Rachunek Epsilon - Epsilon calculus

Hilbert „s epsilon rachunek jest przedłużeniem w języku formalnym przez operatora epsilon, gdzie operator epsilon substytuty dla kwantyfikatorów w tym języku jako metody prowadzącej do dowodu zgodności dla rozszerzonego języka formalnego. Operatora epsilon i sposób podstawienie Epsilon są zwykle stosowane w pierwszej kolejności bazowego rachunku , a następnie wyświetlanie konsystencji. Rachunek rozszerzony epsilon jest dalej rozszerzany i uogólniany, aby objąć te obiekty matematyczne, klasy i kategorie, dla których istnieje chęć wykazania spójności, budując na wcześniej wykazanej spójności na wcześniejszych poziomach.

Operator Epsilon

Notacja Hilberta

Dla dowolnego języka formalnego L , rozszerz L , dodając operator epsilon w celu przedefiniowania kwantyfikacji:

Zamierzona interpretacja ϵ x A to jakieś x, które spełnia A , jeśli istnieje. Innymi słowy, ϵ x A zwraca jakiś wyraz t taki, że A ( t ) jest prawdziwy, w przeciwnym razie zwraca jakiś wyraz domyślny lub arbitralny. Jeśli więcej niż jeden wyraz może spełnić A , to dowolny z tych warunków (które czynią A prawdziwym) może być wybrany w sposób niedeterministyczny. Równość musi być zdefiniowana w L , a jedynymi regułami wymaganymi dla L rozszerzonego przez operator epsilon są modus ponens i podstawienie A ( t ) w celu zastąpienia A ( x ) dla dowolnego wyrazu t .

notacja Bourbaki

W notacji tau-kwadrat z Teorii zbiorów N. Bourbaki kwantyfikatory są zdefiniowane w następujący sposób:

gdzie jest związek w L , x jest zmienna, i zestawia z przodu A zastępuje wszystkie wystąpienia X z , i łączy je z powrotem . Pozwól Y jest zespół, (Y | x) oznacza zastąpienie wszystkich zmiennych x w A z Y .

Ta notacja jest równoważna notacji Hilberta i jest czytana tak samo. Jest używany przez Bourbaki do zdefiniowania przypisania kardynalnego, ponieważ nie używają oni aksjomatu zastępowania .

Definiowanie kwantyfikatorów w ten sposób prowadzi do wielkich nieefektywności. Na przykład rozwinięcie pierwotnej definicji liczby jeden przez Bourbaki przy użyciu tego zapisu ma długość około 4,5 × 10 12 , a dla późniejszego wydania Bourbaki, które łączyło ten zapis z definicją Kuratowskiego par uporządkowanych , liczba ta rośnie do około 2,4 × 1054 .

Nowoczesne podejście

Program Hilberta dla matematyki miał uzasadnić te systemy formalne jako spójne w stosunku do systemów konstruktywnych lub półkonstruktywnych. Podczas gdy wyniki Gödla dotyczące niezupełności w dużym stopniu podważały Program Hilberta, współcześni badacze uważają, że rachunek epsilon dostarcza alternatywy dla zbliżenia się do dowodów spójności systemowej, jak opisano w metodzie podstawienia epsilon.

Metoda substytucji Epsilon

Teoria, którą należy sprawdzić pod kątem spójności, jest najpierw osadzona w odpowiednim rachunku epsilon. Po drugie, opracowano proces ponownego pisania kwantyfikowanych twierdzeń, które mają być wyrażone w postaci operacji epsilon za pomocą metody podstawienia epsilon. Na koniec należy wykazać, że proces normalizuje proces przepisywania, tak aby przepisane twierdzenia spełniały aksjomaty teorii.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia