyle R-{\ Frac {D} {2}} R + D \ Lambda = \ kappa T}

gdzie $D$ jest wymiarem czasoprzestrzeni. Rozwiązując $R$ i zastępując to w oryginalnym EFE, otrzymujemy następującą równoważną formę „odwróconego śladu”:

{\ Displaystyle R_ {\ mu \ nu} - {\ Frac {2} {D-2}} \ Lambda g_ {\ mu \ nu} = \ kappa \ lewo (T_ {\ mu \ nu} - {\ Frac { 1}{D-2}}Tg_{\mu \nu }\prawo).}

W $D = 4$ wymiarach zmniejsza się to do

{\ Displaystyle R_ {\ mu \ nu} - \ Lambda g_ {\ mu \ nu} = \ kappa \ lewo (T_ {\ mu \ nu} - {\ Frac {1} {2}} T \, g_ {\ mu \nu }\prawo).}

Ponowne odwrócenie śladu przywróciłoby oryginalny EFE. Forma odwrócona śladowa może być w niektórych przypadkach wygodniejsza (na przykład, gdy interesuje nas granica słabego pola i można zastąpić $g μν$ w wyrażeniu po prawej stronie metryką Minkowskiego bez znaczącej utraty dokładności).

Stała kosmologiczna

W równaniach pola Einsteina

{\ Displaystyle G_ {\ mu \ nu} + \ Lambda g_ {\ mu \ nu} = \ kappa T_ {\ mu \ nu} \ ,,}

termin zawierający stałą kosmologiczną $Λ$ był nieobecny w wersji, w której pierwotnie je opublikował. Einstein następnie dołączył ten termin do stałej kosmologicznej, aby uwzględnić wszechświat, który się nie rozszerza ani nie kurczy . Wysiłek ten nie powiódł się, ponieważ:

dowolne pożądane rozwiązanie w stanie ustalonym opisane tym równaniem jest niestabilne, oraz
obserwacje Edwina Hubble'a wykazały, że nasz wszechświat się rozszerza .

Einstein następnie opuszczony $X$ , zauważając do George'a Gamowa „że wprowadzenie kosmologicznej kadencji był największym błędem w jego życiu”.

Włączenie tego terminu nie powoduje niespójności. Przez wiele lat niemal powszechnie zakładano, że stała kosmologiczna wynosi zero. Nowsze obserwacje astronomiczne wykazały przyspieszającą ekspansję wszechświata i aby to wyjaśnić, potrzebna jest dodatnia wartość $Λ$ . Stała kosmologiczna jest znikoma w skali galaktyki lub mniejszej.

Einstein myślał o stałej kosmologicznej jako o niezależnym parametrze, ale jej człon w równaniu pola można również przenieść algebraicznie na drugą stronę i włączyć jako część tensora naprężenie–energia:

{\ Displaystyle T_ {\ mu \ nu } ^ {\ operatorname {(vac)} } = - {\ Frac {\ Lambda} {\ kappa}} g_ {\ mu \ nu} \,.}

Ten tensor opisuje stan próżni o gęstości energii $ρ vac$ i izotropowym ciśnieniu $p vac,$ które są stałymi stałymi i są określone wzorem

{\ Displaystyle \ rho _ {\ operatorname {vac}} =-p_ {\ operatorname {vac}} = {\ Frac {\ Lambda} {\ kappa}}}

gdzie zakłada się, że $Λ$ ma jednostkę SI m- ^2, a $κ$ jest zdefiniowane jak powyżej.

Istnienie stałej kosmologicznej jest więc równoznaczne z istnieniem energii próżni i ciśnienia o przeciwnym znaku. Doprowadziło to do tego, że terminy „stała kosmologiczna” i „energia próżniowa” są używane zamiennie w ogólnej teorii względności.

Cechy

Zachowanie energii i pędu

Ogólna teoria względności jest zgodna z lokalną zasadą zachowania energii i pędu wyrażoną jako

{\ Displaystyle \ nabla _ {\ beta} T ^ {\ alfa \ beta} = {T ^ {\ alfa \ beta}} _ {; \ beta} = 0}

.

Wyprowadzenie lokalnej zachowania energii i pędu

Kontraktowanie zróżnicowanej tożsamości Bianchi

{\ Displaystyle R_ {\ alfa \ beta [\ gamma \ delta; \ varepsilon]} = 0}

z $g αβ$ daje, wykorzystując fakt, że tensor metryczny jest kowariancyjnie stały, tj. $g αβ;γ = 0$ ,

{\ Displaystyle {R ^ {\ gamma}} _ {\ beta \ gamma \ delta; \ varepsilon} + {R ^ {\ gamma}} _ {\ beta \ varepsilon \ gamma; \ delta} + {R ^ {\ gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=\,0}

Antysymetria tensora Riemanna pozwala na przepisanie drugiego wyrazu w powyższym wyrażeniu:

{\ Displaystyle {R ^ {\ gamma}} _ {\ beta \ gamma \ delta; \ varepsilon} - {R ^ {\ gamma}} _ {\ beta \ gamma \ varepsilon; \ delta} + {R ^ {\ gamma }}_{\beta \delta \varepsilon ;\gamma }=0}

co jest równoważne

{\ Displaystyle R_ {\ beta \ delta; \ varepsilon } - R_ {\ beta \ varepsilon; \ delta} + {R ^ {\ gamma}} _ {\ beta \ delta \ varepsilon; \ gamma} = 0}

używając definicji tensora Ricciego .

Następnie ponownie kontraktuj z metryką

{\ Displaystyle g ^ {\ beta \ delta} \ lewo (R_ {\ beta \ delta; \ varepsilon} - R_ {\ beta \ varepsilon; \ delta} + {R ^ {\ gamma}} _ {\ beta \ delta \varepsilon ;\gamma }\right)=0}

dostać

{\ Displaystyle {R ^ {\ delta}} _ {\ delta; \ varepsilon} - {R ^ {\ delta}} _ {\ varepsilon; \ delta} + {R ^ {\ gamma \ delta}} _ {\ delta \varepsilon ;\gamma }=0}

Z definicji tensora krzywizny Ricciego i krzywizny skalarnej wynika, że:

{\ Displaystyle R_ {; \ varepsilon } -2 {R ^ {\ gamma}} _ {\ varepsilon; \ gamma} = 0}

które można przepisać jako

{\ Displaystyle \ lewo ({R ^ {\ gamma}} _ {\ varepsilon} - {\ tfrac {1} {2}} {g ^ {\ gamma}} _ {\ varepsilon} R \ prawej) _ {; \gamma }=0}

$Skrócenie$ końcowe z $g εδ$ daje

{\ Displaystyle \ lewo (R ^ {\ gamma \ delta} - {\ tfrac {1} {2}} g ^ {\ gamma \ delta} R \ prawej) _ {; \ gamma} = 0}

co przez symetrię terminu w nawiasie i definicję tensora Einsteina daje, po ponownym oznaczeniu indeksów,

{\ Displaystyle {G ^ {\ alfa \ beta}} _ {; \ beta} = 0}

Używając EFE, daje to natychmiast,

{\ Displaystyle \ nabla _ {\ beta} T ^ {\ alfa \ beta} = {T ^ {\ alfa \ beta}} _ {; \ beta} = 0}

co wyraża lokalną ochronę stresu-energii. To prawo zachowania jest wymogiem fizycznym. Za pomocą swoich równań pola Einstein zapewnił, że ogólna teoria względności jest zgodna z tym warunkiem zachowania.

Nieliniowość

Nieliniowość EFE odróżnia ogólną teorię względności od wielu innych fundamentalnych teorii fizycznych. Na przykład, równania Maxwella z elektromagnetycznymi jest liniowa elektrycznego i pola magnetycznego , a rozkład prądu ładowania i (czyli suma dwóch rozwiązań jest roztworem); Innym przykładem jest równanie Schrödingera od mechaniki kwantowej , który jest liniowy w funkcji falowej .

Zasada korespondencji

EFE redukuje się do prawa grawitacji Newtona, używając zarówno aproksymacji słabego pola, jak i aproksymacji w zwolnionym tempie . W rzeczywistości stała $G$ pojawiająca się w EFE jest określana przez dokonanie tych dwóch przybliżeń.

Wyprowadzenie prawa grawitacji Newtona

Grawitację newtonowską można zapisać jako teorię pola skalarnego $Φ$ , które jest potencjałem grawitacyjnym w dżulach na kilogram pola grawitacyjnego $g = -\nablaΦ$ , patrz prawo Gaussa dla grawitacji

{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ Phi \ lewo ({\ vec {x}}, t \ prawej) = 4 \ pi G \ rho \ lewo ({\ vec {x}}, t \ prawej)}

gdzie $ρ$ jest gęstością masową. Orbita swobodnie spadającej cząstki spełnia

{\ Displaystyle {\ ddot {\ vec {x}}} (t) = {\ vec {g}} = - \ nabla \ Phi \ lewo ({\ vec {x}} (t), t \ prawej) \ ,.}

W notacji tensorowej stają się one

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ Phi _ {, ii} i = 4 \ pi G \ rho \ \ {\ Frac {d ^ {2} x ^ {i}} {dt ^ {2}}} i =-\Phi _{,i}\,.\end{wyrównany}}}

W ogólnej teorii względności równania te są zastępowane równaniami pola Einsteina w postaci odwróconej śladowo

{\ Displaystyle R_ {\ mu \ nu} = K \ lewo (T_ {\ mu \ nu} - {\ tfrac {1} {2}} Tg_ {\ mu \ nu} \ prawej)}

dla pewnej stałej $K$ i równania geodezyjnego

{\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} x ^ {\ alfa}} {d \ tau ^ {2}}} = - \ Gamma _ {\ beta \ gamma} ^ {\ alfa} {\ Frac {dx ^{\beta }}{d\tau }}{\frac {dx^{\gamma }}{d\tau }}\,.}

Aby zobaczyć, jak ta druga redukuje się do pierwszej, zakładamy, że prędkość cząstki testowej wynosi w przybliżeniu zero

{\ Displaystyle {\ Frac {dx ^ {\ beta}} {d \ tau}} \ w przybliżeniu \ lewo ({\ Frac {dt} {d \ tau}} 0,0, 0 \ po prawej)}

a zatem

{\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} \ po lewej ({\ Frac {dt} {d \ tau}} \ po prawej) \ około 0}

oraz że metryka i jej pochodne są w przybliżeniu statyczne, a kwadraty odchyleń od metryki Minkowskiego są pomijalne. Zastosowanie tych upraszczających założeń do przestrzennych składowych równania geodezyjnego daje:

{\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {2} x ^ {i}} {dt ^ {2}}} \ około - \ Gamma _ {00} ^ {i}}

gdzie dwa czynniki $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} dt/dτ$ zostały podzielone. Sprowadzi się to do jego odpowiednika newtonowskiego, pod warunkiem, że:

{\ Displaystyle \ Phi _ {i} \ około \ Gamma _ {00} ^ {i} = {\ tfrac {1} {2}} g ^ {i \ alfa} \ lewo (g_ {\ alfa 0,0 }+g_{0\alpha ,0}-g_{00,\alpha }\right)\,.}

Nasze założenia wymuszają, aby $α = i$ oraz pochodne po czasie (0) były równe zero. Więc to upraszcza się do

{\ Displaystyle 2 \ Phi _ {i} \ w przybliżeniu g ^ {ij} \ lewo (-g_ {00, j} \ po prawej) \ w przybliżeniu - g_ {00, i} \,}

co jest zadowolone z najmu

{\ Displaystyle g_ {00} \ około -c ^ {2} -2 \ Phi \,.}

Wracając do równań Einsteina, potrzebujemy tylko składnika czas-czas

{\ Displaystyle R_ {00} = K \ lewo (T_ {00} - {\ tfrac {1} {2}} Tg_ {00} \ po prawej)}

założenia dotyczące niskiej prędkości i pola statycznego sugerują, że

{\ Displaystyle T_ {\ mu \ nu} \ w przybliżeniu \ operatorzy {diagram} \ po lewej (T_ {00} 0,0,0 \ po prawej) \ w przybliżeniu \ operatorzy {diagram} \ po lewej (\ rho c^ {4} 0,0,0,0\prawo)\,.}

Więc

{\ Displaystyle T = g ^ {\ alfa \ beta} T_ {\ alfa \ beta} \ około g ^ {00} T_ {00} \ około - {\ Frac {1} {c ^ {2}}} \ rho c^{4}=-\rho c^{2}\,}

a zatem

{\ Displaystyle K \ lewo (T_ {00} - {\ tfrac {1} {2}} Tg_ {00} \ po prawej) \ w przybliżeniu K \ po lewej (\ rho c ^ {4} - {\ tfrac {1} { 2}}\left(-\rho c^{2}\right)\left(-c^{2}\right)\right)={\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4 }\,.}

Z definicji tensora Ricciego

{\ Displaystyle R_ {00} = \ gamma _ {00, \ rho } ^ {\ rho} - \ gamma _ {\ rho 0,0} ^ {\ rho} + \ gamma _ {\ rho \ lambda} ^ { \rho }\Gamma _{00}^{\lambda }-\Gamma _{0\lambda }^{\rho }\Gamma _{\rho 0}^{\lambda }.}

Nasze upraszczające założenia sprawiają, że kwadraty $Γ$ znikają wraz z pochodnymi czasowymi

{\ Displaystyle R_ {00} \ około \ Gamma _ {00, i} ^ {i} \,.}

Łącząc powyższe równania razem

{\ Displaystyle \ Phi _ {, ii} \ około \ Gamma _ {00, i} ^ {i} \ około R_ {00} = K \ lewo (T_ {00} - {\ tfrac {1} {2}} Tg_{00}\right)\ok {\tfrac {1}{2}}K\rho c^{4}}

co sprowadza się do podanego równania pola Newtona

{\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} K \ rho c ^ {4} = 4 \ pi G \ rho \,}

co nastąpi, jeśli

{\ Displaystyle K = {\ Frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} \}.

Równania pola próżniowego

Szwajcarska moneta okolicznościowa z 1979 roku, przedstawiająca równania pola próżniowego o zerowej stałej kosmologicznej (góra).

Jeżeli tensor energii i pędu $T μν$ jest równy zero w rozważanym obszarze, to równania pola nazywane są również równaniami pola próżni . Ustawiając $T μν = 0$ w równaniach pola odwróconego śladowo, równania próżni można zapisać jako

{\ Displaystyle R_ {\ mu \ nu} = 0 \,.}

W przypadku niezerowej stałej kosmologicznej równania to

{\ Displaystyle R_ {\ mu \ nu } = {\ Frac {\ Lambda} {{\ Frac {D} {2}}-1}} g_ {\ mu \ nu} \,.}

Rozwiązania równań pola próżniowego nazywane są rozwiązaniami próżniowymi . Płaska przestrzeń Minkowskiego to najprostszy przykład rozwiązania próżniowego. Nietrywialne przykłady obejmują rozwiązanie Schwarzschilda i rozwiązanie Kerra .

Rozmaitości z tensorem zanikającym Ricciego , $R μν = 0$ , określane są jako rozmaitości płaskie Ricciego, a rozmaitości z tensorem Ricciego proporcjonalnym do metryki jako rozmaitości Einsteina .

równania Einsteina-Maxwella

Jeśli tensor energii i pędu $T μν$ jest polem elektromagnetycznym w wolnej przestrzeni , tj. jeśli tensor naprężenia i energii elektromagnetycznej

{\ Displaystyle T ^ {\ alfa \ beta} = \, - {\ Frac {1} {\ mu _ {0}}} \ lewo ({F ^ {\ alfa}} ^ {\ psi} {F_ {\ psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)}

jest używany, to równania pola Einsteina nazywane są równaniami Einsteina-Maxwella (ze stałą kosmologiczną $Λ$ , $przyjętą$ jako zero w konwencjonalnej teorii względności):

{\ Displaystyle G ^ {\ alfa \ beta} + \ Lambda g ^ {\ alfa \ beta} = {\ Frac {\ kappa} {\ mu _ {0}}} \ lewo ({F ^ {\ alfa}} ^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\Prawidłowy).}

Dodatkowo kowariantne równania Maxwella mają również zastosowanie w wolnej przestrzeni:

{\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} {F ^ {\ alfa \ beta}} _ {; \ beta} i = 0 \ \ F_ {[\ alfa \ beta; \ gamma]} i = {\ tfrac {1} {3}}\left(F_{\alpha \beta ;\gamma }+F_{\beta \gamma ;\alpha }+F_{\gamma \alpha ;\beta }\right)={\tfrac {1}{ 3}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\beta \gamma ,\alpha }+F_{\gamma \alpha ,\beta }\right)=0.\end{aligned}} }

gdzie średnik oznacza pochodną kowariantną , a nawiasy oznaczają antysymetryzację . Pierwsze równanie zapewnia, że 4- rozbieżność z 2-forma $F$ ma wartość zero, a drugie jego zewnętrzne pochodna ma wartość zero. Z tego ostatniego wynika lemat Poincarégo, że na wykresie współrzędnych można wprowadzić potencjał pola elektromagnetycznego $A α$ taki, że

{\ Displaystyle F_ {\ alfa \ beta} = A_ {\ alfa; \ beta}-A_ {\ beta; \ alfa} = A_ {\ alfa \ beta}-A_ {\ beta \ alfa}}

w którym przecinek oznacza pochodną cząstkową. Jest to często traktowane jako ekwiwalent kowariantnego równania Maxwella, z którego zostało wyprowadzone. Istnieją jednak globalne rozwiązania równania, którym może brakować globalnie zdefiniowanego potencjału.

Rozwiązania

Roztwory Równanie Einsteina są metryki z czasoprzestrzeni . Te metryki opisują strukturę czasoprzestrzeni, w tym ruch bezwładności obiektów w czasoprzestrzeni. Ponieważ równania pola są nieliniowe, nie zawsze można je całkowicie rozwiązać (tj. bez dokonywania przybliżeń). Na przykład nie ma znanego kompletnego rozwiązania dla czasoprzestrzeni z dwoma masywnymi ciałami (co jest na przykład teoretycznym modelem układu podwójnego gwiazd). Jednak w takich przypadkach zwykle dokonuje się przybliżeń. Są one powszechnie określane jako przybliżenia postnewtonowskie . Mimo to istnieje kilka przypadków, w których równania pola zostały całkowicie rozwiązane i nazywa się je rozwiązaniami dokładnymi .

Badanie dokładnych rozwiązań równań pola Einsteina jest jedną z czynności kosmologii . Prowadzi to do przewidywania czarnych dziur i różnych modeli ewolucji wszechświata .

Można również odkryć nowe rozwiązania równań pola Einsteina za pomocą metody ram ortonormalnych, której pionierami byli Ellis i MacCallum. W tym podejściu równania pola Einsteina są zredukowane do zestawu sprzężonych, nieliniowych równań różniczkowych zwyczajnych. Jak dyskutowali Hsu i Wainwright, samopodobne rozwiązania równań pola Einsteina są stałymi punktami wynikowego układu dynamicznego . Nowe rozwiązania zostały odkryte przy użyciu tych metod przez LeBlanc oraz Kohli i Haslam.

Zlinearyzowana EFE

Nieliniowość EFE utrudnia znalezienie dokładnych rozwiązań. Jednym ze sposobów rozwiązania równań pola jest dokonanie aproksymacji, a mianowicie, że daleko od źródła (źródeł) grawitacyjnej materii, pole grawitacyjne jest bardzo słabe, a czasoprzestrzeń jest zbliżona do przestrzeni Minkowskiego . Metryka jest następnie zapisywana jako suma metryki Minkowskiego i terminu reprezentującego odchylenie rzeczywistej metryki od metryki Minkowskiego , ignorując warunki o wyższej mocy. Ta procedura linearyzacji może być wykorzystana do badania zjawisk promieniowania grawitacyjnego .

Forma wielomianowa

Pomimo tego, że EFE, jak napisano, zawierające odwrotność tensora metrycznego, mogą być ułożone w formie, która zawiera tensor metryczny w postaci wielomianowej i bez jego odwrotności. Po pierwsze, wyznacznik metryki można zapisać w 4 wymiarach

{\ Displaystyle \ det (g) = {\ tfrac {1} {24}} \ varepsilon ^ {\ alfa \ beta \ gamma \ delta} \ varepsilon ^ {\ kappa \ lambda \ mu \ nu} g_ {\ alfa \ kappa }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}

używając symbolu Levi-Civita ; a odwrotność metryki w 4 wymiarach można zapisać jako:

{\ Displaystyle g ^ {\ alfa \ kappa} = {\ Frac {{\ tfrac {1} {6}} \ varepsilon ^ {\ alfa \ beta \ gamma \ delta} \ varepsilon ^ {\ kappa \ lambda \ mu \ nu }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }}{\det(g)}}\,.}

Zastąpienie tej definicji odwrotności metryki w równaniach, a następnie pomnożenie obu stron przez odpowiednią potęgę $det(g) w$ celu wyeliminowania jej z mianownika, daje w wyniku równania wielomianowe w tensorze metrycznym oraz jego pierwszą i drugą pochodną. Czynność, z której wywodzą się równania, można również zapisać w postaci wielomianowej przez odpowiednie przedefiniowanie pól.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Zobacz Zasoby dotyczące ogólnej teorii względności .

Misner, Karol W. ; Thorne, Kip S .; Wheeler, John Archibald (1973). Grawitacja . San Francisco: WH Freeman . Numer ISBN 978-0-7167-0344-0.
Weinberg, Steven (1972). Grawitacja i kosmologia . John Wiley & Synowie. Numer ISBN 0-471-92567-5.
Paw, John A. (1999). Fizyka kosmologiczna . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. Numer ISBN 978-0521410724.

Zewnętrzne linki

„Równania Einsteina” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
Caltech Tutorial on Relativity — proste wprowadzenie do równań pola Einsteina.
Znaczenie równania Einsteina — wyjaśnienie równania pola Einsteina, jego wyprowadzenie i niektóre z jego konsekwencji
Wykład wideo na temat równań pola Einsteina wygłoszony przez profesora fizyki MIT Edmunda Bertschingera.
Arch and scaffold: Jak Einstein znalazł swoje równania pola Fizyka Dzisiaj listopad 2015, Historia rozwoju równań pola
Równanie pola Einsteina na ścianie Muzeum Boerhaave w centrum Leiden

Languages

In other projects