Zasada Fermata - Fermat's principle

Rys. 1 :  Zasada Fermata w przypadku załamania światła na płaskiej powierzchni między (powiedzmy) powietrzem i wodą. Biorąc pod uwagę obiekt-punkt A w powietrzu i punkt obserwacyjny B w wodzie, punkt załamania P jest tym, który minimalizuje czas potrzebny światłu do przebycia ścieżki APB . Jeśli szukamy wymaganej wartości x , stwierdzamy, że kąty α i β spełniają prawo Snella .

Zasada Fermata , znana również jako zasada najmniejszego czasu , jest powiązaniem między optyką promieniową a optyką falową . W swojej pierwotnej, „mocnej” postaci zasada Fermata mówi, że droga, którą obiera promień pomiędzy dwoma danymi punktami, jest drogą, którą można przebyć w jak najkrótszym czasie. Aby było prawdziwe we wszystkich przypadkach, twierdzenie to należy osłabić, zastępując „najmniejszy” czas czasem „ stacjonarnym ” w odniesieniu do zmian ścieżki — tak, aby odchylenie ścieżki powodowało co najwyżej zmiana drugiego rzędu w czasie przemierzania. Mówiąc luźno, ścieżka promienia jest otoczona bliskimi ścieżkami, które można przebyć w bardzo zbliżonych czasach. To można wykazać , że określenie techniczne odpowiada bardziej intuicyjne pojęcia promień, takie jak linia widzenia lub ścieżce wąskiej belce .

Po raz pierwszy zaproponowana przez francuskiego matematyka Pierre'a de Fermata w 1662 roku jako sposób wyjaśnienia zwyczajnego prawa załamania światła (ryc. 1), zasada Fermata była początkowo kontrowersyjna, ponieważ wydawała się przypisywać wiedzę i zamiary naturze. Dopiero w XIX wieku zrozumiano, że zdolność natury do testowania alternatywnych ścieżek jest jedynie podstawową właściwością fal. Jeśli podano punkty A i B , front fali rozszerzający się z A omiata wszystkie możliwe ścieżki promieni promieniujące z A , niezależnie od tego, czy przechodzą przez B, czy nie. Jeśli czoło fali osiągnie punkt B , przesuwa nie tylko ścieżkę(e) promienia od A do B , ale także nieskończoną liczbę pobliskich ścieżek z tymi samymi punktami końcowymi. Zasada Fermata opisuje każdy promień, który przypadkowo dotrze do punktu  B ; nic nie wskazuje na to, że promień „znał” najszybszą ścieżkę lub „zamierzał” ją obrać.

Rys. 2 :  dwa punkty P i P ' na drodze od A do B . Dla celów zasady Fermata, czas propagacji od P do P′ jest przyjmowany jak dla źródła punktowego w P , a nie (np.) dla arbitralnego czoła fali W przechodzącego przez P . Powierzchnia Σ   (z jednostką normalną w P′ ) jest miejscem występowania punktów, do których zakłócenie w P może dotrzeć w tym samym czasie, jaki zajmuje osiągnięcie P′ ; innymi słowy, Σ jest wtórnym frontem falowym o promieniu PP′ . ( Nie zakłada się, że podłoże jest jednorodne lub izotropowe ).

W celu porównania czasów przejścia, czas od jednego punktu do następnego wyznaczonego punktu jest traktowany tak, jakby pierwszy punkt był źródłem punktowym . Bez tego warunku czas przejścia byłby niejednoznaczny; na przykład, jeśli czas propagacji od P do P′ zostałby obliczony na podstawie dowolnego frontu fali W zawierającego P   (rys. 2), czas ten można by dowolnie skrócić poprzez odpowiednie ustawienie czoła fali.

Traktowanie punktu na ścieżce jako źródła jest minimalnym wymogiem zasady Huygensa i jest częścią wyjaśnienia zasady Fermata. Ale można również wykazać, że konstrukcja geometryczna, za pomocą której Huygens próbował zastosować swoją własną zasadę (w odróżnieniu od samej zasady), jest po prostu przywołaniem zasady Fermata. Stąd wszystkie wnioski, jakie Huygens wyciągnął z tej konstrukcji — w tym między innymi prawa prostoliniowego rozchodzenia się światła, zwykłe odbicie, zwykłe załamanie i nadzwyczajne załamanie „ kryształu Islandii ” (kalcytu) — są również konsekwencjami zasady Fermata.

Pochodzenie

Wystarczające warunki

Załóżmy, że:

(1) Zakłócenie rozchodzi się sekwencyjnie przez ośrodek (próżnię lub jakiś materiał, niekoniecznie jednorodny lub izotropowy ), bez oddziaływania na odległość ;
(2) Podczas propagacji wpływ zakłócenia w dowolnym punkcie pośrednim P na otaczające punkty ma niezerowy rozrzut kątowy (tak jakby P był źródłem), tak że zakłócenie pochodzące z dowolnego punktu A dociera do dowolnego innego punktu B poprzez nieskończoną liczbę ścieżek, którymi B otrzymuje nieskończoną liczbę opóźnionych wersji zakłócenia w A ; oraz
(3) Te opóźnione wersje zakłócenia wzmacniają się wzajemnie w punkcie B, jeśli są zsynchronizowane z pewną tolerancją.

Wtedy różne ścieżki propagacji od A do B będą sobie pomagać, jeśli ich czasy przejścia będą się zgadzały w ramach wspomnianej tolerancji. W przypadku małej tolerancji (w przypadku granicznym) dopuszczalny zakres zmian ścieżki jest maksymalizowany, jeśli ścieżka jest taka, że ​​jej czas przejścia jest stacjonarny w odniesieniu do zmian, tak że zmiana ścieżki powoduje co najwyżej sekundę -zmiana kolejności w czasie przemierzania.

Najbardziej oczywistym przykładem stacjonarności w czasie przemierzania jest minimum (lokalne lub globalne) — to znaczy droga o najmniejszym czasie, jak w „silnej” formie zasady Fermata. Ale warunek ten nie jest istotny dla argumentu.

Ustaliwszy, że ścieżka stacjonarnego czasu przejścia jest wzmocniona maksymalnie szerokim korytarzem sąsiednich ścieżek, musimy jeszcze wyjaśnić, jak to wzmocnienie odpowiada intuicyjnym pojęciom promienia. Ale dla zwięzłości wyjaśnień, najpierw zdefiniujmy ścieżkę promienia jako ścieżkę stacjonarnego czasu przemierzania.

Promień jako ścieżka sygnału (linia widzenia)

Jeśli korytarz ścieżek wzmacniających drogę promienia od A do B jest znacząco zatkany, to znacząco zmieni zakłócenie docierające do B od A — w przeciwieństwie do podobnej wielkości przeszkody poza każdym takim korytarzem, blokując ścieżki, które nie wzmacniają się nawzajem. Pierwsza przeszkoda znacząco zakłóci sygnał docierający do B z A , a druga nie; w ten sposób ścieżka promienia wyznacza ścieżkę sygnału . Jeśli sygnałem jest światło widzialne, pierwsza przeszkoda znacząco wpłynie na wygląd obiektu w A widziany przez obserwatora w B , podczas gdy ta druga nie; więc ścieżka promienia wyznacza linię wzroku .

W eksperymentach optycznych rutynowo zakłada się, że linia widzenia jest drogą promienia.

Promień jako ścieżka energetyczna (wiązka)

Ryc. 3 :  Eksperyment demonstrujący załamanie (i częściowe odbicie) promieni — aproksymowane lub zawarte w wąskich wiązkach

Jeśli korytarz ścieżek wzmacniających ścieżkę promienia od A do B jest znacznie zatkany, wpłynie to znacząco na energię docierającą do B z A — w przeciwieństwie do przeszkody podobnej wielkości poza takim korytarzem. W ten sposób ścieżka promienia wyznacza ścieżkę energii — podobnie jak wiązka.

Załóżmy, że front fali rozciągający się od punktu A mija punkt P , który leży na ścieżce promienia od punktu A do punktu B . Z definicji wszystkie punkty na froncie fali mają ten sam czas propagacji od A . Teraz niech front fali zostanie zablokowany, z wyjątkiem okna, wyśrodkowanego na P i wystarczająco małego, aby leżał w korytarzu ścieżek wzmacniających drogę promienia od A do B . Wtedy wszystkie punkty na niezakłóconej części czoła fali będą miały prawie dostatecznie równe czasy propagacji B , ale nie punkty w innych kierunkach, tak że B będzie w kierunku szczytowej intensywności wiązki wpuszczanej przez okno. Więc ścieżka promienia oznacza wiązkę. W eksperymentach optycznych wiązka jest rutynowo traktowana jako zbiór promieni lub (jeśli jest wąska) jako przybliżenie promienia (ryc. 3).

Analogie

Zgodnie z „silną” formą zasady Fermata, problem znalezienia drogi promienia świetlnego z punktu A w ośrodku o szybszej propagacji do punktu B w ośrodku o wolniejszej propagacji ( rys. 1 ) jest analogiczny do problemu problem ratownika z podjęciem decyzji, gdzie wejść do wody, aby jak najszybciej dotrzeć do tonącego pływaka, ponieważ ratownik może biec szybciej niż pływa. Ale ta analogia nie wyjaśnia zachowania światła, ponieważ ratownik może pomyśleć o problemie (nawet jeśli tylko przez chwilę), podczas gdy światło prawdopodobnie nie może. Odkrycie, że mrówki są zdolne do podobnych obliczeń, nie wypełnia luki między żywym a nieożywionym.

W przeciwieństwie do powyższego, powyższe założenia (1) do (3) odnoszą się do wszelkich zakłóceń falowych i wyjaśniają zasadę Fermata w kategoriach czysto mechanistycznych , bez przypisywania wiedzy lub celu.

Zasada odnosi się ogólnie do fal, w tym (np.) fal dźwiękowych w płynach i fal sprężystych w ciałach stałych. W innej postaci, to działa nawet fal niezależnie W mechanice kwantowej The klasyczna droga cząstki można otrzymać, stosując zasadę Fermata przyporządkowanemu fali - z tym, że ponieważ częstotliwość może się zmieniać ze ścieżki, stacjonarności jest w przesunięcie fazowe (lub liczbę cykli) i niekoniecznie w czasie.

Zasada Fermata jest jednak najbardziej znana w przypadku światła widzialnego : jest to związek między optyką geometryczną , która opisuje pewne zjawiska optyczne za pomocą promieni , a falową teorią światła , która wyjaśnia te same zjawiska na podstawie hipotezy, że światło składa się z fal .

Równoważność konstrukcji Huygensa

Rys. 4 :  Dwie iteracje konstrukcji Huygensa. W pierwszej iteracji późniejszy front falowy W′ jest wyprowadzany z wcześniejszego frontu falowego W , biorąc obwiednię wszystkich drugorzędnych frontów falowych (szare łuki) rozszerzających się w danym czasie ze wszystkich punktów (np. P ) na W . Strzałki pokazują kierunki promieni.

W tym artykule rozróżniamy zasadę Huygensa , która mówi, że każdy punkt, przez który przechodzi fala biegnąca, staje się źródłem fali wtórnej, od konstrukcji Huygensa , która jest opisana poniżej.

Niech powierzchnia W będzie frontem falowym w czasie t i niech powierzchnia W′ będzie tym samym frontem falowym w późniejszym czasie  t + Δt   (rys. 4). Niech P będzie punktem ogólnym na W . Następnie, zgodnie z konstrukcją Huygensa,

(a)  W′ jest obwiednią (wspólną powierzchnią styczną) po przedniej stronie W wszystkich wtórnych frontów falowych, z których każdy rozszerzałby się w czasie Δt od punktu na W , oraz
(b) jeśli wtórne czoło fali rozszerzające się z punktu P w czasie Δt dotyka powierzchni W′ w punkcie P′ , to P i P′ leżą na promieniu .

Konstrukcję można powtarzać w celu znalezienia kolejnych pozycji pierwotnego czoła fali i kolejnych punktów na promieniu.

Kierunek promieni nadany przez tę konstrukcję jest kierunkiem promieniowym wtórnego czoła fali i może różnić się od normalnej do wtórnego czoła fali (por  . Fig. 2 ), a zatem od normalnej do pierwotnego czoła fali w punkcie styczności. Stąd prędkość promienia , pod względem wielkości i kierunku, jest prędkością promieniową nieskończenie małego wtórnego frontu fali i jest ogólnie funkcją położenia i kierunku.

Teraz niech Q będzie punktem na W bliskim P , a Q′ będzie punktem na W′ bliskim P′ . Następnie, przez budowę,

(I) czas potrzebny do wtórnego czoła fali od P do osiągnięcia Q ' ma co najwyżej zależność drugiego rzędu na przemieszczenie P'Q' i
(ii) czas potrzebny na osiągnięcie przez wtórne frontu fali P′ z Q jest co najwyżej drugiego rzędu zależnością od przemieszczenia PQ .

Przez (i) droga promienia jest ścieżką stacjonarnego czasu przejścia od P do W′ ; a przez (ii) jest to droga stacjonarnego czasu przejścia od punktu na W do P′ .

Tak więc konstrukcja Huygensa domyślnie definiuje ścieżkę promienia jako ścieżkę stacjonarnego czasu przechodzenia między kolejnymi pozycjami czoła fali , przy czym czas jest liczony od źródła punktowego na wcześniejszym froncie fali. Ten wniosek pozostaje słuszny, jeśli wtórne fronty falowe są odbijane lub załamywane przez powierzchnie nieciągłości we właściwościach ośrodka, pod warunkiem, że porównanie jest ograniczone do ścieżek afektywnych i dotkniętych części frontów falowych.

Jednak zasada Fermata jest konwencjonalnie wyrażana w terminach punkt-punkt , a nie w terminach od czoła fali do czoła fali. W związku z tym zmodyfikujmy przykład, zakładając, że front fali, który staje się powierzchnią W w czasie t , a który staje się powierzchnią W′ w późniejszym czasie t + Δt , jest emitowany z punktu A w czasie  0 . Niech P będzie punktem na W (jak poprzednio), a B punktem na W′ . I niech dane będą A,W, W′ i B , aby problemem było znalezienie P .

Jeśli P spełnia konstrukcję Huygensa, tak że wtórne czoło fali od P jest styczne do W′ w B , to PB jest ścieżką stacjonarnego czasu przejścia od W do B . Dodając stały czas od A do W , stwierdzamy, że APB jest ścieżką stacjonarnego czasu przejścia od A do B (prawdopodobnie z ograniczoną dziedziną porównania, jak wspomniano powyżej), zgodnie z zasadą Fermata. Argument działa równie dobrze w odwrotnym kierunku, pod warunkiem, że W′ ma dobrze określoną płaszczyznę styczną w B . Zatem konstrukcja Huygensa i zasada Fermata są geometrycznie równoważne.

Dzięki tej równoważności zasada Fermata podtrzymuje konstrukcję Huygensa i stąd wszystkie wnioski, które Huygens był w stanie wyciągnąć z tej konstrukcji. Krótko mówiąc, „Prawa optyki geometrycznej można wyprowadzić z zasady Fermata”. Z wyjątkiem samej zasady Fermata-Huygensa, prawa te są szczególnymi przypadkami w tym sensie, że zależą od dalszych założeń dotyczących mediów. Dwa z nich są wymienione w następnym nagłówku.

Przypadki specjalne

Media izotropowe: Promienie normalne do frontów fal

W ośrodku izotropowym, ponieważ prędkość propagacji jest niezależna od kierunku, wtórne fronty falowe, które rozszerzają się z punktów na pierwotnym froncie falowym w danym nieskończenie małym czasie, są kuliste, tak że ich promienie są normalne do ich wspólnej stycznej powierzchni w punktach styczności. Ale ich promienie wyznaczają kierunki promieni, a ich wspólna powierzchnia styczna jest ogólnym frontem falowym. W ten sposób promienie są normalne (prostokątne) do frontów falowych.

Ponieważ znaczna część nauczania optyki koncentruje się na ośrodkach izotropowych, traktując ośrodki anizotropowe jako temat opcjonalny, założenie, że promienie są normalne względem frontów fal, może stać się tak wszechobecne, że nawet zasada Fermata jest wyjaśniona na podstawie tego założenia, chociaż w rzeczywistości zasada Fermata jest bardziej ogólne.

Ośrodki jednorodne: propagacja prostoliniowa

W ośrodku jednorodnym (zwanym również ośrodkiem jednorodnym ) wszystkie wtórne fronty falowe, które rozszerzają się od danego pierwotnego frontu fali W w danym czasie Δt,przystające i podobnie zorientowane, tak że ich obwiednię W′ można uznać za obwiednię pojedynczego wtórny front fali, który zachowuje swoją orientację, podczas gdy jego środek (źródło) przesuwa się nad W . Jeśli P jest jego środkiem, a P′ jest jego punktem styczności z W′ , to P′ porusza się równolegle do P , tak że płaszczyzna styczna do W′ w P′ jest równoległa do płaszczyzny stycznej do W w P . Niech inny (przystający i podobnie zorientowany) wtórny front fali będzie wyśrodkowany na P′ , poruszający się z P , i niech spotka się z obwiednią W″ w punkcie P″ . Następnie, zgodnie z tym samym rozumowaniem, płaszczyzna styczna do W” w punkcie P” jest równoległa do dwóch pozostałych płaszczyzn. Stąd, ze względu na kongruencję i podobne orientacje, kierunki promieni PP′ i P′P″ są takie same (ale niekoniecznie normalne do frontów falowych, ponieważ wtórne fronty falowe niekoniecznie są sferyczne). Tę konstrukcję można powtarzać dowolną ilość razy, dając promień prosty o dowolnej długości. W ten sposób jednorodny ośrodek dopuszcza promienie prostoliniowe.

Wersja nowoczesna

Formuła pod względem współczynnika załamania

Niech ścieżka Γ rozciąga się od punktu A do punktu B . Niech s będzie długością łuku mierzoną wzdłuż ścieżki od A , i niech t będzie czasem potrzebnym do przebycia tej długości łuku z prędkością promienia (to znaczy z promieniową prędkością lokalnego wtórnego frontu fali, dla każdego położenia i kierunku na ścieżka). Wtedy czas przejścia całej ścieżki Γ wynosi

 

 

 

 

(1)

(gdzie A i B po prostu oznaczają punkty końcowe i nie należy ich interpretować jako wartości t lub s ). Warunkiem, aby Γ był ścieżką promienia, jest to, że zmiana pierwszego rzędu w T spowodowana zmianą Γ wynosi zero; to jest,

.

Zdefiniujmy teraz optyczną długość danej drogi ( długość drogi optycznej , OPL ) jako odległość przebytą przez promień w jednorodnym izotropowym ośrodku odniesienia (np. próżni) w takim samym czasie, jaki zajmuje pokonanie danej drogi przy lokalna prędkość promienia. Następnie, jeśli c oznacza prędkość propagacji w ośrodku odniesienia (np. prędkość światła w próżni), optyczna długość przebytej drogi w czasie dt   wynosi dS = c dt , a optyczna długość przebytej drogi w czasie T   to S = cT . Tak więc mnożąc równanie  (1) przez c  , otrzymujemy

gdzie jest współczynnikiem promienia — to znaczy współczynnikiem załamania obliczonym na podstawie prędkości promienia zamiast zwykłej prędkości fazowej (prędkość normalna do fali). W przypadku nieskończenie małej ścieżki wskazaliśmy, że długość optyczna jest długością fizyczną pomnożoną przez wskaźnik promienia: OPL jest hipotetyczną wielkością geometryczną , z której obliczono czas. Z punktu widzenia OPL warunkiem, aby Γ było ścieżką promienia (zasada Fermata) staje się

.

 

 

 

 

(2)

Ma to postać zasady Maupertuisa w mechanice klasycznej (dla pojedynczej cząstki), przy czym indeks promienia w optyce przyjmuje rolę pędu lub prędkości w mechanice.

W ośrodku izotropowym, których prędkość promień jest również prędkość faza może podstawić zwykle współczynnik załamania nn r . 

Związek z zasadą Hamiltona

Jeżeli x,y,z są współrzędnymi kartezjańskimi, a przekreślenie oznacza różniczkowanie względem s  , można zapisać zasadę Fermata (2)

W przypadku ośrodka izotropowego możemy zastąpić n r normalnym współczynnikiem załamania światła  n ( x,y,z ) , który jest po prostu polem skalarnym . Jeśli następnie zdefiniujemy optyczny Lagranżjan jako

Zasada Fermata staje się

.

Jeśli kierunek propagacji jest zawsze taki, że możemy użyć z zamiast s jako parametru ścieżki (i przekreślenia oznaczającego różniczkowanie wrt  z zamiast s ), można zamiast tego zapisać optyczny Lagrangean

aby zasada Fermata stała się

.

Ma to postać zasady Hamiltona w mechanice klasycznej, z tą różnicą, że brakuje wymiaru czasowego: trzecia współrzędna przestrzenna w optyce pełni rolę czasu w mechanice. Lagranżian optyczny jest funkcją, która po zintegrowaniu z parametrem ścieżki daje OPL; jest podstawą optyki lagranżowskiej i hamiltonowskiej .

Historia

Fermat kontra kartezjanie

Pierre de Fermat (1607 –1665)

Jeśli promień biegnie po linii prostej, to oczywiście obiera ścieżkę o najmniejszej długości . Hero z Aleksandrii w swojej Catoptrics (I wiek n.e.) wykazał, że zwykłe prawo odbicia od płaskiej powierzchni wynika z założenia, że ​​całkowita długość drogi promienia jest minimalna. W 1657 Pierre de Fermat otrzymał od Marin Cureau de la Chambre kopię nowo opublikowanego traktatu, w którym La Chambre odnotował zasadę Hero i skarżył się, że nie działa ona na refrakcję.

Fermat odpowiedział, że refrakcję można wprowadzić do tej samej struktury, zakładając, że światło obiera ścieżkę najmniejszego oporu i że różne media oferują różne opory. Jego ostateczne rozwiązanie, opisane w liście do La Chambre z dnia 1 stycznia 1662, interpretowało „opór” jako odwrotnie proporcjonalny do prędkości, tak że światło obierało najkrótszy czas . Przesłanka ta dała zwykłe prawo załamania , pod warunkiem, że światło poruszało się wolniej w optycznie gęstszym ośrodku.

Rozwiązanie Fermata było przełomowe, ponieważ ujednolicło znane wówczas prawa optyki geometrycznej zgodnie z zasadą wariacyjną lub zasadą działania , ustanawiając precedens dla zasady najmniejszego działania w mechanice klasycznej i odpowiadających jej zasad w innych dziedzinach (patrz Historia zasad wariacyjnych w fizyce ). Było to tym bardziej godne uwagi, że wykorzystywało metodę nierówności , którą z perspektywy czasu można rozumieć jako znalezienie punktu, w którym nachylenie nieskończenie krótkiej cięciwy wynosi zero, bez pośredniego kroku znalezienia ogólnego wyrażenia na nachylenie ( pochodna ) .

Od razu wzbudził też kontrowersje. Zwykłe prawo załamania światła przypisywano wówczas René Descartesowi (zm. 1650), który próbował je wyjaśnić, zakładając, że światło jest siłą, która rozchodzi się natychmiast , lub że światło jest analogiczne do piłki tenisowej, która porusza się szybciej w gęstsze medium, albo założenie jest niezgodne z Fermatem. Najwybitniejszy obrońca Kartezjusza, Claude Clerselier , skrytykował Fermata za pozorne przypisywanie naturze wiedzy i intencji oraz za brak wyjaśnienia, dlaczego natura powinna preferować oszczędzanie na czasie niż na dystansie. Clerselier napisał w części:

1. Zasada, którą bierzesz za podstawę swojego dowodu, a mianowicie, że natura zawsze działa w najkrótszy i najprostszy sposób, jest jedynie zasadą moralną, a nie fizyczną; nie jest i nie może być przyczyną jakiegokolwiek skutku w przyrodzie... W przeciwnym razie przypisywalibyśmy wiedzę naturze; ale tutaj, przez „naturę”, rozumiemy tylko ten porządek i to prawo ustanowione w świecie takim, jaki jest, które działa bez przewidywania, bez wyboru i przez niezbędną determinację.

2. Ta sama zasada uczyniłaby przyrodę niezdecydowaną... Bo pytam cię... kiedy promień światła musi przejść z punktu w rzadkim ośrodku do punktu w gęstym, czy nie ma powodu, aby natura się wahała, jeśli zgodnie z twoją zasadą musi wybrać linię prostą zaraz po wygiętej, bo jeśli ta druga okaże się krótsza w czasie, to ta pierwsza jest krótsza i prostsza? Kto zdecyduje, a kto ogłosi? 

Fermat, nie wiedząc o mechanistycznych podstawach swojej własnej zasady, nie mógł jej bronić, chyba że jako czysto geometryczne i kinematyczne twierdzenie. Fali teoria światła , pierwszy zaproponował przez Roberta Hooke'a w roku śmierć Fermata i szybko poprawia Ignace-Gaston Pardies i (zwłaszcza) Christiaan Huygens , zawierała niezbędne podstawy; ale rozpoznanie tego faktu było zaskakująco powolne.

Przeoczenie Huygensa

Christian Huygens (1629-1695)

Huygens wielokrotnie odnosił się do obwiedni swoich drugorzędnych frontów falowych jako do zakończenia ruchu, co oznaczało, że późniejszy front fali był zewnętrzną granicą, do której zakłócenie mogło dotrzeć w danym czasie, co było zatem minimalnym czasem, w którym każdy punkt na późniejszym froncie fali można osiągnąć. Ale nie twierdził, że kierunek minimalnego czasu jest taki, że od źródła wtórnego do punktu styczności; zamiast tego wydedukował kierunek promienia z zasięgu wspólnej powierzchni stycznej odpowiadającej danemu zasięgowi początkowego czoła fali. Jego jedyne poparcie dla zasady Fermata miało ograniczony zakres: wyprowadziwszy prawo zwykłego załamania, dla którego promienie są normalne do frontów fal, Huygens dał geometryczny dowód, że promień załamany zgodnie z tym prawem obiera drogę najkrótszego czasu. Nie uznałby tego za konieczne, gdyby wiedział, że zasada najmniejszego czasu wynika bezpośrednio z tej samej konstrukcji wspólnej stycznej, z której wydedukował nie tylko prawo zwykłego załamania, ale także prawa prostoliniowego rozchodzenia się i zwykłego odbicia ( które również wynikały z zasady Fermata) oraz nieznanego wcześniej prawa niezwykłego załamania — ostatnie za pomocą wtórnych frontów falowych, które były raczej sferoidalne niż sferyczne, w wyniku czego promienie były generalnie ukośne do frontów falowych. Wyglądało to tak, jakby Huygens nie zauważył, że jego konstrukcja implikuje zasadę Fermata, a nawet jakby sądził, że znalazł wyjątek od tej zasady. Rękopis cytowany przez Alana E. Shapiro zdaje się potwierdzać, że Huygens uważał, że zasada najmniejszego czasu jest nieważna „w podwójnym załamaniu , gdzie promienie nie są normalne do czoła fali”.

Shapiro donosi dalej, że jedyne trzy autorytety, które zaakceptowały „zasadę Huygensa” w XVII i XVIII wieku, a mianowicie Philippe de La Hire , Denis Papin i Gottfried Wilhelm Leibniz , uczyniły to, ponieważ wyjaśniało to niezwykłe załamanie „ islandzkiego kryształu ” (kalcyt) w taki sam sposób jak znane wcześniej prawa optyki geometrycznej. Ale na razie nie zauważono odpowiedniego rozszerzenia zasady Fermata.

Laplace, Young, Fresnel i Lorentz

Pierre-Simon Laplace (1749-1827)

30 stycznia 1809 r. Pierre-Simon Laplace , relacjonując pracę swojego protegowanego Étienne-Louisa Malusa , twierdził, że nadzwyczajne załamanie kalcytu można wyjaśnić na podstawie korpuskularnej teorii światła za pomocą zasady najmniejszego działania Maupertuisa : całka prędkości względem odległości była minimalna. Szybkość korpuskularna, która spełniała tę zasadę, była proporcjonalna do odwrotności prędkości promienia określonej przez promień sferoidy Huygensa. Laplace kontynuował:

Według Huygensa prędkość promienia nadzwyczajnego w krysztale jest po prostu wyrażona przez promień sferoidy; w konsekwencji jego hipoteza nie jest zgodna z zasadą najmniejszego działania: ale godne uwagi jest to , że zgadza się z zasadą Fermata, zgodnie z którą światło przechodzi z danego punktu bez kryształu do danego punktu wewnątrz niego, w najkrótszy możliwy czas; łatwo bowiem zauważyć, że zasada ta pokrywa się z zasadą najmniejszego działania, jeśli odwrócimy wyrażenie prędkości.

Thomas Young (1773-1829)

Raport Laplace'a był przedmiotem szeroko zakrojonej odpowiedzi Thomasa Younga , który napisał między innymi:

Zasada Fermata, chociaż została przyjęta przez tego matematyka na podstawie hipotetycznych, a nawet wyimaginowanych, jest w rzeczywistości fundamentalnym prawem w odniesieniu do ruchu falowego i jest wyraźnie [ sic ] podstawą każdego określenia w teorii Huygena... Pan Laplace wydaje się nie znać tej najistotniejszej zasady jednej z dwóch teorii, które porównuje; mówi bowiem, że „to niezwykłe”, że prawo niezwykłej refrakcji Huygena zgadza się z zasadą Fermata; czego prawie by nie zauważył, gdyby miał świadomość, że prawo jest bezpośrednią konsekwencją zasady.

W rzeczywistości Laplace był świadomy, że zasada Fermata wynika z konstrukcji Huygensa w przypadku załamania z ośrodka izotropowego na anizotropowy; dowód geometryczny był zawarty w długiej wersji raportu Laplace'a, wydrukowanej w 1810 roku.

Twierdzenie Younga było bardziej ogólne niż twierdzenie Laplace'a i podobnie podtrzymywało zasadę Fermata nawet w przypadku nadzwyczajnego załamania, w którym promienie na ogół nie są prostopadłe do frontów fal. Niestety jednak pominięte środkowe zdanie cytowanego akapitu przez Younga zaczynało się: „Ruch każdego falowania musi koniecznie być w kierunku prostopadłym do jego powierzchni…” (podkreślenie dodane) i dlatego musiało siać raczej zamieszanie niż jasność. .

Augustyn-Jean Fresnel (1788-1827)

Żadne takie zamieszanie nie istnieje w „Drugim pamiętniku” Augustina-Jeana Fresnela o podwójnym załamaniu ( Fresnel, 1827 ), który odnosi się do zasady Fermata w kilku miejscach (bez nazywania Fermata), wychodząc od szczególnego przypadku, w którym promienie są normalne do frontów falowych, do ogólnego przypadku, w którym promienie są drogami najmniej czasu lub czasu stacjonarnego. (W poniższym podsumowaniu numery stron odnoszą się do tłumaczenia Alfreda W. Hobsona .)

  • W przypadku załamania fali płaskiej o równoległym padaniu na jedną powierzchnię anizotropowego klina krystalicznego (s. 291-2), aby znaleźć „pierwszy promień przybyły” do punktu obserwacyjnego za drugą powierzchnią klina, wystarczy traktuj promienie na zewnątrz kryształu jako normalne do frontów fal, a wewnątrz kryształu, aby brać pod uwagę tylko równoległe fronty fal (niezależnie od kierunku promieni). Tak więc w tym przypadku Fresnel nie próbuje prześledzić całej drogi promienia.
  • Następnie Fresnel rozważa promień załamany od źródła punktowego M wewnątrz kryształu, przez punkt A na powierzchni, do punktu obserwacji B na zewnątrz (s. 294–6). Powierzchnia przechodząca przez B i dana przez „miejsce zaburzeń, które przybywają jako pierwsze” jest, zgodnie z konstrukcją Huygensa, normalna do „promienia AB najszybszego przybycia”. Ale ta konstrukcja wymaga znajomości „powierzchni fali” (czyli wtórnego frontu fali) w krysztale.
  • Następnie rozważa płaski front fali propagujący się w ośrodku z niesferycznymi wtórnymi frontami fali, zorientowanymi tak, że droga promienia określona przez konstrukcję Huygensa — od źródła wtórnego frontu fali do jego punktu styczności z następującym po nim pierwotnym frontem fali — nie jest normalna do głównych frontów falowych (s. 296). Pokazuje, że ścieżka ta jest jednak „ścieżką najszybszego nadejścia zakłócenia” od wcześniejszego frontu fali pierwotnej do punktu styczności.
  • W późniejszym nagłówku (s. 305) oświadcza, że ​​„Konstrukcja Huygensa, która określa ścieżkę najszybszego przybycia”, ma zastosowanie do wtórnych frontów fal o dowolnym kształcie. Następnie zauważa, że ​​gdy zastosujemy konstrukcję Huygensa do załamania w krysztale z dwuwarstwowym wtórnym frontem fali i narysujemy linie od dwóch punktów styczności do środka wtórnego frontu fali, „będziemy mieć kierunki tych dwóch drogi najszybszego przybycia, a w konsekwencji zwykłego i niezwykłego promienia.
  • Pod nagłówkiem „Definicja słowa Promień ” (s. 309) dochodzi do wniosku, że termin ten należy stosować do linii łączącej środek fali wtórnej z punktem na jej powierzchni, niezależnie od nachylenia tej linii do powierzchnia.
  • Jako „nowe rozważanie” (s. 310-11) zauważa, że ​​jeśli płaskie czoło fali przechodzi przez mały otwór o środku w punkcie E , to kierunek ED maksymalnej intensywności wiązki wynikowej będzie tym, w którym wtórna fala rozpoczynająca się od E „przybędzie tam pierwsza”, a drugorzędne fronty falowe z przeciwnych stron otworu (równoodległe od E ) „przyjdą do D w tym samym czasie” co się nawzajem. Nie zakłada się, że kierunek ten jest normalny do jakiegokolwiek czoła fali.

W ten sposób Fresnel wykazał, nawet dla ośrodków anizotropowych, że droga promienia określona przez konstrukcję Huygensa jest drogą najmniej czasu pomiędzy kolejnymi pozycjami płaszczyzny lub rozbieżnego czoła fali, że prędkości promieni są promieniami wtórnej „powierzchni fali” po jednostce czasu i że stacjonarny czas ruchu uwzględnia kierunek maksymalnego natężenia wiązki. Jednak ustalenie ogólnej równoważności między konstrukcją Huygensa a zasadą Fermata wymagałoby dalszego rozważenia zasady Fermata w kategoriach punkt-punkt.

Hendrik Lorentz , w artykule napisanym w 1886 i ponownie opublikowanym w 1907, wydedukował zasadę najmniejszego czasu w formie punkt-punkt z konstrukcji Huygensa. Ale istota jego argumentacji była nieco zaciemniona przez pozorną zależność od eteru i eteru oporu .

Praca Lorentza została przytoczona w 1959 r. przez Adriaana J. de Witte, który następnie przedstawił swój własny argument, który „choć w istocie taki sam, uważany jest za bardziej przekonujący i bardziej ogólny”. Ujęcie De Witte jest bardziej oryginalne, niż mógłby sugerować ten opis, choć ograniczone do dwóch wymiarów; wykorzystuje rachunek wariacyjny, aby wykazać, że konstrukcja Huygensa i zasada Fermata prowadzą do tego samego równania różniczkowego dla drogi promienia, i że w przypadku zasady Fermata zachodzi odwrotność. De Witte zauważył również, że „wydaje się, że sprawa wymyka się omówieniu w podręcznikach”.

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

Bibliografia

  • M. Born i E. Wolf, 1970, Principles of Optics , 4. wydanie, Oxford: Pergamon Press.
  • J. Chaves, 2016, Wprowadzenie do optyki nieobrazowej , 2nd Ed., Boca Raton, FL: CRC Press , ISBN  978-1-4822-0674-6 .
  • O. Darrigol, 2012, A History of Optics: Od greckiej starożytności do XIX wieku , Oxford, ISBN  978-0-19-964437-7 .
  • AJ de Witte, 1959, „Równoważność zasady Huygensa i zasady Fermata w geometrii promieni”, American Journal of Physics , tom. 27, nie. 5 (maj 1959), s. 293–301, doi : 10.1119/1.1934839Errata : Na ryc. 7(b) każde wystąpienie „promienia” powinno być „normalne” (opisane w tomie 27, nr 6, str. 387).
  • E. Frankel, 1974, "Poszukiwanie korpuskularnej teorii podwójnego załamania: Malus, Laplace i cena [ sic ] konkurencja z 1808 r.", Centaurus , tom. 18, nie. 3 (wrzesień 1974), s. 223–245, doi : 10.1111/j.1600-0498.1974.tb00298.x .
  • A. Fresnel, 1827, "Mémoire sur la double réfraction", Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de l'Institut de France , tom. VII (za 1824, druk 1827), s. 45–176 ; przedrukowane jako " Drugie wspomnienie..." w Oeuvres complètes d'Augustina Fresnela , t. 2 (Paryż: Imprimerie Impériale, 1868), s. 479-596 ; przetłumaczony przez AW Hobsona jako "Pamiętnik o podwójnym załamaniu" , w R. Taylor (red.), Scientific Memoirs , tom. V (Londyn: Taylor i Francis, 1852), s. 238-333. (Cytowane numery stron pochodzą z tłumaczenia.)
  • C. Huygens, 1690, Traité de la Lumière (Leiden: Van der Aa), przekład SP Thompsona jako Treatise on Light , University of Chicago Press, 1912; Projekt Gutenberg, 2005. (Cytowane numery stron są zgodne z edycją z 1912 r. i edycją HTML Gutenberga.)
  • P. Mihas, 2006, „Rozwijanie idei refrakcji, soczewek i tęczy poprzez wykorzystanie zasobów historycznych” , Science & Education , tom. 17, nie. 7 (sierpień 2008), s. 751-777 (online 6 września 2006), doi : 10.1007/s11191-006-9044-8 .
  • I. Newton, 1730, Opticks: lub Traktat o odbiciach, załamaniach, przegięciach i kolorach światła , wyd. (Londyn: William Innys, 1730; Projekt Gutenberg, 2010); ponownie opublikowane z Przedmową A. Einsteina i Wstępem ET Whittakera (Londyn: George Bell & Sons, 1931); przedrukowane z dodatkową przedmową IB Cohena i analitycznym spisem treści autorstwa DHD Roller, Mineola, NY: Dover, 1952, 1979 (z poprawioną przedmową), 2012. (Cytowane numery stron są zgodne z edycją Gutenberg HTML i edycją Dover.)
  • AI Sabra, 1981, Teorie światła: od Kartezjusza do Newtona (Londyn: Oldbourne Book Co., 1967), przedruk Cambridge University Press, 1981, ISBN  0-521-28436-8 .
  • AE Shapiro, 1973, „Optyka kinematyczna: studium falowej teorii światła w XVII wieku”, Archiwum Historii Nauk Ścisłych , tom. 11, nie. 2/3 (czerwiec 1973), s. 134–266, doi : 10.1007/BF00343533 .
  • T. Young, 1809, Artykuł X w Przeglądzie Kwartalnym , t. 2, nie. 4 (listopad 1809), s. 337–48 .
  • A. Ziggelaar, 1980, „Sinusowe prawo załamania światła wyprowadzone z zasady Fermata – przed Fermatem? Tezy Wilhelma Boelmansa SJ w 1634”, Centaurus , tom. 24, nie. 1 (wrzesień 1980), s. 246–62, doi : 10.1111/j.1600-0498.1980.tb00377.x .

Dalsza lektura