Skrajny punkt - Extreme point

W przypadku innych zastosowań zobacz Punkt ekstremalny (ujednoznacznienie) .
Wypukła oprawa w kolorze jasnoniebieskim, a jej skrajne punkty w kolorze czerwonym.

W matematyce , punkt skrajny o zadanej wypukły S w prawdziwym przestrzeni wektorowej jest punkt S , które nie leżą w dowolnym otwartym odcinkiem linii łączącej dwa punkty S . W problemach programowania liniowego punkt ekstremalny jest również nazywany wierzchołkiem lub punktem narożnym S .

Definicja

W całym tekście zakłada się, że S jest rzeczywistą lub złożoną przestrzenią wektorową.

Dla dowolnych x , x 1 , x 2 ∈ S , powiedz, że x leży między x 1 i x 2 jeśli x 1 ≠ x 2 i istnieje 0 < t < 1 takie, że x = tx 1 + (1 − t ) x 2 .

Jeżeli K jest podzbiorem S i x ∈ K , a x jest nazywany ekstremum z K , jeśli nie znajdować się między dowolnymi dwoma różnych punktach K . To znaczy, jeśli nie istnieje x 1 , x 2 ∈ K i 0 < t < 1 takie, że x 1 ≠ x 2 i x = tx 1 + (1 − t ) x 2 . Zbiór wszystkich skrajnych punktów K jest oznaczony przez extreme( K ) .

Charakterystyki

Punktem środkowym dwóch elementów x i y w przestrzeni wektorowej jest wektor 1/2( x + y ) .

Dla dowolnych elementów x i y w przestrzeni wektorowej zbiór [ x , y ] := { tx + (1 − t ) y  : 0 ≤ t ≤ 1 } nazywany jest zamkniętym odcinkiem linii lub zamkniętym odstępem między x i y . Odcinek otwarty lub otwarty przedział pomiędzy X i Y jest ( x , x ) = ∅ , gdy x = y , a to ( x , y ) = { tx + (1 - t ) y  : 0 < t <1 } gdy x ≠ y . Punkty x i y nazywane są punktami końcowymi tego przedziału. Mówi się, że przedział jest niezdegenerowany lub właściwy, jeśli jego punkty końcowe są różne. Punkt środkowy przedziału jest punktem środkowym jego punktów końcowych.

Należy zauważyć, że [ x , y ], jest równy wypukłej o { x , y } więc jeśli K jest wypukła, a x , y ∈ K , a następnie [ x , y ] ⊆ K .

Jeżeli K jest niepusty podzbiór X i F jest niepusty Podzbiór K , a C jest nazywana twarz z K jeśli gdy punkt P ∈ F mieści się między dwoma punktami K , wtedy te dwa punkty muszą należeć do F .

Twierdzenie  —  Niech K będzie niepustym podzbiorem wypukłym przestrzeni wektorowej X i niech p ∈ K . Wtedy następujące są równoważne:

  1. p jest skrajnym punktem K ;
  2. K ∖ { p } jest wypukły;
  3. p nie jest punktem środkowym niezdegenerowanego odcinka linii zawartego w K ;
  4. dla dowolnego x , y ∈ K , jeśli p ∈ [ x , y ] wtedy x = p lub y = p ;
  5. jeśli x ∈ X jest takie, że zarówno p + x jak i p − x należą do K , wtedy x = 0 ;
  6. { p } to twarz K .

Przykłady

  • Jeśli a < b są dwiema liczbami rzeczywistymi to a i b są skrajnymi punktami przedziału [ a , b ] . Jednak przedział otwarty ( a , b ) nie ma skrajnych punktów.
  • Iniektywne odwzorowanie liniowe F  : X → Y wysyła skrajne punkty zbioru wypukłego C ⊆ X do skrajnych punktów zbioru wypukłego F ( C ) . Odnosi się to również do iniekcyjnych map afinicznych.
  • Obwód dowolnego wielokąta wypukłego w płaszczyźnie jest ścianą tego wielokąta.
  • Wierzchołki dowolnego wielokąta wypukłego w płaszczyźnie ℝ 2 są skrajnymi punktami tego wielokąta.
  • Skrajnymi punktami zamkniętego dysku jednostkowego w ℝ 2 jest okrąg jednostkowy .
  • Każdy otwarty przedział w ℝ nie ma skrajnych punktów, podczas gdy każdy niezdegenerowany zamknięty przedział nie równy ℝ ma skrajne punkty (tj. punkty końcowe przedziału zamkniętego). Mówiąc bardziej ogólnie, każdy otwarty podzbiór skończenie wymiarowej przestrzeni euklidesowej ℝ n nie ma skrajnych punktów.

Nieruchomości

Skrajne punkty zwartej wypukłości tworzą przestrzeń Baire'a (z topologią podprzestrzeni), ale ten zbiór może nie zostać zamknięty w X .

Twierdzenia

Twierdzenie Kreina-Milmana

Twierdzenie Kreina-Milmana jest prawdopodobnie jednym z najbardziej znanych twierdzeń o punktach ekstremalnych.

Twierdzenie Kreina-Milmana  —  Jeśli S jest wypukły i zwarty w przestrzeni lokalnie wypukłej , to S jest zamkniętą wypukłą powłoką jej skrajnych punktów: W szczególności taki zbiór ma skrajne punkty.

Dla przestrzeni Banacha

Twierdzenia te dotyczą przestrzeni Banacha z własnością Radona–Nikodyma .

Twierdzenie Jorama Lindenstraussa mówi, że w przestrzeni Banacha o własności Radona–Nikodyma zbiór domknięty i ograniczony niepusty ma punkt skrajny. (W przestrzeniach nieskończenie wymiarowych właściwość zwartości jest silniejsza niż wspólne właściwości bycia zamkniętym i ograniczonym).

Twierdzenie  ( Gerald Edgar )  —  Niech E będzie przestrzenią Banacha z własnością Radona-Nikodyma, niech C będzie separowalnym, domkniętym, ograniczonym, wypukłym podzbiorem E i niech a będzie punktem w C . Wtedy nie jest miarą prawdopodobieństwa p na powszechnie zbiorów mierzalnych w C tak, że jest środka masy od p , a zestaw skrajnych punktów C został p -measure 1.

Twierdzenie Edgara implikuje twierdzenie Lindenstraussa.

k – skrajne punkty

Bardziej ogólnie, punkt w zbiorze wypukłym S jest k- skrajny, jeśli leży wewnątrz k- wymiarowego zbioru wypukłego w S , ale nie k+1- wymiarowego zbioru wypukłego w S . Tak więc punkt skrajny jest również punktem 0-skrajnym. Jeśli S jest wielotopem, to k -ekstremalne punkty są dokładnie wewnętrznymi punktami k- wymiarowych ścian S . Bardziej ogólnie, dla dowolnego zbioru wypukłego S , k -punkty skrajne są podzielone na k- wymiarowe otwarte ściany.

Skończenie wymiarowe twierdzenie Kreina-Milmana, które wywodzi się od Minkowskiego, można szybko udowodnić za pomocą koncepcji punktów k- skrajnych. Jeśli S jest domknięte, ograniczone i n- wymiarowe, a p jest punktem w S , to p jest k -skrajne dla niektórych k < n . Twierdzenie zakłada, że p jest wypukłą kombinacją skrajnych punktów. Jeśli k = 0, to jest to trywialnie prawdziwe. W przeciwnym razie p leży na odcinku linii w S, który można maksymalnie wydłużyć (ponieważ S jest zamknięty i ograniczony). Jeśli punktami końcowymi segmentu są q i r , to ich skrajna ranga musi być mniejsza niż p , a twierdzenie wynika z indukcji.

Zobacz też

Cytaty

Bibliografia