Rozpad wykładniczy - Exponential decay

Wielkość podlegająca zanikowi wykładniczemu. Większe stałe zaniku powodują, że ilość znika znacznie szybciej. Ten wykres pokazuje zanik dla stałej zaniku (λ) 25, 5, 1, 1/5 i 1/25 dla x od 0 do 5.

Wielkość podlega wykładniczemu zanikowi, jeśli zmniejsza się w tempie proporcjonalnym do swojej aktualnej wartości. Symbolicznie proces ten można wyrazić następującym równaniem różniczkowym, gdzie N jest wielkością, a λ (lambda) jest dodatnią szybkością zwaną wykładniczą stałą zaniku :

Rozwiązaniem tego równania (patrz wyprowadzenie poniżej) jest:

gdzie N ( t ) jest to ilość w czasie t , N 0 = N (0) jest początkowa ilość, to jest ilość w czasie t = 0, a stałą λ nazywany jest stałą zaniku , stałej rozpadu , stała szybkości lub stała transformacji .

Pomiar szybkości rozpadu

Średnia żywotność

Jeżeli zanikająca wielkość N ( t ) jest liczbą elementów dyskretnych w danym zbiorze , możliwe jest obliczenie średniego czasu pozostawania elementu w zbiorze. Jest to tak zwany średni czas życia (lub po prostu do życia ), gdzie wykładnicza Stała czasowa , odnosi się do szybkości rozpadu, X, w następujący sposób:

Średni czas życia można traktować jako „czas skalowania”, ponieważ wykładnicze równanie zaniku można zapisać w postaci średniego czasu życia , zamiast stałej zaniku λ:

i to jest czas, w którym populacja zespołu zmniejsza się do 1/ e ≈ 0,367879441 razy jego wartość początkowa.

Na przykład, jeśli początkowy populacja montażu, N (0), 1000, a następnie populacji w czasie , jest 368.

Bardzo podobne równanie będzie widoczne poniżej, które powstaje, gdy podstawa wykładnika zostanie wybrana jako 2, a nie e . W takim przypadku czas skalowania jest „okresem półtrwania”.

Pół życia

Bardziej intuicyjną cechą rozpadu wykładniczego dla wielu ludzi jest czas potrzebny na to, aby rozpadająca się ilość spadła do połowy swojej początkowej wartości. (Jeżeli N ( t ) jest dyskretne, to jest to mediana czasu życia, a nie średni czas życia.) Czas ten nazywany jest okresem półtrwania i często oznaczany symbolem t 1/2 . Okres półtrwania można zapisać w postaci stałej rozpadu lub średniego czasu życia, jako:

Gdy to wyrażenie zostanie wstawione do powyższego równania wykładniczego, a ln 2 zostanie wchłonięte do podstawy, równanie to przyjmie postać:

Zatem ilość pozostałego materiału wynosi 2 -1  = 1/2 podniesiona do (całej lub ułamkowej) liczby okresów półtrwania, które minęły. Tak więc po 3 okresach półtrwania pozostanie 1/2 3  = 1/8 oryginalnego materiału.

Dlatego średni czas życia jest równy okresowi półtrwania podzielonemu przez logarytm naturalny 2 lub:

Na przykład polon-210 ma okres półtrwania 138 dni, a średni czas życia 200 dni.

Rozwiązanie równania różniczkowego

Równanie opisujące rozpad wykładniczy to

lub poprzez przearanżowanie (zastosowanie techniki zwanej separacją zmiennych ),

Integrując, mamy

gdzie C jest stałą całkowania , a więc

gdy końcowy substytucji N 0 = e C , otrzymuje się równanie na ocenę t = 0, a N 0 definiuje się jako ilość, w t = 0.

Jest to forma równania, która jest najczęściej używana do opisu rozpadu wykładniczego. Każdy ze stałych rozpadu, średniego czasu życia lub okresu półtrwania jest wystarczający do scharakteryzowania rozpadu. Notacja λ dla stałej zaniku jest pozostałością zwykłej notacji dla wartości własnej . W tym przypadku, λ jest wartością własną ujemnego z operator różnicowy z N ( t ), co odpowiedni funkcją własną . Jednostkami stałej zaniku są s -1 .

Wyprowadzenie średniego czasu życia

Biorąc pod uwagę zestaw elementów, których liczba ostatecznie spada do zera, średni czas życia , , (zwany też po prostu okresem życia ) jest oczekiwaną wartością czasu przed usunięciem obiektu z zespołu. W szczególności, jeśli indywidualny okres życia elementu zestawu jest czasem, jaki upłynął między pewnym czasem odniesienia a usunięciem tego elementu z zestawu, średni okres życia jest średnią arytmetyczną poszczególnych okresów życia.

Zaczynając od wzoru na populację

najpierw niech c będzie współczynnikiem normalizującym do przekształcenia w funkcję gęstości prawdopodobieństwa :

lub, po przearanżowaniu,

Wykładniczy zanik jest skalarne wielokrotność o rozkładzie wykładniczym (czyli jednostka żywotność każdego obiektu jest rozprowadzany wykładniczo), który ma znaną wartość oczekiwaną . Możemy to tutaj obliczyć za pomocą całkowania przez części .

Rozpad przez dwa lub więcej procesów

Ilość może zanikać w dwóch lub więcej różnych procesach jednocześnie. Ogólnie rzecz biorąc, procesy te (często nazywane „trybami rozpadu”, „kanałami rozpadu”, „drogami rozpadu” itp.) mają różne prawdopodobieństwa zajścia, a zatem zachodzą równolegle z różnymi szybkościami i różnymi okresami półtrwania. Całkowita szybkość rozpadu ilości  N jest określona przez sumę dróg rozpadu; tak więc w przypadku dwóch procesów:

Rozwiązanie tego równania podano w poprzedniej sekcji, gdzie suma jest traktowana jako nowa całkowita stała zaniku .

Częściowe średnie życie związane z poszczególnymi procesami jest z definicji multiplikatywną odwrotnością odpowiedniej częściowej stałej rozpadu: . Łącznie można podać w postaci s:

Ponieważ okresy półtrwania różnią się od średniego okresu o stały czynnik, to samo równanie obowiązuje w odniesieniu do dwóch odpowiadających okresów półtrwania:

gdzie jest łącznym lub całkowitym okresem półtrwania dla procesu i są to tak zwane częściowe okresy półtrwania odpowiednich procesów. Terminy „częściowy okres półtrwania” i „częściowy średni okres trwałości” oznaczają ilości wyprowadzone ze stałej zaniku, tak jakby dany tryb zaniku był jedynym trybem zaniku dla danej ilości. Termin „częściowy okres półtrwania” jest mylący, ponieważ nie można go zmierzyć jako przedział czasu, dla którego pewna ilość jest zmniejszona o połowę .

W odniesieniu do oddzielnych stałych rozpadu można wykazać , że całkowity okres półtrwania wynosi

Dla rozpadu przez trzy jednoczesne procesy wykładnicze całkowity okres półtrwania można obliczyć jak powyżej:

Szereg rozpadów / rozpad sprzężony

W nauce nuklearnej i farmakokinetyce , czynnik będący przedmiotem zainteresowania może znajdować się w łańcuchu rozpadu, w którym akumulacją rządzi rozkład wykładniczy czynnika źródłowego, podczas gdy czynnik będący przedmiotem zainteresowania rozpada się w procesie wykładniczym.

Układy te są rozwiązywane za pomocą równania Batemana .

W warunkach farmakologicznych niektóre spożyte substancje mogą być wchłaniane do organizmu w procesie rozsądnie modelowanym jako rozkład wykładniczy lub mogą być celowo formułowane tak, aby miały taki profil uwalniania.

Zastosowania i przykłady

Rozpad wykładniczy występuje w wielu różnych sytuacjach. Większość z nich należy do dziedziny nauk przyrodniczych .

Wiele procesów rozpadu, które często traktuje się jako wykładnicze, ma charakter wykładniczy, o ile próbka jest duża i obowiązuje prawo dużych liczb . W przypadku małych próbek konieczna jest bardziej ogólna analiza, uwzględniająca proces Poissona .

Nauki przyrodnicze

Nauki społeczne

  • Finanse : fundusz emerytalny będzie się rozpadał wykładniczo, podlegając dyskretnym kwotom wypłat, zwykle miesięcznych, oraz wkładowi podlegającemu stałej stopie procentowej. Równanie różniczkowe dA/dt = input – output można zapisać i rozwiązać, aby znaleźć czas na osiągnięcie dowolnej kwoty A pozostałej w funduszu.
  • W prostej glottochronologii (dyskusyjne) założenie o stałym tempie zanikania w językach pozwala oszacować wiek pojedynczych języków. (Obliczanie czasu podziału między dwoma językami wymaga dodatkowych założeń, niezależnych od zaniku wykładniczego).

Informatyka

  • Podstawowy protokół routingu w Internecie , BGP , musi utrzymywać tablicę routingu , aby zapamiętać ścieżki, na które pakiet może zostać przekierowany . Gdy jedna z tych ścieżek wielokrotnie zmienia swój stan z dostępnej na niedostępną (i vice versa ), router BGP kontrolujący tę ścieżkę musi wielokrotnie dodawać i usuwać rekord ścieżki ze swojej tablicy routingu ( trzęsie ścieżkę), w ten sposób zużywając zasoby lokalne, takie jak jako procesor i pamięć RAM, a nawet więcej, przesyłanie bezużytecznych informacji do routerów równorzędnych. Aby zapobiec temu niepożądanemu zachowaniu, algorytm o nazwie tłumienie trzepotania trasy przypisuje każdej trasie wagę, która zwiększa się za każdym razem, gdy trasa zmienia swój stan i zanika wykładniczo w czasie. Gdy waga osiągnie określony limit, nie wykonuje się więcej trzepotania, tym samym tłumiąc trasę.
Wykresy porównujące czasy podwojenia i okresy półtrwania wzrostu wykładniczego (linie pogrubione) i zaniku (linie słabe) oraz ich przybliżenia 70/ ti 72/ t . W wersji SVG najedź kursorem na wykres, aby go podświetlić i jego uzupełnienie.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Zewnętrzne linki