Podstawy geometrii - Foundations of geometry

Podstawy geometrii to nauka o geometrii jako układach aksjomatycznych . Istnieje kilka zbiorów aksjomatów, które dają początek geometrii euklidesowej lub geometrii nieeuklidesowej . Mają one fundamentalne znaczenie dla badań i mają znaczenie historyczne, ale istnieje wiele nowoczesnych geometrii, które nie są euklidesowe, które można badać z tego punktu widzenia. Termin geometria aksjomatyczna może być stosowany do każdej geometrii, która jest rozwijana z systemu aksjomatów, ale jest często używany w znaczeniu geometrii euklidesowej badanej z tego punktu widzenia. Kompletność i niezależność ogólnych systemów aksjomatycznych to ważne rozważania matematyczne, ale w grę wchodzą również kwestie związane z nauczaniem geometrii.

Systemy aksjomatyczne

Oparty na starożytnych greckich metodach system aksjomatyczny jest formalnym opisem sposobu ustalenia prawdy matematycznej, która wypływa z ustalonego zestawu założeń. Chociaż ma zastosowanie do każdej dziedziny matematyki, geometria jest gałęzią matematyki elementarnej, w której ta metoda została z powodzeniem zastosowana.

Istnieje kilka elementów systemu aksjomatycznego.

  1. Najbardziej podstawowe idee to prymitywne (niezdefiniowane terminy). Zazwyczaj obejmują obiekty i relacje. W geometrii przedmiotami są punkty , linie i płaszczyzny, podczas gdy zasadniczą relacją jest występowanie – jeden obiekt spotyka się lub łączy z drugim. Same terminy są niezdefiniowane. Hilbert zauważył kiedyś, że zamiast punktów, linii i płaszczyzn można równie dobrze mówić o stołach, krzesłach i kuflach. Chodziło mu o to, że prymitywne terminy są tylko pustymi muszlami, jeśli chcesz, umieszczają uchwyty i nie mają żadnych wewnętrznych właściwości.
  2. Aksjomaty (lub postulaty) to stwierdzenia dotyczące tych prymitywów; na przykład, dowolne dwa punkty są połączone tylko z jedną linią (tj. dla dowolnych dwóch punktów jest tylko jedna linia, która przechodzi przez oba z nich). Zakłada się, że aksjomaty są prawdziwe, a nie udowodnione. Są one budulcem pojęć geometrycznych, ponieważ określają właściwości, jakie mają prymitywy.
  3. Prawa logiki .
  4. Te twierdzenia są logiczne konsekwencje aksjomatów, czyli oświadczenia, które można otrzymać z aksjomatów za pomocą praw logiki dedukcyjnej.

Interpretacja z systemu aksjomatycznego jest jakiś szczególny sposób podając konkretne znaczenie dla prymitywów tego systemu. Jeśli to skojarzenie znaczeń czyni aksjomaty systemu prawdziwymi twierdzeniami, to interpretację nazywamy modelem systemu. W modelu wszystkie twierdzenia systemu są automatycznie prawdziwymi twierdzeniami.

Właściwości systemów aksjomatycznych

Omawiając systemy aksjomatyczne, często skupiamy się na kilku własnościach:

  • Mówi się, że aksjomaty systemu aksjomatycznego są niesprzeczne, jeśli nie można z nich wyprowadzić logicznej sprzeczności. Z wyjątkiem najprostszych systemów, spójność jest trudną właściwością do ustalenia w systemie aksjomatycznym. Z drugiej strony, jeśli istnieje model dla systemu aksjomatycznego, to każda sprzeczność wyprowadzalna w systemie jest również wyprowadzalna w modelu, a system aksjomatyczny jest tak samo niesprzeczny jak każdy inny system, do którego należy model. Ta właściwość (posiadanie modelu) jest określana jako spójność względna lub spójność modelu .
  • Aksjomat nazywamy niezależnym, jeśli nie można go udowodnić lub obalić z innych aksjomatów systemu aksjomatycznego. Mówi się, że system aksjomatyczny jest niezależny, jeśli każdy z jego aksjomatów jest niezależny. Jeśli zdanie prawdziwe jest logiczną konsekwencją systemu aksjomatycznego, to będzie to zdanie prawdziwe w każdym modelu tego systemu. Aby udowodnić, że aksjomat jest niezależny od pozostałych aksjomatów systemu, wystarczy znaleźć dwa modele pozostałych aksjomatów, dla których aksjomat jest w jednym zdaniem prawdziwym, a w drugim fałszywym. Niezależność nie zawsze jest pożądaną właściwością z pedagogicznego punktu widzenia.
  • System aksjomatyczny nazywamy kompletnym, jeśli każde zdanie dające się wyrazić w terminach systemu jest albo dowodliwe, albo ma możliwą do udowodnienia negację. Innym sposobem stwierdzenia tego jest to, że żadne niezależne stwierdzenie nie może być dodane do kompletnego systemu aksjomatycznego, który jest zgodny z aksjomatami tego systemu.
  • System aksjomatyczny jest kategoryczny, jeśli dowolne dwa modele systemu są izomorficzne (w zasadzie istnieje tylko jeden model systemu). System kategoryczny jest z konieczności kompletny, ale kompletność nie implikuje kategoryczności. W niektórych sytuacjach kategoryczność nie jest pożądaną właściwością, ponieważ kategoryczne systemy aksjomatyczne nie mogą być uogólniane. Na przykład wartość systemu aksjomatycznego w teorii grup polega na tym, że nie jest on kategoryczny, więc udowodnienie wyniku w teorii grup oznacza, że ​​wynik jest ważny we wszystkich różnych modelach teorii grup i nie trzeba go odrzucać. w każdym z modeli nieizomorficznych.

Geometria euklidesowa

Geometria euklidesowa jest systemem matematycznym przypisywanym greckiemu matematykowi aleksandryjskiemu Euklidesowi , który opisał (choć nierygorystycznie według współczesnych standardów) w swoim podręczniku geometrii : Elementy . Metoda Euklidesa polega na założeniu niewielkiego zbioru intuicyjnie atrakcyjnych aksjomatów i wywnioskowaniu z nich wielu innych twierdzeń ( twierdzeń ). Chociaż wiele wyników Euklidesa zostało przedstawionych przez wcześniejszych matematyków, Euklides był pierwszym, który pokazał, jak te twierdzenia można dopasować do wszechstronnego systemu dedukcyjnego i logicznego . Elements rozpoczyna geometrii płaskiej, nadal uczy się w szkole średniej jako pierwszy aksjomatyczną systemu i pierwszych przykładów formalnego dowodu . Przechodzi do geometrii bryłowej w trzech wymiarach . Wiele elementów przedstawia wyniki tak zwanej algebry i teorii liczb , wyjaśnionych w języku geometrycznym.

Przez ponad dwa tysiące lat przymiotnik „euklidesowy” był niepotrzebny, ponieważ nie wymyślono żadnego innego rodzaju geometrii. Aksjomaty Euklidesa wydawały się tak intuicyjnie oczywiste (może z wyjątkiem postulatu równoległego ), że każde twierdzenie z nich dowiedzione zostało uznane za prawdziwe w absolutnym, często metafizycznym sensie. Dziś jednak znanych jest wiele innych geometrii, które nie są euklidesowe, a pierwsze odkryto na początku XIX wieku.

Żywioły Euklidesa

Elementy Euklidesa to traktat matematyczno - geometryczny składający się z 13 ksiąg napisanych przez starożytnego greckiego matematyka Euklidesa w Aleksandrii ok. 1930 roku. 300 pne. Jest to zbiór definicji, postulatów ( aksjomatów ), twierdzeń ( twierdzeń i konstrukcji ) oraz matematycznych dowodów twierdzeń. Trzynaście książek obejmuje geometrię euklidesową i starożytną grecką wersję elementarnej teorii liczb . Z wyjątkiem Autolykosa O ruchomej sferze , Elementy są jednym z najstarszych zachowanych greckich traktatów matematycznych i najstarszym zachowanym aksjomatycznym, dedukcyjnym podejściem do matematyki . Okazała się pomocna w rozwoju logiki i współczesnej nauki .

Euclid's Elements został uznany za najbardziej udany i najbardziej wpływowy podręcznik, jaki kiedykolwiek napisano. Po raz pierwszy wydrukowany w Wenecji w 1482 roku, jest jednym z najwcześniejszych dzieł matematycznych wydrukowanych po wynalezieniu prasy drukarskiej i został oszacowany przez Carla Benjamina Boyera jako drugi po Biblii pod względem liczby opublikowanych wydań, z liczbą sięgającą grubo ponad tysiąc. Przez wieki, gdy quadrivium została ujęta w programie nauczania wszystkich studentów, znajomość przynajmniej części Euklidesa Elementy było wymagane od wszystkich studentów. Dopiero w XX wieku, kiedy jego treść była powszechnie nauczana w innych podręcznikach szkolnych, przestała być uważana za coś, co przeczytali wszyscy wykształceni ludzie.

Te elementy są przede wszystkim usystematyzowanie wcześniejszej znajomości geometrii. Zakłada się, że uznano jego wyższość nad wcześniejszymi zabiegami, w wyniku czego zainteresowanie zachowaniem wcześniejszych zabiegów było niewielkie, a obecnie prawie wszystkie są stracone.

Księgi I–IV i VI omawiają geometrię płaską. Udowodniono wiele wyników dotyczących figur płaskich, np. Jeśli trójkąt ma dwa równe kąty, to boki leżące pod tymi kątami są równe. Twierdzenie Pitagorasa jest udowodnione.

Księgi V i VII–X zajmują się teorią liczb, przy czym liczby są traktowane geometrycznie poprzez ich reprezentację jako odcinki linii o różnej długości. Wprowadzono takie pojęcia, jak liczby pierwsze oraz liczby wymierne i niewymierne . Udowodniono nieskończoność liczb pierwszych.

Księgi XI–XIII dotyczą geometrii bryłowej. Typowy wynik to stosunek 1:3 pomiędzy objętością stożka i cylindra o tej samej wysokości i podstawie.

Postulat równoległy: Jeśli dwie linie przecinają się z trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych z jednej strony jest mniejsza niż dwa kąty proste, to te dwie linie nieuchronnie muszą przecinać się z tej strony, jeśli są wystarczająco daleko.

Na początku pierwszej księgi Elementów Euklides podaje pięć postulatów (aksjomatów) dotyczących geometrii płaskiej, sformułowanych w kategoriach konstrukcji (w przekładzie Thomasa Heatha):

„Niech postuluje się, co następuje”:

  1. „Aby narysować linię prostą od dowolnego punktu do dowolnego punktu”.
  2. „Aby wytworzyć [przedłużyć] skończoną linię prostą w sposób ciągły w linii prostej”.
  3. „Aby opisać okrąg o dowolnym środku i odległości [promień]”.
  4. „Że wszystkie kąty proste są sobie równe”.
  5. Postulat równoległy : „To, czy linia prosta spada na dwóch prostych dokonać kątów wewnętrznych na tym samym boku mniej niż dwa kąty proste, dwie linie proste, jeśli produkowane w nieskończoność, spotykają się po tej stronie, na której są kąty mniej niż dwa kąty proste”.

Chociaż sformułowanie postulatów Euklidesa jedynie wyraźnie potwierdza istnienie konstrukcji, zakłada się również, że wytwarzają one unikalne obiekty.

Sukces Elementów wynika przede wszystkim z logicznej prezentacji większości wiedzy matematycznej dostępnej Euclidowi. Znaczna część materiału nie jest dla niego oryginalna, chociaż wiele dowodów jest przypuszczalnie jego. Systematyczny rozwój Euklidesa w swoim temacie, od małego zestawu aksjomatów do głębokich wyników, oraz spójność jego podejścia do elementów , zachęcały do ​​używania go jako podręcznika przez około 2000 lat. Elements nadal wpływa nowoczesne książki geometrii. Co więcej, jej logiczne podejście aksjomatyczne i rygorystyczne dowody pozostają kamieniem węgielnym matematyki.

Krytyka Euklidesa

Standardy matematycznego rygoru zmieniły się od czasu, gdy Euklides napisał Elementy . Współczesne postawy i punkty widzenia systemu aksjomatycznego mogą sprawiać wrażenie, że Euklides był w pewien sposób niechlujny lub niedbały w swoim podejściu do tematu, ale jest to złudzenie ahistoryczne. Dopiero po dokładnym zbadaniu fundamentów w odpowiedzi na wprowadzenie geometrii nieeuklidesowej zaczęło się pojawiać to, co obecnie uważamy za wady . Matematyk i historyk WW Rouse Ball umieścił tę krytykę w odpowiedniej perspektywie, zauważając, że „Fakt, że przez dwa tysiące lat [ Elementy ] były zwykłym podręcznikiem na ten temat, budzi silne przypuszczenie, że nie jest on nieodpowiedni do tego celu”.

Niektóre z głównych problemów związanych z prezentacją Euclida to:

  • Brak rozpoznania pojęcia terminów pierwotnych , przedmiotów i pojęć, które należy pozostawić niezdefiniowane w rozwoju systemu aksjomatycznego.
  • Użycie superpozycji w niektórych dowodach bez aksjomatycznego uzasadnienia tej metody.
  • Brak koncepcji ciągłości, która jest potrzebna do udowodnienia istnienia pewnych punktów i linii konstruowanych przez Euklidesa.
  • Brak jasności co do tego, czy linia prosta jest nieskończona, czy bezgraniczna w drugim postulacie.
  • Brak pojęcia międzyludności, używanego m.in. do rozróżniania wnętrza i zewnętrza różnych postaci.

Lista aksjomatów Euklidesa w elementach nie była wyczerpująca, ale przedstawiała zasady, które wydawały się najważniejsze. Jego dowody często odwołują się do pojęć aksjomatycznych, które nie były pierwotnie przedstawione na jego liście aksjomatów. Z tego powodu nie błądzi i nie udowadnia błędnych rzeczy, ponieważ posługuje się domniemanymi założeniami, których ważność wydaje się być uzasadniona przez diagramy towarzyszące jego dowodom. Późniejsi matematycy włączyli ukryte założenia aksjomatyczne Euklidesa do listy formalnych aksjomatów, tym samym znacznie rozszerzając tę ​​listę.

Na przykład w pierwszej konstrukcji księgi I Euklides posłużył się założeniem, które nie było ani postulowane, ani udowodnione: że dwa okręgi o środkach w odległości ich promienia przecinają się w dwóch punktach. Później, w czwartej konstrukcji, użył superpozycji (przesuwania trójkątów jeden na drugim), aby udowodnić, że jeśli dwa boki i ich kąty są równe, to są przystające; w tych rozważaniach wykorzystuje pewne własności superpozycji, ale własności te nie są wprost opisane w traktacie. Jeśli superpozycja miałaby być uważana za prawidłową metodę dowodu geometrycznego, cała geometria byłaby pełna takich dowodów. Na przykład twierdzenia I.1 do I.3 można udowodnić trywialnie, używając superpozycji.

Aby rozwiązać te problemy w pracy Euclida, późniejsi autorzy albo próbowali wypełnić luki w prezentacji Euclida – najbardziej godna uwagi z tych prób dotyczy D. Hilberta – albo zorganizować system aksjomatów wokół różnych koncepcji, jak zrobił to GD Birkhoff .

Pasch i Peano

Niemiecki matematyk Moritz Pasch (1843–1930) jako pierwszy wykonał zadanie postawienia geometrii euklidesowej na mocnej podstawie aksjomatycznej. W swojej książce Vorlesungen über neuere Geometrie opublikowanej w 1882 roku Pasch położył podwaliny pod nowoczesną metodę aksjomatyczną. Jest twórcą koncepcji pojęcia pierwotnego (którą nazwał Kernbegriffe ) i wraz z aksjomatami ( Kernsätzen ) konstruuje system formalny, który jest wolny od wszelkich wpływów intuicyjnych. Według Pascha jedynym miejscem, w którym intuicja powinna odgrywać rolę, jest rozstrzyganie, jakie powinny być pierwotne pojęcia i aksjomaty. Tak więc dla Pascha punkt jest pojęciem prymitywnym, ale linia (prosta) nim nie jest, ponieważ mamy dobrą intuicję co do punktów, ale nikt nigdy nie widział ani nie miał doświadczenia z nieskończoną linią. Pierwotnym pojęciem, którego używa Pasch, jest odcinek linii .

Pasch zauważył, że uporządkowanie punktów na linii (lub równoważne własności zawierania segmentów linii) nie jest właściwie rozwiązane przez aksjomaty Euklidesa; zatem twierdzenie Pascha , mówiące , że jeśli dwa relacje zawierania odcinków linii są spełnione, to trzeci również jest spełniony, nie może być udowodnione na podstawie aksjomatów Euklidesa. Powiązany aksjomat Pascha dotyczy własności przecięcia prostych i trójkątów.

Prace Pascha nad podstawami wyznaczają standardy rygoru nie tylko w geometrii, ale także w szerszym kontekście matematyki. Jego przełomowe pomysły są teraz tak powszechne, że trudno przypomnieć sobie, że miały jednego pomysłodawcę. Prace Pascha bezpośrednio wpłynęły na wielu innych matematyków, w szczególności D. Hilberta i włoskiego matematyka Giuseppe Peano (1858–1932). Praca Peano z 1889 roku dotycząca geometrii, będąca w dużej mierze tłumaczeniem traktatu Pascha na zapis logiki symbolicznej (wymyśloną przez Peano), wykorzystuje prymitywne pojęcia punktu i między . Peano przełamuje empiryczny więz w wyborze pierwotnych pojęć i aksjomatów, których wymagał Pasch. Dla Peano cały system jest czysto formalny, oderwany od jakichkolwiek danych empirycznych.

Pieri i włoska szkoła geometryczna

Włoski matematyk Mario Pieri (1860-1913) przyjął inne podejście i rozważył system, w którym istniały tylko dwa podstawowe pojęcia, pojęcie punktu i ruchu . Pasch użył czterech prymitywów, a Peano zredukował je do trzech, ale oba te podejścia opierały się na pewnym pojęciu pomiędzy, które Pieri zastąpił sformułowaniem ruchu . W 1905 roku Pieri po raz pierwszy potraktował aksjomatycznie złożoną geometrię rzutową, która nie zaczęła się od zbudowania rzeczywistej geometrii rzutowej.

Pieri był członkiem grupy włoskich geometrów i logików, których Peano zebrał wokół siebie w Turynie. Ta grupa asystentów, młodszych kolegów i innych poświęciła się realizacji logiczno-geometrycznego programu Peano, polegającego na osadzeniu podstaw geometrii na mocnych podstawach aksjomatycznych opartych na logicznej symbolice Peano. Oprócz Pieri w tej grupie znalazły się Burali-Forti , Padoa i Fano . W 1900 r. w Paryżu odbyły się równolegle dwie konferencje międzynarodowe: Międzynarodowy Kongres Filozoficzny i Drugi Międzynarodowy Kongres Matematyków . Ta grupa włoskich matematyków była bardzo widoczna na tych kongresach, forsując swój aksjomatyczny program. Padoa wygłosił dobrze przemyślane przemówienie, a Peano, w okresie pytań po słynnym wystąpieniu Davida Hilberta o nierozwiązanych problemach , zauważył, że jego koledzy rozwiązali już drugi problem Hilberta.

Aksjomaty Hilberta

David Hilbert

Na uniwersytecie w Getyndze w semestrze zimowym 1898–1899 wybitny niemiecki matematyk David Hilbert (1862–1943) prowadził wykłady z podstaw geometrii. Na prośbę Felixa Kleina , profesor Hilbert został poproszony o sporządzenie notatek do tego kursu przed ceremonią poświęcenia pomnika CF Gaussa i Wilhelma Webera latem 1899 roku, która ma się odbyć na uniwersytecie. Przearanżowane wykłady zostały opublikowane w czerwcu 1899 r. pod tytułem Grundlagen der Geometrie (Podstawy geometrii). Wpływ książki był natychmiastowy. Według Evesa (1963 , s. 384-5):

Rozwijając zestaw postulatów dla geometrii euklidesowej, który nie odbiega zbytnio duchem od geometrii Euklidesa i stosując minimum symboliki, Hilbertowi udało się przekonać matematyków w znacznie większym stopniu niż Pasch i Peano do czysto hipotetyczno-dedukcyjnych natura geometrii. Ale wpływ prac Hilberta wykraczał daleko poza to, ponieważ, poparty wielkim autorytetem matematycznym autora, mocno zaszczepił metodę postulacyjną nie tylko w dziedzinie geometrii, ale także w zasadzie w każdej innej gałęzi matematyki. Bodziec do rozwoju podstaw matematyki, jaki dostarcza książeczka Hilberta, jest trudny do przecenienia. Pozbawiając się dziwnej symboliki prac Pascha i Peano, prace Hilberta mogą w dużej mierze przeczytać każdy inteligentny uczeń licealnej geometrii.

Trudno jest sprecyzować aksjomaty stosowane przez Hilberta bez odniesienia się do historii wydawniczej Grundlagen, ponieważ Hilbert kilkakrotnie je zmieniał i modyfikował. Po oryginalnej monografii szybko pojawiło się tłumaczenie francuskie, w którym Hilbert dodał V.2, Aksjomat Pełni. Tłumaczenie na język angielski, autoryzowane przez Hilberta, zostało wykonane przez EJ Townsenda i objęte prawami autorskimi w 1902 roku. To tłumaczenie zawierało zmiany dokonane w tłumaczeniu francuskim i dlatego jest uważane za tłumaczenie drugiego wydania. Hilbert kontynuował wprowadzanie zmian w tekście i kilka wydań ukazało się w języku niemieckim. Siódma edycja była ostatnią za życia Hilberta. Nowe wydania nastąpiły po siódmym, ale główny tekst zasadniczo nie został zmieniony. Zmiany w tych wydaniach występują w dodatkach i suplementach. Zmiany w tekście były duże w porównaniu z oryginałem, a nowe tłumaczenie angielskie zostało zlecone przez Open Court Publishers, które opublikowało tłumaczenie Townsend. Tak więc 2. wydanie angielskie zostało przetłumaczone przez Leo Ungera z 10. wydania niemieckiego w 1971 roku. To tłumaczenie zawiera kilka poprawek i rozszerzeń późniejszych wydań niemieckich autorstwa Paula Bernaysa. Różnice między dwoma angielskimi tłumaczeniami wynikają nie tylko z Hilberta, ale także z różnych wyborów dokonanych przez dwóch tłumaczy. To, co nastąpi poniżej, będzie oparte na tłumaczeniu Ungera.

System aksjomatów Hilberta zbudowany jest z sześciu podstawowych pojęć : punkt , linia , płaszczyzna , pomiędzy , leży na (ograniczeniu ) i kongruencja .

Wszystkie punkty, linie i płaszczyzny w poniższych aksjomatach są różne, chyba że zaznaczono inaczej.

I. Incydent
  1. Dla każdych dwóch punktów A i B istnieje prosta a zawierająca je oba. Piszemy AB = a lub BA = a . Zamiast „zawiera” możemy również użyć innych form wyrazu; Na przykład, można powiedzieć, „ A leży na ”, „ jest punktem ”, „ przechodzi przez A i przez B ”, „ dołącza A do B ”, itd. Jeśli A spoczywa na i na jednocześnie na innej prostej b , posługujemy się również wyrażeniem: „Proste a i b mają wspólny punkt A ” itd.
  2. Na każde dwa punkty istnieje nie więcej niż jedna linia zawierająca je oba; w konsekwencji, jeśli AB = i AC = , gdzie BC , wówczas także BC = a .
  3. Na linii znajdują się co najmniej dwa punkty. Istnieją co najmniej trzy punkty, które nie leżą na linii.
  4. Na każde trzy punkty A , B , C nie leżące na tej samej prostej istnieje płaszczyzna α zawierająca je wszystkie. Dla każdej płaszczyzny istnieje punkt, który na niej leży. Piszemy ABC = α . Posługujemy się również wyrażeniami: „ A , B , C , leżą w α”; „A, B, C są punktami α” itd.
  5. Na każde trzy punkty A , B , C, które nie leżą na tej samej linii, istnieje nie więcej niż jedna płaszczyzna zawierająca je wszystkie.
  6. Jeżeli dwa punkty A , B prostej a leżą w płaszczyźnie α, to każdy punkt a leży w α. W tym przypadku mówimy: „Prosta a leży w płaszczyźnie α” itd.
  7. Jeżeli dwie płaszczyzny α, β mają wspólny punkt A , to mają co najmniej drugi wspólny punkt B.
  8. Istnieją co najmniej cztery punkty nie leżące na płaszczyźnie.
II. Zamówienie
  1. Jeśli punkt B leży między punktami A i C , B również znajduje się między C i A , a istnieje prosta zawierająca różne punkty A,B,C .
  2. Jeżeli A i C są dwoma punktami prostej, to istnieje co najmniej jeden punkt B leżący pomiędzy A i C .
  3. Spośród dowolnych trzech punktów leżących na linii, nie więcej niż jeden leży między pozostałymi dwoma.
  4. Aksjomat Pascha : Niech A , B , C będą trzema punktami nie leżącymi w tej samej prostej i niech a będzie prostą leżącą w płaszczyźnie ABC i nie przechodzącą przez żaden z punktów A , B , C . Następnie, jeśli prosta a przechodzi przez punkt odcinka AB , będzie również przechodzić przez punkt odcinka BC lub punkt odcinka AC .
III. Stosowność
  1. Jeżeli A , B są dwoma punktami na prostej a , a A′ jest punktem na tej samej lub innej prostej a′ , to po danym boku A′ na prostej a′ zawsze możemy znaleźć punkt B′ tak, że odcinek AB jest przystający do odcinka A′B′ . Wskazujemy na tę zależność pisząc ABA′ B′ . Każdy segment jest do siebie przystający; to znaczy, że zawsze mamy ABAB .
    Powyższy aksjomat możemy ująć krótko mówiąc, że każdy odcinek może być odłożony po danej stronie danego punktu danej linii prostej w co najmniej jeden sposób.
  2. Jeżeli segment AB jest przystający do segmentu A′B′, a także do segmentu A″B″ , to segment A′B′ jest przystający do segmentu A″B″ ; to znaczy, gdy ABA'B ' i AB"B" , a następnie A'B'"B" .
  3. Niech AB i BC będą dwoma odcinkami prostej a, które nie mają żadnych punktów wspólnych poza punktem B , a ponadto niech A′B′ i B′C′ będą dwoma odcinkami tej samej lub innej prostej a′ mającej podobnie nie ma wspólnego punktu innego niż B′ . Wtedy, jeśli ABA′B′ i BCB′C′ , mamy ACA′C′ .
  4. Niech kąt ∠ ( h , k ) będzie podany w płaszczyźnie α i prosta a′ w płaszczyźnie α′. Załóżmy też, że w płaszczyźnie α′ przyporządkujemy określony bok prostej a′ . Oznaczmy przez H ' promień prostej a' wysyłane przez punkt O ' od tej linii. Wtedy w płaszczyźnie α′ jest jeden i tylko jeden promień k′ taki, że kąt ∠ ( h , k ) lub ∠ ( k , h ) jest przystający do kąta ∠ ( h′ , k′ ) i na jednocześnie wszystkie wewnętrzne punkty kąta ∠ ( h′ , k′ ) leżą po danej stronie a′ . Relację tę wyrażamy za pomocą notacji ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h′ , k′ ).
  5. Jeżeli kąt ∠ ( h , k ) jest przystający do kąta ∠ ( h′ , k′ ) i do kąta ∠ ( h″ , k″ ), to kąt ∠ ( h′ , k′ ) jest przystający do kąt ∠ ( h″ , k″ ); to znaczy, jeśli ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h′ , k′ ) i ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h″ , k″ ), to ∠ ( h′ , k′ ) ≅ ∠ ( h″ , k″ ).
IV. Równolegle
  1. (Aksjomat Euklidesa): Niech a będzie dowolną linią, a A punktem nie na niej. Wtedy na płaszczyźnie znajduje się co najwyżej jedna prosta, wyznaczona przez a i A , która przechodzi przez A i nie przecina a .
V. Ciągłość
  1. Aksjomat Archimedesa . Jeśli AB i CD są wszystkie segmenty, to istnieje szereg n takie, że n segmentów CD zbudowane w sposób zwarty z A , wzdłuż promienia od A przez B , przejdzie poza punkt B .
  2. Aksjomat zupełności linii . Rozszerzenie zbioru punktów na prostej z jej relacjami porządku i zgodności, które zachowałyby relacje istniejące między pierwotnymi elementami, a także podstawowe własności porządku i zgodności linii, wynikające z Aksjomatów I–III i V-1, jest niemożliwy.

Zmiany w aksjomatach Hilberta

Kiedy monografia z 1899 roku została przetłumaczona na język francuski, Hilbert dodał:

V.2 Aksjomat zupełności . Do systemu punktów, linii prostych i płaszczyzn nie da się dodać innych elementów w taki sposób, aby tak uogólniony system utworzył nową geometrię zgodną z wszystkimi pięcioma grupami aksjomatów. Innymi słowy, elementy geometrii tworzą system, który nie jest podatny na rozszerzanie, jeśli uznamy pięć grup aksjomatów za ważne.

Aksjomat ten nie jest potrzebny do rozwoju geometrii euklidesowej, ale jest potrzebny do ustalenia bijekcji między liczbami rzeczywistymi a punktami na prostej. Był to istotny składnik dowodu Hilberta na spójność jego systemu aksjomatów.

W 7. wydaniu Grundlagen aksjomat ten został zastąpiony aksjomatem zupełności linii podanym powyżej, a stary aksjomat V.2 stał się Twierdzeniem 32.

Również w monografii z 1899 r. (i ukazującej się w tłumaczeniu Townsend) można znaleźć:

II.4. Dowolne cztery punkty A , B , C , D linii można zawsze oznaczyć tak, że B będzie leżeć między A i C oraz między A i D , a ponadto, że C będzie leżeć między A i D, a także między B i D .

Jednak EH Moore i RL Moore niezależnie udowodnili, że ten aksjomat jest zbędny, a ci pierwsi opublikowali ten wynik w artykule opublikowanym w Transactions of the American Mathematical Society w 1902 roku. Hilbert przeniósł aksjomat do Twierdzenia 5 i odpowiednio przenumerował aksjomaty (stary aksjomat II-5 (aksjomat Pascha) stał się teraz II-4).

Chociaż nie tak dramatyczne jak te zmiany, większość pozostałych aksjomatów została również zmodyfikowana pod względem formy i/lub funkcji w ciągu pierwszych siedmiu wydań.

Spójność i niezależność

Wykraczając poza ustalenie zadowalającego zbioru aksjomatów, Hilbert udowodnił również zgodność swojego systemu z teorią liczb rzeczywistych, konstruując model swojego systemu aksjomatów z liczb rzeczywistych. Udowodnił niezależność niektórych swoich aksjomatów, konstruując modele geometrii, które spełniają wszystkie z wyjątkiem jednego rozważanego aksjomatu. Tak więc istnieją przykłady geometrii spełniających wszystkie z wyjątkiem aksjomatu Archimedesa V.1 (geometrie niearchimedesowe), wszystkie z wyjątkiem aksjomatu równoległego IV.1 (geometrie nieeuklidesowe) i tak dalej. Używając tej samej techniki, pokazał również, że niektóre ważne twierdzenia zależą od pewnych aksjomatów i są niezależne od innych. Niektóre z jego modeli były bardzo złożone, a inni matematycy próbowali je uprościć. Na przykład model Hilberta pokazujący niezależność twierdzenia Desarguesa od pewnych aksjomatów ostatecznie doprowadził Raya Moultona do odkrycia niedesargueskiej płaszczyzny Moultona . Te badania Hilberta praktycznie zapoczątkowały współczesne studia nad geometrią abstrakcyjną w XX wieku.

Aksjomaty Birkhoffa

George David Birkhoff

W 1932 GD Birkhoff stworzyliśmy zestaw czterech postulatów o geometrii euklidesowej czasami określane jako aksjomatów Birkhoffa . Wszystkie te postulaty opierają się na podstawowej geometrii, którą można eksperymentalnie zweryfikować za pomocą skali i kątomierza . W radykalnym odejściu od syntetycznego podejścia Hilberta Birkhoff jako pierwszy zbudował podstawy geometrii na systemie liczb rzeczywistych . To właśnie to potężne założenie dopuszcza niewielką liczbę aksjomatów w tym systemie.

Postulaty

Birkhoff używa czterech niezdefiniowanych pojęć: punkt , linia , odległość i kąt . Jego postulaty to:

Postulat I: Postulat miary liniowej . Punkty A , B , ... dowolnej linii można umieścić w zgodności 1:1 z liczbami rzeczywistymi x tak, aby | x B  − x A | = d( A, B ) dla wszystkich punktów AB .  

Postulat II: Postulat punktu i linii . Istnieje jedna i tylko jedna prosta , która zawiera dowolne dwa różne punkty PQ .

Postulat III: Postulat miary kąta . Promienie { ℓ, m, n , ...} przechodzące przez dowolny punkt O można umieścić w zgodności 1:1 z liczbami rzeczywistymi a  (mod 2 π ) tak, że jeśli A i B są punktami (nie równymi O ) i m , odpowiednio, różnica a m  −  a  (mod 2π) liczb związanych z liniami i m wynosi AOB . Ponadto, jeżeli punkt B na m zmienia się w sposób ciągły na linii R zawierające wierzchołka O liczba m zmienia się również w sposób ciągły.

Postulat IV: Postulat podobieństwa . Jeśli w dwóch trójkątach ABC i A'B'C'  i dla pewnej stałej k  > 0, d ( A', B' ) =  kd ( A, B ), d ( A', C'  ) =  kd ( A, C ) i B'A'C'   = ± BAC , a następnie d ( B', C'  ) =  kd ( B, C ), C'B'A'   = ± CBA i A'C'B'   = ± ACB .  

Geometria szkolna

George Bruce Halsted

Kwestią sporną było, czy rozsądnie jest uczyć geometrii euklidesowej z aksjomatycznego punktu widzenia na poziomie szkoły średniej. Podjęto wiele prób, aby to zrobić i nie wszystkie z nich zakończyły się sukcesem. W 1904 George Bruce Halsted opublikował szkolny tekst o geometrii oparty na zbiorze aksjomatów Hilberta. Logiczna krytyka tego tekstu doprowadziła do bardzo zmienionego drugiego wydania. W odpowiedzi na wystrzelenie rosyjskiego satelity Sputnik wezwano do zrewidowania szkolnego programu nauczania matematyki. Z tych wysiłków powstał program New Math z lat sześćdziesiątych. Mając to jako tło, wiele osób i grup postanowiło dostarczyć materiał tekstowy na zajęcia z geometrii oparte na podejściu aksjomatycznym.

Aksjomaty MacLane'a

Saunders Mac Lane

Saunders Mac Lane (1909–2005), matematyk, napisał w 1959 roku artykuł, w którym zaproponował zbiór aksjomatów dla geometrii euklidesowej w duchu podejścia Birkhoffa za pomocą funkcji odległości do powiązania liczb rzeczywistych z odcinkami linii. Nie była to pierwsza próba oparcia leczenia na poziomie szkoły na systemie Birkhoffa, w rzeczywistości Birkhoff i Ralph Beatley napisali w 1940 roku tekst do szkoły średniej, w którym rozwinęli geometrię euklidesową na podstawie pięciu aksjomatów i umiejętności mierzenia odcinków linii i kątów. Jednak, aby dostosować leczenie do licealistów, niektóre matematyczne i logiczne argumenty zostały albo zignorowane, albo zamazane.

W systemie MacLane'a istnieją cztery podstawowe pojęcia ( pojęcia niezdefiniowane): punkt , odległość , linia i miara kąta . Istnieje również 14 aksjomatów, cztery podające własności funkcji odległości, cztery opisujące własności prostych, cztery omawiające kąty (które są w tym ujęciu kątami skierowanymi), aksjomat podobieństwa (w zasadzie taki sam jak Birkhoffa) oraz aksjomat ciągłości, który może służy do wyprowadzania twierdzenia Crossbar i jego odwrotności. Zwiększona liczba aksjomatów ma tę pedagogiczną zaletę, że ułatwia śledzenie wczesnych dowodów w rozwoju, a użycie znanej metryki pozwala na szybki postęp w podstawowym materiale, dzięki czemu można szybciej dotrzeć do bardziej „interesujących” aspektów przedmiotu.

Aksjomaty SMSG (School Mathematics Study Group)

W latach 60. XX wieku Szkoła Matematyki Studenckiej (SMSG) wprowadziła nowy zestaw aksjomatów dla geometrii euklidesowej, odpowiedni dla kursów geometrii w szkołach średnich, jako część nowych programów nauczania matematyki . Ten zestaw aksjomatów jest zgodny z modelem Birkhoffa, w którym używa się liczb rzeczywistych, aby uzyskać szybki dostęp do podstaw geometrycznych. Jednakże, podczas gdy Birkhoff próbował zminimalizować liczbę stosowanych aksjomatów, a większość autorów była zaniepokojona niezależnością aksjomatów w ich leczeniu, lista aksjomatów SMSG została celowo obszerna i zbędna ze względów pedagogicznych. SMSG stworzyło jedynie powielony tekst przy użyciu tych aksjomatów, ale Edwin E. Moise , członek SMSG, napisał tekst szkolny oparty na tym systemie, a także tekst na poziomie uczelni, Moise (1974) , z częściową redundancją usuniętą oraz modyfikacje wprowadzone do aksjomatów dla bardziej wyrafinowanych odbiorców.

Istnieje osiem niezdefiniowanych pojęć: punkt , linia , płaszczyzna , leżenie , odległość , miara kąta , powierzchnia i objętość . 22 aksjomaty tego systemu mają indywidualne nazwy dla ułatwienia odniesienia. Wśród nich znajdują się: Władca Postulat, władca Umieszczenie Postulat, samolot Separacja Postulat, kąt Dodawanie Postulat The boczny kąt boczny (SAS) Postulat, Parallel Postulat (w formie Playfaira użytkownika ), a zasada cavalieriego .

Aksjomaty UCSMP (University of Chicago School Mathematics Project)

Chociaż większość nowego programu nauczania matematyki została drastycznie zmodyfikowana lub porzucona, część dotycząca geometrii pozostała stosunkowo stabilna. Nowoczesne podręczniki do szkół średnich wykorzystują systemy aksjomatów, które są bardzo podobne do tych z SMSG. Na przykład teksty opracowane przez University of Chicago School Mathematics Project (UCSMP) wykorzystują system, który poza pewnym uaktualnieniem języka, różni się głównie od systemu SMSG tym, że zawiera pewne koncepcje transformacji w ramach swojego „postulatu refleksji”.

Istnieją tylko trzy niezdefiniowane terminy: punkt , linia i płaszczyzna . Jest osiem „postulatów”, ale większość z nich składa się z kilku części (które w tym systemie ogólnie nazywa się założeniami ). Licząc te części, w tym systemie są 32 aksjomaty. Wśród postulaty można znaleźć postulat punkt linii w płaszczyźnie , w nierówność trójkąta postulat postulatów odległości, pomiar kąta, Kąty, powierzchni i objętości, a postulat odbicie. Postulat refleksji zastępuje postulat SAS systemu SMSG.

Inne systemy

Oswald Veblen (1880 – 1960) dostarczył nowego systemu aksjomatów w 1904, kiedy zastąpił pojęcie „między”, używane przez Hilberta i Pascha, nowym prymitywnym porządkiem . To pozwoliło kilku prymitywnym terminom używanym przez Hilberta stać się zdefiniowanymi bytami, redukując liczbę pierwotnych pojęć do dwóch, punkt i porządek .

Przez lata zaproponowano wiele innych systemów aksjomatycznych dla geometrii euklidesowej. Porównanie wielu z nich można znaleźć w monografii Henry'ego George'a Fordera z 1927 roku. Forder podaje również, łącząc aksjomaty z różnych systemów, własne traktowanie oparte na dwóch pierwotnych pojęciach punktu i porządku . Przedstawia również bardziej abstrakcyjne potraktowanie jednego z systemów Pieri'ego (z 1909 r.) opartego na punkcie prymitywów i kongruencji .

Począwszy od Peano, istnieje równoległy wątek zainteresowania logików dotyczący aksjomatycznych podstaw geometrii euklidesowej. Widać to po części w notacji użytej do opisu aksjomatów. Pieri twierdził, że chociaż pisał w tradycyjnym języku geometrii, zawsze myślał w kategoriach logicznej notacji wprowadzonej przez Peano i używał tego formalizmu, aby zobaczyć, jak to udowodnić. Typowy przykład tego typu notacji można znaleźć w pracy EV Huntingtona (1874 – 1952), który w 1913 stworzył aksjomatyczne potraktowanie trójwymiarowej geometrii euklidesowej w oparciu o prymitywne pojęcia sfery i inkluzji (jedna sfera leżąca w innym). Poza notacją istnieje również zainteresowanie logiczną strukturą teorii geometrii. Alfred Tarski udowodnił, że część geometrii, którą nazwał geometrią elementarną , jest teorią logiczną pierwszego rzędu (patrz aksjomaty Tarskiego ).

Współczesne opracowania tekstowe aksjomatycznych podstaw geometrii euklidesowej są zgodne ze wzorem HG Fordera i Gilberta de B. Robinsona, którzy mieszają i dopasowują aksjomaty z różnych systemów, aby uzyskać różne akcenty. Venema (2006) jest nowoczesnym przykładem tego podejścia.

Geometria nieeuklidesowa

Wobec roli, jaką matematyka odgrywa w nauce i implikacji wiedzy naukowej dla wszystkich naszych wierzeń, rewolucyjne zmiany w ludzkim rozumieniu natury matematyki nie mogły nie oznaczać rewolucyjnych zmian w jego rozumieniu nauki, doktryn filozoficznych, religijnych i etycznych. przekonania, a właściwie wszystkie dyscypliny intelektualne.

W pierwszej połowie XIX wieku nastąpiła rewolucja w dziedzinie geometrii, która była tak samo ważna naukowo jak kopernikańska rewolucja w astronomii i tak głęboka filozoficznie jak darwinowska teoria ewolucji w swoim wpływie na nasz sposób myślenia. Było to konsekwencją odkrycia geometrii nieeuklidesowej. Przez ponad dwa tysiące lat, począwszy od Euklidesa, postulaty ugruntowujące geometrię uważano za oczywiste prawdy o przestrzeni fizycznej. Geometrowie myśleli, że dedukują z nich inne, bardziej niejasne prawdy, bez możliwości błędu. Ten pogląd stał się nie do utrzymania wraz z rozwojem geometrii hiperbolicznej. Istniały teraz dwa niekompatybilne systemy geometrii (a więcej pojawiło się później), które były wewnętrznie spójne i kompatybilne z obserwowalnym światem fizycznym. „Od tego momentu cała dyskusja na temat relacji między geometrią a przestrzenią fizyczną była prowadzona w zupełnie innych kategoriach” ( Moise 1974 , s. 388).

Aby otrzymać geometrię nieeuklidesową, postulat równoległości (lub jego odpowiednik) musi zostać zastąpiony jego negacją . Negowanie formy aksjomatu Playfair , ponieważ jest to zdanie złożone (… istnieje jedno i tylko jedno…), można wykonać na dwa sposoby. Albo będzie istniała więcej niż jedna linia przechodząca przez punkt równoległy do ​​danej prostej, albo nie będzie żadnych linii przechodzących przez punkt równoległy do ​​danej prostej. W pierwszym przypadku zastąpienie postulatu równoległego (lub jego odpowiednika) stwierdzeniem „W płaszczyźnie, mając punkt P i prostą ℓ nie przechodzącą przez P, istnieją dwie proste przechodzące przez P, które nie przecinają ” i zachowując wszystkie inne aksjomaty dają geometrię hiperboliczną . Drugi przypadek nie jest tak łatwy do załatwienia. Proste zastąpienie postulatu równoległego stwierdzeniem: „W płaszczyźnie, mając punkt P i prostą ℓ nie przechodzącą przez P, wszystkie proste przechodzące przez P spotykają się ”, nie daje spójnego zbioru aksjomatów. Wynika to z faktu, że linie równoległe istnieją w geometrii absolutnej, ale to stwierdzenie mówiłoby, że nie ma linii równoległych. Ten problem był znany (w innej postaci) Khayyamowi, Saccheri i Lambertowi i był podstawą do odrzucenia przez nich tego, co było znane jako „przypadek rozwartego kąta”. W celu uzyskania spójnego zestawu aksjomatów, który zawiera ten aksjomat o braku równoległych linii, niektóre inne aksjomaty muszą zostać zmodyfikowane. Korekty, które należy wprowadzić, zależą od używanego systemu aksjomatów. Między innymi te poprawki spowodują modyfikację drugiego postulatu Euklidesa ze stwierdzenia, że ​​segmenty linii mogą być rozciągane w nieskończoność na stwierdzenie, że linie są nieograniczone. Riemanna jest eliptyczny geometria jawi się jako najbardziej naturalne geometrię spełniającą Aksjomat.

To właśnie Gauss ukuł termin „geometria nieeuklidesowa”. Miał na myśli własną, niepublikowaną pracę, którą dziś nazywamy geometrią hiperboliczną . Kilku autorów wciąż uważa „geometrię nieeuklidesową” i „geometrię hiperboliczną” za synonimy. W 1871 r. Felix Klein , adaptując metrykę omówioną przez Arthura Cayleya w 1852 r., był w stanie wprowadzić właściwości metryczne do ustawienia rzutowego, a tym samym był w stanie zunifikować traktowanie geometrii hiperbolicznej, euklidesowej i eliptycznej pod parasolem geometrii rzutowej . Klein jest odpowiedzialny za terminy „hiperboliczny” i „eliptyczny” (w swoim systemie nazwał geometrię euklidesową „paraboliczną”, termin, który nie przetrwał próby czasu i jest używany dzisiaj tylko w kilku dyscyplinach). do powszechnego użycia terminu „geometria nieeuklidesowa” oznaczającego geometrię „hiperboliczną” lub „eliptyczną”.

Są matematycy, którzy na różne sposoby rozszerzyliby listę geometrii, które należałoby nazwać „nieeuklidesowymi”. W innych dziedzinach, zwłaszcza fizyki matematycznej , gdzie wpływ Kleina nie był tak silny, określenie „nie-euklidesowa” jest często rozumiane nie euklidesowej.

Równoległy postulat Euklidesa

Przez dwa tysiące lat podejmowano wiele prób udowodnienia równoległego postulatu za pomocą pierwszych czterech postulatów Euklidesa. Możliwym powodem, dla którego taki dowód był tak bardzo poszukiwany, było to, że w przeciwieństwie do pierwszych czterech postulatów, postulat równoległy nie jest oczywisty. Jeśli kolejność, w jakiej postulaty zostały wymienione w Elementach, jest znacząca, oznacza to, że Euklides uwzględnił ten postulat tylko wtedy, gdy zdał sobie sprawę, że nie może go udowodnić ani postępować bez niego. Podjęto wiele prób udowodnienia piątego postulatu z pozostałych czterech, wiele z nich przyjmowano jako dowody przez długi czas, aż do wykrycia błędu. Niezmiennie błędem było przyjęcie jakiejś „oczywistej” właściwości, która okazała się równoznaczna z piątym postulatem. W końcu zdano sobie sprawę, że tego postulatu nie da się udowodnić na podstawie pozostałych czterech. Według Trudeau (1987 , s. 154) ta opinia o równoległym postulacie (Postulat 5) pojawia się w druku:

Najwyraźniej jako pierwszy uczynił to GS Klügel (1739–1812), doktorant na Uniwersytecie w Getyndze, przy wsparciu swojego nauczyciela AG Kästnera, w jego rozprawie z 1763 r. Conatuum praecipuorum theoriam Parallelarum demonstrandi recensio (Przegląd najbardziej celebrowanych Próby wykazania teorii paraleli). W pracy tej Klügel przeanalizował 28 prób udowodnienia Postulatu 5 (w tym Saccheriego), uznał je wszystkie za niedoskonałe i wyraził opinię, że Postulat 5 jest niedowodliwy i poparty wyłącznie osądem naszych zmysłów.

Na początku XIX wieku nastąpią wreszcie decydujące kroki w tworzeniu geometrii nieeuklidesowej. Około 1813 r. Carl Friedrich Gauss i niezależnie około 1818 r. niemiecki profesor prawa Ferdynand Karl Schweikart opracowali zarodkowe idee geometrii nieeuklidesowej, ale żaden z nich nie opublikował żadnych wyników. Następnie, około 1830 roku, węgierski matematyk János Bolyai i rosyjski matematyk Nikołaj Iwanowicz Łobaczewski osobno opublikowali traktaty o tym, co dzisiaj nazywamy geometrią hiperboliczną . W konsekwencji geometrię hiperboliczną nazwano geometrią Bolyai-Lobachevskian, ponieważ obaj matematycy, niezależnie od siebie, są głównymi autorami geometrii nieeuklidesowej. Gauss wspomniał ojcu Bolyai, gdy pokazano mu dzieło młodszego Bolyai, że opracował taką geometrię kilka lat wcześniej, choć nie publikował. Podczas gdy Łobaczewski stworzył geometrię nieeuklidesową, negując postulat równoległy, Bolyai opracował geometrię, w której zarówno geometria euklidesowa, jak i hiperboliczna są możliwe w zależności od parametru k . Bolyai kończy swoją pracę, wspominając, że nie jest możliwe rozstrzygnięcie na podstawie samego rozumowania matematycznego, czy geometria fizycznego wszechświata jest euklidesowa czy nieeuklidesowa; to jest zadanie dla nauk fizycznych. Niezależność od równoległego postulatu z innych aksjomatów Euklidesa została ostatecznie wykazać Eugenio Beltrami w 1868 roku.

Różne próby dowodu równoległego postulatu dały długą listę twierdzeń, które są równoważne z równoległym postulatem. Równoważność oznacza tutaj, że w obecności innych aksjomatów geometrii można założyć, że każde z tych twierdzeń jest prawdziwe, a równoległy postulat można udowodnić na podstawie tego zmienionego zestawu aksjomatów. To nie to samo, co równoważność logiczna . W różnych zestawach aksjomatów geometrii euklidesowej każdy z nich może zastąpić postulat równoległości euklidesowej. Poniższa częściowa lista wskazuje niektóre z tych twierdzeń, które mają znaczenie historyczne.

  1. Równoległe linie proste są równoodległe. (Poseidonios, I wiek pne)
  2. Wszystkie punkty w równej odległości od danej prostej, po danej jej stronie, tworzą linię prostą. (Christoph Clavius, 1574)
  3. Aksjomat Playfair . Na płaszczyźnie istnieje co najwyżej jedna linia, którą można narysować równolegle do drugiej przez punkt zewnętrzny. (Proclus, V wiek, ale spopularyzowany przez Johna Playfaira, koniec XVIII wieku)
  4. Suma kątów w każdym trójkącie wynosi 180° (Gerolamo Saccheri, 1733; Adrien-Marie Legendre, początek XIX wieku)
  5. Istnieje trójkąt, którego kąty sumują się do 180°. (Gerolamo Saccheri, 1733; Adrien-Marie Legendre, początek XIX wieku)
  6. Istnieje para podobnych , ale nie przystających do siebie trójkątów. (Gerolamo Saccheri, 1733)
  7. Każdy trójkąt można opisać . (Adrien-Marie Legendre, Farkas Bolyai, początek XIX wieku)
  8. Jeżeli trzy kąty czworokątakątami prostymi , to czwarty kąt jest również kątem prostym. (Alexis-Claude Clairaut, 1741; Johann Heinrich Lambert, 1766)
  9. Istnieje czworobok, w którym wszystkie kąty są kątami prostymi. (Geralamo Saccheri, 1733)
  10. Postulat Wallisa . Na danej skończonej linii prostej zawsze można zbudować trójkąt podobny do danego trójkąta. (John Wallis, 1663; Lazare-Nicholas-Marguerite Carnot, 1803; Adrien-Marie Legendre, 1824)
  11. Nie ma górnej granicy pola trójkąta. (Carl Friedrich Gauss, 1799)
  12. Kąty szczytowe czworoboku Saccheri wynoszą 90°. (Geralamo Saccheri, 1733)
  13. Aksjomat Proklosa . Jeśli linia przecina jedną z dwóch równoległych linii, z których obie są współpłaszczyznowe z oryginalną linią, to przecina również drugą. (Proclus, V wiek)

Neutralna (lub absolutna) geometria

Geometria absolutna jest geometrią opartą na systemie aksjomatów składającym się ze wszystkich aksjomatów dających geometrię euklidesową z wyjątkiem postulatu równoległego lub dowolnej z jego alternatyw. Termin ten został wprowadzony przez Jánosa Bolyai w 1832 roku. Czasami nazywa się go geometrią neutralną , ponieważ jest neutralny w stosunku do postulatu równoległego.

Stosunek do innych geometrii

W Elementach Euklidesa pierwsze 28 twierdzeń i twierdzenie I.31 unikają stosowania równoległego postulatu, a zatem są poprawnymi twierdzeniami w geometrii absolutnej. Twierdzenie I.31 dowodzi istnienia linii równoległych (przez konstrukcję). Można również udowodnić twierdzenie Saccheri-Legendre , które mówi, że suma kątów w trójkącie wynosi co najwyżej 180°.

Twierdzenia geometrii absolutnej obowiązują zarówno w geometrii hiperbolicznej, jak iw geometrii euklidesowej .

Geometria absolutna jest niespójna z geometrią eliptyczną : w geometrii eliptycznej w ogóle nie ma linii równoległych, ale w geometrii absolutnej linie równoległe istnieją. Również w geometrii eliptycznej suma kątów w dowolnym trójkącie jest większa niż 180°.

Niekompletność

Logicznie rzecz biorąc, aksjomaty nie tworzą pełnej teorii, ponieważ można dodać dodatkowe niezależne aksjomaty bez powodowania niespójności systemu aksjomatów. Można rozszerzyć geometrię absolutną, dodając różne aksjomaty o równoległości i uzyskać niezgodne, ale spójne systemy aksjomatów, dając początek geometrii euklidesowej lub hiperbolicznej. Zatem każde twierdzenie geometrii absolutnej jest twierdzeniem geometrii hiperbolicznej i geometrii euklidesowej. Jednak odwrotność nie jest prawdziwa. Również geometria absolutna nie jest teorią kategoryczną , ponieważ posiada modele, które nie są izomorficzne.

Geometria hiperboliczna

W aksjomatycznym podejściu do geometrii hiperbolicznej (zwanej również geometrią Łobaczewskiego lub geometrią Bolyai-Łobaczewskiego) jeden dodatkowy aksjomat jest dodawany do aksjomatów dających geometrię absolutną . Nowym aksjomatem jest równoległy postulat Łobaczewskiego (znany również jako charakterystyczny postulat geometrii hiperbolicznej ):

Przez punkt nie na danej prostej przechodzą (w płaszczyźnie wyznaczonej przez ten punkt i prostą) co najmniej dwie proste, które nie przecinają się z daną linią.

Dzięki temu dodatkowi system aksjomatów jest już kompletny.

Chociaż nowy aksjomat zakłada istnienie tylko dwóch linii, łatwo można stwierdzić, że przez dany punkt przebiega nieskończona liczba linii, które nie przecinają się z daną linią. Biorąc pod uwagę tę obfitość, należy być ostrożnym z terminologią w tym kontekście, ponieważ termin linia równoległa nie ma już takiego unikalnego znaczenia, jakie ma w geometrii euklidesowej. W szczególności niech P będzie punktem nie na danej linii . Niech PA będzie prostopadłą narysowaną od P do (spotkanie w punkcie A ). Linie przechodzące przez P dzielą się na dwie klasy, te, które się spotykają i te, które się nie spotykają . Charakterystyczny postulat geometrii hiperbolicznej mówi, że istnieją co najmniej dwie linie tego ostatniego typu. Z linii, które się nie przecinają , będzie (po każdej stronie PA ) linia tworząca najmniejszy kąt z PA . Czasami te linie są określane jako pierwsze linie przechodzące przez P, które się nie spotykają i są różnie nazywane liniami ograniczającymi, asymptotycznymi lub równoległymi (gdy używany jest ten ostatni termin, są to jedyne linie równoległe). Wszystkie pozostałe linie przebiegające przez P , które nie spełniają nazywane są non-przecinających lub ultraparallel linie.

Ponieważ geometria hiperboliczna i geometria euklidesowa są zbudowane na aksjomatach geometrii absolutnej, mają wiele wspólnych właściwości i twierdzeń. Jednak konsekwencje zastąpienia postulatu równoległego geometrii euklidesowej charakterystycznym postulatem geometrii hiperbolicznej mogą być dramatyczne. Aby wymienić kilka z nich:

Czworokąt Lamberta w geometrii hiperbolicznej
  • Lambert czworokąt jest to czworokąt, który ma trzy kąty proste. Czwarty kąt czworokąta Lamberta jest ostry, jeśli geometria jest hiperboliczna, a kąt prosty, jeśli geometria jest euklidesowa. Co więcej, prostokąty mogą istnieć (stwierdzenie równoważne z postulatem równoległym) tylko w geometrii euklidesowej.
  • Saccheriego czworoboku znaczy w kształcie czworoboku, który ma dwa boki o jednakowej długości, zarówno prostopadle do boku zwany podstawy . Pozostałe dwa kąty czworoboku Saccheri nazywane są kątami szczytowymi i mają równą miarę. Kąty szczytowe czworoboku Saccheri są ostre, jeśli geometria jest hiperboliczna, a kąty proste, jeśli geometria jest euklidesowa.
  • Suma miar kątów dowolnego trójkąta jest mniejsza niż 180°, jeśli geometria jest hiperboliczna, i równa 180°, jeśli geometria jest euklidesowa. Wada trójkąta wartość liczbowa (180 ° - suma środków kątów trójkąt). Wynik ten można również określić jako: wada trójkątów w geometrii hiperbolicznej jest dodatnia, a wada trójkątów w geometrii euklidesowej wynosi zero.
  • Pole trójkąta w geometrii hiperbolicznej jest ograniczona, podczas gdy istnieją trójkąty z dowolnie dużych obszarach w geometrii euklidesowej.
  • Zbiór punktów po tej samej stronie i jednakowo oddalonych od danej prostej tworzą linię w geometrii euklidesowej, ale nie w geometrii hiperbolicznej (tworzą hipercykl ).

Zwolennicy stanowiska, że ​​geometria euklidesowa jest jedyną „prawdziwą” geometrią, popadli w porażkę, gdy we pamiętniku opublikowanym w 1868 r. „Fundamentalna teoria przestrzeni o stałej krzywiźnie” Eugenio Beltrami dał abstrakcyjny dowód równoważności hiperbolicznej i euklidesowej geometria dla dowolnego wymiaru. Dokonał tego poprzez wprowadzenie kilku modeli geometrii euklidesowej, które nie są obecnie znane jako modelu Beltrami-Kleina , w modelu dysku Poincaré , a pół-płaszczyzny modelu Poincaré , wraz z przemianami, które ich dotyczą. W przypadku modelu półpłaszczyznowego Beltrami zacytował uwagę Liouville'a w traktacie Monge'a o geometrii różniczkowej . Beltrami wykazał również, że n- wymiarowa geometria euklidesowa jest realizowana na horosferze ( n  + 1)-wymiarowej przestrzeni hiperbolicznej , więc logiczny związek między spójnością geometrii euklidesowej i nieeuklidesowej jest symetryczny.

Geometria eliptyczna

Innym sposobem modyfikacji euklidesowego postulatu równoległości jest założenie, że na płaszczyźnie nie ma równoległych linii. W przeciwieństwie do sytuacji z geometrią hiperboliczną , gdzie dodajemy tylko jeden nowy aksjomat, nie możemy uzyskać spójnego systemu, dodając to stwierdzenie jako nowy aksjomat do aksjomatów geometrii absolutnej . Wynika to z faktu, że równoległe linie istnieją w absolutnej geometrii. Inne aksjomaty muszą zostać zmienione.

Wychodząc od aksjomatów Hilberta, konieczne zmiany polegają na usunięciu czterech aksjomatów porządku Hilberta i zastąpieniu ich siedmioma aksjomatami separacji, związanymi z nową, niezdefiniowaną relacją.

Istnieje niezdefiniowana ( prymitywna ) relacja między czterema punktami, A , B , C i D oznaczonymi przez ( A , C | B , D ) i odczytywana jako " A i C oddzielone B i D ", spełniająca następujące aksjomaty:

  1. Jeżeli ( A , B | C , D ), to punkty A , B , C i Dwspółliniowe i różne.
  2. Jeżeli ( A , B | C , D ), to ( C , D | A , B ) i ( B , A | D , C ).
  3. Jeśli ( A , B | C , D ), to nie ( A , C | B , D ).
  4. Jeżeli punkty A , B , C i D są współliniowe i różne to ( A , B | C , D ) lub ( A , C | B , D ) lub ( A , D | B , C ).
  5. Jeśli punkty A , B i C są współliniowe i różne, to istnieje punkt D taki, że ( A , B | C , D ).
  6. Dla dowolnych pięciu odrębnych punktów współliniowych A , B , C , D i E , jeśli ( A , B | D , E ), to albo ( A , B | C , D ) albo ( A , B | C , E ).
  7. Perspektywy zachowują separację.

Ponieważ pojęcie „między” zostało usunięte przez Hilberta, terminy, które zostały zdefiniowane za pomocą tego pojęcia, wymagają przedefiniowania. Zatem odcinek AB zdefiniowany jako punkty A i B oraz wszystkie punkty pomiędzy A i B w geometrii absolutnej muszą zostać przeformułowane. Odcinek linii w tej nowej geometrii jest wyznaczony przez trzy współliniowe punkty A , B i C i składa się z tych trzech punktów oraz wszystkich punktów nieoddzielonych od B przez A i C . Są dalsze konsekwencje. Ponieważ dwa punkty nie określają jednoznacznie odcinka linii, trzy punkty niewspółliniowe nie określają jednoznacznego trójkąta i należy przeformułować definicję trójkąta.

Po przedefiniowaniu tych pojęć, wszystkie inne aksjomaty geometrii absolutnej (przypadek, zgodność i ciągłość) nabierają sensu i pozostają w spokoju. Wraz z nowym aksjomatem o nieistnieniu linii równoległych mamy spójny system aksjomatów dający nową geometrię. Powstała geometria nazywana jest (płaszczyznową) geometrią eliptyczną .

Czworokąty Saccheriego w geometrii euklidesowej, eliptycznej i hiperbolicznej

Chociaż geometria eliptyczna nie jest rozszerzeniem geometrii absolutnej (jak geometria euklidesowa i hiperboliczna), istnieje pewna „symetria” w twierdzeniach trzech geometrii, która odzwierciedla głębsze połączenie zaobserwowane przez Felixa Kleina. Niektóre z propozycji, które wykazują tę właściwość, to:

  • Czwarty kąt czworokąta Lamberta jest kątem rozwartym w geometrii eliptycznej.
  • Kąty szczytowe czworoboku Saccheri są rozwarte w geometrii eliptycznej.
  • Suma miar kątów dowolnego trójkąta jest większa niż 180°, jeśli geometria jest eliptyczna. Oznacza to, że wada trójkąta jest ujemna.
  • Wszystkie linie prostopadłe do danej linii spotykają się we wspólnym punkcie geometrii eliptycznej, zwanym biegunem linii. W geometrii hiperbolicznej linie te wzajemnie się nie przecinają, podczas gdy w geometrii euklidesowej są do siebie równoległe.

Inne wyniki, takie jak twierdzenie o kątach zewnętrznych , wyraźnie podkreślają różnicę między geometrią eliptyczną a geometrią, która jest rozszerzeniem geometrii absolutnej.

Geometria sferyczna

Inne geometrie

Geometria rzutowa

Geometria afiniczna

Uporządkowana geometria

Geometria absolutna jest rozszerzeniem geometrii uporządkowanej , a zatem wszystkie twierdzenia w geometrii uporządkowanej obowiązują w geometrii absolutnej. Odwrotność nie jest prawdą. Geometria absolutna zakłada, że ​​pierwsze cztery aksjomaty Euklidesa (lub ich odpowiedniki) zostaną skontrastowane z geometrią afiniczną , która nie zakłada trzeciego i czwartego aksjomatu Euklidesa. Uporządkowana geometria jest wspólnym fundamentem zarówno geometrii absolutnej, jak i afinicznej.

Skończona geometria

Zobacz też

Uwagi

Bibliografia

(3 tomy): ISBN  0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN  0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN  0-486-60090-4 (vol. 3).

Zewnętrzne linki