Ferdinand Georg Frobenius - Ferdinand Georg Frobenius

Ferdinand Georg Frobenius
Ferdinand Georg Frobenius
Urodzony	( 26.10.1849 ) 26 października 1849 Charlottenburg , Berlin
Zmarły	3 sierpnia 1917 (03.08.1917) (w wieku 67 lat) Berlin
Narodowość	Niemiecki
Alma Mater	Uniwersytet w Getyndze Uniwersytet w Berlinie
Znany z	Równania różniczkowe Teoria grup Twierdzenie Cayleya – Hamiltona Metoda Frobeniusa Macierz Frobeniusa
Kariera naukowa
Pola	Matematyka
Instytucje	Uniwersytet w Berlinie ETH w Zurychu
Doradca doktorancki	Karl Weierstrass Ernst Kummer
Doktoranci	Richard Fuchs Edmund Landau Issai Schur Konrad Knopp Walter Schnee

Ferdinand Georg Frobenius (26 października 1849 - 3 sierpnia 1917) był niemieckim matematykiem , najbardziej znanym ze swojego wkładu do teorii funkcji eliptycznych , równań różniczkowych , teorii liczb i teorii grup . Znany jest ze słynnych tożsamości determinantalnych, znanych jako formuły Frobeniusa – Stickelbergera, rządzących funkcjami eliptycznymi oraz z rozwijania teorii form dwukwadratowych. Był także pierwszym, który wprowadził pojęcie racjonalnych przybliżeń funkcji (obecnie znanych jako przybliżenia Padégo ) i dał pierwszy pełny dowód na twierdzenie Cayleya-Hamiltona . Nazwał również niektóre obiekty różniczo-geometryczne we współczesnej fizyce matematycznej, znane jako rozmaitości Frobeniusa .

Biografia

Ferdinand Georg Frobenius urodził się 26 października 1849 r. W Charlottenburgu na przedmieściach Berlina z rodziców Christiana Ferdinanda Frobeniusa, protestanckiego proboszcza i Christine Elizabeth Friedrich. Do gimnazjum Joachimsthal wstąpił w 1860 roku, gdy miał prawie jedenaście lat. W 1867 r. Po ukończeniu studiów wyjechał na Uniwersytet w Getyndze, gdzie rozpoczął studia uniwersyteckie, ale studiował tam tylko jeden semestr, po czym wrócił do Berlina, gdzie uczęszczał na wykłady Kroneckera , Kummera i Karla Weierstrassa . Doktorat (z wyróżnieniem) uzyskał w 1870 roku pod kierunkiem Weierstrassa . Jego praca magisterska dotyczyła rozwiązywania równań różniczkowych. W 1874 r., Po nauczaniu na poziomie szkoły średniej, najpierw w gimnazjum Joachimsthal, a następnie w Sophienrealschule, został mianowany profesorem nadzwyczajnym matematyki na Uniwersytecie Berlińskim. Frobenius był w Berlinie zaledwie rok przed wyjazdem do Zurychu, aby objąć stanowisko profesora zwyczajnego na Eidgenössische Polytechnikum . Przez siedemnaście lat, między 1875 a 1892, Frobenius pracował w Zurychu. Tam się ożenił, wychował swoją rodzinę i wykonał bardzo ważną pracę w bardzo różnych dziedzinach matematyki. W ostatnich dniach grudnia 1891 roku Kronecker zmarł i dlatego jego krzesło w Berlinie zwolniło się. Weierstrass, głęboko wierząc, że Frobenius był właściwą osobą, aby utrzymać Berlin w czołówce matematyki, wykorzystał swój znaczny wpływ, aby mianować Frobeniusa. W 1893 wrócił do Berlina, gdzie został wybrany do Pruskiej Akademii Nauk .

Wkład do teorii grup

Teoria grup była jednym z głównych zainteresowań Frobeniusa w drugiej połowie jego kariery. Jednym z jego pierwszych wkładów był dowód twierdzeń Sylowa dla grup abstrakcyjnych. Wcześniejsze dowody dotyczyły grup permutacji . Jego dowód pierwszego twierdzenia Sylowa (o istnieniu grup Sylowa) jest jednym z często używanych dzisiaj.

• Frobenius udowodnił również następujące fundamentalne twierdzenie: Jeśli dodatnia liczba całkowita n dzieli rząd | G | o skończonej grupy G , liczba rozwiązań równania X ^N  = 1 G wynosi kn jakiegoś dodatniej liczby całkowitej  K . Postawił również następujący problem: Jeśli w powyższym twierdzeniu k  = 1, to rozwiązania równania x ⁿ  = 1 w G tworzą podgrupę. Wiele lat temu problem ten został rozwiązany dla grup możliwych do rozwiązania . Dopiero w 1991 roku, po klasyfikacji skończonych grup prostych , problem ten został ogólnie rozwiązany.

Ważniejsze było stworzenie przez niego teorii postaci grupowych i reprezentacji grupowych , które są podstawowymi narzędziami do badania struktury grup. Ta praca doprowadziła do pojęcia wzajemności Frobeniusa i określenia tego, co obecnie nazywa się grupami Frobeniusa . Grupa G mówi się, że grupa Frobeniusa jeśli istnieje podgrupa H  <  G w taki sposób,

${\ displaystyle H \ cap H ^ {x} = \ {1 \}}$ dla wszystkich . ${\ Displaystyle x \ w GH}$

W takim razie zestaw

${\ Displaystyle N = G \, - \! \! \ bigcup _ {x \ w GH} \! \! H ^ {x}}$

wraz z elementem tożsamości G tworzy podgrupę, która jest zerowa, jak wykazał John G. Thompson w 1959 r. Wszystkie znane dowody tego twierdzenia wykorzystują znaki. W swoim pierwszym artykule o znakach (1896) Frobenius skonstruował tablicę znaków z grupy rzędu (1/2) ( p ³  - p) dla wszystkich nieparzystych liczb pierwszych  p (ta grupa jest po prostu podana  p  > 3). Wniósł również fundamentalny wkład w teorię reprezentacji grup symetrycznych i naprzemiennych . ${\ Displaystyle PSL (2, p)}$

Wkład do teorii liczb

Frobenius wprowadził kanoniczny sposób obracając liczby pierwsze w klasach conjugacy w grupach Galois nad Q . W szczególności, jeśli K / Q jest skończonym rozszerzeniem Galois, to do każdej (dodatniej) liczby pierwszej p, która nie rozgałęzia się w K, i do każdego ideału pierwszego P leżącego nad p w K istnieje unikalny element g Gal ( K / Q ) spełniający warunek g ( x ) =  x ^P  (mod  p ) dla wszystkich liczb x w K . Różnie P na p zmienia g do koniugatu (i każdy koniugat g odbywa się w ten sposób), a więc klasa sprzężoności z g w grupie Galois kanonicznej jest związany z P . To się nazywa klasa sprzężoności Frobenius z p a każdy element klasa sprzężoności nazywa element Frobenius z p . Jeśli weźmiemy do K w m p dziedzinie cyclotomic , którego grupa Galois na Q jest jednostki modulo m (a stąd abelowa tak klasy conjugacy się elementy), wówczas dla P nie podzielenie m klasa Frobeniusa w grupie Galois jest s  mod  m . Z tego punktu widzenia rozkład klas koniugacji Frobeniusa w grupach Galois nad Q (lub, bardziej ogólnie, grup Galois w dowolnym polu liczbowym) uogólnia klasyczny wynik Dirichleta dotyczący liczb pierwszych w postępach arytmetycznych. Badanie grup Galois o nieskończonym stopniu rozszerzeń Q zależy przede wszystkim od tej konstrukcji elementów Frobeniusa, która zapewnia w pewnym sensie gęsty podzbiór elementów, które są dostępne do szczegółowych badań.

Zobacz też

• Lista rzeczy nazwanych na cześć Ferdynanda Georga Frobeniusa

Publikacje

• Frobenius, Ferdinand Georg (1968), Serre, J.-P. (red.), Gesammelte Abhandlungen. Bände I, II, III , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN   978-3-540-04120-7 , MR   0235974
• De functionum analyticarum unius variabilis per series infinitas repraesentatione (po łacinie), Dissertation, 1870
• Über die Entwicklung analytischer Functionen in Reihen, die nach gegebenen Functionen fortschreiten (w języku niemieckim), Journal für die reine und angewandte Mathematik 73, 1–30 (1871)
• Über die algebraische Auflösbarkeit der Gleichungen, deren Coefficienten rationale Functionen einer Variablen sind (w języku niemieckim), Journal für die reine und angewandte Mathematik 74, 254–272 (1872)
• Über den Begriff der Irreductibilität in der Theorie der linearen Differentialgleichungen (w języku niemieckim), Journal für die reine und angewandte Mathematik 76, 236–270 (1873)
• Über die Integration der linearen Differentialgleichungen durch Reihen (w języku niemieckim), Journal für die reine und angewandte Mathematik 76, 214–235 (1873)
• Über die Determinante mehrerer Functionen einer Variablen (w języku niemieckim), Journal für die reine und angewandte Mathematik 77, 245–257 (1874)
• Über die Vertauschung von Argument und Parameter in den Integralen der linearen Differentialgleichungen (w języku niemieckim), Journal für die reine und angewandte Mathematik 78, 93–96 (1874)
• Anwendungen der Determinantentheorie auf die Geometrie des Maaßes (w języku niemieckim), Journal für die reine und angewandte Mathematik 79, 185–247 (1875)
• Über algebraisch integrirbare lineare Differentialgleichungen (w języku niemieckim), Journal für die reine und angewandte Mathematik 80, 183–193 (1875)
• Über das Pfaffsche Problem (w języku niemieckim), Journal für die reine und angewandte Mathematik 82, 230–315 (1875)
• Über die regulären Integrale der linearen Differentialgleichungen (w języku niemieckim), Journal für die reine und angewandte Mathematik 80, 317–333 (1875)
• Note sur la théorie des formes quadratiques à un nombre quelconque de variable (w języku francuskim), Comptes rendus de l'Académie des sciences Paris 85, 131–133 (1877)
• Zur Theorie der elliptischen Functionen (w języku niemieckim), Journal für die reine und angewandte Mathematik 83, 175–179 (1877)
• Über adjungirte lineare Differentialausdrücke (w języku niemieckim), Journal für die reine und angewandte Mathematik 85, 185–213 (1878)
• Über lineare Substitutionen und bilineare Formen (w języku niemieckim), Journal für die reine und angewandte Mathematik 84, 1–63 (1878)
• Über homogene totale Differentialgleichungen (w języku niemieckim), Journal für die reine und angewandte Mathematik 86, 1-19 (1879)
• Ueber Matrizen aus nicht negativen Elementen (w języku niemieckim), Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften 26, 456–477 (1912)

Bibliografia

• Curtis, Charles W. (2003), Pioneers of Representation Theory: Frobenius, Burnside, Schur i Brauer , History of Mathematics, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN   978-0-8218-2677-5 , MR   1715145 CS1 maint: zniechęcony parametr ( link ) Przejrzeć

Linki zewnętrzne

• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , „Ferdinand Georg Frobenius” , archiwum MacTutor History of Mathematics , University of St Andrews .
• G. Frobenius, "Theory of hypercomplex complex" (tłumaczenie na angielski)