Całka Fresnela - Fresnel integral

Wykresy S ( x ) i C ( x ) . Maksymalna wartość C ( x ) wynosi około0,977 451 424 . Gdyby całki S i C zostały zdefiniowane za pomocą π/2t ² zamiast t ² , wtedy obraz byłby skalowany w pionie i poziomie (patrz poniżej).

W Fresnela całek S ( x ) i C ( x ) są dwie funkcje transcendentalne nazwane Augustin-Jean Fresnela , które są stosowane w optyce i są ściśle związane z funkcją błędu ( erf ). Powstają one w opisie zjawiska dyfrakcji Fresnela w bliskim polu i są definiowane za pomocą następujących reprezentacji całkowych :

${\ Displaystyle S (x) = \ int _ {0} ^ {x} \ sin \ lewo (t ^ {2} \ prawej) \ dt \ quad C (x) = \ int _ {0} ^ { x}\cos \lewo(t^{2}\prawo)\,dt.}$

Równoczesne parametryczne wykres z S ( x ) i C ( x ) jest spirala Eulera (znany również jako spirala Cornu lub klotoidy).

Definicja

Całki Fresnela z argumentami π/2t ² zamiast t ² zbiegają się do1/2 zamiast 1/2· √π/2.

Całki Fresnela dopuszczają następujące rozwinięcia szeregów potęgowych, które są zbieżne dla wszystkich x :

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} S (x) = \ int _ {0} ^ {x} \ sin \ lewo (t ^ {2} \ po prawej) \ dt & = \ suma _ {n = 0} ^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}}.\\[6px]C(x)& =\int _{0}^{x}\cos \left(t^{2}\right)\,dt&&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{ \frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}.\end{wyrównany}}}$

Niektóre powszechnie używane tabele używają π/2t ² zamiast t ² dla argumentu całek definiujących S ( x ) i C ( x ) . To zmienia ich granice w nieskończoności z1/2· √π/2 do 1/2oraz długość łuku dla pierwszego zakrętu spiralnego od √ 2 π do 2 (przy t = 2 ). Te alternatywne funkcje są zwykle znane jako znormalizowane całki Fresnela .

Spirala Eulera

Spirala Eulera ( x , y ) = ( C ( t ), S ( t ))) . Spirala zbiega się do środka otworów w obrazie, ponieważ t dąży do dodatniej lub ujemnej nieskończoności.

Animacja przedstawiająca ewolucję spirali Cornu z kołem stycznym o takim samym promieniu krzywizny jak na jej końcu, zwanym również kołem oscylacyjnym .

Eulera spirali , znany również jako spirala Cornu lub klotoidy , jest krzywą utworzoną przez parametryczny wykresu z S ( t ), z C ( t ) . Spirala Cornu została stworzona przez Marie Alfred Cornu jako nomogram do obliczeń dyfrakcyjnych w nauce i inżynierii.

Z definicji całek Fresnela nieskończenie małe dx i dy są następujące:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} dx & = C '(t) \ dt = \ cos \ lewo (t ^ {2} \ po prawej) \ dt \ \ dy & = S '(t) \ dt = \sin \left(t^{2}\right)\,dt.\end{aligned}}}$

Zatem długość spirali mierzoną od początku można wyrazić jako

${\ Displaystyle L = \ int _ {0} ^ { t_ {0}} \ sqrt {dx ^ {2} + ^ {2}}} = \ int _ {0} ^ { t_ {0}} dt =t_{0}.}$

Oznacza to, że parametr t jest długością krzywej mierzoną od początku (0, 0) , a spirala Eulera ma nieskończoną długość. Wektor (cos( t ² ), sin( t ² )) również wyraża jednostkowy wektor styczny wzdłuż spirali, dając θ = t ² . Ponieważ t jest długością krzywej, krzywiznę κ można wyrazić jako

${\ Displaystyle \ kappa = {\ Frac {1} {R}} = {\ Frac {d \ theta} {dt}} = 2t.}$

Zatem szybkość zmiany krzywizny w odniesieniu do długości krzywej wynosi

${\ Displaystyle {\ Frac {d \ kappa} {dt}} = {\ Frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} = 2.}$

Spirala Eulera ma tę właściwość, że jej krzywizna w dowolnym punkcie jest proporcjonalna do odległości wzdłuż spirali, mierzonej od początku. Ta właściwość sprawia, że ​​jest ona użyteczna jako krzywa przejściowa w inżynierii drogowej i kolejowej: jeśli pojazd porusza się po spirali z jednostkową prędkością, parametr t w powyższych pochodnych również reprezentuje czas. W konsekwencji pojazd poruszający się po spirali ze stałą prędkością będzie miał stałe przyspieszenie kątowe .

Sekcje od spirale Eulera są powszechnie uwzględnione w kształcie rollercoaster pętli, aby tak zwane klotoidy pętli .

Nieruchomości

• C ( x ) i S ( x ) jest nieparzyste funkcje z X .
• Asymptotyki całek Fresnela jako x → ∞ mają wzory:

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} S (x) i = {\ sqrt {\ Frac {\ pi} {2}}} \ lewo ({\ Frac {\ Operator {sgn} x} {2}} -\ left[1+O\left(x^{-4}\right)\right]\left({\frac {\cos \left(x^{2}\right)}{x{\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\right)\right),\\[ 6px]C(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {\operatorname {sgn} x}{2}}+\left[1+O\left (x^{-4}\right)\right]\left({\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{x{\sqrt {2\pi }}}}-{\ szczelina {\cos \left(x^{2}\right)}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\right)\right).\end{aligned}}}$

Całka Fresnela zespolona S ( z )

• Wykorzystując powyższe rozwinięcia szeregów potęgowych, całki Fresnela można rozszerzyć do dziedziny liczb zespolonych , gdzie stają się funkcjami analitycznymi zmiennej zespolonej.
• C ( z ) i S ( z ) są pełnymi funkcjami zmiennej zespolonej z .
• Całki Fresnela można wyrazić za pomocą funkcji błędu w następujący sposób:

Całka Fresnela zespolona C ( z )

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} S (z) i = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ cdot {\ frac {1 + i} {4}} \ lewo [\ nazwa operatora { erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)-i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}} }z\right)\right],\\[6px]C(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1-i}{4}}\ left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)+i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\ sqrt {2}}}z\right)\right].\end{aligned}}}$

lub

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} C (z) + is (z) i = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {2}}} \ cdot {\ frac {1 + i} {2}} \ nazwa operatora {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right),\\[6px]S(z)+iC(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right ).\end{wyrównany}}}$

Granice, gdy x zbliża się do nieskończoności

Całki definiujące C ( x ) i S ( x ) nie mogą być oceniane w formie zamkniętej w kategoriach funkcji elementarnych , z wyjątkiem szczególnych przypadków. Te granice tych funkcji, x dąży do nieskończoności znane są:

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ cos \ po lewej (t ^ {2} \ po prawej) \ dt = \ int _ {0} ^ {\ infty} \ grzech \ po lewej (t ^ { 2}\right)\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}\ok 0,6267.}$

Kontur sektora używany do obliczania granic całek Fresnela

Granice C ( x ) i S ( x ) jako argumentu x dąży do nieskończoności można znaleźć za pomocą kilku metod. Jeden z nich wykorzystuje całkę po konturze funkcji

${\ Displaystyle e ^ {-z ^ {2}}}$

wokół granicy regionu w kształcie sektora w płaszczyźnie zespolonej utworzonej przez dodatnią oś x , dwusieczną pierwszego kwadrantu y = x przy x ≥ 0 i łuku koła o promieniu R wyśrodkowanym w punkcie początkowym.

Gdy R zmierza do nieskończoności, całka wzdłuż łuku kołowego γ ₂ dąży do 0

${\ Displaystyle \ lewo | \ int _ {\ gamma _ {2}} e ^ {-z ^ {2}} \ dz \ po prawej | = \ po lewej | \ int _ {0} ^ {\ Frac {\ pi }{4}}e^{-R^{2}(\cos t+i\sin t)^{2}}\,Re^{it}dt\right|\leq R\int _{0}^ {\frac {\pi }{4}}e^{-R^{2}\cos 2t}\,dt\leq R\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}e^ {-R^{2}\left(1-{\frac {4}{\pi }}t\right)}\,dt={\frac {\pi }{4R}}\left(1-e^ {-R^{2}}\prawo),}$

gdzie użyto współrzędnych biegunowych z = Re ^, a dla drugiej nierówności wykorzystano nierówność Jordana . Całka wzdłuż osi rzeczywistej γ ₁ zmierza do połowy całki Gaussa

${\ Displaystyle \ int _ {\ gamma _ {1}} e ^ {-z ^ {2}} \ dz = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {-t ^ {2}} \ ,dt={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}.}$

Zauważ też, że ponieważ całka jest całą funkcją na płaszczyźnie zespolonej, jej całka wzdłuż całego konturu wynosi zero. Ogólnie musimy mieć

${\ Displaystyle \ int _ {\ gamma _ {3}} e ^ {-z ^ {2}} \ dz = \ int _ {\ gamma _ {1}} e ^ {-z ^ {2}} \ ,dz=\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt,}$

gdzie γ ₃ oznacza dwusieczną pierwszego kwadrantu, jak na schemacie. Aby ocenić lewą stronę, sparametryzuj dwusieczną jako

${\ Displaystyle Z = te ^ {i {\ Frac {\ pi} {4}}} = {\ Frac {\ sqrt {2}} {2}} (1 + i) t}$

gdzie t wynosi od 0 do +∞ . Zauważ, że kwadrat tego wyrażenia to po prostu + it ² . Dlatego podstawienie daje lewą stronę jako

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {-to ^ {2}} {\ Frac {\ sqrt {2}} {2}} (1 + i) \ dt.}$

Używając wzoru Eulera, aby wziąć rzeczywiste i urojone części e ^{− to 2} daje to jako

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} i \ int _ {0} ^ {\ infty} \ lewo (\ cos \ lewo (t ^ {2} \ po prawej) - ja \ grzech \ lewo (t ^ {2} \) po prawej)\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\,dt\\[6px]&\quad ={\frac {\sqrt {2}}{2}} \int _{0}^{\infty }\left[\cos \left(t^{2}\right)+\sin \left(t^{2}\right)+i\left(\cos \left (t^{2}\right)-\sin \left(t^{2}\right)\right)\right]\,dt\\[6px]&\quad ={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+0i,\end{wyrównany}}}$

gdzie napisaliśmy 0 i, aby podkreślić, że oryginalna wartość całki Gaussa jest całkowicie rzeczywista z zerową częścią urojoną. Wpuszczanie

${\ Displaystyle I_ {C} = \ inft _ {0} ^ {\ infty} \ cos \ lewo (t ^ {2} \ po prawej) \ dt \ quad I_ {S} = \ int _ {0} ^ {\infty }\sin \left(t^{2}\right)\,dt}$

a następnie zrównanie części rzeczywistych i urojonych daje następujący układ dwóch równań w dwóch niewiadomych I _C i I _S :

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} I_ {C} + I_ {S} i = {\ sqrt {\ Frac {\ pi} {2}}} \ \ I_ {C}-I_ {S} i = 0 .\koniec{wyrównany}}}$

Rozwiązanie tego dla I _C i I _S daje pożądany rezultat.

Uogólnienie

Całka

${\ Displaystyle \ int x ^ {m} e ^ {ix ^ {n}} \ dx = \ int \ suma _ {l = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {i ^ {l} x ^ { m+nl}}{l!}}\,dx=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {i^{l}}{(m+nl+1)}}{\frac {x^{m+nl+1}}{l!}}}$

jest konfluentną funkcją hipergeometryczną, a także niepełną funkcją gamma

${\ Displaystyle {\ zacząć {wyrównany} \ int x ^ {m} e ^ {ix ^ {n}} \ dx & = {\ Frac {x ^ {m + 1}} {m + 1}} \ _ {1}F_{1}\left({\begin{tablica}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{ array}}\mid ix^{n}\right)\\[6px]&={\frac {1}{n}}i^{\frac {m+1}{n}}\gamma \left({ \frac {m+1}{n}},-ix^{n}\right),\end{aligned}}}$

co redukuje się do całek Fresnela, jeśli bierze się części rzeczywiste lub urojone:

${\ Displaystyle \ int x ^ {m} \ sin (x ^ {n}) \ dx = {\ Frac {x ^ {m + n + 1}} {m + n + 1}} \ _ {1 }F_{2}\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{2}}+{\frac {m+1}{2n}}\\{\frac {3}{2 }}+{\frac {m+1}{2n}},{\frac {3}{2}}\end{array}}\mid -{\frac {x^{2n}}{4}}\ dobrze)}$.

Terminem wiodącym w asymptotycznej ekspansji jest

${\ Displaystyle _ {1} F_ {1} \ lewo ({\ zacząć {tablica} {c} {\ Frac {m + 1} {n}} \ \ 1 + {\ Frac {m + 1} {n} }\end{array}}\mid ix^{n}\right)\sim {\frac {m+1}{n}}\,\Gamma \left({\frac {m+1}{n}} \right)e^{i\pi {\frac {m+1}{2n}}}x^{-m-1},}$

i dlatego

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {m} e ^ {ix ^ {n}} \ dx = {\ Frac {1} {n}} \ \ Gamma \ lewo ({ \frac {m+1}{n}}\right)e^{i\pi {\frac {m+1}{2n}}}.}$

Dla m = 0 , w szczególności urojona część tego równania to

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ sin \ lewo (x ^ {a} \ prawo) \ dx = \ Gamma \ lewo (1 + {\ Frac {1} {a}} \ prawo )\sin \lewo({\frac {\pi }{2a}}\prawo),}$

z lewą stroną zbieżną dla a > 1 i prawą stroną będącą jej analitycznym rozszerzeniem na całą płaszczyznę mniej, gdzie leżą bieguny Γ ( a ^-1 ) .

Transformacja Kummera konfluentnej funkcji hipergeometrycznej to

${\ Displaystyle \ int x ^ {m} e ^ {ix ^ {n}} \ dx = V_ {n, m} (x) e ^ {ix ^ {n}}}$

z

${\ Displaystyle V_ {n, m}: = {\ Frac {x ^ {m + 1}} {m + 1}} \, _ {1} F_ {1} \ lewo ({\ zacząć {tablica} {c }1\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{tablica}}\mid -ix^{n}\right).}$

Przybliżenie liczbowe

W przypadku obliczeń z dowolną precyzją szereg potęgowy jest odpowiedni dla małych argumentów. W przypadku dużej argumentacji rozwinięcia asymptotyczne zbiegają się szybciej. Można również zastosować metody frakcjonowania ciągłego.

Do obliczeń z określoną precyzją celu opracowano inne przybliżenia. Cody opracował zestaw efektywnych aproksymacji opartych na funkcjach wymiernych, które dają błędy względne do2 x 10 ^-19 . FORTRAN realizacja zbliżenia Cody, który zawiera wartości współczynników potrzebnych do realizacji w innych językach została opublikowana przez van Snyder. Boersma opracował przybliżenie z błędem mniejszym niż1,6 x 10 ^-9 .

Aplikacje

Całki Fresnela były pierwotnie używane do obliczania natężenia pola elektromagnetycznego w środowisku, w którym światło załamuje się wokół nieprzezroczystych obiektów. Niedawno zostały one wykorzystane w projektowaniu autostrad i linii kolejowych, a konkretnie ich stref przejściowych krzywizny, patrz krzywa przejścia toru . Inne zastosowania to rollercoastery lub obliczanie przejść na torze toru w celu umożliwienia szybkiego wejścia w zakręty i stopniowego wyjścia.

Zobacz też

• Całka Böhmera
• Strefa Fresnela
• Krzywa przejścia toru
• Spirala Eulera
• Płyta strefy
• Całka Dirichleta

Uwagi

Bibliografia

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , wyd. (1983) [czerwiec 1964]. "Rozdział 7". Podręcznik funkcji matematycznych z formułami, wykresami i tabelami matematycznymi . Seria matematyki stosowanej. 55 (dziewiąty przedruk z dodatkowymi poprawkami dziesiątego oryginalnego druku z poprawkami (grudzień 1972); wyd. pierwsze). Waszyngton; Nowy Jork: Departament Handlu Stanów Zjednoczonych, Krajowe Biuro Standardów; Publikacje Dovera. Numer ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . MR  0167642 . LCCN  65-12253 .
• Alazah, Mahomet (2012). „Obliczanie całek Fresnela za pomocą zmodyfikowanych zasad trapezu”. Matematyka numeryczna . 128 (4): 635–661. arXiv : 1209.3451 . Kod Bib : 2012arXiv1209.3451A . doi : 10.1007/s00211-014-0627-z . S2CID  13934493 .
• Beatty, Tomasz (2013). „Jak ocenić całki Fresnela” (PDF) . Matematyka FGCU - lato 2013 . Źródło 27 lipca 2013 .
• Boersma, J. (1960). „Obliczanie całek Fresnela” . Matematyka. komp . 14 (72): 380. doi : 10.1090/S0025-5718-1960-0121973-3 . MR  0121973 .
• Bulirscha, Rolanda (1967). „Numeryczne obliczenie całek sinusa, cosinusa i Fresnela”. Numer. Matematyka . 9 (5): 380–385. doi : 10.1007/BF02162153 . S2CID  121794086 .
• Cody, William J. (1968). „Przybliżenia Czebyszewa dla całek Fresnela” (PDF) . Matematyka. komp . 22 (102): 450–453. doi : 10.1090/S0025-5718-68-99871-2 .
• Hangelbroek, RJ (1967). „Numeryczne przybliżenie całek Fresnela za pomocą wielomianów Czebyszewa”. J. inż. Matematyka . 1 (1): 37-50. Kod Bibcode : 1967JEnMa...1...37H . doi : 10.1007/BF01793638 . S2CID  122271446 .
• Mathara, RJ (2012). „Rozszerzenie serii uogólnionych całek Fresnela”. arXiv : 1211.3963 [ math.CA ].
• Nawa, R. (2002). „Spirala Cornu” . (Użycia π/2t ² zamiast t ² .)
• Prasa, WH; Teukolski SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). „Punkt 6.8.1. Całki Fresnela” . Przepisy numeryczne: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). Nowy Jork: Cambridge University Press. Numer ISBN 978-0-521-88068-8.
• van Snyder, W. (1993). „Algorytm 723: Całki Fresnela”. ACM Trans. Matematyka. Oprogramowanie . 19 (4): 452–456. doi : 10.1145/168173.168193 . S2CID  12346795 .
• Stewart, James (2008). Rachunek wczesne transcendentale . Cengage Learning EMEA. Numer ISBN 978-0-495-38273-7.
• Temme, NM (2010), "Funkcje błędów, całki Dawsona i Fresnela" , w: Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• van Wijngaarden, A.; Scheen, WL (1949). Tabela całek Fresnela . Verhandl. Konink. Ned. Akad. Wetenschapen. 19 .
• Zajta, Aurel J.; Goel, Sudhir K. (1989). „Techniki integracji parametrycznej”. Magazyn Matematyka . 62 (5): 318–322. doi : 10.1080/0025570X.1989.11977462 .

Linki zewnętrzne

• Cephes , darmowy/open-source kod C++/C do obliczania całek Fresnela wśród innych funkcji specjalnych. Używany w SciPy i ALGLIB .
• Faddeeva Package , darmowy/open-source kod C++/C do obliczania złożonych funkcji błędów (z których można uzyskać całki Fresnela), z wrapperami dla Matlaba, Pythona i innych języków.
• "Całki Fresnela" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• "Kształty pętli kolejki górskiej" . Zarchiwizowane z oryginału 23 września 2008 . Pobrano 13.08.2008 .
• Weisstein, Eric W. „Całki Fresnela” . MatematykaŚwiat .
• Weisstein, Eric W. „Spirala Cornu” . MatematykaŚwiat .