Elipsoida - Ellipsoid

Elipsoida jest powierzchnią, która może być otrzymany z kuli deformując je drogą kierunkowych zgorzeliny , lub bardziej ogólnie, o afinicznej transformacji .

Elipsoida jest powierzchnią kwadratową ; to jest powierzchni , która może być określona jako zestaw zerowej z wielomianem stopnia dwa do trzech zmiennych. Wśród powierzchni kwadratowych elipsoida charakteryzuje się jedną z dwóch następujących właściwości. Każdy płaski przekrój jest albo elipsą , albo jest pusty lub jest zredukowany do jednego punktu (to wyjaśnia nazwę, co oznacza "elipsopodobny"). Jest ograniczony , co oznacza, że ​​może być zamknięty w wystarczająco dużej kuli.

Elipsoida ma trzy parami prostopadłe osie symetrii, które przecinają się w środku symetrii , zwanym środkiem elipsoidy. Te odcinki , które są rozdzielone na osi symetrii przez elipsoidy nazywane są główne osie , lub po prostu osie elipsoidy. Jeśli trzy osie mają różne długości, mówi się, że elipsoida jest trójosiowa lub rzadko skalowana , a osie są jednoznacznie zdefiniowane.

Jeżeli dwie z osi mają tę samą długość, to elipsoida jest elipsoidą obrotową , zwaną także sferoidą . W tym przypadku elipsoida jest niezmienna przy obrocie wokół trzeciej osi, a zatem istnieje nieskończenie wiele sposobów wyboru dwóch prostopadłych osi o tej samej długości. Jeśli trzecia oś jest krótsza, elipsoida jest spłaszczoną sferoidą ; jeśli jest dłuższy, jest to wydłużona sferoida . Jeśli trzy osie mają tę samą długość, elipsoida jest kulą.

Równanie standardowe

Używając kartezjańskiego układu współrzędnych, w którym początek jest środkiem elipsoidy, a osie współrzędnych są osiami elipsoidy, niejawne równanie elipsoidy ma postać standardową

${\ Displaystyle {\ Frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ Frac {y ^ {2}} {b ^ {2}}} + {\ Frac {Z ^ {2} }{c^{2}}}=1,}$

gdzie a , b , c są dodatnimi liczbami rzeczywistymi .

Punkty ( a , 0, 0) , (0, b , 0) i (0, 0, c ) leżą na powierzchni. Odcinki linii od początku do tych punktów nazywane są głównymi półosiami elipsoidy, ponieważ a , b , c są w połowie długości głównych osi. Odpowiadają one wielkiej półosi i pół-osi wystąpienia elipsy .

Jeśli a = b > c , mamy spłaszczoną sferoidę ; jeśli a = b < c , mamy wydłużoną sferoidę ; jeśli a = b = c , mamy kulę .

Parametryzacja

Elipsoidę można sparametryzować na kilka sposobów, które są prostsze do wyrażenia, gdy osie elipsoidy pokrywają się z osiami współrzędnych. Częstym wyborem jest

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} x & = a \ sin (\ theta ) \ cos (\ varphi ), \ \ y & = b \ sin (\ theta ) \ sin (\ varphi ), \ \ z & = c \ cos (\theta ),\end{wyrównany}}\,\!}$

gdzie

${\ Displaystyle 0 \ leq \ theta \ leq \ pi , \ qquad 0 \ leq \ varphi <2 \ pi .}$

Parametry te mogą być interpretowane jako współrzędne sferyczne , gdzie θ jest kątem biegunowym a φ jest kątem azymutalnym punktu ( x , y , z ) elipsoidy.

Mierząc od środka, a nie z bieguna,

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} x & = a \ cos (\ theta) \ cos (\ lambda), \ \ y & = b \ cos (\ theta) \ grzech (\ lambda), \ \ z & = c \ grzech (\theta ),\end{wyrównany}}\,\!}$

gdzie

${\displaystyle -{\tfrac {\pi}{2}}\leq \theta \leq {\tfrac {\pi}{2}},\qquad 0\leq \lambda <2\pi,}$

θ jest zredukowaną szerokością geograficzną , parametryczną szerokością geograficzną lub anomalią ekscentryczną, a λ jest azymutem lub długością geograficzną.

Pomiar kątów bezpośrednio do powierzchni elipsoidy, a nie do kuli opisanej,

${\ Displaystyle {\ zacząć {bmatrix} x \ \ y \ \ z \ koniec {bmatrix}} = R {\ zacząć {bmatrix} \ cos (\ gamma) \ cos (\ lambda) \ \ \ cos (\ gamma) \sin(\lambda )\\\sin(\gamma )\end{bmatrix}}\,\!}$

gdzie

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} R = {} i {\ Frac {ABC} {\ sqrt {c ^ {2} \ lewo (b ^ {2} \ cos ^ {2} \ lambda + a ^ {2} }\sin ^{2}\lambda \right)\cos ^{2}\gamma +a^{2}b^{2}\sin ^{2}\gamma }}},\\[3pt]&- {\tfrac {\pi }{2}}\leq \gamma \leq {\tfrac {\pi }{2}},\qquad 0\leq \lambda <2\pi .\end{wyrównany}}}$

γ byłoby geocentryczną szerokością geograficzną na Ziemi, a λ jest długością geograficzną. Są to prawdziwe współrzędne sferyczne, których początek znajduje się w środku elipsoidy.

W geodezji The geodezyjny szerokość jest najczęściej używany, jako kąt pomiędzy pionem i płaszczyzną równikową, określonej dla dwuosiowej elipsoidy. Aby uzyskać bardziej ogólną trójosiową elipsoidę, zobacz szerokość elipsoidalną .

Tom

Objętość ograniczona przez elipsoidy jest

${\ Displaystyle V = {\ tfrac {4}{3}} \ pi abc.}$

Biorąc pod uwagę główne średnice A , B , C (gdzie A = 2 a , B = 2 b , C = 2 c ), objętość wynosi

${\ Displaystyle V = {\ tfrac {\ pi {6}} ABC}$.

Równanie to sprowadza się do objętości kuli, gdy wszystkie trzy promienie eliptyczne są równe, oraz do równania spłaszczonej lub wydłużonej sferoidy, gdy dwa z nich są równe.

Objętość elipsoidy jest2/3objętość opisanego walca eliptycznego , orazπ/6objętość ograniczonego pudełka. Te tomy tych wpisanych i ograniczonych polach wynoszą odpowiednio:

${\displaystyle V_{\tekst{wpisany}}={\frac {8}{3{\sqrt {3}}}}abc,\qquad V_{\tekst{opisany}}=8abc.}$

Powierzchnia

Pole powierzchni ogólnej (trójosiowej) elipsoidy wynosi

${\ Displaystyle S = 2 \ pi c ^ {2} + {\ Frac {2 \ pi ab} {\ sin (\ varphi )}} \ lewo (e (\ varphi, k) \ \ sin ^ {2} (\varphi )+F(\varphi ,k)\,\cos ^{2}(\varphi )\prawo),}$

gdzie

${\ Displaystyle \ cos (\ varphi ) = {\ Frac {c} {a}} \ qquad k ^ {2} = {\ Frac {a ^ {2} \ lewo (b ^ {2}-c ^ { 2}\right)}{b^{2}\left(a^{2}-c^{2}\right)}},\qquad a\geq b\geq c,}$

i gdzie F ( φ , k ) i E ( φ , k ) są niekompletnymi całkami eliptycznymi odpowiednio pierwszego i drugiego rodzaju.

Pole powierzchni elipsoidy obrotowej (lub sferoidy) można wyrazić za pomocą funkcji elementarnych :

${\ Displaystyle S_ {\ tekst {oblate}} = 2 \ pi a ^ {2} \ lewo (1 + {\ frac {c ^ {2}} {ea ^ {2}}} \ operatorname {artanh} e \ po prawej),\qquad {\text{gdzie }}e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}{\text{ i }}(c<a) ,}$

lub

${\ Displaystyle S_ {\ tekst {oblate}} = 2 \ pi a ^ {2} \ lewo (1 + {\ Frac {1-e ^ {2}} { e}} \ operatorname {artanh} e \ prawej) }$

lub

${\ Displaystyle S_ {\ tekst {oblate}} = 2 \ pi a ^ {2} \ + {\ Frac {\ pi c ^ {2}} {e}} \ ln {\ Frac {1 + e} {1 -mi}}}$

oraz

${\ Displaystyle S_ {\ tekst {prolate}} = 2 \ pi a ^ {2} \ lewo (1 + {\ frac {c} {ae}} \ arcsin e \ po prawej) \ qquad {\ tekst {gdzie}} e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}{\text{ i }}(c>a),}$

które, jak wynika z podstawowych tożsamości trygonometrycznych, są wyrażeniami równoważnymi (tj. wzór na S _oblat można wykorzystać do obliczenia pola powierzchni elipsoidy wydłużonej i vice versa). W obu przypadkach e można ponownie zidentyfikować jako mimośrodowość elipsy utworzonej przez przekrój przez oś symetrii. (Patrz elipsa ). Wyprowadzenia tych wyników można znaleźć w standardowych źródłach, na przykład Mathworld .

Przybliżona formuła

${\ Displaystyle S \ około 4 \ pi {\ sqrt [{p}] {\ Frac {a ^ {p} b ^ {p} + a ^ {p} c ^ {p} + b ^ {p} c ^ {p}}{3}}}.\,\!}$

Tutaj p 1,6075 daje błąd względny najwyżej 1,061%; wartość p =8/5= 1,6 jest optymalny dla prawie kulistych elipsoid, z błędem względnym najwyżej 1,178%.

W „płaskich” granicy c znacznie mniejszą niż i B , obszar ten jest w przybliżeniu 2π AB , co odpowiada p ≈ 1.5850 .

Sekcje samolotu

Nieruchomości

Przecięcie płaszczyzny i kuli jest okręgiem (lub jest zredukowane do jednego punktu lub jest puste). Każda elipsoida jest obrazem sfery jednostkowej poddanej jakiejś transformacji afinicznej, a każda płaszczyzna jest obrazem innej płaszczyzny poddanej tej samej transformacji. Tak więc, ponieważ transformacje afiniczne odwzorowują okręgi na elipsy, przecięcie płaszczyzny z elipsoidą jest elipsą lub pojedynczym punktem, lub jest puste. Oczywiście sferoidy zawierają koła. Odnosi się to również, ale mniej oczywiste, do trójosiowych elipsoid (patrz część kołowa ).

Wyznaczanie elipsy przekroju płaskiego

Biorąc pod uwagę: elipsoidax ²/² + r ²/b ² + z ²/c ²= 1 i płaszczyznę o równaniu n _x x + n _y y + n _z z = d , które mają wspólną elipsę.

Poszukiwane: Trzy wektory f ₀ (w środku) i f ₁ , f ₂ (wektory sprzężone), takie, że elipsę można przedstawić równaniem parametrycznym

${\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {f} _ {0}+ \ mathbf {f} _ {1} \ cos t + \ mathbf {f} _ {2} \ sin t}$

(patrz elipsa ).

Rozwiązanie: skalowanie u =x/a, v =tak/b, w =z/Cprzekształca elipsoidę na sferę jednostkową u ² + v ² + w ² = 1 i daną płaszczyznę na płaszczyznę o równaniu

${\ Displaystyle \ n_ {x} au + n_ {y} bv + n_ {z} cw = d.}$

Niech m _u u + m _v v + m _w w = δ będzie normalną postacią Hessego nowej płaszczyzny i

${\ Displaystyle \; \ mathbf {m} = {\ zacząć {bmatrix} m_ {u} \ \ m_ {v} \ \ m_ {w} \ koniec {bmatrix}} \;}$

jego wektor normalny jednostkowy. Stąd

${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {0} = \ delta \ mathbf {m} \;}$

jest środkiem okręgu przecięcia i

${\ Displaystyle \; \ rho = {\ sqrt {1-\ delta ^ {2}}} \;}$

jego promień (patrz schemat).

Gdzie m _w = ±1 (tzn. płaszczyzna jest pozioma), niech

${\ Displaystyle \ \ mathbf {e} _ {1} = {\ zacząć {bmatrix} \ rho \ \ 0 \ 0 \ koniec {bmatrix}}, \ qquad \ mathbf {e} _ {2} = {\ zacząć {bmatryca}0\\\rho \\0\end{bmatryca}}.}$

Gdzie m _w ≠ ± 1 , niech

${\ Displaystyle \ mathbf {e} _ {1} = {\ Frac {\ rho} {\ sqrt {m_ {u} ^ {2} + m_ {v} ^ {2}}}} \ {\ zacząć { bmatrix}m_{v}\\-m_{u}\\0\end{bmatrix}}\,,\qquad \mathbf {e} _{2}=\mathbf {m} \times \mathbf {e} _ {1}\ .}$

W każdym razie wektory e ₁ , e ₂ są prostopadłe, równoległe do płaszczyzny przecięcia i mają długość ρ (promień okręgu). Stąd okrąg przecięcia można opisać równaniem parametrycznym

${\ Displaystyle \; \ mathbf {u} = \ mathbf {e} _ {0}+ \ mathbf {e} _ {1} \ cos t + \ mathbf {e} _ {2} \ sin t \;.}$

Skalowanie odwrotne (patrz wyżej) przekształca sferę jednostkową z powrotem do elipsoidy, a wektory e ₀ , e ₁ , e ₂ są mapowane na wektory f ₀ , f ₁ , f ₂ , które były potrzebne do parametrycznej reprezentacji elipsy przecięcia .

Jak znaleźć wierzchołki i półosie elipsy opisano w elipsie .

Przykład: Diagramy przedstawiają elipsoidę o półosiach a = 4, b = 5, c = 3 przeciętą płaszczyzną x + y + z = 5 .

Konstrukcja szpilek i sznurków

Konstrukcja szpilek i sznurków elipsoidy jest przeniesieniem idei konstruowania elipsy za pomocą dwóch szpilek i sznurka (patrz schemat).

Konstrukcję szpilkowo-strunowa elipsoidy obrotowej daje konstrukcja szpilkowo-strunowa elipsy obróconej.

Konstrukcja punktów trójosiowej elipsoidy jest bardziej skomplikowana. Pierwsze pomysły są dziełem szkockiego fizyka JC Maxwella (1868). Główne badania i rozszerzenie na kwadryki przeprowadził niemiecki matematyk O. Staude w latach 1882, 1886 i 1898. Opis konstrukcji szpilki i struny elipsoid i hiperboloidów zawarty jest w książce Geometria i wyobraźnia autorstwa D. Hilbert i S. Vossen też.

Etapy budowy

Półosie

Równania dla półosi generowanej elipsoidy można wyprowadzić przez specjalne wybory dla punktu P :

${\ Displaystyle Y = (0, r_ {y}, 0), \ quad Z = (0,0, r_ {z}).}$

Dolna część diagramu pokazuje, że F ₁ i F ₂ są również ogniskami elipsy w płaszczyźnie xy . Jest więc współogniskowa z daną elipsą, a długość struny wynosi l = 2 r _x + ( a − c ) . Rozwiązanie dla r _x daje r _x =1/2( l − a + c ) ; ponadto r²
_r= r²
_x− c ² .

Z górnego diagramu widzimy, że S ₁ i S ₂ są ogniskami sekcji elipsy elipsoidy w płaszczyźnie xz i że r²
_zł= r²
_x− a ² .

Rozmawiać

Jeśli odwrotnie, trójosiowa elipsoida jest podana przez jej równanie, to z równań w kroku 3 można wyprowadzić parametry a , b , l dla konstrukcji kołkowo-strunowej.

Elipsoidy konfokalne

Jeśli E jest elipsoidą współogniskową do E z kwadratami jej półosi

${\ Displaystyle {\ overline {r}} _ {x} ^ {2} = r_ {x} ^ {2} - \ lambda \ quad {\ overline {r}} _ {y} ^ {2} = r_ {y}^{2}-\lambda ,\quad {\overline {r}}_{z}^{2}=r_{z}^{2}-\lambda}$

to z równań E

${\ Displaystyle r_ {x} ^ {2}-r_ {y} ^ {2} = c ^ {2}, \ quad r_ {x} ^ {2}-r_ {z} ^ {2} = a ^ { 2},\quad r_{y}^{2}-r_{z}^{2}=a^{2}-c^{2}=b^{2}}$

okazuje się, że odpowiednie stożki ogniskowe użyte do konstrukcji kołków i sznurka mają takie same półosie a , b , c jak elipsoida E . Dlatego (analogicznie do ognisk elipsy) uważa się stożki ogniskowe elipsoidy trójosiowej za (nieskończoną liczbę) ognisk i nazywamy je krzywymi ogniskowymi elipsoidy.

Odwrotne stwierdzenie również jest prawdziwe: jeśli wybierze się drugi ciąg o długości l i zdefiniuje

${\ Displaystyle \ lambda = r_ {x} ^ {2} - {\ overline {r}} _ {x} ^ {2}}$

potem równania

${\ Displaystyle {\ overline {r}} _ {y} ^ {2} = r_ {y} ^ {2} - \ lambda \ quad {\ overline {r}} _ {z} ^ {2} = r_ {z}^{2}-\lambda }$

są prawidłowe, co oznacza, że ​​dwie elipsoidy są konfokalne.

Przypadek graniczny, elipsoida obrotu

W przypadku a = c ( sferoida ) otrzymujemy S ₁ = F ₁ i S ₂ = F ₂ , co oznacza, że ​​ogniskowa elipsa degeneruje się do odcinka linii, a hiperbola ogniskowa zapada się na dwa nieskończone odcinki na osi x . Elipsoida jest obrotowo symetryczna wokół osi x i

${\ Displaystyle r_ {x} = {\ Frac {l} {2}}, \ quad R_ {y} = r_ {z} = {\ sqrt {r_ {x} ^ {2}-c ^ {2}} }}$.

Właściwości ogniskowej hiperboli

Prawdziwa krzywa

Jeśli spojrzymy na elipsoidę z zewnętrznego punktu V jej ogniskowej hiperboli, to wydaje się ona być kulą, czyli jej pozorny kształt jest kołem. Równoważnie styczne elipsoidy zawierającej punkt V są liniami okrągłego stożka , którego oś obrotu jest linią styczną hiperboli w punkcie V . Jeśli pozwolimy, aby środek V zniknął w nieskończoność, otrzymamy prostopadłą projekcję równoległą z odpowiednią asymptotą ogniskowej hiperboli jako jej kierunkiem. Prawdziwy kształt krzywej (punkty styczne) na elipsoidy jest okręgiem.

Dolna część diagramu przedstawia po lewej rzut równoległy elipsoidy (o półosiach 60, 40, 30) wzdłuż asymptoty, a po prawej rzut środkowy ze środkiem V i głównym punktem H na stycznej hiperboli w punkcie V . ( H to stopa prostopadłej od V na płaszczyznę obrazu.) Dla obu projekcji widocznym kształtem jest okrąg. W przypadku równoległym obrazem pochodzenia O jest środek koła; w centralnym przypadku główny punkt H jest środkiem.

Punkty pępowinowe

Ogniskowa hiperbola przecina elipsoidę w jej czterech punktach pępowinowych .

Własność ogniskowej elipsy

Elipsę ogniskową wraz z jej częścią wewnętrzną można uznać za graniczną powierzchnię (nieskończenie cienką elipsoidę) ołówka elipsoid konfokalnych wyznaczoną przez a , b dla r _z → 0 . W przypadku limitu dostaje się

${\ Displaystyle r_ {x} = a \ quad r_ {y} = b \ quad l = 3a-c.}$

W pozycji ogólnej

Jako quadric

Jeżeli v jest punktem, a A jest rzeczywistą, symetryczną, dodatnio określoną macierzą , to zbiór punktów x spełniających równanie

${\ Displaystyle (\ mathbf {x} - \ mathbf {v} ) ^ {\ mathsf {T}} \! {\ pogrubiony symbol {A}} \ (\ mathbf {x} - \ mathbf {v}) = 1 }$

jest elipsoidą o środku v . Te wektory z A są główne osie elipsy, a wartości własne z A są odwrotnościami kwadratów półosi: ^-2 , b ^-2 i c ^-2 .

Odwracalna transformacja liniowa zastosowana do kuli wytwarza elipsoidę, która może zostać sprowadzona do powyższej standardowej postaci przez odpowiedni obrót , będący konsekwencją rozkładu biegunowego (patrz także twierdzenie spektralne ). Jeżeli transformacja liniowa jest reprezentowana przez symetryczną macierz 3 × 3 , to wektory własne macierzy są ortogonalne (ze względu na twierdzenie spektralne ) i reprezentują kierunki osi elipsoidy; długości półosi są obliczane z wartości własnych. Rozkładu wartości liczby pojedynczej i rozkładu polarny jest rozkład macierzy spokrewnione z tymi obserwacjami geometrycznych.

Reprezentacja parametryczna

Kluczem do parametrycznej reprezentacji elipsoidy w pozycji ogólnej jest definicja alternatywna:

Elipsoida to afiniczny obraz sfery jednostkowej.

Afiniczne przekształcenie może być reprezentowane przez translacji z wektorem f ₀ i regularne 3 x 3 macierzy A :

${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ mapsto \ mathbf {f} _ {0}+ {\ pogrubienie {A}} \ mathbf {x} = \ mathbf {f} _ {0}+ x \ mathbf {f} _ {1}+y\mathbf {f} _{2}+z\mathbf {f} _{3}}$

gdzie f ₁ , f ₂ , f ₃ są wektorami kolumnowymi macierzy A .

Parametryczną reprezentację elipsoidy w pozycji ogólnej można uzyskać przez parametryczną reprezentację sfery jednostkowej (patrz wyżej) i przekształcenie afiniczne:

${\ Displaystyle \ mathbf {x} (\ theta, \ varphi ) = \ mathbf {f} _ {0}+ \ mathbf {f} _ {1} \ cos \ theta \ cos \ varphi + \ mathbf {f} _ {2}\cos \theta \sin \varphi +\mathbf {f} _{3}\sin \theta ,\qquad -{\tfrac {\pi }{2}}<\theta <{\tfrac {\pi }{2}},\quad 0\leq \varphi <2\pi }$.

Jeśli wektory f ₁ , f ₂ , f ₃ tworzą układ ortogonalny, sześć punktów o wektorach f ₀ ± f _1,2,3 jest wierzchołkami elipsoidy, a | f ₁ |, | f ₂ |, | f ₃ | są pół-główne osie.

Wektor normalny powierzchni w punkcie x ( θ , φ ) to

${\ Displaystyle \ mathbf {n} (\ theta, \ varphi ) = \ mathbf {f} _ {2} \ razy \ mathbf {f} _ {3} \ cos \ theta \ cos \ varphi + \ mathbf {f} _{3}\times \mathbf {f} _{1}\cos \theta \sin \varphi +\mathbf {f} _{1}\times \mathbf {f} _{2}\sin \theta .}$

Dla każdej elipsoidy istnieje niejawna reprezentacja F ( x , y , z )=0 . Jeśli dla uproszczenia środek elipsoidy jest punktem początkowym, f ₀ = 0 , poniższe równanie opisuje powyższą elipsoidę:

${\ Displaystyle F (x, y, z) = \ operatorname {det} \ lewo (\ mathbf {x}, \ mathbf {f} _ {2}, \ mathbf {f} _ {3} \ prawej) ^ { 2}+\nazwa operatora {det} \left(\mathbf {f} _{1},\mathbf {x} ,\mathbf {f} _{3}\right)^{2}+\nazwa operatora {det} \ left(\mathbf {f} _{1},\mathbf {f} _{2},\mathbf {x} \right)^{2}-\operatorname {det} \left(\mathbf {f} _{ 1},\mathbf {f} _{2},\mathbf {f} _{3}\right)^{2}=0}$

Aplikacje

Elipsoidalny kształt znajduje wiele praktycznych zastosowań:

Geodezja

• Elipsoida Ziemi , matematyczna figura przybliżająca kształt Ziemi .
• Elipsoida odniesienia , matematyczna figura przybliżająca ogólnie kształt ciał planetarnych .

Mechanika

• Elipsoida Poinsota , geometryczna metoda wizualizacji ruchu bez momentu obrotowego wirującego ciała sztywnego .
• Elipsoida naprężeń Lamé , alternatywa dla koła Mohra do graficznego przedstawienia stanu naprężenia w punkcie.
• Elipsoida manipulacji , używana do opisu swobody ruchu robota.
• Elipsoida Jacobiego , trójosiowa elipsoida utworzona przez obracający się płyn

Krystalografia

• Elipsoida indeksowa , schemat elipsoidy przedstawiający orientację i względną wielkość współczynników załamania w krysztale .
• Elipsoida termiczna , elipsoidy używane w krystalografii do wskazywania wielkości i kierunków drgań termicznych atomów w strukturach krystalicznych .

Oświetlenie

• Elipsoidalny reflektor reflektorowy
• Elipsoidalny reflektor reflektorowy

Medycyna

• Pomiary uzyskane z obrazowania MRI gruczołu krokowego mogą być wykorzystane do określenia objętości gruczołu przy użyciu przybliżenia L × W × H × 0,52 (gdzie 0,52 jest przybliżeniem dlaπ/6)

Właściwości dynamiczne

Masa elipsoidy o równomiernej gęstości p jest

${\ Displaystyle m = V \ rho = {\ tfrac {4}{3}} \ pi abc \ rho.}$

Te momenty bezwładności elipsoidy o jednolitej gęstości są

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} I_ {\ operatorname {xx}} i = {\ tfrac {1} {5}} m \ lewo (b ^ {2} + c ^ {2} \ po prawej) i I_ { \mathrm {yy} }&={\tfrac {1}{5}}m\left(c^{2}+a^{2}\right),&I_{\mathrm {zz} }&={\tfrac {1}{5}}m\left(a^{2}+b^{2}\right),\\[3pt]I_{\mathrm {xy} }&=I_{\mathrm {yz} }= I_{\mathrm {zx} }=0.\end{wyrównany}}}$

Dla a = b = c te momenty bezwładności zmniejszają się do wartości dla kuli o jednolitej gęstości.

Elipsoidy i prostopadłościany obracają się stabilnie wzdłuż głównych lub mniejszych osi, ale nie wzdłuż ich osi środkowej. Można to zaobserwować eksperymentalnie, rzucając gumkę z pewnym obrotem. Ponadto uwzględnienie momentu bezwładności oznacza, że ​​łatwiej jest zakłócić obrót wzdłuż osi dużej niż obrót wzdłuż osi małej.

Jednym z praktycznych skutków tego jest to, że skalne ciała astronomiczne, takie jak Haumea, generalnie obracają się wzdłuż swoich mniejszych osi (podobnie jak Ziemia, która jest jedynie spłaszczona ); ponadto, ze względu na blokadę pływową , księżyce na orbicie synchronicznej, takie jak Mimas, krążą po orbicie głównej z osią ułożoną promieniowo do ich planety.

Wirujące ciało jednorodnego, samograwitującego płynu przyjmie postać sferoidy Maclaurina (spłaszczonej sferoidy) lub elipsoidy Jacobiego (elipsoida połuskana) w równowadze hydrostatycznej i przy umiarkowanych prędkościach rotacji. Przy szybszych obrotach można oczekiwać nieelipsoidalnych kształtów gruszkowatych lub jajowatych , ale nie są one stabilne.

Dynamika płynów

Elipsoida jest najbardziej ogólnym kształtem, dla którego możliwe było obliczenie pełzającego przepływu płynu wokół kształtu bryły. Obliczenia uwzględniają siłę potrzebną do przejścia przez płyn i do obracania się w nim. Zastosowania obejmują określanie wielkości i kształtu dużych cząsteczek, szybkości tonięcia małych cząsteczek oraz zdolności pływania mikroorganizmów .

W prawdopodobieństwie i statystyce

W eliptyczne dystrybucji , uogólniające wielowymiarowego rozkładu normalnego i są stosowane w finansowania , mogą być definiowane w odniesieniu do ich funkcji gęstości . Gdy istnieją, funkcje gęstości f mają strukturę:

${\ Displaystyle f (x) = k \ cdot g \ lewo ((\ mathbf {x} - {\ pogrubienie {\ mu}}) {\ pogrubienie {\ Sigma}} ^ {-1} (\ mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu}})^{\mathsf {T}}\right)}$

gdzie k jest współczynnikiem skali, x jest n- wymiarowym losowym wektorem wierszowym z medianą wektora μ (który jest również średnim wektorem, jeśli ten ostatni istnieje), Σ jest dodatnią określoną macierzą, która jest proporcjonalna do macierzy kowariancji, jeśli ta ostatnia istnieje , a g jest funkcją mapującą z nieujemnych liczb rzeczywistych na nieujemne liczby rzeczywiste dające skończoną powierzchnię pod krzywą. Wielowymiarowy rozkład normalny jest szczególnym przypadkiem, w którym g ( z ) = exp(−z/2) dla postaci kwadratowej z .

Zatem funkcja gęstości jest transformacją skalarną do skalarnej wyrażenia kwadratowego. Co więcej, równanie dla dowolnej powierzchni o izo-gęstości stwierdza, że ​​wyrażenie kwadratowe jest równe pewnej stałej specyficznej dla tej wartości gęstości, a powierzchnia izo-gęstości jest elipsoidą.

W wyższych wymiarach

Hyperellipsoid lub elipsoidalny wymiaru w przestrzeni euklidesowej wymiaru , jest Quadric hiperpowierzchni określa wielomianu stopnia drugiego, które ma jednolitą część stopnia drugiej, jest dodatnio określona postać kwadratu . ${\displaystyle n-1}$${\ Displaystyle n}$

Hiperelipsoidę można również zdefiniować jako obraz kuli poddanej odwracalnej transformacji afinicznej . Twierdzenie spektralne można ponownie wykorzystać do uzyskania standardowego równania postaci

${\ Displaystyle {\ Frac {x_ {1} ^ {2}} {a_ {1} ^ {2}}} + {\ Frac {x_ {2} ^ {2}} {a_ {2} ^ {2} }}+\cdots +{\frac {x_{n}^{2}}{a_{n}^{2}}}=1.}$

Objętość n- wymiarowej hiperelipsoidy można otrzymać zastępując R ⁿ przez iloczyn półosi a ₁ a ₂ ... a _n we wzorze na objętość hipersfery :

${\ Displaystyle V = {\ Frac {\ pi ^ {\ Frac {n} {2}}} {\ Gamma \ lewo ({\ Frac {n} {2}} + 1 \ prawej)}} a_ {1} a_{2}\cdots a_{n}}$

(gdzie Γ jest funkcją gamma ).

Zobacz też

• Kopuła elipsoidalna
• Metoda elipsoidalna
• Współrzędne elipsoidalne
• Rozkład eliptyczny , w statystyce
• Spłaszczenie , zwane również eliptycznością i spłaszczeniem , jest miarą ściśnięcia okręgu lub kuli wzdłuż średnicy, aby utworzyć odpowiednio elipsę lub elipsoidę obrotową (sferoidę).
• Focaloid , powłoka ograniczona dwiema koncentrycznymi, konfokalnymi elipsoidami
• Geodezja na elipsoidzie
• Układ odniesienia geodezyjnego , grawitacyjna Ziemia modelowana przez najlepiej dopasowaną elipsoidę
• Homoeoid , powłoka ograniczona dwiema koncentrycznymi podobnymi elipsoidami
• Lista powierzchni

Uwagi

Bibliografia

• Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley , ISBN 0-471-50728-8

Zewnętrzne linki

• „ Elipsoida ” Jeffa Bryanta, Wolfram Demonstrations Project , 2007.
• Powierzchnia elipsoidalna i kwadratowa , MathWorld .