Pierścień endomorfizmu - Endomorphism ring

W matematyce , że endomorfizm od An Abelowych grupą X tworzą pierścień. Ten pierścień nazywa się pierścieniem endomorfizmu X , oznaczanym przez End( X ); zbiór wszystkich homomorfizmów z X w siebie. Dodawanie endomorfizmów następuje naturalnie w sposób punktowy i mnożenie poprzez skład endomorfizmu . Wykorzystując te operacje, zbiór endomorfizmów grupy abelowej tworzy (jednostkowy) pierścień , z mapą zerową jako tożsamością addytywną i mapą tożsamości jako tożsamością multiplikatywną . ${\textstyle 0:x\mapsto 0}$ ${\textstyle 1:x\mapsto x}$

Zaangażowane funkcje są ograniczone do tego, co w kontekście określa się jako homomorfizm, który zależy od kategorii rozważanego obiektu. Pierścień endomorfizmu w konsekwencji koduje kilka wewnętrznych właściwości obiektu. Ponieważ wynikowy obiekt jest często algebrą nad pewnym pierścieniem R, można to również nazwać algebrą endomorfizmu .

Grupa abelowa to to samo, co moduł nad pierścieniem liczb całkowitych , który jest pierścieniem początkowym . W podobny sposób, jeśli R jest dowolnym pierścieniem przemiennym , monoidy endomorfizmu jego modułów tworzą algebry nad R przez te same aksjomaty i wyprowadzenie. W szczególności, jeśli R jest ciałem F , jego moduły M są przestrzeniami wektorowymi V , a ich pierścienie endomorfizmu są algebrami nad ciałem F .

Opis

Niech ( A , +) będzie grupą abelową i rozważymy homomorfizmy grup od A do A . Następnie dodanie dwóch takich homomorfizmów można punktowo zdefiniować, aby wytworzyć inny homomorfizm grupy. Jawnie, biorąc pod uwagę dwa takie homomorfizmy f i g , suma f i g jest homomorfizmem . W ramach tej operacji End ( A ) jest grupą abelową. Przy dodatkowej operacji składania homomorfizmów End( A ) jest pierścieniem o tożsamości multiplikatywnej. Ta kompozycja jest wyraźnie . Tożsamość multiplikatywna to homomorfizm tożsamości na A . ${\textstyle [f+g](x):=f(x)+g(x)}$${\textstyle (fg)(x):=f(g(x))}$

Jeżeli zbiór A nie tworzy grupy abelowej , to powyższa konstrukcja niekoniecznie jest addytywna , gdyż wtedy suma dwóch homomorfizmów nie musi być homomorfizmem. Ten zestaw endomorfizmów jest kanonicznym przykładem bliskiego pierścienia, który nie jest pierścieniem.

Nieruchomości

• Pierścienie endomorfizmu zawsze mają tożsamości addytywne i multiplikatywne , odpowiednio mapę zerową i mapę tożsamości .
• Pierścienie endomorfizmu są asocjacyjne , ale zazwyczaj nieprzemienne .
• Jeśli moduł jest prosty , to jego pierścień endomorfizmu jest pierścieniem podziału (jest to czasami nazywane lematem Schura ).
• Moduł jest nierozkładalny wtedy i tylko wtedy, gdy jego pierścień endomorfizmu nie zawiera żadnych nietrywialnych elementów idempotentnych . Jeśli moduł jest modułem iniekcyjnym , to nierozkładalność jest równoważna pierścieniowi endomorficznemu będącemu pierścieniem lokalnym .
• Dla modułu półprostego , pierścień endomorfizmu jest regularnym pierścieniem von Neumanna .
• Pierścień endomorfizmu niezerowego prawego uniserialowego modułu ma jeden lub dwa maksymalne prawe ideały. Jeśli moduł jest artyński, noetherian, rzutowy lub iniekcyjny, wtedy pierścień endomorfizmu ma unikalny maksymalny ideał, tak że jest pierścieniem lokalnym.
• Pierścień endomorfizmu modułu jednolitego artyńskiego jest pierścieniem lokalnym.
• Pierścień endomorfizmu modułu o skończonej długości składu jest pierścieniem półpierwotnym .
• Pierścień endomorfizmu modułu ciągłego lub modułu dyskretnego jest pierścieniem czystym .
• Jeśli moduł R jest skończenie generowany i rzutowany (czyli progenerator ), to pierścień endomorfizmu modułu i R mają wszystkie niezmienne własności Mority. Podstawowym wynikiem teorii Mority jest to, że wszystkie pierścienie równoważne R powstają jako pierścienie endomorficzne progeneratorów.

Przykłady

• W kategorii R moduły pierścień endomorfizm danego R -module M obejmuje tylko R Homomorfizmy modułów , które zazwyczaj są podzbiorem tych abelian homomorfizmów grupy. Gdy M jest skończenie generowanym modułem projekcyjnym , pierścień endomorfizmu ma kluczowe znaczenie dla równoważności Morita kategorii modułów.
• Dla dowolnej grupy abelowej , , ponieważ każda macierz w niesie naturalną strukturę homomorfizmu w następujący sposób:${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle M_ {n} (\ nazwa operatora {koniec} (A)) \ cong \ operatorname {koniec} (A ^ {n})}$${\ Displaystyle M_ {n} (\ nazwa operatora {koniec} (A))}$${\ Displaystyle A ^ {n}}$

${\ Displaystyle {\ zacząć {pmatrix} \ varphi _ {11} & \ cdots & \ varphi _ {1n} \ \ \ vdots & & \ vdots \ \ \ varphi _ {n1} i \ cdots i \ varphi _ {nn} \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sum _{i=1}^{n }\varphi _{1i}(a_{i})\\\vdots \\\sum _{i=1}^{n}\varphi _{ni}(a_{i})\end{pmatrix}}. }$

Można wykorzystać ten izomorfizm do skonstruowania wielu nieprzemiennych pierścieni endomorfizmu. Na przykład: , ponieważ .${\ Displaystyle \ Operatorname {Koniec} (\ mathbb {Z} \ razy \ mathbb {Z}) \ cong M_ {2} (\ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Koniec} (\ mathbb {Z}) \ cong \ mathbb {Z}}$

Ponadto, gdy jest to pole nie ma kanoniczna Izomorfizm tak , to znaczy, że pierścień endomorfizm z miejsca-wektor jest identyfikowany z pierścieniem n -by- n macierzy z wpisami . Bardziej ogólnie, algebra endomorfizmu wolnego modułu jest naturalnie -by- macierzami z wpisami w pierścieniu .${\ Displaystyle R = K}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Koniec} (K) \ cong K}$${\ Displaystyle \ Operatorname {Koniec} (K ^ {n}) \ cong M_ {n} (K)}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle M = R ^ {n}}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle R}$

• W szczególnym przykładzie poprzednim punkcie, dla każdej pierścieniowej R z jedności zakończenia ( R _R ) = R , w którym elementy R ustawy o R od lewej mnożenia.
• Ogólnie pierścienie endomorfizmu można zdefiniować dla obiektów z dowolnej kategorii przedaddytywnej .

Uwagi

Bibliografia

• Camillo, wiceprezes; Khurana, D.; Lam, TY; Nicholson, WK; Zhou, Y. (2006), „Ciągłe moduły są czyste”, J. Algebra , 304 (1): 94-111, doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.06.032 , ISSN  0021-8693 , MR  2255822
• Drozd, Yu. A.; Kirichenko, VV (1994), algebry skończenie wymiarowe , Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-53380-X
• Głupek, David; Foote, Richard, Algebra

• Fraleigh, John B. (1976), Pierwszy kurs algebry abstrakcyjnej (2nd ed.), Czytanie: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
• „Pierścień endomorfizmu” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Jacobson, Nathan (2009), Podstawowa algebra , 2 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7
• Passman, Donald S. (1991), Kurs teorii pierścieni , Pacific Grove: Wadsworth & Brooks / Cole, ISBN 0-534-13776-8
• Wisbauer, Robert (1991), Podstawy teorii modułów i pierścieni , Algebra, Logic and Applications, 3 (poprawione i przetłumaczone z wydania niemieckiego z 1988 r.), Filadelfia, PA: Gordon and Breach Science Publishers, s.  xii+606 , ISBN 2-88124-805-5, MR  1144522 Podręcznik do nauki i badań