Równoważność kategorii - Equivalence of categories

W teorii kategorii , gałęzi matematyki abstrakcyjnej , równoważność kategorii jest relacją między dwiema kategoriami, która ustala, że ​​kategorie te są „zasadniczo takie same”. Istnieje wiele przykładów równoważności kategorycznych z wielu dziedzin matematyki. Ustalenie równoważności polega na wykazaniu silnych podobieństw między przedmiotowymi strukturami matematycznymi. W niektórych przypadkach struktury te mogą wydawać się niepowiązane na poziomie powierzchownym lub intuicyjnym, co sprawia, że ​​pojęcie to jest dość potężne: stwarza możliwość „tłumaczenia” twierdzeń między różnymi rodzajami struktur matematycznych, wiedząc, że podstawowe znaczenie tych twierdzeń jest zachowane pod tłumaczeniem.

Jeśli kategoria jest równoważna z przeciwieństwem (lub dualizmem ) innej kategorii, wtedy mówi się o dualizmie kategorii i mówi się, że te dwie kategorie są dualnie równoważne .

Równoważność kategorii składa się z funktora pomiędzy zaangażowanymi kategoriami, który musi mieć funktor „odwrotny”. Jednak w przeciwieństwie do sytuacji typowej dla izomorfizmów w układzie algebraicznym, złożenie funktora i jego „odwrotności” niekoniecznie jest odwzorowaniem tożsamościowym. Zamiast tego wystarczy, aby każdy obiekt był naturalnie izomorficzny z jego obrazem w tej kompozycji. Można więc opisać funktory jako „odwrotność do izomorfizmu”. Rzeczywiście istnieje koncepcja izomorfizmu kategorii, w której wymagana jest ścisła forma funktora odwrotnego, ale ma ona znacznie mniej praktyczne zastosowanie niż koncepcja równoważności .

Definicja

Formalnie, przy danych dwóch kategoriach C i D , równoważność kategorii składa się z funktora F  : C → D , funktora G  : D → C , oraz dwóch naturalnych izomorfizmów ε: FG → I _D i η : I _C → GF . Tutaj FG : D → D i GF : C → C oznaczają odpowiednie złożenie F i G , a I _C : C → C i I _D : D → D oznaczają funktory tożsamościowe na C i D , przypisując każdemu obiektowi i morfizmowi samo. Jeśli F i G są funktorami kontrawariantnymi, mówimy raczej o dwoistości kategorii .

Często nie podaje się wszystkich powyższych danych. Na przykład mówimy, że kategorie C i D są równoważne (odpowiednio dualnie równoważne ), jeśli istnieje między nimi równoważność (odpowiednio dualność). Ponadto mówimy, że F „jest” równoważnością kategorii, jeśli istnieje odwrotny funktor G i naturalne izomorfizmy, jak powyżej. Zauważ jednak, że znajomość F zwykle nie wystarcza do zrekonstruowania G i naturalnych izomorfizmów: może być wiele możliwości wyboru (patrz przykład poniżej).

Charakterystyki alternatywne

Funktor F  : C → D daje równoważność kategorii wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie:

• pełne , to znaczy dla wszystkich dwóch obiektów c ₁ a , c ₂ o C MAP Hom _C ( c ₁ , c ₂ ) → Hom _D ( Fc ₁ , Fc ₂ ) indukowaną przez F jest suriekcją ;
• wierne , to w żadnej z dwóch obiektów c ₁ a , c ₂ o C MAP Hom _C ( c ₁ , c ₂ ) → Hom _D ( Fc ₁ , Fc ₂ ) indukowaną przez F, to za pomocą wstrzyknięć ; i
• zasadniczo suriekcją (gęsty) , to znaczy każdy obiekt d w D jest izomorficzny przedmiot postaci Fc na C w C .

Jest to dość przydatne i powszechnie stosowane kryterium, ponieważ nie trzeba jawnie konstruować „odwrotności” G i naturalnych izomorfizmów między FG , GF i funktorami tożsamości. Z drugiej strony, chociaż powyższe własności gwarantują istnienie kategorycznej równoważności (biorąc pod uwagę wystarczająco silną wersję aksjomatu wyboru w leżącej u podstaw teorii mnogości teorii mnogości), brakujące dane nie są do końca sprecyzowane i często jest wiele możliwości wyboru. Jeśli to możliwe, dobrym pomysłem jest wyraźne określenie brakujących konstrukcji. Ze względu na tę okoliczność funktor o tych właściwościach jest czasami nazywany słabą równoważnością kategorii . (Niestety jest to sprzeczne z terminologią z teorii typów homotopii .)

Istnieje również bliski związek z pojęciem funktorów sprzężonych , gdzie mówimy, że jest lewym sprzężeniem , lub podobnie, G jest prawym sprzężeniem F . Następnie C i D są równoważne (jak zdefiniowano powyżej, które są naturalnymi isomorphisms z FG do I _D, i I _C do GF ), wtedy i tylko wtedy, gdy i oba F i G są pełnego i dokładnego. ${\ Displaystyle F \ myślnik G}$${\displaystyle F:C\rightarrow D}$${\displaystyle G:D\rightarrow C}$${\ Displaystyle F \ myślnik G}$

Gdy funktory sprzężone nie są jednocześnie pełne i wierne, możemy postrzegać ich relację sprzężenia jako wyrażającą „słabszą formę równoważności” kategorii. Zakładając, że podano naturalne przekształcenia dla dodatków, wszystkie te sformułowania pozwalają na jednoznaczną konstrukcję niezbędnych danych i nie są potrzebne żadne zasady wyboru. Kluczową właściwością, którą trzeba tutaj udowodnić, jest to, że sprzężenie sprzężenia jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy prawe sprzężenie jest pełnym i wiernym funktorem. ${\ Displaystyle F \ myślnik G}$

Przykłady

• Rozważmy kategorię mającą pojedynczy obiekt i jeden morfizm oraz kategorię z dwóch obiektów , oraz cztery morfizmów: dwie morfizmów tożsamości , oraz dwóch isomorphisms i . Kategorie i są równoważne; możemy (na przykład) mają mapę do i map zarówno przedmiotów do i wszystkie morfizmów do .${\displaystyle C}$${\displaystyle c}$${\displaystyle 1_{c}}$${\ Displaystyle D}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle d_{2}}$${\displaystyle 1_{d_{1}}}$${\displaystyle 1_{d_{2}}}$${\ Displaystyle \ alfa \ dwukropek d_ {1} \ do d_ {2}}$${\ Displaystyle \ beta \ dwukropek d_ {2} \ do d_ {1}}$${\displaystyle C}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle F}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d_{1}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle D}$${\displaystyle c}$${\displaystyle 1_{c}}$
• Natomiast kategoria z jednym obiektem i jednym morfizmem nie jest równoważna kategorii z dwoma obiektami i tylko dwoma morfizmami tożsamości. Te dwa obiekty nie są izomorficzne, ponieważ nie ma między nimi morfizmów. Zatem żaden funktor od do nie będzie zasadniczo surjekcyjny.${\displaystyle C}$${\ Displaystyle E}$${\ Displaystyle E}$${\displaystyle C}$${\ Displaystyle E}$
• Rozważ kategorię z jednym obiektem i dwoma morfizmami . Niech będzie morfizm tożsamości włączony i ustawiony . Oczywiście jest sobie równoważny, co można wykazać, zastępując wymagane naturalne izomorfizmy między funktorem a nim samym. Jednak prawdą jest również, że od siebie powstaje naturalny izomorfizm . Biorąc więc pod uwagę informację, że funktory tożsamościowe tworzą równoważność kategorii, w tym przykładzie wciąż można wybrać między dwoma naturalnymi izomorfizmami dla każdego kierunku.${\displaystyle C}$${\displaystyle c}$${\ Displaystyle 1_ {c}, f \ dwukropek c \ do c}$${\displaystyle 1_{c}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle f\circ f=1}$${\displaystyle C}$${\displaystyle 1_{c}}$${\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {C}}$${\displaystyle f}$${\ Displaystyle \ mathbf {I} _ {C}}$
• Kategoria zbiorów i funkcji cząstkowych jest równoważna, ale nie izomorficzna z kategorią zbiorów punktowych i odwzorowań punktowych.
• Rozważmy kategorię skończenie- wymiarowych rzeczywistych przestrzeni wektorowych oraz kategorię wszystkich macierzy rzeczywistych (ta ostatnia kategoria została wyjaśniona w artykule dotyczącym kategorii addytywnych ). Następnie i są równoważne funktor który odwzorowuje przedmiotu z do przestrzeni wektorowej i matryc w celu odpowiednich przekształceń liniowych jest pełna, wierna i zasadniczo suriekcją.${\displaystyle C}$ ${\ Displaystyle D = \ operatorname {Mata} (\ mathbb {R})}$${\displaystyle C}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle G \ dwukropek D \ do C}$${\ Displaystyle A_ {n}}$${\ Displaystyle D}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle D}$
• Jednym z głównych tematów geometrii algebraicznej jest dwoistość kategorii schematów afinicznych i kategorii pierścieni przemiennych . Funktor przyporządkowuje każdemu pierścieniowi przemiennemu jego widmo , schemat określony przez ideały pierwsze pierścienia. Jego sprzymierzeńcy z każdym afinicznym schematem są jego pierścieniem globalnych sekcji.${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle F}$
• W analizie funkcjonalnej kategoria przemiennych C*-algebr z identycznością jest kontrawariantnie równoważna kategorii zwartych przestrzeni Hausdorffa . W ramach tej dwoistości każda zwarta przestrzeń Hausdorffa jest powiązana z algebrą ciągłych funkcji zespolonych o wartościach zespolonych na , a każda przemienna C*-algebra jest powiązana z przestrzenią jej maksymalnych ideałów . To jest reprezentacja Gelfanda .${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$
• W teorii sieci istnieje szereg dualności opartych na twierdzeniach o reprezentacji, które łączą pewne klasy sieci z klasami przestrzeni topologicznych . Prawdopodobnie najbardziej znanym twierdzeniem tego rodzaju jest twierdzenie Stone'a o reprezentacji algebr Boole'a , które jest szczególnym przypadkiem w ogólnym schemacie dualności Stone'a . Każdy Boole'a jest odwzorowany na określonej topologii na zbiorze ultrafiltry o . I odwrotnie, dla dowolnej topologii podzbiory clopen (tj. zamknięte i otwarte) dają algebrę Boole'a. Uzyskuje się dwoistość pomiędzy kategorią algebr Boole'a (z ich homomorfizmami) i przestrzeniami Stone'a (z odwzorowaniami ciągłymi). Innym przykładem dwoistości Stone'a jest twierdzenie Birkhoffa o reprezentacji stwierdzające dualizm między skończonymi cząstkowymi rzędami a skończonymi sieciami rozdzielczymi.${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle B}$
• W bezsensownej topologii wiadomo, że kategoria miejsc przestrzennych jest równoważna z podwójną kategorią przestrzeni trzeźwych.
• Dla dwóch pierścieni R i S The kategoria produktów R - Mod x S - mod to równoważne ( R x S ) - Mod .
• Każda kategoria jest równoważna jej szkieletowi .

Nieruchomości

Z reguły równoważność kategorii zachowuje wszystkie „kategoryczne” pojęcia i właściwości. Jeśli F  : C → D jest równoważnością, to wszystkie poniższe stwierdzenia są prawdziwe:

• Celem C o C jest początkowy przedmiot (lub zacisk przedmiot lub zerowej obiektu ), wtedy i tylko wtedy, Fc jest początkowy przedmiot (lub zacisk przedmiot lub zerowej celem ) z D
• morfizm α w C jest monomorfizmem (lub epimorfizmem lub izomorfizmem ), wtedy i tylko wtedy, gdy Fα jest monomorfizmem (lub epimorfizmem lub izomorfizmem) w D .
• funktor H  : I → C ma granicę (lub colimit) l wtedy i tylko wtedy, gdy funktor FH  : I → D ma granicę (lub colimit) Fl . Można to zastosować między innymi do korektorów , produktów i koproduktów . Stosując ją do jąder i kokerneli , widzimy, że równoważność F jest dokładnym funktorem .
• C jest kategorią zamkniętą kartezjańsko (lub toposem ) wtedy i tylko wtedy, gdy D jest zamkniętą kartezjańsko (lub toposem).

Dualności „odwracają wszystkie koncepcje”: zamieniają obiekty początkowe w obiekty końcowe, monomorfizmy w epimorfizmy, jądra w kokernele, granice w kolimity itp.

Jeśli F  : C → D jest równoważnością kategorii, a G ₁ i G ₂ są dwiema odwrotnościami F , to G ₁ i G ₂ są naturalnie izomorficzne.

Jeśli F  : C → D jest równoważne z kategorii, a w przypadku C jest preadditive kategorii (lub dodatek kategorii lub abelowa kategoria ), a D może być przekształcony w preadditive kategorii (lub dodatkowego kategorii lub Abelowych kategorii) w taki sposób, w jaki F staje się funktorem addytywnym . Z drugiej strony każda równoważność między kategoriami dodatków jest z konieczności addytywna. (Zauważ, że to ostatnie stwierdzenie nie jest prawdziwe w przypadku równoważności między kategoriami przedaddytywnymi).

Auto-równoważność z kategorii C jest równoważność F  : C → C . Autorównoważności C tworzą grupę w składzie, jeśli uznamy, że dwie autorównoważności, które są naturalnie izomorficzne, są identyczne. Ta grupa ujmuje podstawowe „symetrie” języka C . (Jedno zastrzeżenie: jeśli C nie jest małą kategorią, to autorównoważności C mogą tworzyć właściwą klasę, a nie zbiór ).

Zobacz też

• Równoważne definicje struktur matematycznych

Bibliografia

• równoważność kategorii w nLab
• „Równoważność kategorii” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie dla matematyka pracującego . Nowy Jork: Springer. s. XII+314. Numer ISBN 0-387-98403-8.