Wielkie Twierdzenie Fermata - Fermat's Last Theorem

Wielkie Twierdzenie Fermata
Diophantus-II-8-Fermat.jpg
1670 edycja Diofantos „s Arithmetica zawiera komentarz Fermata, określane jako jego«twierdzenia»( UWAGI Domini Petri de Fermat ), pośmiertnie opublikowany przez jego syna.
Pole Teoria liczb
Oświadczenie Dla dowolnej liczby całkowitej n > 2 równanie a n + b n = c n nie ma dodatnich rozwiązań liczb całkowitych.
Po raz pierwszy stwierdził Pierre de Fermat
Po raz pierwszy stwierdzono w C.  1637
Pierwszy dowód autorstwa Andrzej Wiles
Pierwszy dowód w Wydany 1994
Opublikowano 1995
Zasugerowany przez
Uogólnienia

W teorii liczb , Fermata twierdzenia (czasami nazywane przypuszczenie Fermata , zwłaszcza w starszych tekstów) stwierdza, że nie ma trzy dodatnie liczby całkowite , b i c spełniają równanie o n + b n = c n o dowolnej wartości całkowitej z n większym niż 2 Przypadki n = 1 i n = 2 znane są od starożytności, że mają nieskończenie wiele rozwiązań.

Twierdzenie to zostało po raz pierwszy przedstawione jako twierdzenie przez Pierre'a de Fermata około 1637 r. na marginesie kopii Arytmetyki ; Fermat dodał, że ma dowód, który jest zbyt duży, by zmieścić się w marginesie. Chociaż inne twierdzenia, które Fermat twierdził bez dowodu, zostały następnie udowodnione przez innych i uznane za twierdzenia Fermata (na przykład twierdzenie Fermata o sumach dwóch kwadratów ), ostatnie twierdzenie Fermata opierało się dowodowi, co prowadzi do wątpliwości, czy Fermat kiedykolwiek miał poprawny dowód i że staje się znany jako przypuszczenie, a nie twierdzenie. Po 358 latach wysiłków matematyków, pierwszy udany dowód został wydany w 1994 roku przez Andrew Wilesa , a formalnie opublikowany w 1995 roku; został opisany jako „oszałamiający postęp” w cytowaniu nagrody Abla Wilesa w 2016 r. Udowodnił również wiele twierdzenia o modułowości i otworzył zupełnie nowe podejścia do wielu innych problemów i matematycznie potężnych technik podnoszenia modułowości .

Nierozwiązany problem stymulował rozwój algebraicznej teorii liczb w XIX wieku oraz dowód twierdzenia o modularności w XX wieku. Jest to jedno z najbardziej znaczących twierdzeń w historii matematyki i przed jego dowodem znalazło się w Księdze Rekordów Guinnessa jako „najtrudniejszy problem matematyczny”, po części dlatego, że twierdzenie to ma największą liczbę nieudanych dowodów.

Przegląd

Początki pitagorejskie

Pitagorasa równanie , x 2 + r 2 = oo 2 ma nieskończoną liczbę dodatnich liczb całkowitych rozwiązań X , Y i Z ; rozwiązania te są znane jako trójki pitagorejskie (z najprostszym przykładem 3,4,5). Około 1637 roku Fermat napisał na marginesie książki, że bardziej ogólne równanie a n + b n = c n nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dodatnich, jeśli n jest liczbą całkowitą większą od 2. Chociaż twierdził, że ma ogólny dowód swojej hipotezy , Fermat nie pozostawił żadnych szczegółów swojego dowodu, a żaden dowód przez niego nigdy nie został znaleziony. Jego roszczenie odkryto około 30 lat później, po jego śmierci. Twierdzenie to, które stało się znane jako ostatnie twierdzenie Fermata , pozostawało nierozwiązane przez następne trzy i pół stulecia.

Twierdzenie to w końcu stało się jednym z najbardziej znaczących nierozwiązanych problemów matematyki. Próby udowodnienia tego doprowadziły do ​​znacznego rozwoju teorii liczb i z czasem Wielkie Twierdzenie Fermata zyskało na znaczeniu jako nierozwiązany problem w matematyce .

Kolejne zmiany i rozwiązania

Specjalny przypadek n = 4 , udowodniony przez samego Fermata, jest wystarczający do ustalenia, że ​​jeśli twierdzenie jest fałszywe dla jakiegoś wykładnika n, który nie jest liczbą pierwszą , musi być również fałszywe dla jakiegoś mniejszego n , więc tylko wartości pierwsze n są potrzebne Dalsze dochodzenie. W ciągu następnych dwóch stuleci (1637-1839) przypuszczenie zostało udowodnione tylko dla liczb pierwszych 3, 5 i 7, chociaż Sophie Germain wprowadziła innowacje i udowodniła podejście, które było istotne dla całej klasy liczb pierwszych. W połowie XIX wieku Ernst Kummer rozszerzył to i udowodnił twierdzenie dla wszystkich regularnych liczb pierwszych , pozostawiając nieregularne liczby pierwsze do indywidualnej analizy. Opierając się na pracy Kummera i stosując zaawansowane badania komputerowe, inni matematycy byli w stanie rozszerzyć dowód, aby obejmował wszystkie wykładniki pierwsze do czterech milionów, ale dowód dla wszystkich wykładników był niedostępny (co oznacza, że ​​matematycy ogólnie uważali dowód za niemożliwy, niezmiernie trudny lub nieosiągalne przy obecnej wiedzy).

Oddzielnie, około 1955 roku, japońscy matematycy Goro Shimura i Yutaka Taniyama podejrzewali, że może istnieć związek między krzywymi eliptycznymi a formami modułowymi , dwiema zupełnie różnymi dziedzinami matematyki. Znana wówczas jako hipoteza Taniyamy-Shimury (ostatecznie jako twierdzenie o modularności), stała samodzielna, bez widocznego związku z Wielkim Twierdzeniem Fermata. Było powszechnie postrzegane jako znaczące i ważne samo w sobie, ale było (podobnie jak twierdzenie Fermata) powszechnie uważane za całkowicie niedostępne do dowodu.

W 1984 roku Gerhard Frey zauważył wyraźny związek między tymi dwoma wcześniej niepowiązanymi i nierozwiązanymi problemami. Konspekt sugerujący, że można to udowodnić, podał Frey. Pełny dowód na to, że te dwa problemy są ze sobą ściśle powiązane, został dokonany w 1986 roku przez Kena Ribeta , opierając się na częściowym dowodzie Jean-Pierre'a Serre'a , który udowodnił tylko jedną część znaną jako „przypuszczenie epsilon” (patrz: Twierdzenie Ribeta i krzywa Freya ). Te prace Freya, Serre'a i Ribeta pokazały, że gdyby hipotezę Taniyamy-Shimury można było udowodnić przynajmniej dla półstabilnej klasy krzywych eliptycznych, automatycznie nastąpiłby również dowód Wielkiego Twierdzenia Fermata. Związek jest opisany poniżej : każde rozwiązanie, które mogłoby zaprzeczyć Wielkiemu Twierdzeniu Fermata, może być również użyte do zaprzeczenia hipotezie Taniyamy-Shimury. Jeśli więc twierdzenie o modularności zostałoby uznane za prawdziwe, to z definicji nie mogłoby istnieć żadne rozwiązanie sprzeczne z Wielkim Twierdzeniem Fermata, co w związku z tym również musiałoby być prawdziwe.

Chociaż oba problemy były wówczas zniechęcające i powszechnie uważane za „całkowicie niedostępne” do udowodnienia, była to pierwsza sugestia drogi, którą można by rozszerzyć Wielkie Twierdzenie Fermata i udowodnić je dla wszystkich liczb, a nie tylko niektórych liczb. W przeciwieństwie do Wielkiego Twierdzenia Fermata, hipoteza Taniyamy-Shimury była głównym aktywnym obszarem badań i postrzegana jako bardziej w zasięgu współczesnej matematyki. Jednak ogólna opinia była taka, że ​​to po prostu pokazało niepraktyczność udowodnienia hipotezy Taniyamy-Shimury. Zacytowana reakcja matematyka Johna Coatesa była powszechna:

„Sam byłem bardzo sceptyczny, czy piękny związek między Wielkim Twierdzeniem Fermata a hipotezą Taniyamy-Shimury może prowadzić do czegokolwiek, ponieważ muszę przyznać, że nie sądziłem, aby hipoteza Taniyamy-Shimury była dostępna do udowodnienia. , wydawało się to niemożliwe do udowodnienia. Muszę przyznać, że myślałem, że prawdopodobnie nie zobaczę tego udowodnionego w moim życiu.

Słysząc, że Ribet dowiódł, że związek Freya jest poprawny, angielski matematyk Andrew Wiles , który w dzieciństwie fascynował się Wielkim Twierdzeniem Fermata i miał doświadczenie w pracy z krzywymi eliptycznymi i pokrewnymi dziedzinami, postanowił spróbować udowodnić hipotezę Taniyamy-Shimury jako sposób na udowodnienie Wielkiego Twierdzenia Fermata. W 1993 roku, po sześciu latach potajemnej pracy nad tym problemem, Wilesowi udało się udowodnić wystarczająco dużo przypuszczeń, aby udowodnić Wielkie Twierdzenie Fermata. Papier Wilesa był ogromny i miał ogromny zakres. Błąd został odkryty w jednej części jego oryginalnego artykułu podczas recenzji naukowej i wymagał kolejnego roku współpracy z byłym studentem, Richardem Taylorem , aby go rozwiązać. W rezultacie ostatecznemu dowodowi w 1995 roku towarzyszył mniejszy wspólny dokument pokazujący, że ustalone kroki są ważne. Osiągnięcia Wilesa były szeroko komentowane w prasie popularnej, a także spopularyzowane w książkach i programach telewizyjnych. Pozostałe części hipotezy Taniyamy-Shimury-Weila, obecnie sprawdzonej i znanej jako twierdzenie o modularności, zostały następnie udowodnione przez innych matematyków, którzy opierali się na pracy Wilesa w latach 1996-2001. Za swój dowód Wiles został uhonorowany i otrzymał liczne nagrody, w tym Nagrodę Abela 2016 .

Równoważne zdania twierdzenia

Istnieje kilka alternatywnych sposobów sformułowania Wielkiego Twierdzenia Fermata, które są matematycznie równoważne pierwotnemu stwierdzeniu problemu.

W celu ich stwierdzenia posługujemy się zapisem matematycznym: niech N będzie zbiorem liczb naturalnych 1, 2, 3, ..., Z będzie zbiorem liczb całkowitych 0, ±1, ±2,..., i niech Q oznacza zbiór liczb wymiernych / b , gdzie i b znajdują się w z w b ≠ 0 . W dalszej części nazwiemy rozwiązanie x n + y n = z n , gdzie jedno lub więcej z x , y lub z jest zerem rozwiązaniem trywialnym . Rozwiązanie, w którym wszystkie trzy są niezerowe, będzie nazywane rozwiązaniem nietrywialnym .

Dla porównania zaczynamy od oryginalnego sformułowania.

  • Oryginalne oświadczenie. Przy n , x , y , zN (co oznacza, że n , x , y , z są dodatnimi liczbami całkowitymi) i n > 2 , równanie x n + y n = z n nie ma rozwiązań.

Najpopularniejsze zabiegi tego tematu tak to określają. Jest to również powszechnie określane nad Z :

  • Równoważne stwierdzenie 1: x n + y n = z n , gdzie liczba całkowita n ≥ 3, nie ma nietrywialnych rozwiązań x , y , zZ .

Równoważność jest oczywista, jeśli n jest parzyste. Jeżeli n jest liczbą nieparzystą, a wszystkie trzy z X , Y , Z są negatywne, wówczas można wymienić x , y , ź o - x - y - z w celu otrzymania roztworu w N . Jeśli dwa z nich są ujemne, musi to być x i z lub y i z . Jeśli x , z są ujemne, a y jest dodatnie, to możemy zmienić kolejność, aby otrzymać (− z ) n + y n = (− x ) n dając w wyniku rozwiązanie w N ; druga sprawa jest rozpatrywana analogicznie. Teraz, jeśli tylko jeden jest ujemny, musi to być x lub y . Jeśli x jest ujemne, a y i z są dodatnie, to można je przestawić tak, aby (− x ) n + z n = y n ponownie dało rozwiązanie w N ; jeśli y jest ujemne, wynik następuje symetrycznie. Zatem we wszystkich przypadkach nietrywialne rozwiązanie w Z oznaczałoby również, że rozwiązanie istnieje w N , oryginalnym sformułowaniu problemu.

  • Równoważne stwierdzenie 2: x n + y n = z n , gdzie liczba całkowita n ≥ 3, nie ma nietrywialnych rozwiązań x , y , zQ .

Jest tak, ponieważ wykładniki X , Y , i Z są równe (na N ), a więc, jeśli nie jest to rozwiązanie w Q , to może być pomnożona przez którą odpowiedni wspólnego mianownika, aby uzyskać rozwiązanie Z , a tym samym w N .

  • Zdanie równoważne 3: x n + y n = 1 , gdzie liczba całkowita n ≥ 3, nie ma nietrywialnych rozwiązań x , yQ .

Nietrywialne rozwiązanie a , b , cZ do x n + y n = z n daje nietrywialne rozwiązanie a / c , b / cQ dla v n + w n = 1 . Odwrotnie, rozwiązanie a / b , c / dQ do v n + w n = 1 daje nietrywialne rozwiązanie ad , cb , bd dla x n + y n = z n .

To ostatnie sformułowanie jest szczególnie owocne, ponieważ redukuje problem z problemu powierzchni w trzech wymiarach do problemu z krzywymi w dwóch wymiarach. Ponadto umożliwia pracę nad polem Q , a nie nad pierścieniem Z ; pola wykazują większą strukturę niż pierścienie , co pozwala na głębszą analizę ich elementów.

  • Równoważnego 4 - połączenie z krzywych eliptycznych: Jeśli , b , c jest nietrywialnym rozwiązanie o p + b p = c p , p nieparzystą liczbą pierwszą, wtedy r 2 = x ( x - p ) ( x + b p ) ( krzywa Frey'a ) będzie krzywą eliptyczną .

Badanie tej krzywej eliptycznej za pomocą twierdzenia Ribeta pokazuje, że nie ma ona formy modułowej . Jednak dowód Andrew Wilesa dowodzi, że każde równanie postaci y 2 = x ( xa n )( x + b n ) ma postać modularną. Każde nietrywialne rozwiązanie x p + y p = z p (z nieparzystą liczbą pierwszą p ) stworzyłoby zatem sprzeczność , co z kolei dowodzi, że nie istnieją żadne nietrywialne rozwiązania.

Innymi słowy, każde rozwiązanie, które mogłoby zaprzeczyć Wielkiemu Twierdzeniu Fermata, może być również użyte do zaprzeczenia twierdzeniu o modułowości. Jeśli więc twierdzenie o modularności okaże się prawdziwe, to z tego wynika, że ​​nie może również istnieć żadna sprzeczność z Wielkim Twierdzeniem Fermata. Jak opisano powyżej, odkrycie tego równoważnego stwierdzenia miało kluczowe znaczenie dla ostatecznego rozwiązania Wielkiego Twierdzenia Fermata, ponieważ dostarczyło środków, za pomocą których można je było „zaatakować” na wszystkie liczby naraz.

Historia matematyczna

Pitagoras i Diofant

Trójki pitagorejskie

W starożytności było wiadomo, że trójkąt, którego boki były w proporcji 3:4:5, będzie miał kąt prosty jako jeden ze swoich kątów. Zostało to wykorzystane w budownictwie, a później we wczesnej geometrii . Wiadomo również, że jest to jeden z przykładów ogólnej zasady, że każdy trójkąt, w którym długość dwóch boków, każdy do kwadratu, a następnie dodany razem (3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25) , równa się kwadratowi długości trzeci bok (5 2 = 25) również byłby trójkątem prostokątnym . Jest to obecnie znane jako twierdzenie Pitagorasa , a trójka liczb, która spełnia ten warunek, nazywana jest trójką pitagorejską – obie noszą nazwy starożytnego greckiego Pitagorasa . Przykłady obejmują (3, 4, 5) i (5, 12, 13). Istnieje nieskończenie wiele takich trójek, a metody generowania takich trójek były badane w wielu kulturach, począwszy od Babilończyków, a później matematyków starożytnych Greków , Chin i Indii . Matematycznie definicja trójki pitagorejskiej to zbiór trzech liczb całkowitych ( a , b , c ), które spełniają równanie

Równania diofantyczne

Równanie Fermata, x n + y n = z n z dodatnimi rozwiązaniami całkowitymi , jest przykładem równania diofantycznego , nazwanego na cześć Aleksandryjskiego matematyka z III wieku , Diofantusa , który studiował je i opracował metody rozwiązywania niektórych rodzajów równań diofantycznych . Typowym problemem diofantycznym jest znalezienie dwóch liczb całkowitych x i y takich, że ich suma i suma ich kwadratów są równe dwóm danym liczbom A i B :

Najważniejszym dziełem Diofanta jest Arytmetyka , z której zachowała się tylko część. Przypuszczenie Fermata na temat jego Wielkiego Twierdzenia zostało zainspirowane podczas lektury nowego wydania Arytmetyki , które zostało przetłumaczone na łacinę i opublikowane w 1621 r. przez Claude'a Bachet'a .

Równania diofantyczne badano od tysięcy lat. Na przykład rozwiązania kwadratowego równania diofantycznego x 2 + y 2 = z 2 są podane przez trójki pitagorejskie , pierwotnie rozwiązane przez Babilończyków (ok. 1800 pne). Rozwiązania liniowych równań diofantycznych, takich jak 26 x + 65 y = 13, można znaleźć za pomocą algorytmu Euklidesa (ok. V wpne). Wiele równań diofantycznych ma postać podobną do równania Wielkiego Twierdzenia Fermata z punktu widzenia algebry, ponieważ nie mają wyrazów krzyżowych mieszających dwie litery, nie dzieląc ich szczególnych właściwości. Na przykład wiadomo, że istnieje nieskończenie wiele dodatnich liczb całkowitych x , y i z takich, że x n + y n = z m gdzie n i mwzględnie pierwszymi liczbami naturalnymi.

przypuszczenie Fermata

Problem II.8 w 1621 edycji Arithmetica z Diofantos . Po prawej stronie jest margines, który był zbyt mały, aby pomieścić rzekomy dowód Fermata na jego „ostatnie twierdzenie”.

Zadanie II.8 Arytmetyki pyta, w jaki sposób dana liczba kwadratów jest podzielona na dwa inne kwadraty; innymi słowy, dla danej liczby wymiernej k znajdź liczby wymierne u i v takie, że k 2  =  u 2  +  v 2 . Diophantus pokazuje, jak rozwiązać ten problem sumy kwadratów dla k  = 4 (rozwiązania to u  = 16/5 i v  = 12/5).

Około 1637 Fermat napisał swoje ostatnie twierdzenie na marginesie swojej kopii Arytmetyki obok problemu sumy kwadratów Diofanta :

Cubum autem w duetach cubos, aut quadratoquadratum w duetach quadratoquadratos & generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem w duetach eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstracja mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. Niemożliwe jest rozdzielenie sześcianu na dwa sześciany, ani czwartej potęgi na dwie czwarte potęgi, ani ogólnie żadnej potęgi wyższej niż druga na dwie podobne potęgi. Odkryłem naprawdę wspaniały dowód na to, że ten margines jest zbyt wąski, aby go pomieścić.

Po śmierci Fermata w 1665 roku jego syn Clément-Samuel Fermat wydał nowe wydanie książki (1670) uzupełnione komentarzami ojca. Chociaż nie był to właściwie twierdzenie w tamtym czasie (czyli twierdzenie matematyczne, dla którego istnieje dowód ), notka na marginesie stała się z czasem znana jako Ostatnie Twierdzenie Fermata , ponieważ było to ostatnie twierdzenie Fermata, które pozostało nieudowodnione.

Nie wiadomo, czy Fermat rzeczywiście znalazł ważny dowód dla wszystkich wykładników n , ale wydaje się to mało prawdopodobne. Zachował się tylko jeden pokrewny przez niego dowód, a mianowicie dla przypadku n  = 4, jak opisano w rozdziale Dowody dla określonych wykładników . Podczas gdy Fermat przedstawiał przypadki n  = 4 i n  = 3 jako wyzwanie dla swoich matematycznych korespondentów, takich jak Marin Mersenne , Blaise Pascal i John Wallis , nigdy nie przedstawił ogólnego przypadku. Co więcej, w ciągu ostatnich trzydziestu lat swojego życia Fermat nigdy więcej nie napisał o swoim „prawdziwie cudownym dowodzie” ogólnej sprawy i nigdy go nie opublikował. Van der Poorten sugeruje, że chociaż brak dowodu jest nieistotny, brak wyzwań oznacza, że ​​Fermat zdał sobie sprawę, że nie ma dowodu; cytuje Weila, który powiedział, że Fermat musiał przez chwilę łudzić się nieodwracalnym pomysłem.

Techniki, których Fermat mógł użyć w takim „cudownym dowodzie”, są nieznane.

Dowód Taylora i Wilesa opiera się na technikach XX wieku. Dowód Fermata musiałby być w porównaniu z nim elementarny, biorąc pod uwagę wiedzę matematyczną jego czasów.

Natomiast Harvey Friedman „s wielki hipoteza zakłada, że każdy udowodnić twierdzenie (w tym ostatnim twierdzeniem Fermata) można udowodnić za pomocą tylko” funkcji elementarnej arytmetyki ”, taki dowód musi być«elementarne»tylko w sensie technicznym i może pociągać za sobą miliony kroków i tak więc trwałoby zbyt długo, aby mogło być dowodem Fermata.

Dowody dla określonych wykładników

Fermata nieskończony zejście na Wielkie Twierdzenie Fermata przypadku n = 4 w 1670 roku edycji Arithmetica z Diofantos (str. 338-339).

Wykładnik = 4

Zachował się tylko jeden istotny dowód Fermata , w którym za pomocą techniki nieskończonego schodzenia wykazał, że pole trójkąta prostokątnego o bokach całkowitych nigdy nie może być równe kwadratowi liczby całkowitej. Jego dowód jest równoznaczny z wykazaniem, że równanie

nie ma rozwiązań pierwotnych w liczbach całkowitych (brak rozwiązań parami względnie pierwszych ). To z kolei dowodzi Wielkiego Twierdzenia Fermata dla przypadku n  = 4, ponieważ równanie a 4 + b 4 = c 4 można zapisać jako c 4b 4 = ( a 2 ) 2 .

Alternatywne dowody przypadku n  = 4 zostały opracowane później przez Frénicle de Bessy (1676), Leonhard Euler (1738), Kausler (1802), Peter Barlow (1811), Adrien-Marie Legendre (1830), Schopis (1825), Olry Terquem (1846), Joseph Bertrand (1851), Victor Lebesgue (1853, 1859, 1862), Théophile Pépin (1883), Tafelmacher (1893), David Hilbert (1897), Bendz (1901), Gambioli (1901), Leopold Kronecker (1901), Bang (1905), Sommer (1907), Bottari (1908), Karel Rychlík (1910), Nutzhorn (1912), Robert Carmichael (1913), Hancock (1931), Gheorghe Vrănceanu (1966), Grant i Perella (1999), Barbara (2007) i Dolan (2011).

Inne wykładniki

Po tym, jak Fermat udowodnił przypadek szczególny n  = 4, ogólny dowód dla wszystkich n wymagał jedynie ustalenia twierdzenia dla wszystkich nieparzystych wykładników pierwszych. Innymi słowy, trzeba było jedynie udowodnić, że równanie a n + b n = c n nie ma dodatnich rozwiązań całkowitych ( a , b , c ), gdy n jest nieparzystą liczbą pierwszą . Wynika to z tego, że rozwiązanie ( abc ) dla danego n jest równoważne rozwiązaniu dla wszystkich czynników n . Na przykład niech n będzie rozłożone na d i e , n  =  de . Ogólne równanie

a n + b n = c n

implikuje, że ( a db dc d ) jest rozwiązaniem wykładnika e

( a d ) e + ( b d ) e = ( c d ) e .

Tak więc, aby udowodnić, że równanie Fermata nie ma rozwiązań dla n  > 2, wystarczy udowodnić, że nie ma rozwiązań dla co najmniej jednego czynnika pierwszego każdego n . Każda liczba całkowita n  > 2 jest podzielna przez 4 lub przez nieparzystą liczbę pierwszą (lub obie). Dlatego Wielkie Twierdzenie Fermata można by udowodnić dla wszystkich n, gdyby można je było udowodnić dla n  = 4 i dla wszystkich nieparzystych liczb pierwszych p .

W ciągu dwóch stuleci po jego przypuszczeniu (1637-1839) Wielkie Twierdzenie Fermata zostało udowodnione dla trzech nieparzystych wykładników pierwszych p  = 3, 5 i 7. Przypadek p  = 3 został po raz pierwszy stwierdzony przez Abu-Mahmuda Khojandi (X wiek), ale jego próba dowodu twierdzenia była błędna. W 1770 Leonhard Euler dał dowód na p  = 3, ale jego dowód o nieskończonym spadku zawierał dużą lukę. Ponieważ jednak sam Euler udowodnił lemat niezbędny do uzupełnienia dowodu w innej pracy, na ogół przypisuje się mu pierwszy dowód. Niezależne dowody opublikowali Kausler (1802), Legendre (1823, 1830), Calzolari (1855), Gabriel Lamé (1865), Peter Guthrie Tait (1872), Günther (1878), Gambioli (1901), Krey (1909), Rychlík (1910), Stockhaus (1910), Carmichael (1915), Johannes van der Corput (1915), Axel Thue (1917) i Duarte (1944).

Przypadek p  = 5 został niezależnie udowodniony przez Legendre'a i Petera Gustava Lejeune Dirichleta około 1825 roku. Alternatywne dowody opracowali Carl Friedrich Gauss (1875, pośmiertnie), Lebesgue (1843), Lamé (1847), Gambioli (1901), Werebrusow (1905). ), Rychlík (1910), van der Corput (1915) i Guy Terjanian (1987).

Przypadek p  = 7 został udowodniony przez Lamé w 1839 r. Jego dość skomplikowany dowód został uproszczony w 1840 r. przez Lebesgue'a, a jeszcze prostsze dowody opublikował Angelo Genocchi w 1864, 1874 i 1876 r. Alternatywne dowody opracował Théophile Pépin (1876) i Edmonda Mailleta (1897).

Wielkie Twierdzenie Fermata zostało również udowodnione dla wykładników n  = 6, 10 i 14. Dowody dla n  = 6 opublikowali Kausler, Thue, Tafelmacher, Lind, Kapferer, Swift i Breusch. Podobnie Dirichlet i Terjanian udowodnili przypadek n  = 14, podczas gdy Kapferer i Breusch udowodnili przypadek n  = 10. Ściśle mówiąc, te dowody są niepotrzebne, ponieważ te przypadki wynikają z dowodów dla n  = 3, 5 i 7, odpowiednio. Niemniej jednak rozumowanie tych dowodów o parzystym wykładniku różni się od ich odpowiedników o nieparzystym wykładniku. Dowód Dirichleta dla n  = 14 został opublikowany w 1832 roku, przed dowodem Lamé z 1839 roku dla n  = 7.

Wszystkie dowody dla konkretnych wykładników wykorzystywały technikę schodzenia nieskończonego Fermata , albo w jej oryginalnej formie, albo w formie schodzenia po krzywych eliptycznych lub odmianach abelowych. Jednak szczegóły i argumenty pomocnicze były często doraźne i powiązane z rozważanym pojedynczym wykładnikiem. Ponieważ wraz ze wzrostem p stawały się one coraz bardziej skomplikowane , wydawało się mało prawdopodobne, aby ogólny przypadek Wielkiego Twierdzenia Fermata mógł zostać udowodniony przez budowanie na dowodach dla poszczególnych wykładników. Chociaż pewne ogólne wyniki ostatniego twierdzenia Fermata opublikowali na początku XIX wieku Niels Henrik Abel i Peter Barlow , pierwszą znaczącą pracę nad ogólnym twierdzeniem wykonała Sophie Germain .

Wczesne nowoczesne przełomy

Sophie Germain

Na początku XIX wieku Sophie Germain opracowała kilka nowatorskich podejść, aby udowodnić Wielkie Twierdzenie Fermata dla wszystkich wykładników. Najpierw zdefiniowała zbiór pomocniczych liczb pierwszych zbudowanych z wykładnika pierwszego przez równanie , gdzie jest dowolną liczbą całkowitą niepodzielną przez trzy. Pokazała, że ​​jeśli żadne liczby całkowite podniesione do potęgi nie sąsiadują modulo ( warunek niekonsekwencji ), to należy podzielić iloczyn . Jej celem było wykorzystanie indukcji matematycznej do udowodnienia, że ​​dla dowolnego danego , nieskończenie wiele pomocniczych liczb pierwszych spełnia warunek niekonsekwencji iw ten sposób dzieli ; ponieważ iloczyn może mieć co najwyżej skończoną liczbę czynników pierwszych, taki dowód ustaliłby Wielkie Twierdzenie Fermata. Chociaż opracowała wiele technik ustalania warunku niekonsekwencji, nie udało jej się osiągnąć celu strategicznego. Pracowała również nad ustaleniem niższych limitów wielkości rozwiązań równania Fermata dla danego wykładnika , którego zmodyfikowaną wersję opublikował Adrien-Marie Legendre . Jako produkt uboczny tej ostatniej pracy, udowodniła twierdzenie Sophie Germain , które zweryfikowało pierwszy przypadek Wielkiego Twierdzenia Fermata (czyli przypadek, w którym nie dzieli się ) dla każdego nieparzystego wykładnika pierwszego mniejszego niż , i dla wszystkich liczb pierwszych takich, że przynajmniej jeden z , , , , i jest liczbą pierwszą (w szczególności liczby pierwsze, takie jak liczba pierwsza, nazywane są liczbami pierwszymi Sophie Germain ). Germain bezskutecznie próbował udowodnić pierwszy przypadek Wielkiego Twierdzenia Fermata dla wszystkich nawet wykładników, a konkretnie dla , co udowodnił w 1977 r. Guy Terjanian . W 1985 r. Leonard Adleman , Roger Heath-Brown i Étienne Fouvry udowodnili, że pierwszy przypadek Ostatniego twierdzenia Fermata Twierdzenie obowiązuje dla nieskończenie wielu liczb pierwszych nieparzystych .

Ernst Kummer i teoria ideałów

W 1847 roku Gabriel Lamé przedstawił dowód Wielkiego Twierdzenia Fermata oparty na rozłożeniu równania x p + y p = z p na liczby zespolone, a konkretnie na polu cyklotomicznym opartym na pierwiastkach liczby 1 . Jego dowód nie powiódł się jednak, ponieważ błędnie zakładał, że takie liczby zespolone można jednoznacznie rozłożyć na liczby pierwsze, podobnie jak liczby całkowite. Na tę lukę natychmiast zwrócił uwagę Joseph Liouville , który później przeczytał artykuł, który wykazał niepowodzenie unikalnej faktoryzacji, napisany przez Ernsta Kummera .

Kummer postawił sobie za zadanie ustalenie, czy pole cyklotomiczne można uogólnić tak, aby obejmowało nowe liczby pierwsze, tak aby przywrócić unikalną faktoryzację. Udało mu się to zadanie, opracowując liczby idealne .

(Uwaga: często mówi się, że Kummer był doprowadzony do swoich „idealnych liczb zespolonych” przez zainteresowanie Wielkim Twierdzeniem Fermata; często mówi się nawet, że Kummer, podobnie jak Lamé , wierzył, że udowodnił Wielkie Twierdzenie Fermata, dopóki Lejeune Dirichlet nie powiedział jego argument opierał się na unikalnym rozłożeniu na czynniki, ale historia została po raz pierwszy opowiedziana przez Kurta Hensela w 1910 roku, a dowody wskazują, że prawdopodobnie wynika ona z zamieszania w jednym ze źródeł Hensela. Harold Edwards twierdzi, że przekonanie, że Kummer był zainteresowany głównie Wielkim Twierdzeniem Fermata „ z pewnością się myli”. Zobacz historię liczb idealnych .)

Używając ogólnego podejścia nakreślonego przez Lamé, Kummer udowodnił oba przypadki Wielkiego Twierdzenia Fermata dla wszystkich regularnych liczb pierwszych . Jednak nie mógł udowodnić twierdzenia dla wyjątkowych liczb pierwszych (nieregularnych), które przypuszczalnie występują w około 39% przypadków ; jedyne nieregularne liczby pierwsze poniżej 270 to 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 i 263.

przypuszczenie Mordella

W latach dwudziestych Louis Mordell postawił hipotezę, z której wynikało, że równanie Fermata ma co najwyżej skończoną liczbę nietrywialnych pierwotnych rozwiązań liczb całkowitych, jeśli wykładnik n jest większy niż dwa. To przypuszczenie zostało udowodnione w 1983 roku przez Gerda Faltingsa i jest obecnie znane jako twierdzenie Faltingsa .

Studia obliczeniowe

W drugiej połowie XX wieku zastosowano metody obliczeniowe, aby rozszerzyć podejście Kummera do nieregularnych liczb pierwszych. W 1954 Harry Vandiver użył komputera SWAC do udowodnienia Wielkiego Twierdzenia Fermata dla wszystkich liczb pierwszych do 2521. Do 1978 Samuel Wagstaff rozszerzył to do wszystkich liczb pierwszych mniejszych niż 125 000. Do 1993 roku Wielkie Twierdzenie Fermata zostało udowodnione dla wszystkich liczb pierwszych mniejszych niż cztery miliony.

Jednak pomimo tych wysiłków i ich wyników nie istniał żaden dowód na istnienie Wielkiego Twierdzenia Fermata. Dowody poszczególnych wykładników ze względu na ich naturę nigdy nie mogą udowodnić ogólnego przypadku: nawet jeśli wszystkie wykładniki zostały zweryfikowane aż do bardzo dużej liczby X, wyższy wykładnik poza X może nadal istnieć, co do którego twierdzenie nie jest prawdziwe. (Tak było w przypadku niektórych innych wcześniejszych przypuszczeń i nie można było tego wykluczyć w tym przypuszczeniu).

Połączenie z krzywymi eliptycznymi

Strategia, która ostatecznie doprowadziła do pomyślnego dowodu Wielkiego Twierdzenia Fermata, wyrosła z „zdumiewającej” hipotezy Taniyamy-Shimury-Weila, wysuniętej około 1955 roku – którą wielu matematyków uważało za prawie niemożliwą do udowodnienia, a którą w latach 80. połączył Gerhard. Frey , Jean-Pierre Serre i Ken Ribet do równania Fermata. Dokonując częściowego dowodu tej hipotezy w 1994 r., Andrew Wilesowi udało się ostatecznie udowodnić Wielkie Twierdzenie Fermata, a także utorować drogę do pełnego dowodu przez innych na to, co jest obecnie znane jako twierdzenie o modularności .

Przypuszczenie Taniyamy-Shimury-Weila

Około 1955 roku japońscy matematycy Goro Shimura i Yutaka Taniyama zaobserwowali możliwe powiązanie między dwiema pozornie zupełnie różnymi gałęziami matematyki, krzywymi eliptycznymi i formami modułowymi . Wynikające z tego twierdzenie o modularności (wtedy znane jako hipoteza Taniyamy-Shimury) stwierdza, że ​​każda krzywa eliptyczna jest modularna , co oznacza, że ​​może być powiązana z unikalną formą modularną .

Związek ten został początkowo odrzucony jako mało prawdopodobny lub wysoce spekulacyjny, ale potraktowano go poważniej, gdy teoretyk liczb André Weil znalazł dowody na jego poparcie, choć go nie udowadniał; w rezultacie przypuszczenie było często znane jako przypuszczenie Taniyamy-Shimura-Weila.

Nawet po zwróceniu uwagi, przypuszczenie to było postrzegane przez współczesnych matematyków jako niezwykle trudne lub być może niedostępne do udowodnienia. Na przykład kierownik doktoratu Wilesa, John Coates, stwierdza, że ​​wydawało się to „niemożliwe do udowodnienia”, a Ken Ribet uważał się za „jednego z ogromnej większości ludzi, którzy wierzyli, że [to] jest całkowicie niedostępne”, dodając, że „Andrew Wiles był prawdopodobnie jednym z nich. z nielicznych ludzi na ziemi, którzy mieli czelność marzyć, że naprawdę możesz iść i udowodnić [to]”.

Twierdzenie Ribeta dla krzywych Freya

W 1984 roku Gerhard Frey zauważył powiązanie między równaniem Fermata a twierdzeniem o modularności, które było wówczas jeszcze domysłem. Gdyby równanie Fermata miało jakiekolwiek rozwiązanie ( a , b , c ) dla wykładnika p  > 2, to można by wykazać, że półstabilna krzywa eliptyczna (obecnie znana jako Frey-Hellegouarch )

y 2 = x  ( x  −  a p )( x  +  b p )

miałby tak niezwykłe właściwości, że raczej nie byłby modułowy. Byłoby to sprzeczne z twierdzeniem o modularności, które twierdziło, że wszystkie krzywe eliptyczne są modularne. Jako taki, Frey zauważył, że dowód hipotezy Taniyamy-Shimury-Weila może jednocześnie dowodzić Wielkiego Twierdzenia Fermata. Przez kontrapozycji , o odparcie lub odrzucenia Wielkie Twierdzenie Fermata by obalić hipotezę Taniyama-Shimura-Weil.

W prostym języku angielskim Frey wykazał, że jeśli intuicja dotycząca jego równania jest poprawna, to każdy zestaw 4 liczb (a, b, c, n) zdolny do obalenia Wielkiego Twierdzenia Fermata, może być również użyty do obalenia twierdzenia Taniyamy-Shimury. – Przypuszczenie Weila. Dlatego też, gdyby to drugie było prawdą, to pierwszego nie można by obalić, a także musiałoby być prawdziwe.

Zgodnie z tą strategią dowód Wielkiego Twierdzenia Fermata wymagał dwóch kroków. Najpierw trzeba było udowodnić twierdzenie o modularności – a przynajmniej udowodnić je dla typów krzywych eliptycznych, które zawierają równanie Freya (znane jako semistabilne krzywe eliptyczne ). Powszechnie uważano, że jest to niemożliwe do udowodnienia przez współczesnych matematyków. Po drugie, trzeba było wykazać, że intuicja Freya była słuszna: gdyby krzywa eliptyczna została skonstruowana w ten sposób, przy użyciu zbioru liczb, który byłby rozwiązaniem równania Fermata, to otrzymana krzywa eliptyczna nie mogłaby być modularna. Frey wykazał, że było to prawdopodobne, ale nie posunął się tak daleko, jak przedstawienie pełnego dowodu. Brakujący element (tak zwana „ przypuszczenie epsilon ”, obecnie znane jako twierdzenie Ribeta ) został zidentyfikowany przez Jean-Pierre'a Serre'a, który również dał prawie kompletny dowód, a link sugerowany przez Freya został ostatecznie udowodniony w 1986 roku przez Kena Ribeta .

Po pracy Freya, Serre'a i Ribeta tak właśnie wyglądały sprawy:

  • Wielkie Twierdzenie Fermata musiało zostać udowodnione dla wszystkich wykładników n, które były liczbami pierwszymi.
  • Twierdzenie o modularności – jeśli zostanie udowodnione dla semistabilnych krzywych eliptycznych – oznaczałoby, że wszystkie semistabilne krzywe eliptyczne muszą być modularne.
  • Twierdzenie Ribeta pokazało, że każde rozwiązanie równania Fermata dla liczby pierwszej może być użyte do stworzenia półstabilnej krzywej eliptycznej, która nie może być modułowa;
  • Jedynym sposobem, aby oba te stwierdzenia mogły być prawdziwe, było to, że nie istniały żadne rozwiązania równania Fermata (ponieważ wtedy nie można było stworzyć takiej krzywej), co było tym, co mówiło ostatnie twierdzenie Fermata. Ponieważ twierdzenie Ribeta zostało już udowodnione, oznaczało to, że dowód twierdzenia o modułowości automatycznie udowodniłby również ostatnie twierdzenie Fermata.

Ogólny dowód Wilesa

Brytyjski matematyk Andrew Wiles .

Dowód Ribeta na przypuszczenie epsilon w 1986 roku osiągnął pierwszy z dwóch celów zaproponowanych przez Freya. Usłyszawszy o sukcesie Ribeta, Andrew Wiles , angielski matematyk zafascynowany w dzieciństwie ostatnim twierdzeniem Fermata, który pracował nad krzywymi eliptycznymi, postanowił poświęcić się realizacji drugiej połowy: udowodnienia szczególnego przypadku twierdzenia o modularności (wtedy znanego). jako przypuszczenie Taniyama-Shimura) dla półstabilnych krzywych eliptycznych.

Wiles pracował nad tym zadaniem przez sześć lat w niemal całkowitej tajemnicy, ukrywając swoje wysiłki, wypuszczając wcześniejsze prace w małych segmentach jako osobne dokumenty i zwierzając się tylko swojej żonie. Jego początkowe badania sugerowały dowód przez indukcję , a swoją początkową pracę i pierwszy znaczący przełom oparł na teorii Galois, zanim przerzucił się na próbę rozszerzenia horyzontalnej teorii Iwasawy dla argumentu indukcyjnego w latach 1990-91, kiedy wydawało się, że nie istnieje żadne istniejące podejście adekwatne do problem. Jednak w połowie 1991 r. teoria Iwasawy również wydawała się nie docierać do głównych problemów problemu. W odpowiedzi zwrócił się do kolegów, aby poszukali wszelkich wskazówek dotyczących przełomowych badań i nowych technik, i odkrył system Eulera opracowany niedawno przez Victora Kolyvagina i Matthiasa Flacha, który wydawał się „skrojony na miarę ” dla indukcyjnej części jego dowodu. Wiles przestudiował i rozszerzył to podejście, które zadziałało. Ponieważ jego praca w dużej mierze opierała się na tym podejściu, które było nowością w matematyce i Wilesie, w styczniu 1993 roku poprosił swojego kolegę z Princeton, Nicka Katza , o pomoc w sprawdzeniu jego rozumowania pod kątem subtelnych błędów. Ich wniosek był wówczas taki, że techniki, których używał Wiles, wydawały się działać poprawnie.

W połowie maja 1993 r. Wiles poczuł, że jest w stanie powiedzieć żonie, że jego zdaniem rozwiązał dowód Wielkiego Twierdzenia Fermata, a do czerwca poczuł się wystarczająco pewnie, by przedstawić swoje wyniki w trzech wykładach wygłoszonych w dniach 21–23 czerwca 1993 r. w Isaac Newton. Instytut Nauk Matematycznych . W szczególności Wiles przedstawił swój dowód hipotezy Taniyamy-Shimury dla półstabilnych krzywych eliptycznych; wraz z dowodem Ribeta na przypuszczenie epsilon, sugerowało to Wielkie Twierdzenie Fermata. Jednak podczas recenzowania okazało się, że punkt krytyczny dowodu był nieprawidłowy. Zawierała błąd w wiązaniu w kolejności określonej grupy . Błąd został zauważony przez kilku matematyków recenzujących rękopis Wilesa, w tym Katza (w jego roli recenzenta), który zaalarmował Wilesa 23 sierpnia 1993 roku.

Błąd nie spowodowałby, że jego praca była bezwartościowa – każda część pracy Wilesa była sama w sobie wysoce znacząca i innowacyjna, podobnie jak wiele opracowań i technik, które stworzył w trakcie swojej pracy, i tylko jedna część została naruszona. Jednak bez udowodnienia tej części, nie było żadnego dowodu Wielkiego Twierdzenia Fermata. Wiles spędził prawie rok próbując naprawić swój dowód, początkowo samodzielnie, a potem we współpracy ze swoim byłym studentem Richardem Taylorem , bez powodzenia. Pod koniec 1993 roku rozeszły się pogłoski, że pod lupą dowód Wilesa zawiódł, ale nie wiadomo, jak poważnie. Matematycy zaczęli naciskać na Wilesa, aby ujawnił swoją pracę, niezależnie od tego, czy jest ukończona, czy nie, aby szersza społeczność mogła zbadać i wykorzystać wszystko, co udało mu się osiągnąć. Ale zamiast zostać naprawiony, problem, który początkowo wydawał się niewielki, teraz wydawał się bardzo znaczący, znacznie poważniejszy i trudniejszy do rozwiązania.

Wiles twierdzi, że rankiem 19 września 1994 r. był bliski poddania się i był prawie zrezygnowany, by zaakceptować porażkę i opublikować swoją pracę, aby inni mogli na niej oprzeć się i naprawić błąd. Dodaje, że on miał ostateczny wygląd, aby spróbować zrozumieć podstawowe powody, dlaczego jego podejście nie może być wykonane do pracy, kiedy miał nagły wgląd - że konkretny powód, dla którego podejście Kolyvagin-Flach nie będzie działać bezpośrednio również oznaczało że jego oryginalne próby wykorzystania teorii Iwasawy mogą zadziałać, jeśli wzmocni ją swoim doświadczeniem zdobytym w podejściu Kolyvagin-Flach. Naprawienie jednego podejścia za pomocą narzędzi z drugiego podejścia rozwiązałoby problem we wszystkich przypadkach, które nie zostały jeszcze udowodnione w jego referacie. Opisał później, że teoria Iwasawy i podejście Kolyvagin-Flach były same w sobie nieadekwatne, ale razem mogły być wystarczająco silne, aby pokonać tę ostatnią przeszkodę.

„Siedziałem przy biurku, badając metodę Kolyvagin-Flach. Nie chodziło o to, że wierzyłem, że mogę to zrobić, ale pomyślałem, że przynajmniej mogę wyjaśnić, dlaczego to nie działa. Nagle doznałem niesamowitego objawienia. Zdałem sobie sprawę, że metoda Kolyvagin-Flach nie działa, ale to wszystko, czego potrzebowałem, aby moja oryginalna teoria Iwasawa działała trzy lata wcześniej.Więc z popiołów Kolyvagin-Flach wydawała się wyrosnąć prawdziwa odpowiedź na problem To było tak nieopisanie piękne, było takie proste i takie eleganckie. Nie mogłem zrozumieć, jak to przegapiłem i po prostu gapiłem się na niego z niedowierzaniem przez dwadzieścia minut. Potem w ciągu dnia chodziłem po wydziale i ja Wracałem do mojego biurka i sprawdzałem, czy nadal tam jest. Nadal tam było. Nie mogłem się powstrzymać, byłem bardzo podekscytowany. To był najważniejszy moment w moim życiu zawodowym. Nic, co nigdy więcej nie robię będzie znaczyć tyle samo."
— Andrew Wiles, cytowany przez Simona Singha

24 października 1994 r. Wiles przedłożył dwa manuskrypty: „Modularne krzywe eliptyczne i ostatnie twierdzenie Fermata” oraz „Własności teoretyczne pierścienia niektórych algebr Heckego”, z których drugi był współautorem z Taylorem i dowiódł, że spełnione zostały pewne wymagane warunki. aby uzasadnić poprawiony krok w głównym artykule. Oba artykuły zostały zweryfikowane i opublikowane w całości w majowym numerze Annals of Mathematics z maja 1995 roku . Artykuły te ustaliły twierdzenie o modularności dla półstabilnych krzywych eliptycznych, ostatni krok w udowodnieniu ostatniego twierdzenia Fermata, 358 lat po jego przypuszczeniu.

Kolejne wydarzenia

Pełna hipoteza Taniyamy-Shimury-Weila została ostatecznie udowodniona przez Diamonda (1996), Conrada i in. (1999) oraz Breuil i in. (2001), którzy, opierając się na pracy Wilesa, stopniowo odłupywali pozostałe przypadki, aż do udowodnienia pełnego wyniku. W pełni udowodnione przypuszczenie stało się znane jako twierdzenie o modularności .

Kilka innych twierdzeń w teorii liczb, podobnych do ostatniego twierdzenia Fermata, również wynika z tego samego rozumowania, wykorzystując twierdzenie o modularności. Na przykład: żaden sześcian nie może być zapisany jako suma dwóch względnie pierwszych n -tych potęg, n  ≥ 3. (Przypadek n  = 3 był już znany Eulerowi ).

Związek z innymi problemami i uogólnieniami

Fermata twierdzenia uważa rozwiązania równania Fermat: n + b n = c n z dodatnich liczb całkowitych a , b i c i liczba całkowita n większy niż 2. Istnieje wiele uogólnień równania Fermat równań bardziej ogólnych, które umożliwiają wykładnik n być liczbą całkowitą ujemną lub wymierną, lub rozważyć trzy różne wykładniki.

Uogólnione równanie Fermata

Uogólnione równanie Fermata uogólnia twierdzenie ostatniego twierdzenia Fermata przez rozważenie dodatnich rozwiązań liczb całkowitych a, b, c, m, n, k spełniających

 

 

 

 

( 1 )

W szczególności wykładniki m , n , k nie muszą być równe, podczas gdy ostatnie twierdzenie Fermata uwzględnia przypadek m = n = k .

Beal przypuszczenie , znany również jako hipotezy Mauldin i przypuszczenia Tijdeman-Zagier stwierdza, że nie ma rozwiązania uogólnionego równania Fermat dodatnich liczb całkowitych , b , c , m , n , k w a , b i c istoty parami względnie pierwsze i wszystkie z m , n , k są większe niż 2.

Fermat-kataloński przypuszczenie uogólnia ostatnie twierdzenie Fermata z ideami przypuszczeń Katalonii . Stany Conjecture że uogólnione równanie Fermatem ma tylko skończoną wiele rozwiązań ( , b , c , m , n , k ) o różnych trójek wartości ( na m , b n , c k ), gdzie , b , c są pozytywne liczby całkowite względnie pierwsze i m , n , k są liczbami całkowitymi dodatnimi spełniającymi

 

 

 

 

( 2 )

Stwierdzenie dotyczy skończoności zbioru rozwiązań, ponieważ znanych jest 10 rozwiązań .

Odwrotne równanie Fermata

Gdy pozwolimy, aby wykładnik n był odwrotnością liczby całkowitej, tj. n = 1/ m dla pewnej liczby całkowitej m , mamy odwrotne równanie Fermata. Wszystkie rozwiązania tego równania zostały obliczone przez Hendrika Lenstra w 1992 roku. m- te pierwiastki muszą być prawdziwe i dodatnie, wszystkie rozwiązania są podane przez

dla dodatnich liczb całkowitych r, s, t z s i t względnie pierwszymi.

Wykładniki wymierne

Dla równania diofantycznego z n nie równym 1, Bennett, Glass i Székely udowodnili w 2004 roku dla n > 2, że jeśli n i m są względnie pierwsze, to istnieją rozwiązania całkowite wtedy i tylko wtedy, gdy 6 dzieli m , i , i są różne złożone 6-te pierwiastki tej samej liczby rzeczywistej.

Ujemne wykładniki całkowite

n = −1

Wszystkie prymitywne rozwiązania liczb całkowitych (tj. te bez czynnika pierwszego wspólnego dla wszystkich a , b , i c ) dla równania optycznego można zapisać jako

dla dodatnich liczb całkowitych względnie pierwszych m , k .

n = -2

Przypadek n = -2 również ma nieskończoną liczbę rozwiązań, a te mają interpretację geometryczną w postaci trójkątów prostokątnych o bokach całkowitych i całkowitej wysokości do przeciwprostokątnej . Wszystkie prymitywne rozwiązania są podane przez

dla liczb całkowitych względnie pierwszych u , v z v  >  u . Interpretacja geometryczna jest i b są liczbami całkowitymi nogi trójkąta prostokątnego, a d jest liczbą całkowitą wysokość na przeciwprostokątnej. Wtedy sama przeciwprostokątna jest liczbą całkowitą

więc ( a, b, c ) jest potrójną pitagorejską .

n < -2

Nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych dla liczb całkowitych n < −2. Gdyby tak było, równanie można by pomnożyć przez, aby otrzymać , co jest niemożliwe przez Wielkie Twierdzenie Fermata.

przypuszczenie abc

Hipoteza ABC przybliżeniu, że jeśli trzy dodatnie liczby całkowite , b i c (stąd nazwa) jest względnie pierwsze i spełniają + b = c , to rodnik d od ABC nie jest zwykle o wiele mniejsze niż ok . W szczególności przypuszczenie abc w najbardziej standardowym sformułowaniu implikuje ostatnie twierdzenie Fermata dla n, które są wystarczająco duże. Zmodyfikowane Szpiro hipoteza odpowiada hipotezy abc i dlatego ma ten sam wpływu. Efektywna wersja hipotezy abc lub efektywna wersja zmodyfikowanej hipotezy Szpiro implikuje wprost Wielkie Twierdzenie Fermata.

Nagrody i nieprawidłowe dowody

Ukraiński certyfikat praw autorskich dla „dowodu” Wielkiego Twierdzenia Fermata

W 1816 i ponownie w 1850 Francuska Akademia Nauk przyznała nagrodę za ogólny dowód Wielkiego Twierdzenia Fermata. W 1857 roku Akademia przyznała Kummerowi 3000 franków i złoty medal za badania nad liczbami idealnymi, chociaż nie złożył on zgłoszenia do nagrody. Kolejną nagrodę przyznała w 1883 r. Akademia Brukselska.

W 1908 r. niemiecki przemysłowiec i matematyk-amator Paul Wolfskehl przekazał w spadku Göttingen Academy of Science 100 000 marek w złocie – dużą sumę w tamtym czasie – jako nagrodę za kompletny dowód Wielkiego Twierdzenia Fermata. 27 czerwca 1908 r. Akademia opublikowała dziewięć zasad przyznawania nagrody. Między innymi zasady te wymagały opublikowania dowodu w recenzowanym czasopiśmie; nagroda zostanie przyznana dopiero po dwóch latach od publikacji; i że żadna nagroda nie zostanie przyznana po 13 września 2007 roku, mniej więcej sto lat po rozpoczęciu konkursu. Wiles odebrał nagrodę pieniężną Wolfskehla, wówczas wartą 50 000 dolarów, 27 czerwca 1997 r. W marcu 2016 r. Wiles otrzymał od rządu norweskiego nagrodę Abla w wysokości 600 000 euro za „oszałamiający dowód Wielkiego Twierdzenia Fermata w postaci hipotezy modularności dla półstabilnych krzywych eliptycznych , otwierając nową erę w teorii liczb”.

Przed dowodem Wilesa przed komisją Wolfskehl przedłożono tysiące błędnych dowodów, co stanowiło około 10 stóp (3 metry) korespondencji. Tylko w pierwszym roku (1907-1908) złożono 621 prób dowodu, chociaż w latach 70-tych wskaźnik zgłaszania zmniejszył się do około 3-4 prób miesięcznie. Według niektórych twierdzeń, Edmund Landau miał tendencję do używania specjalnego, gotowego formularza do takich dowodów, w którym miejsce pierwszego błędu pozostawiono puste do wypełnienia przez jednego z jego absolwentów. Według F. Schlichtinga, recenzenta z Wolfskehl, większość dowodów opierała się na elementarnych metodach nauczanych w szkołach i często przedstawianych przez „osoby z wykształceniem technicznym, ale nieudaną karierę zawodową”. Jak powiedział historyk matematyki Howard Eves , „Ostatnie Twierdzenie Fermata wyróżnia się tym, że jest problemem matematycznym, dla którego opublikowano największą liczbę błędnych dowodów”.

W kulturze popularnej

Czeski znaczek pocztowy upamiętniający dowód Wilesa

W odcinku The SimpsonsCzarnoksiężnik z wiecznie zielonych tarasówHomer Simpson zapisuje równanie na tablicy, co wydaje się być kontrprzykładem dla Wielkiego Twierdzenia Fermata. Równanie jest błędne, ale wydaje się być poprawne, jeśli zostało wprowadzone do kalkulatora z 10 cyframi znaczącymi .

W „ The Royale ”, epizodzie z 24 wieku, serialu Star Trek: Następne pokolenie z 1989 roku , Picard opowiada komandorowi Rikerowi o swoich próbach rozwiązania twierdzenia, wciąż nierozwiązanego po 800 latach. Konkluduje: „W naszej arogancji czujemy, że jesteśmy tak zaawansowani. A jednak nie możemy rozwiązać prostego węzła zawiązanego przez francuskiego matematyka pracującego w niepełnym wymiarze godzin bez komputera”. (Wgląd Andrew Wilesa prowadzący do jego przełomowego dowodu miał miejsce cztery miesiące po zakończeniu serii. Dowód Wilesa został wymieniony w odcinku Star Trek: Deep Space Nine w trzecim sezonie Facets , gdzie Jadzia Dax mówi Tobinowi Daxowi, że jego dowód twierdzenia był „ najbardziej oryginalne podejście do dowodu od czasów Wilesa ponad trzysta lat temu".)

Zobacz też

Przypisy

Bibliografia

Bibliografia

Dalsza lektura

Zewnętrzne linki