Testowanie wrażliwości Fouriera amplituda - Fourier amplitude sensitivity testing

Testowanie wrażliwości amplituda Fouriera (FAST) jest globalną wariancji w oparciu czułość analizy metodą. Wartość czułości jest określona na podstawie wariancji warunkowych , które wskazują indywidualne lub wspólne działanie niepewnych wejść na wyjściu.

Czas pierwszego przedstawia wariancje warunkowe pośrednictwem współczynników z licznych szeregów Fouriera rozszerzania funkcji wyjściowej. Następnie ergodyczny twierdzenie jest stosowana do transformacji wielowymiarowe integralną jednowymiarowa integralną w ocenie współczynników Fouriera. Zestaw niewspółmierne częstotliwości jest wymagane do przeprowadzenia transformacji i większość częstotliwości są irracjonalne. W celu ułatwienia obliczeń, zestaw częstotliwości całkowitą wybraną zamiast Irracjonalizmu częstotliwości. Częstotliwości całkowita nie są ściśle niewspółmierny, co powoduje błąd między wielowymiarowe integralną i transformowane jednowymiarowy całki. Jednak całkowite częstotliwości można wybrać się niewspółmierne do dowolnej kolejności tak, że błąd może być sterowany spełniające wszelkie wymogi precyzja w teorii. Korzystanie z częstotliwości całkowitą w integralną transformacji funkcji spowodowało jednowymiarowy całki jest okresowy i całka tylko musi ocenić w jednym okresie. Następnie, ponieważ funkcja ciągła integralną można odzyskać z kompletem punktów skończonych próbkowania jeśli Twierdzenie Kotielnikowa-Shannona jest spełniony, jednowymiarowy integralną oceniana jest na podstawie sumowania wartości funkcji w generowanych punktów pomiarowych.

FAST jest bardziej efektywne niż inne obliczenia wariancji wrażliwość na bazie metod analizy globalnej czułości poprzez integrację Carlo Monte . Jednak obliczenie przez FAST jest zwykle ograniczone do wrażliwości odnoszące się do „głównego” lub „efekt całkowitego efektu”.

Historia

Szybka metoda pochodzi z badań nad wielkością układach reakcji chemicznych w 1973, a szczegółowa analiza błędu obliczeń przedstawiono drugi w 1975 tylko indeksy czułości rzędu pierwszego zgodnie z rozdziałem „głównym” efekt obliczono oryginalnego sposobu. FORTRAN Program komputerowy zdolny do analizowania albo algebraicznych i różniczkowych układów równań została opublikowana w 1982 roku 1990, związek między FAST wskaźników wrażliwości i te Sobol obliczonej z symulacji Monte Carlo zostało ujawnione w ramach ogólnej ANOVA -jak rozkładu i rozszerzony metoda FAST stanie obliczyć wskaźniki czułości odnoszące się do „całkowitego efektu” został opracowany.

Fundacja

Czułość opartego wariancji

Wskaźniki czułość metody wariancji oparte są obliczane z wykorzystaniem ANOVA rozkładu funkcji analizy. Załóżmy, że funkcja jest gdzie . Rozkład ANOVA jest ${\ Displaystyle Y = F \ lewo (\ mathbf {X} \ prawej) = f \ lewo (x_ {1}, {2} x_ \ kropki, x_ {A} \ prawej)}$${\ Displaystyle 0 \ równoważnik x_ {j} \ równoważnik 1, j = 1, punkty \ n}$

${\ Displaystyle f \ lewo (X_ {1} X_ {2} \ ldots, x_ {A} \ prawy) = F_ {0} + \ suma _ {j = 1} ^ {n} F_ {j} \ lewo (X_ {j} \ prawej) + \ suma _ {j = 1} ^ {n-1} \ suma _ {k = j + 1} ^ {n} F_ {jk} \ lewo (X_ {j} X_ {k} \ prawej) + \ cdots + F_ {12 \ n}} kropki$

pod warunkiem, że jest stała i całka każdego semestru w sum wynosi zero, czyli ${\ Displaystyle F_ {0}}$

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} F_ {j_ {1} j_ {2} \ kropki j_ {R}} \ lewo (X_ {j_ {1}} X_ {j_ {2}} \ kropki, X_ {j_ {R}} \ prawej) dX_ {j_ {k} 0} = {\ tekst {}} 1 \ równoważnik K \ równoważnik r.}$

Wariancja warunkowy, który charakteryzuje udział każdego terminu do całkowitej wariancji Is ${\ Displaystyle f \ lewo (\ mathbf {X} \ prawej)}$

${\ Displaystyle V_ {j_ {1} j_ {2} \ kropki j_ {R}} = \ int _ {0} ^ {1} \ cdots \ int _ {0} ^ {1} F_ {j_ {1} j_ {2} \ kropki j_ {R}} ^ {2} \ w lewo (x_ {j_ {1}} x_ {j_ {2}} \ kropek X_ {j_ {R}} \ prawej) dX_ {j_ { 1}} dX_ {j_ {2}} \ kropki dX_ {j_ {R}}.}$

Całkowitej wariancji jest sumą wszystkich wariancji warunkowych

${\ Displaystyle V = \ suma _ {j = 1} ^ {n} V_ {j} + \ suma _ {j = 1} ^ {n-1} \ suma _ {k = j + 1} ^ {n} V_ {jk} + \ cdots + V_ {12 \ kropki n}.}$

Indeks Czułość jest definiowana jako znormalizowana wariancji warunkową

${\ S_ displaystyle {j_ {1} j_ {2} \ kropki j_ {R}} = {\ Frac {V_ {j_ {1} j_ {2} \ kropki j_ {R}}} {V}}}$

w szczególności pierwsze wrażliwość kolejność

${\ Displaystyle S_ J {} = {\ Frac {V_ {J {V}}}}}$

co wskazuje główny wpływ na wejściu . ${\ Displaystyle X_ {j}}$

Stwardnienie szereg Fouriera

Jednym ze sposobów, aby obliczyć rozkład ANOVA-jak jest oparta na wielu szeregów Fouriera. Funkcja w jednostce hiper-kostki może być przedłużony do wielowarstwowego funkcji okresowej, a rozszerzenie wiele serii Fouriera ${\ Displaystyle f \ lewo (\ mathbf {X} \ prawej)}$

${\ Displaystyle f \ lewo (X_ {1} X_ {2} \ kropek X_ {A} \ prawej) = \ suma _ {M_ {1} = - \ infty} ^ {\ infty} \ suma _ { M_ {2} = - \ infty} ^ {\ infty} \ cdots \ suma _ {M_ {n} = - \ infty} ^ {\ infty} C_ {M_ {1} M_ {2} n ... m_ { }} \ exp {\ Bigl [} 2 \ Pi I \ lewo (M_ {1} X_ {1} + M_ {2} X_ {2} + \ cdots + M_ {n} X_ {A} \ prawej) {\ bigr]}, {\ tekst {liczby całkowite}} M_ {1}, {2} M_ \ kropek M_ {n}}$

gdzie współczynnik Fouriera

${\ C_ displaystyle {M_ {1} M_ {2} ... m_ {n}} = \ _ int {0} ^ {1} \ cdots \ _ int {0} ^ {1} f \ lewo (X_ { 1}, {2} X_ \ kropek X_ {A} \ prawej) \ exp {\ Bigl [} -2 \ Pi I \ lewo (M_ {1} X_ {1} + M_ {2}, {2} X_ + \ + kropki M_ {n} X_ {A} \ prawej) {\ bigr]}.}$

Rozkład ANOVA jest

${\ Displaystyle {\ {zaczynać wyrównane} F_ {0} i {= C_ 00 \ kropek 0} \\ F_ {j} & Sum _ = \ {M_ {j} \ NEQ 0} C_ {0 \ punktami M_ {J } \ kropki 0} \ exp {\ Bigl [} 2 \ pi im_ {j} X_ {} {J \ bigr]} \\ F_} i {JK = \ _ suma {M_ {j} \ neq 0} \ suma _ {M_ {k} \ neq 0} C_ {0 \ kropki M_ {j} \ kropki M_ {k} \ kropki 0} \ exp {\ Bigl [} 2 \ Pi I \ lewo (M_ {j} X_ {J. } + M_ {k} X_ {k} \ prawej) {\ bigr]} \\ {12 F_ \ n} kropek i = \ _ suma {M_ {1} \ neq 0} \ m_ suma _ {{2} \ neq 0} \ cdots \ suma _ {M_ {A} \ neq 0} C_ {M_ {1} M_ {2} \ kropki M_ {n}} \ exp {\ Bigl [} 2 \ Pi I \ lewo (M_ { 1} X_ {1} + M_ {2} X_ {2} + \ cdots + M_ {n} X_ {A} \ prawej) {\ bigr]}. \ {koniec wyrównane}}}$

Pierwszym zadaniem jest warunkowa wariancja

${\ Displaystyle {\ {zaczynać wyrównane} V_ {j} & = \ _ int {0} ^ {1} {J F_} ^ {2} \ lewo (X_ {j} \ prawej) dX_ {j} \\ & = \ sum _ {M_ {j} \ neq 0} \ left | C_ {0 \ dots M_ {j} \ dots 0} \ right | ^ {2} \\ & = 2 \ sum _ {M_ {j} = 1} ^ {\ infty} \ lewo (A_ {M_ {j}} ^ {2} + B_ {M_ {j}} ^ {2} \ prawej) \ {koniec wyrównane}}}$

gdzie i są rzeczywiste i urojone część odpowiednio ${\ Displaystyle A_ {M_ {j}}}$${\ Displaystyle B_ {M_ {j}}}$${\ Displaystyle C_ {0 \ kropki M_ {j} \ kropek 0}}$

${\ Displaystyle A_ {M_ {j}} = \ int _ {0} ^ {1} \ cdots \ int _ {0} ^ {1} f \ lewo (X_ {1} X_ {2} \ kropek X_ {A} \ prawej) \ bo \ lewy (2 \ pi M_ {j} X_ {j} \ prawej) dX_ {1} dX_ {2} \ kropki dX_ {n}}$

${\ Displaystyle B_ {M_ {j}} = \ int _ {0} ^ {1} \ cdots \ int _ {0} ^ {1} f \ lewo (X_ {1} X_ {2} \ kropek X_ {A} \ prawej) \ sin \ lewy (2 \ pi M_ {j} X_ {j} \ prawej) dX_ {1} dX_ {2} \ kropki dX_ {n}}$

twierdzenie ergodyczna

Multi-wymiarowej zintegrowany musi być oceniana w celu obliczenia współczynników Fouriera. Jednym ze sposobów oceny tego wielowymiarowego całkę jest przekształcenie go w jednowymiarowa integralną wyrażając każde wejście jako funkcji nowej zmiennej niezależnej , jak następuje ${\ S} displaystyle$

${\ X_ displaystyle {j} \ lewo (s \ prawej) = {\ Frac {1} {2 \ pi}} \ lewo (\ omega _ {j} s {\ tekst {mod}} 2 \ pi \ prawej) , J = 1,2, \ kropki, n}$

gdzie jest zbiorem niewspółmierne częstotliwościach, czyli ${\ Displaystyle \ left \ {\ omega _ {j} \ right \}}$

${\ Suma displaystyle \ _ j = {1} ^ {A} \ y _} {J \ omega _ j} = {0}$

dla zbioru liczb całkowitych z wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego . Następnie współczynniki Fouriera można obliczyć przez jednowymiarowy integralną według ergodycznej twierdzenia${\ Displaystyle \ left \ {\ gamma _ {j} \ prawo \}}$${\ Displaystyle \ y _ j} = {0}$${\ Displaystyle J}$

${\ Displaystyle A_ {M_ {j}} = \ lim _ {t \ z \ infty} {\ Frac {1} {2T}} \ int _ {- T} ^ {T} f {\ Bigl (} X_ { 1} \ lewo (s \ prawej) X_ {2} \ lewo (s \ prawej) \ kropki, X_ {a} \ lewo (s \ prawej) {\ bigr)} \ cos {\ Bigl (} 2 \ PI M_ {j} X_ {j} \ lewo (s \ prawej) {\ bigr)}} DS$

${\ Displaystyle B_ {M_ {j}} = \ lim _ {t \ z \ infty} {\ Frac {1} {2T}} \ int _ {- T} ^ {T} f {\ Bigl (} X_ { 1} \ lewo (s \ prawej) X_ {2} \ lewo (s \ prawej) \ kropki, X_ {a} \ lewo (s \ prawej) {\ bigr)} \ sin {\ Bigl (} 2 \ PI M_ {j} X_ {j} \ lewo (s \ prawej) {\ bigr)}} DS$

Realizacja

Integer częstotliwości

Co najwyżej jeden z niewspółmierne częstotliwości może być racjonalna ze wszyscy inni są irracjonalne. Ponieważ wartość liczbowa numerem irracjonalnego nie mogą być przechowywane dokładnie w komputerze, przybliżenie z niewspółmierne częstotliwościach wszystkich liczb wymiernych jest wymagane w realizacji. Bez utraty ogólności częstotliwości może być ustawiona jako liczby całkowite zamiast jakichkolwiek liczb wymiernych. Zbiór liczb całkowitych wynosi około niewspółmierne do porządku , jeśli ${\ Displaystyle \ left \ {\ omega _ {j} \ right \}}$${\ Displaystyle \ left \ {\ omega _ {j} \ right \}}$${\} M displaystyle$

${\ Suma displaystyle \ _ j = {1} ^ {A} \ y _} {J \ omega _} {J \ neq 0}$

dla

${\ Suma displaystyle \ _ j = {1} ^ {A} \ left | \ y _} {J \ prawo | \ równoważnik M + 1}$

gdzie jest liczbą całkowitą. Dokładny stan niewspółmierne jest skrajny przypadek kiedy . ${\} M displaystyle$${\ Displaystyle M \ z \ infty}$

Używanie całkowitą częstotliwościach działają w transformowanej całki jednowymiarowy jest okresowa więc tylko integracja ciągu jest konieczne. Współczynniki Fouriera, można w przybliżeniu obliczyć jako ${\ Displaystyle 2 \ pi}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} A_ {M_ {j}} & \ ok {\ Frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f {\ Bigl (} X_ {1} \ lewo (s \ prawej) X_ {2} \ lewo (s \ prawej) \ kropki, X_ {a} \ lewo (s \ prawej) {\ bigr)} \ bo \ lewo (M_ { j} \ omega _ {j} a \ po prawej) DS = {\ kapelusz {a}} _ {M_ {j}} \\ B_ {M_ {j}} & \ ok {\ Frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f {\ Bigl (} x_ {1} \ w lewo (s \ prawej) X_ {2} \ w lewo (s \ prawej) \ kropek X_ {a} \ lewo (s \ prawej) {\ bigr)} \ sin \ lewo (M_ {j} \ omega _ {j} s \ prawej) DS = {\ kapelusz {B}} _ {M_ {j} } \ koniec {wyrównane}}}$

Zbliżenia niewspółmierne częstotliwości przez skończony skutkuje błędem rozbieżność pomiędzy prawdziwych współczynników Fouriera , a ich szacunków , . Im większy porządek jest mniejszy błąd jest jednak więcej obliczeniowe wysiłki są potrzebne do obliczenia szacunkowe w poniższej procedurze. W praktyce często jest ustawiony na 4 i tabela spowodowało zestawy częstotliwości, które mają do 50 częstotliwości jest dostępna. (McRae i wsp., 1982), ${\} M displaystyle$${\ Displaystyle A_ {M_ {j}}}$${\ Displaystyle B_ {M_ {j}}}$${\ Displaystyle {\ hat {A}} _ {M_ {j}}}$${\ Displaystyle {\ hat {B}} _ {M_ {j}}}$${\} M displaystyle$${\} M displaystyle$

Szukaj krzywa

Transformacji, określa krzywą przeszukiwania w przestrzeni wejściowej. Jeżeli częstotliwości, są niewspółmierne krzywa wyszukiwania może przejść przez każdy punkt w przestrzeni wejściowej, w przedziale od 0 do tak wielowymiarowy całkę przestrzeń wejściowa może być dokładnie przekształcone jednowymiarowa integralną wzdłuż krzywej wyszukiwania. Jednakże, jeśli częstotliwość wynosi około niewspółmierne całkowitymi, krzywa wyszukiwania może nie przejść przez każdy punkt w przestrzeni wejściowej. Jeśli faktycznie wyszukiwania powtarza ponieważ funkcja przekształcać jest okresowa, o okresie . Jednowymiarowych integralną można ocenić w ciągu pojedynczego okresu zamiast nieskończonej niewspółmierne do przedziału częstotliwości; Jednak błąd obliczeniowy powstaje w wyniku zbliżania incommensuracy. ${\ X_ displaystyle {j} \ lewo (s \ prawej) = {\ Frac {1} {2 \ pi}} \ lewo (\ omega _ {j} s {\ tekst {mod}} 2 \ pi \ prawej) }$${\ Displaystyle \ omega _ {j}, j = 1, \ kropki, n}$${\ S} displaystyle$${\ Displaystyle \ infty}$${\ Displaystyle 2 \ pi}$

• Szukaj krzywa
• 

  Krzywa wyszukiwania w przypadku ω ₁ = Õ i Ohm ₂ = 7. Ponieważ częstotliwości są niewspółmierne, krzywa wyszukiwania nie powtarza i może przechodzić przez każdy punkt na placu

• 

  Krzywa wyszukiwania w przypadku Ohm ₁ = 3 Ohm ₂ = 7. Ponieważ częstotliwości są liczbami całkowitymi, które są w przybliżeniu niewspółmierne, krzywa wyszukiwanie jest powtarzane i nie może przejść przez każdy punkt na placu

• 

  Krzywa wyszukiwania w przypadku Ohm ₁ = 11 i ω ₂ = 7. Ponieważ częstotliwości są liczbami całkowitymi, które są w przybliżeniu niewspółmierne, krzywa wyszukiwanie jest powtarzane i nie może przejść przez każdy punkt na placu

Próbowanie

Aproksymowane Fouriera mogą zostać wyrażony jako

${\ Displaystyle {\ kapelusz {A}} _ {M_ {j}} = {\ zaczynają {przypadków} 0 i M_ {j} {\ tekst {odd}} \\ {\ Frac {1} {\ pi}} \ Int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} f {\ Bigl (} \ mathbf {X} (e) {\ bigr)} \ bo \ lewo (M_ {j} \ omega _ {j} a \ right) DS & M_ {j} {\ text {jeszcze}} \ end {przypadki}}}$

i

${\ Displaystyle {\ kapelusz {B}} _ {M_ {j}} = {\ zaczynają {przypadków} {\ Frac {1} {\ pi}} \ int _ {- \ pi / 2} ^ {\ pi / 2} f {\ Bigl (} \ mathbf {X} (e) {\ bigr)} \ sin \ lewo (M_ {j} \ omega _ {j} a \ po prawej) DS i M_ {j} {\ tekst {odd} } \\ 0 & M_ {j} {\ text {jeszcze}} \ end {przypadki}}}$

Niezerowych całki można obliczyć z punktów pomiarowych

${\ Displaystyle {\ {zaczynać wyrównane} {\ kapelusz {A}} _ {M_ {j}} & = {\ Frac {1} {2q + 1}} \ _ {suma k = -Q} ^ P {} f {\ Bigl (} \ mathbf {X} (s_ {k}) {\ bigr)} \ bo \ lewo (M_ {j} \ omega _ {j} s_ {k} \ prawej) m_ {j} { \ tekst {nawet}} \\ {\ kapelusz {B}} _ {M_ {j}} & = {\ Frac {1} {2q + 1}} \ _ {suma k = -Q} ^ P {} f {\ Bigl (} \ mathbf {x} (s_ {k}) {\ bigr)} \ sin \ left (M_ {j} \ omega _ {j} s_ {k} \ right), M_ {j} {\ tekst {odd}} \ end {wyrównane}}}$

gdzie wspólnego punktu próbkowania w to ${\ Displaystyle \ lewo [- \ pi / 2 \ pi / 2 \ prawo]}$

${\ Displaystyle s_ {k} = {\ Frac {\ pi k} {2q + 1}} k = Q, \ kropek -1,0,1 \ kropki, q.}$

Łączna liczba punktów pomiarowych jest który powinien spełniać kryterium Nyquista próbkowania, czyli ${\ 2Q displaystyle + 1}$

${\ 2Q displaystyle + 1 \ geq N \ _ {omega maks} + 1}$

gdzie jest największa częstotliwość i jest maksymalna kolejność obliczonych współczynników Fouriera. ${\ Displaystyle \ omega _ {max}}$${\ Displaystyle \ left \ {\ omega _ {k} \ right \}}$${\ Displaystyle N}$

suma cząstkowa

Po obliczeniu oszacowane współczynniki Fouriera rzędu pierwszego warunkowego zmienność można przybliżyć

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} V_ {j} & = 2 \ suma _ {M_ {j} = 1} ^ {\ infty} \ lewo (A_ {M_ {j}} ^ {2} + B_ {M_ {j}} ^ {2} \ prawej) \\ i \ około 2 \ _ {M_ suma j} = {1} ^ {\ infty} \ lewo ({\ kapelusz {A}} _ {M_ {j}} ^ {2} + {\ kapelusz {B}} _ {M_ {j}} ^ {2} \ prawej) \\ i \ około 2 \ _ {M_ suma j} = {1} ^ {2} \ lewo ( {\ kapelusz {A}} _ {M_ {j}} ^ {2} + {\ kapelusz {B}} _ {M_ {j}} ^ {2} \ prawej) \\ & = 2 \ lewo ({\ kapelusz {A}} _ {M_ {} = J} 2 ^ {2} + {\ kapelusz {B}} _ {M_ {j} = 1} ^ {2} \ prawej) \ {koniec wyrównane}}}$

gdzie tylko częściowy suma dwóch pierwszych kategoriach jest obliczany i określania liczby punktów pomiarowych. Korzystanie z częściową sumę można zazwyczaj zwracają odpowiednio dobre przybliżenie ogólnej sumy, ponieważ warunki odpowiadające częstotliwości podstawowej i niskich częstotliwościach rzędu zazwyczaj przyczyniają się najbardziej do łącznej sumy. Dodatkowo, współczynnik Fouriera w sumowania są tylko szacunkowe wartości prawdziwej i dodając więcej terminów wyższego rzędu nie przyczyni się do poprawy dokładności obliczeniowej znacząco. Ponieważ całkowite częstotliwości nie są dokładnie niewspółmierne istnieją dwie liczby całkowite i takie, że zakłócenia pomiędzy dwoma częstotliwościami może wystąpić, jeśli wyższego rzędu są wliczone w sumowaniu. ${\ Displaystyle n = 2}$${\ Displaystyle M_ {j}}$${\ Displaystyle M_ {k}}$${\ Displaystyle M_ {j} \ omega _} {J = M_ {k} \ omega _ {k}.}$

Podobnie, całkowita wariancja można obliczyć ${\ Displaystyle f \ lewo (\ mathbf {X} \ prawej)}$

${\ Displaystyle V \ ok {\ kapelusz {A}} _ {0} \ lewo [f ^ {2} \ prawo] - {\ kapelusz {A}} _ {0} \ lewo [f \ prawo] ^ {2 }}$

gdzie oznacza oszacowany współczynnik Fouriera funkcji wewnątrz uchwytu i jest kwadrat współczynnik Fouriera funkcji . Wreszcie czułość odnosi się do głównego efektu wejścia może być obliczona przez podzielenie wariancji warunkowego od całkowitej wariancji. ${\ Displaystyle {\ kapelusz {A}} _ {0} \ lewo [f ^ {2} \ prawo]}$${\ Displaystyle f ^ {2}}$${\ Displaystyle {\ kapelusz {A}} _ {0} \ lewo [f \ prawo] ^ {2}}$${\ Displaystyle f}$

Referencje