Rozszerzalność - Extensionality

W logice , ekstensjonalność lub równość ekstensjonalna odnosi się do zasad, które osądzają obiekty jako równe, jeśli mają te same zewnętrzne własności. Stoi on w opozycji do pojęcia intensjonalności , które dotyczy tego, czy wewnętrzne definicje przedmiotów są takie same.

Przykład

Rozważmy dwie funkcje f i g odwzorowujące od i do liczb naturalnych , zdefiniowane w następujący sposób:

  • Aby znaleźć f ( n ), najpierw dodaj 5 do n , a następnie pomnóż przez 2.
  • Aby znaleźć g ( n ), najpierw pomnóż n przez 2, a następnie dodaj 10.

Funkcje te są ekstensywnie równe; biorąc pod uwagę te same dane wejściowe, obie funkcje zawsze generują tę samą wartość. Ale definicje funkcji nie są równe iw tym intensjonalnym sensie funkcje nie są takie same.

Podobnie w języku naturalnym istnieje wiele predykatów (relacji), które są intensjonalnie różne, ale są identyczne ekstensywnie. Załóżmy na przykład, że w mieście mieszka jedna osoba o imieniu Joe, która jest również najstarszą osobą w mieście. Następnie dwa predykaty „być nazywanym Joe” i „być najstarszą osobą w tym mieście” są celowo różne, ale ekstensywnie równe dla (obecnej) populacji tego miasta.

W matematyce

Omówiona powyżej ekstensjonalna definicja równości funkcji jest powszechnie stosowana w matematyce. Czasami do funkcji dołączana jest dodatkowa informacja, taka jak jawna codomena , w którym to przypadku dwie funkcje muszą nie tylko zgadzać się co do wszystkich wartości, ale muszą również mieć tę samą codomenę, aby były równe (w przeciwieństwie do zwykłej definicji funkcja w matematyce oznacza, że ​​równe funkcje muszą mieć tę samą dziedzinę ).

Podobną definicję ekstensjonalną stosuje się zwykle dla relacji : mówi się, że dwie relacje są równe, jeśli mają te same rozszerzenia .

W teorii mnogości The aksjomat ekstensjonalności stanach, że dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy zawierają te same elementy. W matematyce sformalizowanej w teorii mnogości powszechne jest identyfikowanie relacji — i, co najważniejsze, funkcji — z ich rozszerzeniem, jak wspomniano powyżej, tak że niemożliwe jest rozróżnienie dwóch relacji lub funkcji o tym samym rozszerzeniu.

Inne obiekty matematyczne są również konstruowane w taki sposób, że intuicyjne pojęcie „równości” zgadza się z równością ekstensjonalną na poziomie zestawu; zatem pary jednakowo uporządkowane mają równe elementy, a elementy zbioru, które są powiązane relacją równoważności, należą do tej samej klasy równoważności .

Teoretyczne podstawy matematyki na ogół nie są ekstensjonalne w tym sensie, a setoidy są powszechnie używane do zachowania różnicy między równością intensjonalną a ogólniejszą relacją równoważności (która na ogół ma słabe właściwości konstruowalności lub rozstrzygalności ).

Zobacz też

Bibliografia