Przypuszczenie obszaru wypełnienia - Filling area conjecture

W geometrii różniczkowej , Mikhail Gromow jest obszar napełniania przypuszczenia potwierdza, że półkula ma minimalny obszar między orientowanych powierzchnie wypełnienia zamkniętej krzywej określonej długości, bez wprowadzania zwarciom pomiędzy punktami.

Definicje i stwierdzenie domniemania

Każda gładka powierzchnia $M$ lub krzywa w przestrzeni euklidesowej jest przestrzenią metryczną , w której (wewnętrzna) odległość $d M (x, y)$ między dwoma punktami $x, y$ z $M$ jest zdefiniowana jako dolna granica długości krzywych, które przechodzą od $x$ do $y$ wzdłuż $M$ . Na przykład, w zamkniętej krzywej o długości $2$ $L$ , dla każdego punktu $x$ krzywej jest unikalny drugi punkt na krzywej (zwanej antypodyczne z $X$ ) na odległości $L$ od $x$ . ${\ displaystyle C}$

Zwarta powierzchnia $M$ wypełnia zamkniętą krzywą $C$ , gdy jego granica (zwany też granica oznaczoną $\partial M$ ) jest krzywa $C$ . Wypełnienie $M$ mówi się, że jest izometryczne, jeśli dla dowolnych dwóch punktów $x, y$ krzywej granicznej $C$ odległość $d M (x, y)$ między nimi wzdłuż $M$ jest taka sama (nie mniejsza) niż odległość $d C (x, y)$ wzdłuż granicy. Innymi słowy, wypełnienie krzywej izometrycznie oznacza wypełnienie jej bez wprowadzania skrótów.

Pytanie: Jak mały może być obszar powierzchni, która izometrycznie wypełnia swoją krzywą graniczną, o danej długości?

Na przykład w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej okrąg

{\ Displaystyle C = \ {(x, y, 0): \ x ^ {2} + y ^ {2} = 1 \}}

(o długości 2 $π$ ) jest wypełniony płaską tarczą

{\ Displaystyle D = \ {(x, y, 0): \ x ^ {2} + y ^ {2} \ równoważnik 1 \}}

co nie jest wypełnieniem izometrycznym, ponieważ każdy prosty akord wzdłuż niego jest skrótem. W przeciwieństwie do półkuli

{\ Displaystyle H = \ {(x, y, z): \ x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1 {\ tekst {i}} z \ geq 0 \}}

jest izometrycznym wypełnieniem tego samego koła $C$ , które ma dwukrotnie większą powierzchnię niż płaski dysk . Czy to minimalny możliwy obszar?

Powierzchnię można wyobrazić sobie jako wykonaną z elastycznego, ale nierozciągliwego materiału, który umożliwia jej przesuwanie i zginanie w przestrzeni euklidesowej. Żadne z tych przekształceń nie modyfikuje pola powierzchni ani długości narysowanych na niej krzywych, które są wielkościami związanymi z problemem. Powierzchnię można całkowicie usunąć z przestrzeni euklidesowej, uzyskując powierzchnię riemannowską , która jest abstrakcyjną gładką powierzchnią z metryką riemannowską, która koduje długości i pole. Odwrotnie, zgodnie z twierdzeniem Nasha-Kuipera , każda powierzchnia riemannowska z granicą może być osadzona w przestrzeni euklidesowej z zachowaniem długości i powierzchni określonych przez metrykę riemannowską. Zatem problem wypełnienia można określić równoważnie jako pytanie o powierzchnie riemannowskie , które nie są umieszczone w przestrzeni euklidesowej w żaden szczególny sposób.

Hipoteza (przypuszczenie pola wypełnienia Gromova, 1983): Półkula ma minimalną powierzchnię pośród orientowalnych zwartych powierzchni riemannowskich, które wypełniają izometrycznie ich krzywą graniczną o danej długości.

Dowód Gromova w przypadku dysków riemannowskich

W tym samym artykule, w którym Gromov sformułował przypuszczenie, udowodnił to

półkula ma najmniejszy obszar spośród powierzchni riemannowskich, które izometrycznie wypełniają okrąg o określonej długości i są homeomorficzne do dysku .

Dowód: niech będzie dyskiem riemannowskim, który izometrycznie wypełnia swoją granicę długości . Przyklej każdy punkt jego antypodalnym punktem , zdefiniowanym jako unikalny punkt, który znajduje się w maksymalnej możliwej odległości od . Przyklejając w ten sposób uzyskujemy zamkniętą powierzchnię riemannowską homeomorficzną względem rzeczywistej płaszczyzny rzutowej, której skurcz (długość najkrótszej niekurczalnej krzywej) jest równy . (I odwrotnie, jeśli przecinamy rzutową płaszczyznę wzdłuż najkrótszej niekurczalnej pętli długości , otrzymamy dysk, który wypełnia izometrycznie swoją granicę długości .) Zatem minimalna powierzchnia, jaką może mieć wypełnienie izometryczne , jest równa minimalnej powierzchni, jaką może mieć wypełnienie izometryczne. Riemannowska rzutowa płaszczyzna skurczu może mieć. Ale następnie nierówność skurczowa Pu dokładnie zapewnia, że rzutowa płaszczyzna riemannowska danego skurczu ma minimalną powierzchnię wtedy i tylko wtedy, gdy jest okrągła (to znaczy uzyskana ze sfery euklidesowej poprzez identyfikację każdego punktu z jego przeciwieństwem). Pole tej okrągłej płaszczyzny rzutowej jest równe powierzchni półkuli (ponieważ każda z nich ma połowę powierzchni kuli). ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle 2L}$ ${\ displaystyle x \ in \ częściowe M}$ ${\ displaystyle -x}$ ${\ Displaystyle \ częściowe M}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle M '}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle 2L}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle L}$

Dowód nierówności Pu opiera się z kolei na twierdzeniu o uniformizacji .

Wypełnienia z metrykami Finslera

W 2001 roku Siergiej Iwanow przedstawił inny sposób udowodnienia, że półkula ma najmniejszą powierzchnię wśród izometrycznych wypełnień homeomorficznych do dysku. Jego argument nie wykorzystuje twierdzenia o uniformizacji, a zamiast tego opiera się na topologicznym fakcie, że dwie krzywe na dysku muszą się przecinać, jeśli ich cztery punkty końcowe znajdują się na granicy i są przeplatane. Co więcej, dowód Iwanowa odnosi się bardziej ogólnie do dysków z metrykami Finslera , które różnią się od metryk riemannowskich tym, że nie muszą spełniać równania Pitagorasa na nieskończenie małym poziomie. Pole powierzchni Finslera można zdefiniować na różne, nierównomierne sposoby, przy czym tutaj zastosowano obszar Holmesa-Thompsona , który pokrywa się ze zwykłym obszarem, gdy metryka jest Riemannowska. Iwanow to udowodnił

Półkula ma minimalną powierzchnię Holmesa-Thompsona wśród dysków Finslera, która izometrycznie wypełnia zamkniętą krzywą o określonej długości.

Dowód twierdzenia Iwanowa

Niech $(M, M),$ za dysk Finsler że izometrycznie wypełnia jego granicy długości $2 L$ . Można założyć, że $M$ jest standardowym okrągłym dyskiem w $ℝ 2$ , a metryka Finslera $F : T M = M \times ℝ 2 \to [0, + \infty)$ jest gładka i silnie wypukła. Powierzchnię wypełnienia Holmesa – Thompsona można obliczyć za pomocą wzoru

{\ displaystyle \ operatorname {obszar} _ {\ mathrm {HT}} (M, F) = {\ Frac {1} {\ pi}} \ iint _ {M} | B_ {x} ^ {*} | \ , \ mathrm {d} x_ {0} \, \ mathrm {d} x_ {1}}

gdzie dla każdego punktu zbiór jest podwójną kulą jednostkową normy (kulą jednostkową normy dualnej ) i jest jego zwykłym obszarem jako podzbiorem . ${\ displaystyle x \ in M}$ ${\ Displaystyle B_ {x} ^ {*} \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle F_ {x}}$ ${\ Displaystyle F_ {x} ^ {*}}$ ${\ Displaystyle | B_ {x} ^ {*} |}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Wybierz zbiór punktów granicznych wymienionych w kolejności przeciwnej do ruchu wskazówek zegara. Dla każdego punktu definiujemy na M funkcję skalarną . Te funkcje mają następujące właściwości: ${\ Displaystyle P = (p_ {i}) _ {0 \ równoważnik ja <n} \ subseteq \ częściowe M}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ ${\ displaystyle f_ {i} (x) = \ mathrm {dyst} _ {F} (p_ {i}, x)}$

Każda funkcja jest Lipschitz na M i dlatego (według twierdzenia Rademachera ) różniczkowalna w prawie każdym punkcie . ${\ displaystyle f_ {i}: M \ do \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle x \ in M}$
Jeśli jest różniczkowalny w punkcie wewnętrznym , to istnieje unikalna najkrótsza krzywa od do x (sparametryzowana prędkością jednostkową), która dochodzi do x z prędkością . Różnica ma normę 1 i jest jedynym takim kowektorem . ${\ displaystyle f_ {i}}$ ${\ displaystyle x \ in M ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ ${\ displaystyle v_ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} _ {x} f_ {i}}$ ${\ displaystyle \ varphi \ in B_ {x} ^ {*}}$ ${\ Displaystyle \ varphi (v_ {i}) = F_ {x} (v_ {i})}$
W każdym punkcie, w którym wszystkie funkcje są różniczkowalne, kowektory są różne i umieszczone w kolejności przeciwnej do ruchu wskazówek zegara na sferze podwójnej jednostki . Rzeczywiście, muszą być różne, ponieważ różne geodezje nie mogą osiągnąć tej samej prędkości. Ponadto, jeśli trzy z tych kowektorów (dla niektórych ) pojawiłyby się w odwróconej kolejności, to dwie z trzech najkrótszych krzywych od punktów do przecinałyby się, co nie jest możliwe. ${\ displaystyle x \ in M ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle f_ {i}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} f_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ częściowe B_ {x} ^ {*}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} _ {x} f_ {i}, \ mathrm {d} _ {x} f_ {j}, \ mathrm {d} _ {x} f_ {k}}$ ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik ja <j <k <n}$ ${\ displaystyle p_ {i}, p_ {j}, p_ {k} \ in \ częściowe M}$ ${\ displaystyle x}$

Podsumowując, dla prawie każdego punktu wewnętrznego , kowektory są wierzchołkami wypukłego wielokąta wpisanego w kulę podwójną , ułożonymi w kolejności przeciwnej do ruchu wskazówek zegara . Pole tego wielokąta to (gdzie indeks i + 1 jest obliczany modulo n ). Dlatego mamy dolną granicę ${\ displaystyle x \ in M ^ {\ circ}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {d} _ {x} f_ {i}}$ ${\ Displaystyle B_ {x} ^ {*}}$ ${\ Displaystyle \ sum _ {i} {\ Frac {1} {2}} \ mathrm {d} _ {x} f_ {i} \ wedge \ mathrm {d} _ {x} f_ {i + 1}}$

{\ displaystyle c_ {P}: = \ int _ {M} \ sum _ {i} {\ frac {1} {2}} \ mathrm {d} f_ {i} \ wedge \ mathrm {d} f_ {i +1} \ leq \ pi \, \ operatorname {Obszar} _ {\ mathrm {HT}} (M, F),}

dla obszaru wypełnienia. Jeśli zdefiniujemy postać 1 , możemy przepisać tę dolną granicę za pomocą wzoru Stokesa jako ${\ displaystyle \ theta _ {P} = \ suma _ {i} {\ frac {1} {2}} f_ {i} \, \ mathrm {d} f_ {i + 1}}$

{\ Displaystyle c_ {P} = \ int _ {M} \ mathrm {d} \ theta _ {P} = \ int _ {\ częściowe M} \ theta _ {P} = \ kropki = 2L ^ {2} - \ sum _ {i} \ delta _ {i} ^ {2} \ {\ xrightarrow {P \ {\ text {gęsty}}}} \ 2L ^ {2}}

.

Pojawiająca się tutaj całka brzegowa jest zdefiniowana w kategoriach funkcji odległości ograniczonych do granicy, które nie zależą od wypełnienia izometrycznego . Wynik całki zależy więc tylko od położenia punktów na okręgu o długości 2L . Pominęliśmy obliczenia i wyraziliśmy wynik w postaci długości każdego łuku granicznego w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara od punktu do następnego punktu . Obliczenie jest ważne tylko wtedy, gdy . ${\ displaystyle f_ {i}}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {i}}$ ${\ displaystyle p_ {i}}$ ${\ displaystyle p_ {i + 1}}$ ${\ displaystyle \ delta _ {i} <{\ frac {L} {2}}}$

Podsumowując, nasza dolna granica obszaru wypełnienia izometrycznego Finslera jest zbieżna w miarę zagęszczania zbioru . To daje do zrozumienia ze ${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ pi}} 2L ^ {2}}$ ${\ Displaystyle P \ subseteq \ częściowe M}$

{\ displaystyle \ operatorname {obszar} _ {\ mathrm {HT}} (M, F) \ geq {\ frac {1} {\ pi}} \, 2L ^ {2} = \ operatorname {obszar} ({\ tekst {półkula}})}

,

jak musieliśmy udowodnić.

W przeciwieństwie do przypadku Riemanniana istnieje wiele różnych dysków Finslera, które izometrycznie wypełniają zamkniętą krzywą i mają ten sam obszar Holmesa-Thompsona co półkula. Jeśli zamiast tego użyty zostanie obszar Hausdorffa , wówczas minimalność półkuli nadal zachowuje, ale półkula staje się unikalnym minimalizatorem. Wynika to z twierdzenia Iwanowa, ponieważ obszar Hausdorffa rozmaitości Finslera nigdy nie jest mniejszy niż obszar Holmesa-Thompsona , a te dwa obszary są równe wtedy i tylko wtedy, gdy metryka jest riemannowska.

Nie-minimalność półkuli wśród racjonalnych wypełnień z metrykami Finslera

Dysk euklidesowy wypełniający okrąg można zastąpić, bez zmniejszania odległości między punktami granicznymi, dyskiem Finslera, który wypełnia to samo koło $N$ = 10 razy (w tym sensie, że jego granica zawija się wokół koła $N$ razy), ale którego Holmes –Powierzchnia Thompsona jest mniejsza niż $N-$ krotność powierzchni dysku. Dla półkuli można znaleźć podobny zamiennik. Innymi słowy, domniemanie dotyczące obszaru wypełniania jest fałszywe, jeśli dozwolone są łańcuchy Finslera 2 z wymiernymi współczynnikami jako wypełnienia, zamiast powierzchni orientowalnych (które można uznać za 2-łańcuchowe ze współczynnikami całkowitymi ).

Wypełnienia riemannowskie z rodzaju pierwszego i hipereliptyczność

Orientowalna powierzchnia riemannowska z rodzaju taka, która izometrycznie wypełnia okrąg, nie może mieć mniejszego pola niż półkula. Dowód w tym przypadku zaczyna się ponownie od sklejenia antypodalnych punktów granicy. Uzyskana w ten sposób nieorientowana, zamknięta powierzchnia ma orientowalną podwójną powłokę z rodzaju 2, a zatem jest hipereliptyczna . Dowód następnie wykorzystuje wzór J. Herscha z geometrii integralnej. Mianowicie, rozważmy rodzinę pętli w kształcie cyfry 8 w piłce nożnej, z punktem przecięcia samoczynnego na równiku. Wzór Herscha wyraża pole metryki w klasie konformalnej piłki nożnej, jako średnią energii pętli ósemki z rodziny. Zastosowanie wzoru Herscha do hipereliptycznego ilorazu powierzchni Riemanna dowodzi w tym przypadku przypuszczenia o powierzchni wypełnienia.

Prawie płaskie kolektory to minimalne wypełnienia ich odległości granicznych

Jeśli rozmaitość riemannowska $M$ (dowolnego wymiaru) jest prawie płaska (a dokładniej, $M$ jest obszarem o metryce riemannowskiej, która jest zbliżona do standardowej metryki euklidesowej), to $M$ jest minimalizatorem objętości : nie można go zastąpić orientowalnym Rozmaitość riemannowska, która wypełnia tę samą granicę i ma mniejszą objętość bez zmniejszania odległości między niektórymi punktami granicznymi. Oznacza to, że jeśli kawałek kuli jest wystarczająco mały (a zatem prawie płaski), to jest to minimalizator objętości. Jeśli to twierdzenie można rozszerzyć na duże obszary (a mianowicie na całą półkulę), to hipoteza o polu wypełnienia jest prawdziwa. Przypuszczano, że wszystkie proste rozmaitości riemannowskie (te, które są wypukłe na granicy i gdzie każde dwa punkty są połączone unikalną geodezyjną) są minimalizatorami objętości. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle C ^ {2}}$

Dowód na to, że każda prawie płaska kolektor $M$ jest minimalizatorem objętości, polega na osadzeniu $M$ w ${\ Displaystyle L ^ {\ infty} (\ częściowe M)}$ , a następnie pokazaniu, że każde zastąpienie izometryczne $M$ można również odwzorować w tej samej przestrzeni i rzutować na $M$ , bez zwiększania jego objętości. Oznacza to, że wymiana nie ma mniejszą objętość niż oryginalnego kolektora $M$ . ${\ Displaystyle L ^ {\ infty} (\ częściowe M)}$

Zobacz też

Bibliografia

Katz , Mikhail G. (2007), Systolic geometry and topology , Mathematical Surveys and Monographs, 137 , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4177-8

Languages

In other projects