Einstein stały - Einstein solid

Ciało stałe Einsteina to model krystalicznego ciała stałego, który zawiera dużą liczbę niezależnych trójwymiarowych kwantowych oscylatorów harmonicznych o tej samej częstotliwości. Założenie o niezależności jest rozluźnione w modelu Debye'a .

Chociaż model zapewnia jakościową zgodność z danymi eksperymentalnymi, zwłaszcza w przypadku granicy wysokiej temperatury, oscylacje te są w rzeczywistości fononami lub zbiorowymi modami obejmującymi wiele atomów. Einstein zdawał sobie sprawę, że uzyskanie częstotliwości rzeczywistych oscylacji byłoby trudne, niemniej jednak zaproponował tę teorię, ponieważ była to szczególnie wyraźna demonstracja, że mechanika kwantowa może rozwiązać specyficzny problem cieplny w mechanice klasycznej.

Wpływ historyczny

Oryginalna teoria zaproponowana przez Einsteina w 1907 roku ma wielkie znaczenie historyczne. Ilość ciepła z cząstek stałych , jak przewidywano empirycznym prawa Dulonga-Petit było wymagane przez mechaniki , ciepło właściwe stałych powinna być niezależna od temperatury. Ale eksperymenty w niskich temperaturach wykazały, że pojemność cieplna zmienia się, dążąc do zera w zera absolutnego. Wraz ze wzrostem temperatury ciepło właściwe rośnie, aż zbliży się do prognozy Dulonga i Petita w wysokiej temperaturze.

Przyjmując założenie kwantyzacji Plancka , teoria Einsteina po raz pierwszy uwzględniła obserwowany trend eksperymentalny. Wraz z efektem fotoelektrycznym stało się to jednym z najważniejszych dowodów na potrzebę kwantyzacji. Einstein użył poziomów oscylatora kwantowo-mechanicznego na wiele lat przed pojawieniem się nowoczesnej mechaniki kwantowej .

Pojemność cieplna

W podejściu termodynamicznym pojemność cieplną można obliczyć przy użyciu różnych zbiorów statystycznych . Wszystkie rozwiązania są równoważne na granicy termodynamicznej .

Zespół mikrokanoniczny

Pojemność cieplna ciała stałego Einsteina w funkcji temperatury. Wartość eksperymentalna 3 Nk jest odzyskiwana w wysokich temperaturach.

Pojemności cieplnej przedmiotu przy stałej objętości V jest zdefiniowana przez energii wewnętrznej U jako

{\ Displaystyle C_ {V} = \ lewo ({\ częściowe U \ ponad \ częściowe T} \ prawo) _ {V}.}

${\ displaystyle T}$ , temperaturę układu, można znaleźć na podstawie entropii

{\ Displaystyle {1 \ nad T} = {\ częściowe S \ ponad \ częściowe U}.}

Aby znaleźć entropię, rozważ bryłę złożoną z atomów, z których każdy ma 3 stopnie swobody. Istnieją więc kwantowe oscylatory harmoniczne (zwane dalej SHO dla „prostych oscylatorów harmonicznych”). ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle 3N}$

{\ Displaystyle N ^ {\ prime} = 3N}

Możliwe energie SHO są podane przez

{\ Displaystyle E_ {n} = \ hbar \ omega \ lewo (n + {1 \ ponad 2} \ po prawej)}

Innymi słowy, poziomy energii są równomiernie rozmieszczone i można zdefiniować kwant energii

{\ Displaystyle \ varepsilon = \ hbar \ omega}

która jest najmniejszą i jedyną wielkością, o jaką zwiększa się energia SHO. Następnie musimy obliczyć wielokrotność systemu. To znaczy obliczyć liczbę sposobów dystrybucji ilości energii między SHO. To zadanie staje się prostsze, jeśli pomyślimy o rozprowadzaniu kamyków na pudełkach ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle N ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle N ^ {\ prime}}$

lub oddzielanie stosów kamyków za pomocą przegród ${\ Displaystyle N ^ {\ prime} -1}$

lub układanie kamyków i ścianek działowych ${\ displaystyle q}$ ${\ Displaystyle N ^ {\ prime} -1}$

Najbardziej wymowne jest ostatnie zdjęcie. Liczba aranżacji obiektów wynosi . A więc liczba możliwych układów kamyków i ścianek działowych wynosi . Jeśli jednak partycja nr 3 i partycja nr 5 zamieni się miejscami, nikt by tego nie zauważył. Ten sam argument dotyczy kwantów. Aby otrzymać liczbę możliwych do rozróżnienia układów, należy podzielić całkowitą liczbę układów przez liczbę nierozróżnialnych układów. Istnieją identyczne układy kwantów i identyczne układy partycji. Dlatego wielość systemu jest określona przez ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n!}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ Displaystyle N ^ {\ prime} -1}$ ${\ Displaystyle \ lewo (q + N ^ {\ pierwsza} -1 \ prawo)!}$ ${\ displaystyle q!}$ ${\ Displaystyle (N ^ {\ prime} -1)!}$

{\ Displaystyle \ Omega = {\ lewo (q + N ^ {\ pierwsza} -1 \ prawo)! \ over q! (N ^ {\ prime} -1)!}}

co, jak wspomniano wcześniej, jest liczbą sposobów deponowania kwantów energii w oscylatorach. Entropia systemu ma postać ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle N ^ {\ prime}}$

{\ Displaystyle S / k = \ ln \ Omega = \ ln {\ lewo (q + N ^ {\ prime} -1 \ prawo)! \ over q! (N ^ {\ prime} -1)!}.}

${\ displaystyle N ^ {\ prime}}$ to ogromna liczba - odjęcie od niej jednej nie ma żadnego ogólnego efektu:

{\ Displaystyle S / k \ ok \ ln {\ lewo (q + N ^ {\ liczba pierwsza} \ po prawej)! \ over q! N ^ {\ prime}!}}

Przy pomocy przybliżenia Stirlinga entropię można uprościć:

{\ Displaystyle S / k \ ok \ lewo (q + N ^ {\ pierwsza} \ prawo) \ ln \ lewo (q + N ^ {\ pierwsza} \ prawo) -N ^ {\ pierwsza} \ ln N ^ { \ prime} -q \ ln q.}

Całkowita energia ciała stałego jest podana przez

{\ Displaystyle U = {N ^ {\ prime} \ varepsilon \ ponad 2} + q \ varepsilon}

ponieważ w systemie jest łącznie q kwantów energii oprócz energii stanu podstawowego każdego oscylatora. Niektórzy autorzy, tacy jak Schroeder, pomijają tę energię stanu podstawowego w swoich definicjach całkowitej energii ciała stałego Einsteina.

Jesteśmy teraz gotowi do obliczenia temperatury

{\ Displaystyle {1 \ nad T} = {\ częściowe S \ na \ częściowe U} = {\ częściowe S \ na \ częściowe q} {dq \ na dU} = {1 \ nad \ varepsilon} {\ częściowe S \ ponad \ częściowe q} = {k \ ponad \ varepsilon} \ ln \ left (1 + N ^ {\ prime} / q \ right)}

Eliminacja q między dwoma poprzednimi wzorami daje U:

{\ Displaystyle U = {N ^ {\ prime} \ varepsilon \ ponad 2} + {N ^ {\ prime} \ varepsilon \ ponad e ^ {\ varepsilon / kT} -1}.}

Pierwszy termin jest związany z energią punktu zerowego i nie przyczynia się do ciepła właściwego. W związku z tym zostanie utracone w następnym kroku.

Różniczkując ze względu na temperaturę, aby znaleźć , otrzymujemy: ${\ displaystyle C_ {V}}$

{\ Displaystyle C_ {V} = {\ częściowe U \ ponad \ częściowe T} = {N ^ {\ pierwsza} \ varepsilon ^ {2} \ ponad kT ^ {2}} {e ^ {\ varepsilon / kT} \ powyżej \ left (e ^ {\ varepsilon / kT} -1 \ right) ^ {2}}}

lub

${\ Displaystyle C_ {V} = 3Nk \ lewo ({\ varepsilon \ ponad kT} \ prawej) ^ {2} {e ^ {\ varepsilon / kT} \ ponad \ lewo (e ^ {\ varepsilon / kT} -1) \ right) ^ {2}}.}$

Chociaż model Einsteina ciała stałego dokładnie przewiduje pojemność cieplną w wysokich temperaturach i w tej granicy

${\ Displaystyle \ lim _ {T \ rightarrow \ infty} C_ {V} = 3Nk}$ ,

co jest równoważne z prawem Dulonga-Petita .

Niemniej jednak pojemność cieplna znacznie odbiega od wartości eksperymentalnych w niskich temperaturach. Zobacz model Debye'a, aby dowiedzieć się, jak obliczyć dokładne pojemności cieplne w niskich temperaturach.

Zespół kanoniczny

Pojemność cieplną uzyskuje się dzięki zastosowaniu funkcji podziału kanonicznego prostego kwantowego oscylatora harmonicznego.

{\ displaystyle Z = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {- E_ {n} / kT}}

gdzie

{\ Displaystyle E_ {n} = \ varepsilon \ lewo (n + {1 \ ponad 2} \ po prawej)}

podstawienie tego do otrzymanej formuły funkcji podziału

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Z = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {- \ varepsilon \ lewo (n + 1/2 \ prawo) / kT} = e ^ {- \ varepsilon / 2kT} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} e ^ {- n \ varepsilon / kT} = e ^ {- \ varepsilon / 2kT} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left (e ^ {- \ varepsilon / kT} \ right) ^ {n} \\ = {e ^ {- \ varepsilon / 2kT} \ over 1-e ^ {- \ varepsilon / kT}} = {1 \ ponad e ^ {\ varepsilon / 2kT} -e ^ {- \ varepsilon / 2kT}} = {1 \ ponad 2 \ sinh \ left ({\ varepsilon \ over 2kT} \ right)}. \ end {aligned}}}

Jest to funkcja podziału jednego oscylatora harmonicznego. Ponieważ, statystycznie, pojemność cieplna, energia i entropia ciała stałego są równomiernie rozłożone między jego atomami, możemy skorzystać z tej funkcji podziału, aby otrzymać te wielkości, a następnie po prostu pomnożyć je przez, aby otrzymać sumę. Następnie obliczmy średnią energię każdego oscylatora ${\ displaystyle N ^ {\ prime}}$

{\ displaystyle \ langle E \ rangle = U = - {1 \ nad Z} \ częściowe _ {\ beta} Z}

gdzie

{\ displaystyle \ beta = {1 \ ponad kT}.}

W związku z tym,

{\ Displaystyle U = -2 \ sinh \ lewo ({\ varepsilon \ ponad 2kT} \ prawej) {- \ cosh \ lewo ({\ varepsilon \ ponad 2kT} \ prawo) \ ponad 2 \ sinh ^ {2} \ lewo ({\ varepsilon \ ponad 2kT} \ po prawej)} {\ varepsilon \ ponad 2} = {\ varepsilon \ ponad 2} \ coth \ left ({\ varepsilon \ over 2kT} \ right).}

Wówczas pojemność cieplna jednego oscylatora wynosi

{\ Displaystyle c_ {V} = {\ częściowe U \ ponad \ częściowe T} = - {\ varepsilon \ ponad 2} {1 \ nad \ sinh ^ {2} \ lewo ({\ varepsilon \ ponad 2kT} \ po prawej) } \ left (- {\ varepsilon \ over 2kT ^ {2}} \ right) = k \ left ({\ varepsilon \ over 2kT} \ right) ^ {2} {1 \ over \ sinh ^ {2} \ left ({\ varepsilon \ over 2kT} \ right)}.}

Do tej pory obliczyliśmy pojemność cieplną unikalnego stopnia swobody, który został zamodelowany jako kwantowa harmoniczna. Pojemność cieplna całego ciała stałego jest wtedy określona wzorem , gdzie całkowita liczba stopni swobody ciała stałego wynosi trzy (dla trzech kierunkowych stopni swobody) razy liczba atomów w ciele stałym. W ten sposób uzyskuje się ${\ displaystyle C_ {V} = 3Nc_ {V}}$ ${\ displaystyle N}$

${\ Displaystyle C_ {V} = 3Nk \ lewo ({\ varepsilon \ ponad 2kT} \ prawej) ^ {2} {1 \ ponad \ sinh ^ {2} \ lewo ({\ varepsilon \ ponad 2kT} \ prawej)} .}$

który jest algebraicznie identyczny ze wzorem wyprowadzonym w poprzedniej sekcji.

Wielkość ma wymiary temperatury i jest charakterystyczną właściwością kryształu. Jest znany jako temperatura Einsteina . Stąd model kryształu Einsteina przewiduje, że energia i pojemność cieplna kryształu są uniwersalnymi funkcjami stosunku bezwymiarowego . Podobnie model Debye'a przewiduje uniwersalną funkcję stosunku , gdzie jest temperatura Debye'a. ${\ Displaystyle T _ {\ rm {E}} = \ varepsilon / k}$ ${\ displaystyle T / T _ {\ rm {E}}}$ ${\ displaystyle T / T _ {\ rm {D}}}$ ${\ displaystyle T _ {\ rm {D}}}$

Ograniczenia i kolejny model

W modelu Einsteina ciepło właściwe zbliża się do zera wykładniczo szybko w niskich temperaturach. Dzieje się tak, ponieważ wszystkie oscylacje mają jedną wspólną częstotliwość. Prawidłowe zachowanie można znaleźć, kwantyzując normalne mody ciała stałego w taki sam sposób, jak sugerował Einstein. Wtedy częstotliwości fal nie są takie same, a ciepło właściwe spada do zera jako prawo mocy, które odpowiada eksperymentowi. Ta modyfikacja nosi nazwę modelu Debye , który pojawił się w 1912 roku. ${\ Displaystyle T ^ {3}}$

Kiedy Walther Nernst dowiedział się o artykule Einsteina z 1906 roku na temat ciepła właściwego, był tak podekscytowany, że podróżował całą drogę z Berlina do Zurychu, aby się z nim spotkać.

Zobacz też

Kinetyczna teoria ciał stałych

Bibliografia

Zewnętrzne linki

Zeleny, Enrique. „Projekt demonstracji Wolframa - bryła Einsteina” . Źródło 2016-03-18 . .

Languages

In other projects