Wymiar fraktalny - Fractal dimension

11,5 x 200 = 2300 km

28 x 100 = 2800 km

70 x 50 = 3500 km

Rysunek 1. Wraz ze skalowaniem długości drążka pomiarowego, całkowita długość mierzonej linii brzegowej rośnie (patrz Paradoks linii brzegowej ).

W matematyce , a dokładniej w geometrii fraktalnej , A wstęga wymiar jest stosunkiem dostarczenie indeksu statystyczną złożoności w porównaniu, jak szczegółowo w strukturze (ściśle mówiąc, wstęga wzorzec) zmienia się w skali , w którym jest mierzona. Został również scharakteryzowany jako miara zdolności do wypełniania przestrzeni przez wzorzec, który mówi, w jaki sposób fraktal skaluje się inaczej niż przestrzeń, w której jest osadzony; wymiar fraktalny nie musi być liczbą całkowitą.

Zasadnicza idea „rozłamanych” wymiarów ma długą historię w matematyce, ale sam termin został wysunięty na pierwszy plan przez Benoita Mandelbrota na podstawie jego pracy z 1967 r. na temat samopodobieństwa, w której omówił wymiary ułamkowe . W artykule tym Mandelbrot zacytował poprzednią pracę Lewisa Fry'a Richardsona, opisującą sprzeczne z intuicją stwierdzenie, że zmierzona długość linii brzegowej zmienia się wraz z długością użytego kija pomiarowego ( patrz Rys. 1 ). Jeśli chodzi o to pojęcie, fraktalny wymiar linii brzegowej określa ilościowo, w jaki sposób liczba skalowanych prętów pomiarowych wymaganych do pomiaru linii brzegowej zmienia się wraz ze skalą nałożoną na pręt. Istnieje kilka formalnych matematycznych definicji wymiaru fraktalnego, które opierają się szczegółowo na tej podstawowej koncepcji zmiany wraz ze zmianą skali: patrz rozdział Przykłady .

Ostatecznie termin wymiar fraktalny stał się frazą, z którą sam Mandelbrot czuł się najlepiej, jeśli chodzi o uchwycenie znaczenia słowa fraktal , terminu, który stworzył. Po kilku iteracjach na przestrzeni lat Mandelbrot zdecydował się na takie użycie języka: „...użyć fraktala bez pedantycznej definicji, aby użyć wymiaru fraktalnego jako ogólnego terminu mającego zastosowanie do wszystkich wariantów”.

Jednym z nietrywialnych przykładów jest fraktalny wymiar płatka śniegu Kocha . Ma wymiar topologiczny równy 1, ale w żadnym wypadku nie jest krzywą prostowalną : długość krzywej między dowolnymi dwoma punktami na płatku Kocha jest nieskończona . Niewielki jej fragment przypomina linię, ale składa się z nieskończonej liczby segmentów połączonych pod różnymi kątami. Fraktalny wymiar krzywej można wytłumaczyć intuicyjnie myśląc o linii fraktalnej jako o obiekcie zbyt szczegółowym, aby był jednowymiarowy, ale zbyt prostym, aby był dwuwymiarowy. Dlatego jego wymiar można najlepiej opisać nie przez zwykły wymiar topologiczny równy 1, ale przez jego wymiar fraktalny, który często jest liczbą od jednego do dwóch; w przypadku płatka śniegu Kocha jest to około 1,262.

Wstęp

Rysunek 2. 32-segmentowy kwadratowy fraktal w skali i oglądany przez pudełka o różnych rozmiarach. Wzór ilustruje podobieństwo do siebie . Teoretyczny wymiar fraktalny dla tego fraktala to 5/3 ≈ 1,67; jego empiryczny wymiar fraktalny z analizy zliczania pudełek wynosi ±1% przy użyciu oprogramowania do analizy fraktalnej .

Wstęga wymiar jest wskaźnikiem do charakteryzowania fraktalne wzory lub zestawów według określenia ich złożoność w stosunku do zmian w szczegółach na zmianę skali. Kilka rodzajów wymiaru fraktalnego można zmierzyć teoretycznie i empirycznie ( patrz rys. 2 ). Wymiary fraktalne służą do charakteryzowania szerokiego spektrum obiektów, od abstrakcyjnych po zjawiska praktyczne, w tym turbulencje, sieci rzeczne, rozwój miast, fizjologię człowieka, medycynę i trendy rynkowe. Zasadnicza idea wymiarów ułamkowych lub fraktalnych ma długą historię w matematyce, której początki sięgają XVII wieku, ale terminy wymiar fraktal i fraktal zostały ukute przez matematyka Benoita Mandelbrota w 1975 roku.

Wymiary fraktalne zostały po raz pierwszy zastosowane jako wskaźnik charakteryzujący skomplikowane formy geometryczne, dla których szczegóły wydawały się ważniejsze niż ogólny obraz. W przypadku zbiorów opisujących zwykłe kształty geometryczne, teoretyczny wymiar fraktalny jest równy znanemu wymiarowi euklidesowemu lub topologicznemu zbioru . Zatem jest to 0 dla zbiorów opisujących punkty (zbiory 0-wymiarowe); 1 dla zbiorów opisujących linie (zbiory jednowymiarowe posiadające tylko długość); 2 dla zestawów opisujących powierzchnie (zestawy dwuwymiarowe o długości i szerokości); oraz 3 dla zestawów opisujących objętości (zestawy 3-wymiarowe o długości, szerokości i wysokości). Ale to się zmienia dla zbiorów fraktalnych. Jeśli teoretyczny wymiar fraktalny zbioru przekracza jego wymiar topologiczny, uważa się, że zbiór ma geometrię fraktalną.

W przeciwieństwie do wymiarów topologicznych, indeks fraktalny może przyjmować wartości niecałkowite , co oznacza, że ​​zbiór wypełnia swoją przestrzeń jakościowo i ilościowo inaczej niż zwykły zbiór geometryczny. Na przykład krzywa o wymiarze fraktalnym bardzo bliskim 1, powiedzmy 1,10, zachowuje się zupełnie jak zwykła linia, ale krzywa o wymiarze fraktalnym 1,9 wije się w przestrzeni bardzo prawie jak powierzchnia. Podobnie, powierzchnia o wymiarze fraktalnym 2,1 wypełnia przestrzeń bardzo podobnie jak zwykła powierzchnia, ale powierzchnia o wymiarze fraktalnym 2,9 fałduje się i płynie, wypełniając przestrzeń prawie jak objętość. Ta ogólna zależność widać w dwóch obrazów fraktalnych krzywych na fig.2 i fig. 3 -. Konturu segmentów 32 na fig 2, zwinięty i wypełnienie przestrzeni, wstęga ma wymiar 1,67, w porównaniu do odczuwalnie mniej skomplikowane Krzywa Kocha na rys. 3, która ma wymiar fraktalny 1,26.

Rysunek 3. Koch krzywa jest klasycznym powtarzanych wstęga krzywej. Jest to konstrukcja teoretyczna, która jest tworzona przez iteracyjne skalowanie początkowego segmentu. Jak pokazano, każdy nowy segment jest skalowany o 1/3 na 4 nowe części ułożone koniec do końca z 2 częściami środkowymi pochylonymi do siebie między pozostałymi dwoma częściami, tak że gdyby były trójkątem, jego podstawa byłaby długością środka kawałek, tak aby cały nowy segment mieścił się na tradycyjnie mierzonej długości między punktami końcowymi poprzedniego segmentu. Podczas gdy animacja pokazuje tylko kilka iteracji, krzywa teoretyczna jest skalowana w ten sposób w nieskończoność. Po około 6 iteracjach na tak małym obrazie szczegóły są tracone.

Związek zwiększającego się wymiaru fraktalnego z wypełnianiem przestrzeni można uznać za oznaczający, że wymiary fraktalne mierzą gęstość, ale tak nie jest; te dwa nie są ściśle skorelowane. Zamiast tego wymiar fraktalny mierzy złożoność, pojęcie związane z pewnymi kluczowymi cechami fraktali: samopodobieństwo i szczegółowość lub nieregularność . Cechy te są widoczne w dwóch przykładach krzywych fraktalnych. Obie są krzywymi o wymiarze topologicznym równym 1, więc można mieć nadzieję, że uda się zmierzyć ich długość i pochodną w taki sam sposób, jak w przypadku zwykłych krzywych. Ale nie możemy zrobić żadnej z tych rzeczy, ponieważ krzywe fraktalne mają złożoność w postaci samopodobieństwa i szczegółowości, których brakuje zwykłym krzywym. W samopodobieństwa tkwi w nieskończonym skalowania, a szczegółowo w podstawowych elementów każdego zestawu. Długość pomiędzy dwoma dowolnymi punktami na tych krzywych jest nieskończony, bez względu na to, jak blisko siebie dwa punkty, co oznacza, że niemożliwe jest zbliżenie długość takiej krzywej przez podzielenie krzywej na wiele małych segmentów. Każdy mniejszy kawałek składa się z nieskończonej liczby przeskalowanych segmentów, które wyglądają dokładnie tak, jak w pierwszej iteracji. Nie są to krzywe rektyfikowalne , co oznacza, że ​​nie można ich zmierzyć poprzez rozbicie na wiele odcinków aproksymujących ich długości. Nie można ich sensownie scharakteryzować poprzez znalezienie ich długości i pochodnych. Można jednak określić ich fraktalne wymiary, co pokazuje, że oba wypełniają przestrzeń bardziej niż zwykłe linie, ale mniej niż powierzchnie, i pozwala je porównać pod tym względem.

Dwie krzywe fraktalne opisane powyżej pokazują rodzaj samopodobieństwa, który jest dokładny z powtarzalną jednostką szczegółów, która jest łatwo wizualizowana. Ten rodzaj struktury można rozszerzyć na inne przestrzenie (np. fraktal, który rozciąga krzywą Kocha do przestrzeni trójwymiarowej, ma teoretyczne D=2,5849). Jednak taka zgrabnie policzalna złożoność jest tylko jednym z przykładów samopodobieństwa i szczegółowości, które są obecne we fraktalach. Na przykład linia brzegowa Wielkiej Brytanii wykazuje samopodobieństwo przybliżonego wzoru z przybliżonym skalowaniem. Ogólnie rzecz biorąc, fraktale wykazują kilka typów i stopni samopodobieństwa oraz szczegółowości, które mogą nie być łatwe do zobrazowania. Należą do nich, na przykład, dziwne atraktory, dla których szczegóły zostały opisane jako w istocie, gładkie partie piętrzące się, zbiór Julii , który może być postrzegany jako złożone zawirowania na zawirowaniach, oraz tętno, które są powtarzającymi się wzorami szorstkich kolców. i skalowane w czasie. Złożoność fraktalna nie zawsze może być rozłożona na łatwe do uchwycenia jednostki szczegółowości i skali bez skomplikowanych metod analitycznych, ale nadal można ją określić ilościowo za pomocą wymiarów fraktalnych.

Historia

Terminy wymiar fraktalny i fraktal zostały ukute przez Mandelbrota w 1975 roku, około dziesięć lat po tym, jak opublikował swoją pracę na temat samopodobieństwa na wybrzeżu Wielkiej Brytanii. Różne autorytety historyczne przypisują mu także syntezę stuleci skomplikowanych prac matematyczno-teoretycznych i inżynierskich oraz zastosowanie ich w nowy sposób do badania złożonych geometrii, które wymykają się opisowi w zwykłych terminach liniowych. Najwcześniejsze korzenie tego, co Mandelbrot zsyntetyzował jako wymiar fraktalny, wywodzą się wyraźnie z pism o nieróżnicowalnych, nieskończenie samopodobnych funkcjach, które są ważne w matematycznej definicji fraktali, mniej więcej w czasie, gdy odkryto rachunek różniczkowy w połowie XVI wieku. Na jakiś czas potem nastąpiła cisza w publikowanych pracach nad takimi funkcjami, a następnie wznowienie rozpoczęte pod koniec XIX wieku wraz z publikacją funkcji i zbiorów matematycznych, które dziś nazywa się kanonicznymi fraktalami (np. tytułowe prace von Kocha , Sierpińskiego). , i Julia ), ale w czasie ich formułowania były często uważane za antytetyczne matematyczne „potwory”. Pracom tym towarzyszył być może najbardziej kluczowy punkt w rozwoju koncepcji wymiaru fraktalnego, poprzez prace Hausdorffa na początku XX wieku, który zdefiniował wymiar „frakcyjny”, który został nazwany jego imieniem i jest często przywoływany przy definiowaniu nowoczesne fraktale .

Zobacz historię fraktali, aby uzyskać więcej informacji

Rola skalowania

Rysunek 4. Tradycyjne pojęcia geometrii do definiowania skalowania i wymiaru. , , , , , ,
${\ Displaystyle 1}$${\ Displaystyle 1 ^ {2} {=} 1}$${\ Displaystyle 1 ^ {3} {=} 1}$
${\displaystyle 2}$${\ Displaystyle 2 ^ {2} {=} 4}$${\ Displaystyle 2 ^ {3} {=} 8}$
${\displaystyle 3}$${\ Displaystyle 3 ^ {2} {=} 9}$${\ Displaystyle 3 ^ {3} {=} 27}$

Pojęcie wymiaru fraktalnego opiera się na niekonwencjonalnych poglądach na skalowanie i wymiar. Jak pokazano na rys. 4 , tradycyjne pojęcia geometrii dyktują, że kształty skalują się w przewidywalny sposób, zgodnie z intuicyjnymi i znanymi wyobrażeniami o przestrzeni, w której się znajdują, tak że na przykład pomiar linii za pomocą najpierw jednego pręta pomiarowego, a następnie kolejnej 1/3 jego rozmiaru , daje dla drugiego patyka całkowitą długość 3 razy większą niż w przypadku pierwszego. Odnosi się to również do 2 wymiarów. Jeśli zmierzymy powierzchnię kwadratu, a następnie zmierzymy ponownie kwadratem o długości boku 1/3 wielkości oryginału, znajdziemy 9 razy więcej kwadratów niż przy pierwszym takcie. Takie znane zależności skalowania można zdefiniować matematycznie za pomocą ogólnej reguły skalowania w równaniu 1, gdzie zmienna oznacza liczbę pałeczek, współczynnik skalowania i wymiar fraktalny: ${\ Displaystyle N}$${\displaystyle \varepsilon}$${\ Displaystyle D}$

${\ Displaystyle {N = \ varepsilon ^ {-D}}.}$

( 1 )

Ta zasada skalowania typuje konwencjonalne zasady dotyczące geometrii i wymiarów – dla linii określa to ilościowo, ponieważ kiedy jak w powyższym przykładzie, a dla kwadratów, ponieważ kiedy${\ Displaystyle N = 3}$${\ Displaystyle \ varepsilon = {\ tfrac {1} {3}}}$${\displaystyle D=1,}$${\ Displaystyle N = 9}$${\ Displaystyle \ varepsilon = {\ tfrac {1} {3}}, D = 2.}$

Figura 5. W pierwszych czterech powtórzeń z płatka Koch , która ma w przybliżeniu wymiary Hausdorffa z 1.2619.

Ta sama zasada dotyczy geometrii fraktalnej, ale mniej intuicyjnie. Aby rozwinąć, linia fraktalna mierzona początkowo na jedną długość, po ponownym zmierzeniu przy użyciu nowego patyka przeskalowanego o 1/3 starego może nie być oczekiwaną 3, ale zamiast tego 4 razy większą liczbą przeskalowanych patyków. W tym przypadku, kiedy i wartość można znaleźć, przestawiając równanie 1: ${\ Displaystyle N = 4}$${\ Displaystyle \ varepsilon = {\ tfrac {1} {3}},}$${\ Displaystyle D}$

${\ Displaystyle {\ log _ {\ varepsilon} {N} = {-D} = {\ Frac {\ log {N}} {\ log {\ varepsilon}}}}.}$

( 2 )

Oznacza to, że dla fraktala opisanego przez, gdy wymiar niecałkowity, który sugeruje, że fraktal ma wymiar nierówny przestrzeni, w której się znajduje. Skalowanie użyte w tym przykładzie jest tym samym skalowaniem krzywej Kocha i płatka śniegu . Warto zauważyć, że pokazane obrazy nie są prawdziwymi fraktalami, ponieważ skalowanie opisane przez wartość nie może trwać w nieskończoność z tego prostego powodu, że obrazy istnieją tylko do punktu ich najmniejszego składnika, piksela. Teoretyczny wzór reprezentowany przez cyfrowe obrazy nie ma jednak odrębnych elementów przypominających piksel, ale składa się z nieskończonej liczby nieskończenie skalowanych segmentów połączonych pod różnymi kątami i rzeczywiście ma fraktalny wymiar 1,2619. ${\ Displaystyle N = 4}$${\ Displaystyle \ varepsilon = {\ tfrac {1} {3}}, D = 1,2619,}$${\ Displaystyle D}$

D nie jest unikalnym deskryptorem

Rysunek 6 . Dwa fraktale rozgałęzione L-systemów, które są tworzone przez wyprodukowanie 4 nowych części dla każdej 1/3 skalowania, a więc mają taką samą teoretyczną jak krzywa Kocha, i dla których empiryczne zliczanie pudełek zostało zademonstrowane z dokładnością 2%.${\ Displaystyle D}$ ${\ Displaystyle D}$

Podobnie jak w przypadku wymiarów określanych dla linii, kwadratów i sześcianów, wymiary fraktalne są ogólnymi deskryptorami, które nie definiują jednoznacznie wzorów. Na przykład wartość D dla fraktala Kocha, omówiona powyżej, określa ilościowo naturalne skalowanie wzoru, ale nie opisuje jednoznacznie ani nie dostarcza wystarczających informacji, aby go zrekonstruować. Można skonstruować wiele struktur fraktalnych lub wzorów, które mają tę samą zależność skalowania, ale są radykalnie różne od krzywej Kocha, jak pokazano na rysunku 6 .

Aby zapoznać się z przykładami, jak można skonstruować wzory fraktalne, patrz Fractal , Trójkąt Sierpińskiego , Zbiór Mandelbrota , Diffusion limited agregation , L-System .

Fraktalne struktury powierzchni

Pojęcie fraktali jest coraz częściej stosowane w dziedzinie nauki o powierzchni , zapewniając pomost między charakterystyką powierzchni a właściwościami funkcjonalnymi. Do interpretacji struktury nominalnie płaskich powierzchni, które często wykazują cechy samoafiniczne w wielu skalach długości, stosuje się liczne deskryptory powierzchni. Średnia chropowatość powierzchni , zazwyczaj oznaczone R jest najczęściej stosowanym deskryptor powierzchni, jednak liczne inne oznaczenia w tym średnia nachylenia, średniej kwadratowej chropowatości (R _RMS ), a inne są regularnie stosowane. Stwierdzono jednak, że wielu fizycznych zjawisk powierzchniowych nie można łatwo zinterpretować w odniesieniu do takich deskryptorów, dlatego wymiar fraktalny jest coraz częściej stosowany do ustalania korelacji między strukturą powierzchni pod względem zachowania skalowania i wydajności. Fraktalne wymiary powierzchni zostały wykorzystane do wyjaśnienia i lepszego zrozumienia zjawisk w obszarach mechaniki kontaktu , tarcia , elektrycznego oporu styku i przezroczystych tlenków przewodzących .

Rysunek 7: Ilustracja rosnącej fraktali powierzchni. Powierzchnie samoafiniczne (po lewej) i odpowiadające profile powierzchni (po prawej) pokazujące rosnący wymiar fraktalny D _f

Przykłady

Pojęcie wymiaru fraktalnego opisane w tym artykule jest podstawowym spojrzeniem na skomplikowaną konstrukcję. Omówione tutaj przykłady zostały wybrane dla przejrzystości, a jednostka skalowania i współczynniki były znane z wyprzedzeniem. W praktyce jednak wymiary fraktalne można określić za pomocą technik przybliżających skalowanie i szczegóły na podstawie limitów oszacowanych na podstawie linii regresji na wykresach log vs log wielkości vs skala. Poniżej wymieniono kilka formalnych definicji matematycznych różnych typów wymiaru fraktalnego. Chociaż dla niektórych klasycznych fraktali wszystkie te wymiary są zbieżne, generalnie nie są one równoważne:

• Wymiar liczenia pudełek : D jest szacowany jako wykładnik prawa potęgowego .

${\ Displaystyle D_ {0}= \ lim _ {\ varepsilon \ do 0} {\ Frac {\ log N (\ varepsilon)} {\ log {\ Frac {1} {\ varepsilon}}}}.}$

• Wymiar informacji : D uwzględnia, w jaki sposób średnia informacja potrzebna do zidentyfikowania zajętego pudełka skaluje się z rozmiarem pudełka; jest prawdopodobieństwem.${\displaystyle p}$

${\ Displaystyle D_ {1} = \ lim _ {\ varepsilon \ do 0} {\ Frac {- \ langle \ log p_ {\ varepsilon} \ rangle {\ log {\ Frac {1} {\ varepsilon}}} }}$

• Wymiar korelacji : D opiera się na liczbie punktów użytych do wygenerowania reprezentacji fraktala oraz g _ε , liczbie par punktów bliżej siebie niż ε.${\ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle D_ {2} = \ lim _ {M \ do \ infty} \ lim _ {\ varepsilon \ do 0} {\ Frac {\ log (g_ {\ varepsilon} / M ^ {2})} {\ log \varepsilon }}}$

• Wymiary uogólnione lub Rényi: Wymiary zliczania pudełek, informacji i korelacji mogą być postrzegane jako szczególne przypadki ciągłego spektrum uogólnionych wymiarów rzędu α, zdefiniowanych przez:

${\ Displaystyle D_ {\ alfa} = \ lim _ {\ varepsilon \ do 0} {\ Frac {{\ Frac {1} {\ alfa -1}} \ log (\ suma _ {i} p_ {i} ^ {\alfa })}{\log \varepsilon }}}$

• Wymiar Higuchi

${\ Displaystyle D = {\ Frac {d \ \ log (L (k))} {d \ \ log (k)}}}$

• Wymiar Lapunowa
• Wymiary multifraktalne : szczególny przypadek wymiarów Rényi, gdzie zachowanie skalowania różni się w różnych częściach wzoru.
• Wykładnik niepewności
• Wymiar Hausdorff : Dla każdego podzbioru przestrzeni metrycznej i The d wymiarową zawartość Hausdorff z S jest określona${\displaystyle S}$${\ Displaystyle X}$${\displaystyle d\geq 0}$

${\ Displaystyle C_ {H} ^ {d} (S): = \ inf {\ Bigl \ {} \ suma _ {i} r_ {i} ^ {d}: {\ tekst {jest okładka}} S{\text{ kulami o promieniach }}r_{i}>0{\Bigr \}}.}$

Wymiar Hausdorff z S jest określona

${\ Displaystyle \ dim _ {\ nazwa operatora {H}} (X): = \ inf \ {d \ geq 0: C_ {H} ^ {d} (X) = 0 \}.}$

• Wymiar pakowania
• Wymiar Assouad
• Lokalny wymiar połączony

Szacowanie na podstawie rzeczywistych danych

Wiele zjawisk w świecie rzeczywistym wykazuje ograniczone lub statystyczne właściwości fraktalne i wymiary fraktalne, które zostały oszacowane na podstawie próbkowanych danych przy użyciu komputerowych technik analizy fraktalnej . Praktycznie na pomiary wymiaru fraktalnego mają wpływ różne kwestie metodologiczne, są one wrażliwe na szum liczbowy lub eksperymentalny oraz ograniczenia ilościowe. Niemniej jednak dziedzina ta szybko się rozwija, ponieważ szacowane wymiary fraktalne dla zjawisk statystycznie samopodobnych mogą mieć wiele praktycznych zastosowań w różnych dziedzinach, w tym astronomii, akustyce, geologii i naukach o Ziemi, obrazowaniu diagnostycznym, ekologii, procesach elektrochemicznych, analizie obrazu, biologii i medycynie, neuronauka, analiza sieci , fizjologia, fizyka i zera zeta Riemanna. Wykazano również, że szacunki wymiarów fraktalnych korelują ze złożonością Lempel-Ziv w rzeczywistych zestawach danych z psychoakustyki i neuronauki.

Alternatywą dla bezpośredniego pomiaru jest rozważenie modelu matematycznego, który przypomina tworzenie obiektu fraktalnego w świecie rzeczywistym. W takim przypadku walidację można również przeprowadzić, porównując inne niż fraktalne właściwości wynikające z modelu z danymi pomiarowymi. W fizyce koloidalnej powstają układy złożone z cząstek o różnych wymiarach fraktalnych. Aby opisać te systemy, wygodnie jest mówić o rozkładzie wymiarów fraktalnych, a ostatecznie o ewolucji tych ostatnich w czasie: procesie, który jest napędzany przez złożoną wzajemną zależność między agregacją i koalescencją .

Fraktalowe wymiary sieci i sieci przestrzennych

Stwierdzono, że wiele sieci w świecie rzeczywistym jest podobnych do siebie i można je scharakteryzować za pomocą wymiaru fraktalnego. Ponadto modele sieci osadzone w przestrzeni mogą mieć ciągły wymiar fraktalny, który zależy od rozmieszczenia łączy dalekiego zasięgu.

Zobacz też

• Lista fraktali według wymiaru Hausdorffa  – artykuł z listy Wikipedii
• Lacunarity  – Termin w geometrii i analizie fraktalnej
• Pochodna fraktalna  – Uogólnienie pochodnej na fraktale

Uwagi

Bibliografia

Dalsza lektura

• Mandelbrot, Benoit B .; Hudson, Richard L. (2010). (Nie)zachowanie rynków: fraktalne spojrzenie na ryzyko, ruinę i nagrodę . Książki profilowe. Numer ISBN 978-1-84765-155-6.

Zewnętrzne linki

• Benoit firmy TruSoft , oprogramowanie do analizy fraktalnej, oblicza wymiary fraktalne i wykładniki hurst.
• Aplet Java do obliczania wymiarów fraktalnych
• Wprowadzenie do analizy fraktalnej
• Bowley, Roger (2009). „Wymiar fraktalny” . Sześćdziesiąt symboli . Brady Haran dla Uniwersytetu w Nottingham .
• „ Fraktale zazwyczaj nie są samopodobne” . 3Niebieski1Brązowy .