Arytmetyka elementarna - Elementary arithmetic

Podstawowe podstawowe symbole arytmetyczne.

Arytmetyka elementarna to uproszczona część arytmetyki, która obejmuje operacje dodawania , odejmowania , mnożenia i dzielenia . Nie należy jej mylić z arytmetykami funkcji elementarnych .

Arytmetyka elementarna zaczyna się od liczb naturalnych i symboli pisanych ( cyfr ), które je reprezentują. Proces łączenia pary tych liczb z czterema podstawowymi operacjami tradycyjnie opiera się na zapamiętanych wynikach dla małych wartości liczb, w tym zawartości tabliczki mnożenia, która pomaga w mnożeniu i dzieleniu.

Arytmetyka elementarna obejmuje również ułamki zwykłe i liczby ujemne , które można przedstawić na osi liczbowej .

Cyfry

Główny artykuł: cyfra numeryczna

Cyfry to cały zestaw symboli używanych do reprezentowania liczb. W określonym systemie liczbowym pojedyncza cyfra reprezentuje inną kwotę niż jakakolwiek inna cyfra, chociaż symbole w tym samym systemie liczbowym mogą się różnić między kulturami.

We współczesnym użyciu cyfry arabskie są najczęstszym zestawem symboli, a najczęściej używaną formą tych cyfr jest styl zachodni. Każda pojedyncza cyfra, jeśli jest używana jako samodzielna liczba, odpowiada następującym wartościom:
0 , zero . Używane w przypadku braku obiektów do policzenia. Na przykład innym sposobem powiedzenia „tu nie ma patyczków” jest powiedzenie „liczba patyków wynosi tutaj 0”.
1 , jeden . Stosowany do pojedynczego przedmiotu. Na przykład tutaj jest jeden kij: I
2 , dwa . Stosowany do pary przedmiotów. Oto dwa kije: II
3 , trzy . Dotyczy trzech pozycji. Oto trzy kije: III
4 , cztery . Dotyczy czterech pozycji. Oto cztery kije: III I
5 , pięć . Dotyczy pięciu pozycji. Oto pięć patyczków: III II
6 , sześć . Dotyczy sześciu pozycji. Oto sześć patyczków: III III
7 , siedem . Dotyczy siedmiu pozycji. Oto siedem patyków: III III I
8 , osiem . Dotyczy ośmiu pozycji. Oto osiem patyczków: III III II
9 , dziewięć . Dotyczy dziewięciu pozycji. Oto dziewięć patyków: III III III

Dowolny system liczbowy definiuje wartość wszystkich liczb, które zawierają więcej niż jedną cyfrę, najczęściej przez dodanie wartości sąsiednich cyfr. System liczb hindusko-arabskich obejmuje notację pozycyjną w celu określenia wartości dowolnej cyfry. W tego typu systemie wzrost wartości dodatkowej cyfry obejmuje jedno lub więcej mnożeń z wartością podstawy, a wynik jest dodawany do wartości sąsiedniej cyfry. W przypadku cyfr arabskich podstawa dziesięciu daje wartość dwudziestu jeden (równą 2×10 + 1 ) dla cyfry „21”. Dla każdej dodatkowej cyfry występuje dodatkowe mnożenie z wartością podstawy, więc cyfra „201” reprezentuje wartość dwieście jeden (równą 2×10×10 + 0×10 + 1 ).

Podstawowy poziom nauki zazwyczaj obejmuje zrozumienie wartości poszczególnych liczb całkowitych przy użyciu cyfr arabskich składających się z maksymalnie siedmiu cyfr oraz wykonanie czterech podstawowych operacji przy użyciu cyfr arabskich składających się z maksymalnie czterech cyfr każda.

Dodatek

Główny artykuł: Dodatek
+ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
4 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
7 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
8 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Po zsumowaniu dwóch liczb wynik nazywa się sumą . Dwie dodawane do siebie liczby nazywane są dodatkami .

Co to znaczy dodać dwie liczby naturalne?

Załóżmy, że masz dwie torby, jedną zawierającą pięć jabłek, a drugą zawierającą trzy jabłka. Chwytając trzecią, pustą torebkę, przenieś wszystkie jabłka z pierwszej i drugiej torebki do trzeciej torebki. Trzecia torba zawiera teraz osiem jabłek. To ilustruje połączenie trzech jabłek i pięciu jabłek to osiem jabłek; lub ogólniej: „trzy plus pięć równa się osiem” lub „trzy plus pięć równa się osiem” lub „osiem to suma trzech i pięciu”. Liczby są abstrakcyjne, a dodanie grupy trzech rzeczy do grupy pięciu rzeczy daje grupę ośmiu rzeczy. Dodawanie polega na przegrupowaniu: dwa zestawy obiektów, które zostały policzone oddzielnie, są umieszczane w jednej grupie i zliczane razem: liczba nowych grup jest „suma” oddzielnych zliczeń dwóch pierwotnych grup.

Ta operacja łączenia jest tylko jednym z kilku możliwych znaczeń, jakie może mieć matematyczna operacja dodawania. Inne znaczenia dodawania obejmują:

  • porównanie („Tomek ma 5 jabłek. Jane ma o 3 jabłka więcej niż Tomek. Ile jabłek ma Jane?”),
  • dołączenie („Tomek ma 5 jabłek. Jane daje mu jeszcze 3 jabłka. Ile jabłek ma teraz Tomek?”),
  • pomiar („biurko Toma ma 3 stopy szerokości. Jane ma również 3 stopy szerokości. Jak szerokie będą ich biurka po złożeniu?”),
  • a nawet czasami oddzielając się ("Tom miał trochę jabłek. Dał 3 Jane. Teraz ma 5. Od ilu zaczął?").

Symbolicznie dodawanie jest reprezentowane przez „ znak plus ”: +. Tak więc zdanie „trzy plus pięć równa się osiem” można zapisać symbolicznie jako 3 + 5 = 8 . Kolejność dodawania dwóch liczb nie ma znaczenia, więc 3 + 5 = 5 + 3 = 8 . Jest to przemienność dodawania.

Aby dodać parę cyfr za pomocą tabeli, znajdź przecięcie wiersza pierwszej cyfry z kolumną drugiej cyfry: wiersz i kolumna przecinają się w kwadracie zawierającym sumę dwóch cyfr. Niektóre pary cyfr sumują się do liczb dwucyfrowych, przy czym cyfra dziesiątek jest zawsze 1. W algorytmie dodawania cyfra dziesiątek sumy pary cyfr nazywana jest „ cyfrą przeniesienia ”.

Algorytm dodawania

Dla uproszczenia rozważ tylko liczby składające się z trzech cyfr lub mniej. Aby dodać parę liczb (zapisanych cyframi arabskimi), wpisz drugą liczbę pod pierwszą tak, aby cyfry ułożyły się w kolumnach: kolumna skrajna po prawej będzie zawierała cyfrę jedności drugiej liczby pod cyfrą jedności liczby pierwszy numer. Ta skrajna prawa kolumna to kolumna jedności. Kolumna bezpośrednio po jego lewej stronie to kolumna dziesiątek. Kolumna dziesiątek będzie miała cyfrę dziesiątek drugiej liczby (jeśli ma jedną) pod cyfrą dziesiątek pierwszej liczby (jeśli ją posiada). Kolumna bezpośrednio na lewo od kolumny dziesiątek to kolumna setek. Kolumna setek ustawi cyfrę setek drugiej liczby (jeśli istnieje) pod cyfrą setek pierwszej liczby (jeśli istnieje).

Po wpisaniu drugiej liczby pod pierwszą tak, aby cyfry ułożyły się we właściwych kolumnach, narysuj linię pod drugą (dolną) liczbą. Zacznij od kolumny jedności: kolumna jedności powinna zawierać parę cyfr: cyfrę jedności pierwszej liczby i pod nią cyfrę jedności drugiej liczby. Znajdź sumę tych dwóch cyfr: wpisz tę sumę pod wierszem iw kolumnie jedności. Jeśli suma ma dwie cyfry, zapisz tylko jednocyfrową sumę. Napisz „cyfrę przeniesienia” nad górną cyfrą następnej kolumny: w tym przypadku następna kolumna to kolumna dziesiątek, więc wpisz 1 nad cyfrą dziesiątek pierwszej liczby.

Jeśli zarówno pierwsza, jak i druga liczba mają tylko jedną cyfrę, to ich suma jest podana w tabeli dodawania, a algorytm dodawania jest zbędny.

Potem pojawia się kolumna dziesiątek. Kolumna dziesiątek może zawierać dwie cyfry: cyfrę dziesiątek pierwszej liczby i cyfrę dziesiątek drugiej liczby. Jeśli w jednej z liczb brakuje cyfry dziesiątek, cyfrę dziesiątek tej liczby można uznać za 0. Dodaj cyfry dziesiątek z dwóch liczb. Następnie, jeśli jest cyfra przeniesienia, dodaj ją do tej sumy. Jeśli suma wynosiła 18, to dodanie do niej cyfry przeniesienia da 19. Jeśli suma cyfr dziesiątek (plus cyfra przeniesienia, jeśli jest jedna) jest mniejsza niż dziesięć, wpisz to w kolumnie dziesiątek pod linią. Jeśli suma ma dwie cyfry, wpisz jej ostatnią cyfrę w kolumnie dziesiątek pod wierszem i przenieś jej pierwszą cyfrę (która powinna wynosić 1) do następnej kolumny: w tym przypadku do kolumny setek.

Jeśli żadna z dwóch liczb nie ma cyfry setek, to jeśli nie ma cyfry przeniesienia, algorytm dodawania się zakończył. Jeśli istnieje cyfra przeniesienia (przeniesiona z kolumny dziesiątek), zapisz ją w kolumnie setek pod wierszem, a algorytm zostanie zakończony. Po zakończeniu algorytmu liczba pod linią jest sumą dwóch liczb.

Jeśli co najmniej jedna z liczb ma cyfrę setek, to jeśli w jednej z liczb brakuje cyfry setek, wpisz w jej miejsce cyfrę 0. Dodaj dwie setki cyfr i do ich sumy dodaj cyfrę przeniesienia, jeśli istnieje. Następnie wpisz sumę setek pod wierszem, także w kolumnie setek. Jeśli suma ma dwie cyfry, zapisz ostatnią cyfrę sumy w kolumnie setek i wpisz cyfrę przeniesienia po jej lewej stronie: w kolumnie tysięcy.

Przykład

Aby znaleźć sumę liczb 653 i 274, wpisz drugą liczbę pod pierwszą, ustawiając cyfry w kolumnach w następujący sposób:

6 5 3
2 7 4

Następnie narysuj linię pod drugą liczbą i umieść znak plus. Dodanie zaczyna się od kolumny jedności. Cyfra jedności pierwszej liczby to 3, a drugiej liczby to 4. Suma trzech i czterech to siedem, więc wpisz 7 w kolumnie jedności pod wierszem:

6 5 3
+ 2 7 4
7

Następnie kolumna dziesiątek. Cyfra dziesiątek pierwszej liczby to 5, a cyfra dziesiątek drugiej liczby to 7,5 plus 7 to 12, która ma dwie cyfry, więc wpisz jej ostatnią cyfrę, 2, w kolumnie dziesiątek pod linią i wpisz cyfrę przeniesienia w kolumnie setek nad pierwszą liczbą:

1
6 5 3
+ 2 7 4
2 7

Następnie setki kolumn. Cyfra setek pierwszej liczby to 6, a cyfra setek drugiej liczby to 2. Suma sześciu i dwóch to osiem, ale istnieje cyfra przeniesienia, która dodana do ośmiu jest równa dziewięciu. Wpisz 9 pod linią w kolumnie setek:

1
6 5 3
+ 2 7 4
9 2 7

Żadne cyfry (i żadne kolumny) nie zostały dodane, więc algorytm się kończy, dając w rezultacie następujące równanie:

653 + 274 = 927

Sukcesja i wielkość

Wynik dodania jedynki do liczby jest następcą tej liczby. Przykłady:
następca zera to jeden,
następca jedynki to dwa,
następca dwóch to trzy,
następca dziesięciu to jedenaście.
Każda liczba naturalna ma następcę.

Poprzednikiem następcy liczby jest sama liczba. Na przykład pięć jest następcą czterech, więc cztery jest poprzednikiem pięciu. Każda liczba naturalna oprócz zera ma swojego poprzednika.

Jeśli liczba jest następcą innej liczby, mówi się, że pierwsza liczba jest większa od drugiej. Jeśli liczba jest większa niż inna liczba, a druga liczba jest większa niż trzecia liczba, to pierwsza liczba jest również większa niż trzecia liczba. Przykład: pięć jest większe niż cztery, a cztery jest większe niż trzy, więc pięć jest większe niż trzy. Ale sześć jest większe niż pięć, więc sześć jest również większe niż trzy. Ale siedem jest większe od sześciu, dlatego siedem jest również większe od trzech... dlatego osiem jest większe od trzech... dlatego dziewięć jest większe od trzech itd.

Jeśli doda się dwie niezerowe liczby naturalne, to ich suma jest większa niż jedna z nich. Przykład: trzy plus pięć równa się osiem, więc osiem jest większe od trzech ( 8 > 3 ), a osiem jest większe od pięciu ( 8 > 5 ). Symbolem „większe niż” jest >.

Jeśli liczba jest większa od innej, to druga jest mniejsza od pierwszej. Przykłady: trzy to mniej niż osiem ( 3 < 8 ) a pięć to mniej niż osiem ( 5 < 8 ). Symbolem „mniej niż” jest <. Liczba nie może być jednocześnie większa i mniejsza od innej liczby. Liczba nie może być jednocześnie większa i równa innej liczbie. Mając parę liczb naturalnych, jeden i tylko jeden z następujących przypadków musi być prawdziwy:

  • pierwsza liczba jest większa od drugiej,
  • pierwsza liczba jest równa drugiej,
  • pierwsza liczba jest mniejsza niż druga.

Rachunkowość

Liczenie grupy przedmiotów oznacza przypisanie każdemu z przedmiotów liczby naturalnej, jak gdyby była to etykieta dla tego przedmiotu, w taki sposób, że liczba naturalna nigdy nie jest przypisywana do przedmiotu, chyba że poprzednik był już przypisany do innego przedmiotu, z wyjątkiem tego, że zero nie jest przypisane do żadnego obiektu: najmniejszą liczbą naturalną do przypisania jest jeden, a największa przypisana liczba naturalna zależy od liczebności grupy. Nazywa się to licznikiem i jest równe liczbie obiektów w tej grupie. Liczenie może być również postrzegane jako proces liczenia za pomocą znaczników.

Proces liczenia grupy wygląda następująco:

  1. Niech „liczba” będzie równa zeru. „Liczba” jest wielkością zmienną, która choć zaczyna się od zera, wkrótce będzie kilkakrotnie zmieniała swoją wartość.
  2. Znajdź w grupie co najmniej jeden obiekt, który nie został oznaczony liczbą naturalną. Jeżeli nie można znaleźć takiego obiektu (jeżeli wszystkie zostały oznaczone), to liczenie jest zakończone. W przeciwnym razie wybierz jeden z nieopisanych obiektów.
  3. Zwiększ liczbę o jeden. Oznacza to, że zastąp wartość licznika jego następcą.
  4. Przypisz nową wartość licznika jako etykietę do obiektu bez etykiety wybranego w kroku 2.
  5. Wróć do kroku 2.

Po zakończeniu liczenia ostatnią wartością liczenia będzie liczenie końcowe. Ta liczba jest równa liczbie obiektów w grupie.

Często podczas liczenia obiektów nie śledzi się, jaka etykieta numeryczna odpowiada jakiemu obiektowi: śledzi się tylko podgrupę obiektów, które zostały już oznaczone, aby móc zidentyfikować nieoznakowane obiekty niezbędne do kroku 2. Jednak , jeśli liczy się osoby, to można poprosić osoby, które są liczone, aby każdy śledził numer, który został przydzielony danej osobie. Po zakończeniu liczenia można poprosić grupę osób o ustawienie się w kolejce, w kolejności rosnącej etykiety numerycznej. To, co osoby zrobiłyby podczas ustawiania się w kolejce, wyglądałoby mniej więcej tak: każda para osób, która nie jest pewna swojej pozycji w kolejce, pyta się nawzajem, jakie są ich liczby: osoba, której liczba jest mniejsza, powinna stać po lewej stronie i ten z większą liczbą po prawej stronie drugiej osoby. W ten sposób pary osób porównują swoje liczebności i pozycje, w razie potrzeby zamieniają pozycje i poprzez powtarzanie takich komutacji warunkowych zostają uporządkowane.

W matematyce wyższej proces liczenia można również porównać do konstruowania zależności jeden do jednego (tzw. bijekcja) między elementami zbioru a zbiorem {1, ..., n} (gdzie n jest Liczba naturalna). Po ustaleniu takiej korespondencji mówi się, że pierwszy zestaw ma rozmiar n.

Odejmowanie

Główny artykuł: Odejmowanie

Odejmowanie to operacja matematyczna opisująca zmniejszoną ilość. Wynikiem tej operacji jest różnica między dwiema liczbami, odjemną i odjemną . Podobnie jak w przypadku dodawania, odejmowanie może mieć wiele interpretacji, takich jak:

  • oddzielanie się („Tomek ma 8 jabłek. Daje 3 jabłka. Ile mu zostało?”)
  • porównywanie („Tomek ma 8 jabłek. Jane ma o 3 jabłka mniej niż Tomek. Ile ma Jane?”)
  • łączenie („Tomek ma 8 jabłek. Trzy jabłka są zielone, a pozostałe czerwone. Ile jest czerwonych?”)
  • i czasami dołącza ("Tom miał trochę jabłek. Jane dała mu jeszcze 3 jabłka, więc teraz ma 8 jabłek. Ile zaczął od?").

Podobnie jak w przypadku dodatku, istnieją inne możliwe interpretacje, takie jak ruch .

Symbolicznie znak minus („−”) reprezentuje operację odejmowania. Zatem zdanie "pięć odjąć trzy równa się dwa" jest również zapisane jako 5 − 3 = 2 . W elementarnej arytmetyce odejmowanie wykorzystuje mniejsze liczby dodatnie dla wszystkich wartości, aby uzyskać prostsze rozwiązania.

W przeciwieństwie do dodawania, odejmowanie nie jest przemienne, więc kolejność liczb w operacji może zmienić wynik. Dlatego każdy numer ma inną nazwę wyróżniającą. Pierwsza liczba (5 w poprzednim przykładzie) jest formalnie zdefiniowana jako odjemna, a druga liczba (3 w poprzednim przykładzie) jako odjemna . Wartość odjemnika jest większa niż wartość odcinka, więc wynik jest liczbą dodatnią, ale mniejsza wartość odjemnika da w wyniku liczby ujemne .

Istnieje kilka metod odejmowania. Metoda, która w Stanach Zjednoczonych określana jest mianem tradycyjnej matematyki, uczy uczniów szkół podstawowych odejmowania metodami odpowiednimi do obliczeń ręcznych. Konkretna stosowana metoda różni się w zależności od kraju, aw danym kraju różne metody są modne w różnym czasie. Matematyka reformowana generalnie wyróżnia się brakiem preferencji dla jakiejkolwiek konkretnej techniki, zastąpioną przez kierowanie uczniów drugiej klasy do wymyślania własnych metod obliczeniowych, takich jak wykorzystanie właściwości liczb ujemnych w przypadku TERC .

Szkoły amerykańskie uczą obecnie metody odejmowania za pomocą zapożyczeń i systemu oznaczeń zwanych kulami. Chociaż metoda zapożyczania była znana i publikowana w podręcznikach już wcześniej, najwyraźniej kule są wynalazkiem Williama A. Browella, który wykorzystał je w badaniach w listopadzie 1937 [1] . System ten szybko się przyjął, wypierając inne metody odejmowania stosowane w tamtym czasie w Ameryce.

Uczniowie w niektórych krajach europejskich uczą się, a niektórzy starsi Amerykanie stosują metodę odejmowania zwaną metodą austriacką, znaną również jako metoda dodawania. W tej metodzie nie ma zaciągania pożyczek. Są też kule (oznaczenia wspomagające pamięć), które [prawdopodobnie] różnią się w zależności od kraju.

W metodzie pożyczania odejmowanie takie jak 86 − 39 spowoduje odjęcie jednomiejscowe 9 od 6 przez pożyczenie 10 od 80 i dodanie go do 6. W ten sposób problem przekształca się w (70 + 16) − 39 , skutecznie. Wskazuje na to przekreślenie 8, małe 7 nad nim i małe 1 nad 6. Znaki te nazywane są kulami . 9 jest następnie odejmowana od 16, pozostawiając 7, a 30 od 70, pozostawiając 40 lub 47 jako wynik.

W metodzie dodawania pożycza się 10, aby zmienić 6 na 16, przygotowując się do odejmowania 9, tak jak w metodzie zapożyczania. Jednak 10 nie jest brane przez zmniejszenie odjemności, a raczej zwiększa się odjemną. W efekcie problem przekształca się w (80 + 16) − (39 + 10) . Zazwyczaj mała kula jest zaznaczona tuż pod cyfrą subtrahend jako przypomnienie. Następnie operacje postępują: 9 od 16 to 7; a 40 (czyli 30 + 10 ) od 80 to 40 lub 47 jako wynik.

Wydaje się, że metoda dodawania jest nauczana w dwóch odmianach, które różnią się jedynie psychologią. Kontynuując przykład 86 - 39 , pierwsza odmiana próbuje odjąć 9 od 6, a następnie 9 od 16, pożyczając 10 przez zaznaczenie obok cyfry odjemnika w następnej kolumnie. Druga odmiana próbuje znaleźć cyfrę, która po dodaniu do 9 daje 6, a uznając, że nie jest to możliwe, daje 16 i niesie 10 z 16 jako jeden oznaczający w pobliżu tej samej cyfry, co w pierwszej metodzie. Oznaczenia są takie same; to tylko kwestia preferencji, jak wyjaśnić jego wygląd.

Na koniec, metoda pożyczania staje się nieco skomplikowana w przypadkach takich jak 100 − 87 , gdzie pożyczka nie może być wykonana natychmiast i należy ją uzyskać, sięgając przez kilka kolumn. W tym przypadku minuta jest faktycznie przepisana jako 90 + 10 , biorąc 100 z setek, tworząc z tego dziesięć dziesiątek i natychmiast pożyczając je do dziewięciu dziesiątek w kolumnie dziesiątek i ostatecznie umieszczając 10 w kolumnie jedności.

Mnożenie

Główny artykuł: Mnożenie
× 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36
5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81

Gdy pomnożymy dwie liczby, wynik nazywamy iloczynem . Dwie liczby mnożone przez siebie nazywane są czynnikami , przy czym używane są również mnożnik i mnożnik .

Co to znaczy pomnożyć dwie liczby naturalne?

Załóżmy, że jest pięć czerwonych toreb, z których każda zawiera trzy jabłka. Teraz chwytając pustą zieloną torbę, przenieś wszystkie jabłka z wszystkich pięciu czerwonych torebek do zielonej torby. Teraz zielona torba będzie miała piętnaście jabłek.
Zatem iloczyn pięciu i trzech to piętnaście.
Można to również określić jako „pięć razy trzy równa się piętnaście” lub „pięć razy trzy równa się piętnaście” lub „piętnaście jest iloczynem pięciu i trzech”. Mnożenie może być postrzegane jako forma wielokrotnego dodawania : pierwszy czynnik wskazuje, ile razy drugi czynnik występuje w powtarzanym dodawaniu; ostateczna suma jest iloczynem.

Symbolicznie mnożenie jest reprezentowane przez znak mnożenia : ×. Tak więc zdanie „pięć razy trzy równa się piętnaście” można zapisać symbolicznie jako

W niektórych krajach iw bardziej zaawansowanej arytmetyce stosuje się inne znaki mnożenia, np. 5 ⋅ 3 . W niektórych sytuacjach, zwłaszcza w algebrze , gdzie liczby mogą być symbolizowane literami, symbol mnożenia można pominąć; np. xy oznacza x × y . Kolejność mnożenia dwóch liczb nie ma znaczenia, więc na przykład trzy razy cztery równa się cztery razy trzy. To jest przemienność mnożenia.

Aby pomnożyć parę cyfr za pomocą tabeli, znajdź przecięcie rzędu pierwszej cyfry z kolumną drugiej cyfry: rząd i kolumna przecinają się w kwadracie zawierającym iloczyn dwóch cyfr. Większość par cyfr daje liczby dwucyfrowe. W algorytmie mnożenia cyfra dziesiątek iloczynu pary cyfr nazywana jest „ cyfrą przeniesienia ”.

Algorytm mnożenia dla czynnika jednocyfrowego

Rozważ mnożenie, w którym jeden z czynników ma wiele cyfr, podczas gdy drugi czynnik ma tylko jedną cyfrę. Zapisz czynnik wielocyfrowy, a następnie wpisz czynnik jednocyfrowy pod najbardziej prawą cyfrą czynnika wielocyfrowego. Narysuj poziomą linię pod współczynnikiem jednocyfrowym. Odtąd czynnik wielocyfrowy będzie nazywany mnożnikiem , a czynnik jednocyfrowy będzie nazywany mnożnikiem .

Załóżmy dla uproszczenia, że ​​mnożnik ma trzy cyfry. Pierwsza cyfra po lewej to cyfra setek, środkowa cyfra to cyfra dziesiątek, a skrajna prawa cyfra to cyfra jedności. Mnożnik ma tylko jednocyfrowy. Cyfry jedności mnożnika i mnożnika tworzą kolumnę: kolumnę jedności.

Zacznij od kolumny jedności: kolumna jedności powinna zawierać parę cyfr: cyfrę jedności mnożnika, a pod nią cyfrę jedności mnożnika. Znajdź iloczyn tych dwóch cyfr: wpisz ten iloczyn pod linią iw kolumnie jedności. Jeśli produkt ma dwie cyfry, zapisz tylko jednocyfrowy produkt. Wpisz „cyfrę przeniesienia” jako indeks górny jeszcze niezapisanej cyfry w następnej kolumnie i pod wierszem: w tym przypadku następną kolumną jest kolumna dziesiątek, więc wpisz cyfrę przeniesienia jako indeks górny jeszcze niezapisanych dziesiątek -cyfra produktu (pod linią).

Jeżeli zarówno pierwsza, jak i druga liczba mają tylko jedną cyfrę, to ich iloczyn jest podany w tabliczce mnożenia — dzięki temu algorytm mnożenia jest zbędny.

Potem pojawia się kolumna dziesiątek. Kolumna dziesiątek do tej pory zawiera tylko jedną cyfrę: cyfrę dziesiątek mnożnika (chociaż może zawierać cyfrę przeniesienia pod linią). Znajdź iloczyn mnożnika i dziesiątek cyfr mnożnika. Następnie, jeśli istnieje cyfra przeniesienia (z indeksem górnym, pod linią iw kolumnie dziesiątek), dodaj ją do tego produktu. Jeśli otrzymana suma jest mniejsza niż dziesięć, wpisz ją w kolumnie dziesiątek pod linią. Jeśli suma ma dwie cyfry, wpisz jej ostatnią cyfrę w kolumnie dziesiątek pod wierszem i przenieś jej pierwszą cyfrę do następnej kolumny: w tym przypadku do kolumny setek.

Jeśli mnożnik nie ma cyfry setek, to jeśli nie ma cyfry przeniesienia, algorytm mnożenia się zakończył. Jeśli istnieje cyfra przeniesienia (przeniesiona z kolumny dziesiątek), zapisz ją w kolumnie setek pod wierszem, a algorytm zostanie zakończony. Po zakończeniu algorytmu liczba pod linią jest iloczynem dwóch liczb.

Jeśli wielokrotność ma cyfrę setek, znajdź iloczyn mnożnika i cyfr setek wielokrotności i dodaj do tego iloczynu cyfrę przeniesienia, jeśli istnieje. Następnie napisz wynikową sumę z kolumny setek pod linią, również w kolumnie z setkami. Jeśli suma ma dwie cyfry, zapisz ostatnią cyfrę sumy w kolumnie setek i wpisz cyfrę przeniesienia po jej lewej stronie: w kolumnie tysięcy.

Przykład

Aby znaleźć iloczyn liczb 3 i 729, wpisz jednocyfrowy mnożnik pod wielocyfrową wielokrotnością, z mnożnikiem pod cyfrą jedności wielokrotności, w następujący sposób:

7 2 9
3

Następnie narysuj linię pod mnożnikiem i umieść symbol mnożenia. Mnożenie zaczyna się od kolumny jedności. Cyfra jedności mnożnika to 9, a mnożnik to 3. Iloczyn 3 i 9 to 27, więc wpisz 7 w kolumnie jedności pod wierszem i wpisz cyfrę przeniesienia 2 jako indeks górny jeszcze -niezapisane dziesiątki cyfr iloczynu pod linią:

7 2 9
× 3
2 7

Następnie kolumna dziesiątek. Cyfra dziesiątek mnożnika to 2, mnożnik to 3, a trzy razy dwa to sześć. Dodaj cyfrę przeniesienia, 2, do iloczynu, 6, aby otrzymać 8. Osiem ma tylko jedną cyfrę: brak cyfry przeniesienia, więc wpisz w kolumnie dziesiątek pod linią. Możesz teraz usunąć te dwie rzeczy.

7 2 9
× 3
8 7

Następnie setki kolumn. Cyfra setek mnożnika to 7, a mnożnik to 3. Iloczyn 3 i 7 to 21 i nie ma poprzedniej cyfry przeniesienia (przeniesionej z kolumny dziesiątek). Iloczyn 21 ma dwie cyfry: napisz jego ostatnią cyfrę w kolumnie setek pod wierszem, a następnie przenieś jej pierwszą cyfrę do kolumny tysięcy. Ponieważ mnożnik nie ma cyfry tysięcy, wpisz tę cyfrę przeniesienia w kolumnie tysięcy pod wierszem (bez indeksu górnego):

7 2 9
× 3
2 1 8 7

Żadne cyfry mnożnika nie zostały pomnożone, więc algorytm się kończy, dając w rezultacie następujące równanie:

Algorytm mnożenia dla czynników wielocyfrowych

Mając parę czynników, z których każdy ma dwie lub więcej cyfr, zapisz oba czynniki, jeden pod drugim, tak aby cyfry ułożyły się w kolumny.

Dla uproszczenia rozważmy parę liczb trzycyfrowych. Wpisz ostatnią cyfrę drugiej liczby pod ostatnią cyfrą pierwszej liczby, tworząc kolumnę jedności. Bezpośrednio na lewo od kolumny jedności będzie kolumna dziesiątek: na górze tej kolumny będzie druga cyfra pierwszej liczby, a pod nią będzie druga cyfra drugiej liczby. Bezpośrednio na lewo od kolumny dziesiątek będzie kolumna setek: na górze tej kolumny będzie znajdować się pierwsza cyfra pierwszej liczby, a pod nią będzie pierwsza cyfra drugiej liczby. Po spisaniu obu czynników narysuj linię pod drugim czynnikiem.

Mnożenie będzie się składać z dwóch części. Pierwsza część będzie składać się z kilku mnożeń z jednocyfrowymi mnożnikami. Działanie każdego z takich mnożeń zostało już opisane w poprzednim algorytmie mnożenia, więc ten algorytm nie będzie opisywał każdego z osobna, a jedynie opisze, jak kilka mnożeń z jednocyfrowymi mnożnikami będzie skoordynowane. Druga część zsumuje wszystkie podprodukty z pierwszej części, a otrzymana suma będzie iloczynem.

Pierwsza część . Niech pierwszy czynnik będzie nazywany mnożnikiem. Niech każda cyfra drugiego czynnika będzie nazywana mnożnikiem. Niech cyfra jedności drugiego czynnika będzie nazywana „mnożnikiem jedności”. Niech cyfra dziesiątek drugiego czynnika będzie nazywana „mnożnikiem dziesiątek”. Niech setki cyfr drugiego czynnika będą nazywane „mnożnikiem setek”.

Zacznij od jedynej kolumny. Znajdź iloczyn mnożnika jedności i mnożnika i zapisz go w wierszu pod linią, wyrównując cyfry iloczynu we wcześniej zdefiniowanych kolumnach. Jeśli produkt ma cztery cyfry, to pierwsza cyfra będzie początkiem kolumny tysięcy. Niech ten produkt będzie nazywany „jednorzędowym”.

Następnie dziesiątki kolumn. Znajdź iloczyn mnożnika dziesiątek i mnożnika i zapisz go w rzędzie — nazwijmy to „wierszem dziesiątek” — pod wierszem jedności, ale przesuńmy go o jedną kolumnę w lewo . Oznacza to, że cyfra jedności rzędu dziesiątek będzie w kolumnie dziesiątek rzędu jedynek; cyfra dziesiątek rzędu dziesiątek będzie pod cyfrą setek rzędu jedności; cyfra setek rzędu dziesiątek będzie pod cyfrą tysięcy rzędu jedności. Jeśli wiersz dziesiątek ma cztery cyfry, to pierwsza cyfra będzie początkiem kolumny dziesiątek tysięcy.

Następnie setki kolumn. Znajdź iloczyn mnożnika setek i mnożnika i zapisz go w rzędzie — nazwijmy to „wierszem setek” — pod wierszem dziesiątek, ale przesuńmy go o jedną kolumnę więcej w lewo. Oznacza to, że cyfra jedności rzędu setek będzie w kolumnie setek; cyfra dziesiątek rzędu setek będzie w kolumnie tysięcy; cyfra setek z rzędu setek będzie w kolumnie dziesięciu tysięcy. Jeśli wiersz setek ma cztery cyfry, to pierwsza cyfra będzie początkiem kolumny stutysięcznej.

Po przejściu linii z jedynkami, dziesiątkami i setkami narysuj poziomą linię pod rzędem setek. Mnożenia się skończyły.

Część druga . Teraz mnożenie ma parę linii. Pierwszy pod parą czynników, a drugi pod trzema rzędami podproduktów. Pod drugim wierszem będzie sześć kolumn, które od prawej do lewej przedstawiają się następująco: jednokolumnowy, dziesiątkowy, setkowy, tysięczny, dziesięciotysięczny i stutysięczny.

Między pierwszym a drugim wierszem kolumna jedności będzie zawierać tylko jedną cyfrę znajdującą się w wierszu jedności: jest to cyfra jedności wiersza jedności. Skopiuj tę cyfrę, przepisując ją w kolumnie jedności pod drugim wierszem.

Między pierwszym a drugim wierszem kolumna dziesiątek będzie zawierała parę cyfr znajdujących się w rzędzie jedności i dziesiątek: cyfra dziesiątek w rzędzie jedności i cyfra jedności w rzędzie dziesiątek. Dodaj te cyfry i jeśli suma ma tylko jedną cyfrę, wpisz tę cyfrę w kolumnie dziesiątek pod drugim wierszem. Jeśli suma ma dwie cyfry, to pierwsza cyfra jest cyfrą przeniesienia: ostatnią cyfrę zapisz w kolumnie dziesiątek pod drugim wierszem i przenieś pierwszą cyfrę do kolumny setek, zapisując ją jako indeks górny do jeszcze -niezapisane cyfry setek pod drugim wierszem.

Między pierwszym a drugim wierszem kolumna setek będzie zawierać trzy cyfry: cyfra setek rzędu jedności, cyfra dziesiątek rzędu dziesiątek i cyfra jedności rzędu setek. Znajdź sumę tych trzech cyfr, a następnie jeśli jest cyfra przeniesienia z kolumny dziesiątek (zapisana w indeksie górnym pod drugim wierszem kolumny setek), dodaj również tę cyfrę przeniesienia. Jeśli wynikowa suma ma jedną cyfrę, zapisz ją pod drugim wierszem w kolumnie setek; jeśli ma dwie cyfry, zapisz ostatnią cyfrę pod linią w kolumnie setek i przenieś pierwszą cyfrę do kolumny tysięcy, zapisując ją jako indeks górny do jeszcze niezapisanej cyfry tysięcy pod linią.

Pomiędzy pierwszym a drugim wierszem kolumna tysięcy będzie zawierać dwie lub trzy cyfry: cyfrę setek rzędu dziesiątek, cyfrę dziesiątek rzędu setek i (prawdopodobnie) cyfrę tysięcy jedynek -wiersz. Znajdź sumę tych cyfr, a następnie jeśli istnieje cyfra przeniesienia z kolumny setek (zapisana w indeksie górnym pod drugim wierszem w kolumnie tysięcy), dodaj również tę cyfrę przeniesienia. Jeśli otrzymana suma ma jedną cyfrę, zapisz ją pod drugim wierszem w kolumnie tysięcy; jeśli ma dwie cyfry, zapisz ostatnią cyfrę pod wierszem w kolumnie tysięcy i przenieś pierwszą cyfrę do kolumny z dziesięcioma tysiącami, zapisując ją jako indeks górny do jeszcze niezapisanej cyfry dziesięciu tysięcy pod linia.

Między pierwszym a drugim wierszem kolumna dziesięciu tysięcy będzie zawierać jedną lub dwie cyfry: cyfrę setek kolumny setek i (prawdopodobnie) cyfrę tysięcy kolumny dziesiątek. Znajdź sumę tych cyfr (jeśli brakuje jednej w rzędzie dziesiątek, pomyśl o tym jako 0), a jeśli istnieje cyfra przeniesienia z kolumny tysięcy (zapisana w indeksie górnym pod drugim wierszem w dziesiątce). kolumny tysięcy), a następnie dodaj również tę cyfrę przeniesienia. Jeśli otrzymana suma ma jedną cyfrę, zapisz ją pod drugim wierszem w kolumnie dziesięciu tysięcy; jeśli ma dwie cyfry, zapisz ostatnią cyfrę poniżej linii w kolumnie dziesięciu tysięcy i przenieś pierwszą cyfrę do kolumny stu tysięcy, zapisując ją jako indeks górny do jeszcze niezapisanej cyfry stu tysięcy pod linią. Jeśli jednak w wierszu setek nie ma cyfr tysięcy, nie zapisuj tej cyfry przeniesienia jako indeks górny, ale w normalnym rozmiarze, na pozycji stu tysięcy cyfr pod drugim wierszem, a algorytm mnożenia się skończył .

Jeśli wiersz setek ma cyfrę tysięcy, dodaj do niego cyfrę przeniesienia z poprzedniego wiersza (jeśli nie ma cyfry przeniesienia, potraktuj ją jako 0) i wpisz jednocyfrową sumę w stu -tysiące-kolumna pod drugim wierszem.

Liczba pod drugim wierszem jest poszukiwanym iloczynem pary czynników powyżej pierwszego wiersza.

Przykład

Niech naszym celem będzie znalezienie iloczynu 789 i 345. Napisz 345 pod 789 w trzech kolumnach i narysuj pod nimi poziomą linię:

7 8 9
3 4 5

Pierwsza część . Zacznij od jedynej kolumny. Mnożnik to 789, a mnożnik jedności to 5. Wykonaj mnożenie z rzędu pod linią:

7 8 9
× 3 4 5
3 9 4 4 4 5

Następnie dziesiątki kolumn. Mnożnik to 789, a mnożnik dziesiątek to 4. Wykonaj mnożenie w rzędzie dziesiątek, pod poprzednim podproduktem w rzędzie jedności, ale przesuń jedną kolumnę w lewo:

7 8 9
× 3 4 5
3 9 4 4 4 5
3 1 3 5 3 6

Następnie setki kolumn. Mnożnik to znowu 789, a mnożnik setek to 3. Wykonaj mnożenie w rzędzie setek, pod poprzednim podproduktem w rzędzie dziesiątek, ale przesuń jedną (więcej) kolumnę w lewo. Następnie narysuj poziomą linię pod setkami rzędów:

7 8 9
× 3 4 5
3 9 4 4 4 5
3 1 3 5 3 6
+ 2 3 2 6 2 7

Druga część. Teraz dodaj podprodukty między pierwszym a drugim wierszem, ignorując wszelkie cyfry przeniesienia z indeksem górnym znajdujące się między pierwszym a drugim wierszem.

7 8 9
× 3 4 5
3 9 4 4 4 5
3 1 3 5 3 6
+ 2 3 2 6 2 7      
2 7 1 2 2 2 1 0 5

Odpowiedź to

.

Podział

Główne artykuły: Podział (matematyka) i Długi podział

W matematyce , zwłaszcza w elementarnej arytmetyce , dzielenie jest operacją arytmetyczną, która jest odwrotnością mnożenia .

Konkretnie, biorąc pod uwagę liczbę a i liczbę niezerową b , jeśli inna liczba c razy b równa się a , czyli:

wtedy a podzielone przez b równa się c . To jest:

Na przykład,

odkąd

.

W powyższym wyrażeniu, nazywa się dzielna , b na dzielnik i c z ilorazu . Dzielenie przez zero — gdzie dzielnik wynosi zero — zwykle pozostaje niezdefiniowane w elementarnej arytmetyce.

Notacja dzielenia

Dzielenie najczęściej pokazuje się umieszczając dywidendę nad dzielnikiem z linią poziomą, zwaną również vinculum , pomiędzy nimi. Na przykład a podzielone przez b jest zapisane jako:

Może to być odczytane na głos jako „ a podzielone przez b ” lub „ a nad b ”. Sposób, aby wyrazić podział wszystko na jednej linii jest napisać dywidendę , potem ukośnik , wówczas dzielnik , co następuje:

Jest to typowy sposób określania podziału w większości języków programowania komputerowego , ponieważ można go łatwo wpisać jako prostą sekwencję znaków.

Odręczna lub typograficzna odmiana — która znajduje się w połowie drogi między tymi dwiema formami — wykorzystuje solidus (ukośnik), ale podnosi dywidendę i obniża dzielnik w następujący sposób:

a ⁄ b

Każdy z tych formularzy może służyć do wyświetlania ułamka . Wspólną część jest wyrażeniem podział gdzie zarówno dzielna, a dzielnikiem są liczbami całkowitymi (chociaż typowo nazywa się licznik i mianownik ) i nie ma potrzeby sugestia, że podział do dalszej oceny.

Bardziej podstawowym sposobem pokazania podziału jest użycie obelusa (lub znaku podziału) w ten sposób:

Ta forma jest rzadka, z wyjątkiem podstawowej arytmetyki. Obelus jest również używany samodzielnie do reprezentowania samej operacji dzielenia, na przykład jako etykieta na klawiszu kalkulatora .

W niektórych kulturach nieanglojęzycznych „ a podzielone przez b ” zapisuje się a  : b . Jednak w języku angielskim dwukropek ogranicza się do wyrażenia pokrewnego pojęcia stosunków (wtedy " a to b ").

Ze znajomością mnożenia tabel , dwie liczby całkowite można podzielić na papierze metodą długiego podziału . Skrócona wersja dzielenia długiego, dzielenia krótkiego , może być stosowana również dla mniejszych dzielników.

Mniej systematyczna metoda — ale prowadząca do bardziej całościowego rozumienia podziału w ogóle — obejmuje koncepcję dzielenia na kawałki . Pozwalając na odjęcie większej liczby wielokrotności od częściowej reszty na każdym etapie, można również opracować więcej metod dowolnych.

Alternatywnie, jeśli dywidenda ma część ułamkową (wyrażoną jako ułamek dziesiętny ), można kontynuować algorytm poza miejscem jedynek tak daleko, jak jest to pożądane. Jeśli dzielnik ma część ułamkową dziesiętną, można ponownie przedstawić problem, przesuwając ułamek dziesiętny w prawo w obu liczbach, aż dzielnik nie będzie miał żadnego ułamka.

Aby podzielić przez ułamek, można po prostu pomnożyć przez odwrotność (odwrócenie położenia górnej i dolnej części) tego ułamka, Na przykład:

Standardy edukacyjne

Lokalne standardy zwykle określają metody i treści edukacyjne zawarte na podstawowym poziomie nauczania. W Stanach Zjednoczonych i Kanadzie kontrowersyjne tematy obejmują stopień wykorzystania kalkulatora w porównaniu z obliczeniami ręcznymi oraz szerszą debatę między tradycyjną matematyką a matematyką reformowaną .

W Stanach Zjednoczonych standardy NCTM z 1989 r. doprowadziły do ​​powstania programów nauczania, które nie kładły nacisku na arytmetykę uważaną za elementarną w szkole podstawowej lub pomijały ją, i zastąpiły je kładąc nacisk na tematy tradycyjnie studiowane na studiach, takie jak algebra, statystyka i rozwiązywanie problemów. oraz niestandardowe metody obliczeniowe, nieznane większości dorosłych.

Narzędzia

Liczydło jest urządzeniem mechanicznym wcześnie do wykonywania elementarnych działań arytmetycznych, który jest nadal używany w wielu częściach Azji. Nowoczesne narzędzia obliczeniowe, które wykonują elementarne operacje arytmetyczne to kasy fiskalne , kalkulatory elektroniczne i komputery .

Zobacz też

Bibliografia

Zewnętrzne linki