Swobodny spadek - Free fall

Swobodny spadek jabłka

Odtwórz multimedia

Komandor David Scott przeprowadza demonstrację swobodnego spadania podczas lądowania na Księżycu Apollo 15

W fizyce Newtona , swobodny spadek jest jakikolwiek ruch na korpusie w których ciężar właściwy jest jedyną siłą działającą na nie. W kontekście ogólnej teorii względności , gdzie grawitacja sprowadza się do krzywizny czasoprzestrzennej , na ciało spadające swobodnie nie działa żadna siła.

Obiekt w technicznym sensie terminu „swobodny spadek” niekoniecznie musi spadać w zwykłym znaczeniu tego terminu. Obiekt poruszający się w górę może normalnie nie być uważany za spadający, ale jeśli podlega tylko sile grawitacji, mówi się, że spada swobodnie. Księżyc jest więc w swobodnym spadku wokół Ziemi , choć jego prędkość orbitalna utrzymuje ją w bardzo dalekiej orbicie od powierzchni Ziemi .

W mniej więcej jednolitym polu grawitacyjnym , przy braku jakichkolwiek innych sił, grawitacja działa na każdą część ciała z grubsza jednakowo. Gdy między ciałem (np. astronauta na orbicie) a otaczającymi go obiektami nie ma normalnej siły , spowoduje to wrażenie nieważkości , stan, który występuje również, gdy pole grawitacyjne jest słabe (na przykład gdy znajduje się daleko od jakiegokolwiek źródło grawitacji).

Termin „swobodny spadek” jest często używany luźniej niż w ścisłym znaczeniu zdefiniowanym powyżej. Zatem spadanie przez atmosferę bez rozłożonego spadochronu lub urządzenia podnoszącego jest również często określane jako swobodny spadek . Siły oporu aerodynamicznego w takich sytuacjach uniemożliwiają im uzyskanie pełnej nieważkości, a zatem „swobodny spadek” skoczka po osiągnięciu prędkości końcowej powoduje wrażenie, że ciężar ciała jest podparty na poduszce powietrznej.

Historia

W świecie zachodnim przed XVI wiekiem powszechnie zakładano, że prędkość spadającego ciała będzie proporcjonalna do jego wagi — to znaczy, że obiekt o wadze 10 kg powinien spaść dziesięć razy szybciej niż identyczny obiekt o masie 1 kg. to samo medium. Starożytny grecki filozof Arystoteles (384-322 pne) omawiał spadające obiekty w Fizyce (Księga VII), jednej z najstarszych ksiąg o mechanice (patrz Fizyka Arystotelesa ). Chociaż w VI wieku Jan Filopon zakwestionował ten argument i powiedział, że z obserwacji wynika, że ​​dwie kule o bardzo różnych ciężarach spadną z prawie taką samą prędkością.

W XII-wiecznym Iraku Abu'l-Barakāt al-Baghdādī podał wyjaśnienie przyspieszenia grawitacyjnego spadających ciał. Według Shlomo Pinesa teoria ruchu al-Baghdādiego była „najstarszym zaprzeczeniem podstawowego prawa dynamicznego Arystotelesa [mianowicie, że stała siła wytwarza ruch jednostajny] [i jest zatem] antycypacją w niejasny sposób podstawowego prawa mechanika klasyczna [mianowicie, że siła przyłożona w sposób ciągły powoduje przyspieszenie]”.

Według opowieści, która może być apokryficzna, w latach 1589-92 Galileusz zrzucił z Krzywej Wieży w Pizie dwa obiekty o nierównej masie . Biorąc pod uwagę szybkość, z jaką nastąpiłby taki upadek, wątpliwe jest, aby Galileusz mógł wydobyć wiele informacji z tego eksperymentu. Większość jego obserwacji spadających ciał dotyczyła w rzeczywistości ciał toczących się po rampach. Spowolniło to na tyle, że był w stanie mierzyć odstępy czasu za pomocą zegarów wodnych i własnego pulsu (stopery nie zostały jeszcze wynalezione). Powtarzał to „całe sto razy”, aż osiągnął „dokładność taką, że odchylenie między dwiema obserwacjami nigdy nie przekraczało jednej dziesiątej uderzenia tętna”. W latach 1589-92 Galileusz napisał De Motu Antiquiora , nieopublikowany rękopis o ruchu spadających ciał.

Przykłady

Przykłady obiektów spadających swobodnie obejmują:

• Statek kosmiczny (w kosmosie) z wyłączonym napędem (np. na orbicie ciągłej, lub na trajektorii suborbitalnej ( balistyka ) wznoszący się przez kilka minut, a potem w dół).
• Przedmiot upuszczony na szczyt rury zrzutowej .
• Przedmiot wyrzucony w górę lub osoba zeskakująca z ziemi z małą prędkością (tj. tak długo, jak opór powietrza jest znikomy w porównaniu z wagą).

Technicznie rzecz biorąc, obiekt spada swobodnie, nawet gdy porusza się w górę lub natychmiast znajduje się w stanie spoczynku w szczytowym momencie ruchu. Jeśli grawitacja jest jedynym oddziaływaniem, to przyspieszenie jest zawsze w dół i ma tę samą wielkość dla wszystkich ciał, powszechnie oznaczane jako . ${\displaystyle g}$

Ponieważ wszystkie obiekty spadają w tym samym tempie przy braku innych sił, obiekty i ludzie będą doświadczać nieważkości w takich sytuacjach.

Przykłady obiektów, które nie spadają swobodnie:

• Latanie samolotem: istnieje również dodatkowa siła nośna .
• Stojąc na ziemi: sile grawitacji przeciwdziała siła normalna z ziemi.
• Zejście na Ziemię za pomocą spadochronu, który równoważy siłę grawitacji siłą oporu aerodynamicznego (a w przypadku niektórych spadochronów dodatkową siłą nośną).

Przykład spadającego skoczka spadochronowego, który nie uruchomił jeszcze spadochronu, nie jest uważany za swobodny spadek z punktu widzenia fizyki, ponieważ doświadcza on siły oporu równej jego wadze po osiągnięciu prędkości końcowej (patrz poniżej).

Zmierzony czas upadku małej stalowej kuli spadającej z różnych wysokości. Dane są zgodne z przewidywanym czasem opadania , gdzie h jest wysokością, a g jest przyspieszeniem swobodnego spadania wywołanym grawitacją.${\displaystyle {\sqrt {2h/g}}}$

W pobliżu powierzchni Ziemi obiekt swobodnie spadający w próżni przyspieszy z prędkością około 9,8 m/s ² , niezależnie od swojej masy . Z oporem powietrza działającym na obiekt, który został upuszczony, obiekt w końcu osiągnie prędkość końcową, która wynosi około 53 m/s (190 km/h lub 118 mph) dla człowieka-skoczka spadochronowego. Prędkość końcowa zależy od wielu czynników, w tym masy, współczynnika oporu i względnej powierzchni, i zostanie osiągnięta tylko wtedy, gdy upadek nastąpi z odpowiedniej wysokości. Typowy spadochroniarz w pozycji z rozłożonym orłem osiągnie prędkość końcową po około 12 sekundach, w tym czasie spadnie z wysokości około 450 m (1500 stóp).

Swobodny spadek zademonstrował na Księżycu astronauta David Scott 2 sierpnia 1971 r. Jednocześnie wypuścił młot i pióro z tej samej wysokości nad powierzchnią księżyca. Młotek i pióro spadały w tym samym tempie i uderzały w ziemię w tym samym czasie. To pokazało odkrycie Galileusza, że ​​przy braku oporu powietrza wszystkie obiekty doświadczają tego samego przyspieszenia grawitacyjnego. Jednak na Księżycu przyspieszenie grawitacyjne wynosi około 1,63 m/s ² , lub tylko około ¹ ⁄ ₆  niż na Ziemi.

Swobodny spadek w mechanice Newtona

Jednolite pole grawitacyjne bez oporu powietrza

Jest to „podręcznikowy” przypadek pionowego ruchu obiektu spadającego na niewielką odległość blisko powierzchni planety. Jest to dobre przybliżenie w powietrzu, o ile siła grawitacji na obiekcie jest znacznie większa niż siła oporu powietrza lub równoważnie prędkość obiektu jest zawsze znacznie mniejsza niż prędkość końcowa (patrz niżej).

${\displaystyle v(t)=v_{0}-gt\,}$

${\ Displaystyle y (t) = v_ {0}t + y_ {0}-{\ Frac {1} {2}} gt ^ {2}}$

gdzie

${\displaystyle v_{0}\,}$ to prędkość początkowa (m/s).

${\displaystyle v(t)\,}$ to prędkość pionowa względem czasu (m/s).

${\displaystyle y_{0}\,}$ to wysokość początkowa (m).

${\displaystyle y(t)\,}$ to wysokość względem czasu (m).

${\displaystyle t\,}$ to czas, który upłynął (s).

${\displaystyle g\,}$to przyspieszenie ziemskie (9,81 m/s ^{2 w} pobliżu powierzchni ziemi).

Jednolite pole grawitacyjne z oporem powietrza

Przyspieszenie małego meteoroidu podczas wchodzenia w atmosferę ziemską przy różnych prędkościach początkowych

Ten przypadek, który dotyczy skoczków spadochronowych, spadochroniarzy lub dowolnego ciała masowego , i pola przekroju poprzecznego , z liczbą Reynoldsa znacznie powyżej krytycznej liczby Reynoldsa, tak że opór powietrza jest proporcjonalny do kwadratu prędkości spadania , równanie ruchu ${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle A}$${\displaystyle v}$

${\ Displaystyle m {\ Frac {\ operatorname {d} v}{\ operatorname {d} t}} = mg-{\ Frac {1} {2}} \ rho C_ {\ operatorname {D}} Av ^ { 2}\,,}$

gdzie jest gęstość powietrza i jest współczynnikiem przeciągania , zakłada się stałą wartość, chociaż ogólnie będzie zależeć od liczby Reynoldsa. ${\ Displaystyle \ rho}$${\displaystyle C_{\mathrm {D}}}$

Zakładając, że obiekt spada ze spoczynku i nie zmienia się gęstość powietrza wraz z wysokością, rozwiązaniem jest:

${\ Displaystyle v (t) = v_ {\ infty} \ tanh \ lewo ({\ Frac {gt} {v_ {\ infty}}} \ prawej),}$

gdzie prędkość końcowa jest podana przez

${\ Displaystyle V_ {\ infty} = {\ sqrt {\ Frac {2 mg} {\ rho C_ {D} A}}} \,.}$

Szybkość obiektu w funkcji czasu można zintegrować w czasie, aby znaleźć pozycję pionową w funkcji czasu:

${\ Displaystyle y = y_ {0}-{\ Frac {v_ {\ infty} ^ {2}} {g}} \ ln \ cosh \ lewo ({\ Frac {gt} {v_ {\ infty}}} \ Prawidłowy).}$

Korzystając z liczby 56 m/s dla prędkości końcowej człowieka, można stwierdzić, że po 10 sekundach spadnie on 348 metrów i osiągnie 94% prędkości końcowej, a po 12 sekundach spadnie 455 metrów i osiągnie 97% prędkości końcowej. Jednak gdy nie można założyć, że gęstość powietrza jest stała, tak jak w przypadku obiektów spadających z dużej wysokości, równanie ruchu staje się znacznie trudniejsze do analitycznego rozwiązania i zwykle konieczna jest numeryczna symulacja ruchu. Rysunek przedstawia siły działające na meteoroidy opadające przez górną warstwę atmosfery Ziemi. Do tej kategorii należą również skoki HALO , w tym rekordowe skoki Joe Kittingera i Felixa Baumgartnera .

Pole grawitacyjne prawa odwrotnego kwadratu

Można powiedzieć, że dwa obiekty w kosmosie krążące wokół siebie przy braku innych sił swobodnie opadają wokół siebie, np. Księżyc lub sztuczny satelita „opada” wokół Ziemi, a planeta „opada” wokół Słońca . Założenie obiektów sferycznych oznacza, że ​​równanie ruchu rządzi się prawem powszechnego ciążenia Newtona , a rozwiązaniem problemu grawitacji dwóch ciał są eliptyczne orbity zgodne z prawami ruchu planet Keplera . Ten związek między obiektami spadającymi blisko Ziemi a obiektami orbitującymi najlepiej ilustruje eksperyment myślowy, kula armatnia Newtona .

Ruch dwóch obiektów poruszających się promieniowo do siebie bez momentu pędu można uznać za szczególny przypadek orbity eliptycznej o mimośrodowości e = 1 ( promieniowa trajektoria eliptyczna ). Pozwala to obliczyć czas swobodnego spadania dla dwóch obiektów punktowych na ścieżce promieniowej. Rozwiązanie tego równania ruchu daje czas w funkcji separacji:

${\ Displaystyle t (y) = {\ sqrt {\ Frac {{y_{0}} ^ {3}}{2 \ mu}}} \ lewo ({\ sqrt {{\ Frac {y}} {y_ {0 }}}\left(1-{\frac {y}{y_{0}}}\right)}}+\arccos {\sqrt {\frac {y}{y_{0}}}}\right), }$

gdzie

${\displaystyle t}$ jest czas po rozpoczęciu jesieni

${\displaystyle y}$ to odległość między środkami ciał

${\displaystyle y_{0}}$ jest wartością początkową ${\displaystyle y}$

${\ Displaystyle \ mu = G (m_ {1} + m_ {2})}$jest standardowym parametrem grawitacyjnym .

Zastępując otrzymujemy czas swobodnego spadania . ${\ Displaystyle y = 0}$

Oddzielenie w funkcji czasu jest podane przez odwrotność równania. Odwrotność jest dokładnie reprezentowana przez analityczny szereg potęgowy:

${\ Displaystyle y (t) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} \ lewo [\ lim _ {r \ do 0} \ lewo ({\ Frac {x ^ {n}}} {n!} }{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\left[r^{n}\left({\frac {7}{2}}(\arcsin({\sqrt {r}})-{\sqrt {rr^{2}}})\right)^{-{\frac {2}{3}}n} \w prawo]\w prawo)\w prawo].}$

Ocena tego daje:

${\ Displaystyle y (t) = Y_ {0} \ lewo (x-{\ Frac {1} {5}} x ^ {2} - {\ Frac {3} {175}} x ^ {3} - { \frac {23}{7875}}x^{4}-{\frac {1894}{3031875}}x^{5}-{\frac {3293}{21896875}}x^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}} x ^ {7} - \ cdots \ prawo) \,}$

gdzie

${\ Displaystyle x = \ lewo [{\ Frac {3} {2}} \ lewo ({\ Frac {\ pi} {2}}-t {\ sqrt {\ Frac {2 \ mu} {{y_ {0 }}^{3}}}}\right)\right]^{2/3}.}$

Swobodny spadek w ogólnej teorii względności

W ogólnej teorii względności obiekt w swobodnym spadku nie podlega żadnej sile i jest ciałem bezwładnym poruszającym się po geodezji . Z dala od jakichkolwiek źródeł krzywizny czasoprzestrzeni , gdzie czasoprzestrzeń jest płaska, newtonowska teoria swobodnego spadania zgadza się z ogólną teorią względności. W przeciwnym razie obaj się nie zgadzają; np. tylko ogólna teoria względności może wyjaśnić precesję orbit, rozpad orbity lub inspirację zwartych układów binarnych z powodu fal grawitacyjnych oraz teoria względności kierunku ( precesja geodezyjna i przeciąganie ramek ).

Eksperymentalna obserwacja, że ​​wszystkie obiekty w swobodnym spadku przyspieszają w tym samym tempie, jak zauważył Galileusz, a następnie ucieleśniona w teorii Newtona jako równość mas grawitacyjnych i bezwładności, a później potwierdzona z dużą dokładnością przez współczesne formy eksperymentu Eötvösa , jest podstawy zasady równoważności , z której początkowo wywodziła się ogólna teoria względności Einsteina.

Zobacz też

• Równania spadającego ciała
• Załoga G
• Spadochroniarstwo wojskowe na dużych wysokościach
• Środowisko mikrogramowe
• Samoloty o obniżonej grawitacji
• Prędkość graniczna
• Nieważkość

Bibliografia

Zewnętrzne linki

• Kalkulator formuły swobodnego spadania
• The Way Things Fall – strona edukacyjna