Całka Fresnela - Fresnel integral
W Fresnela całek S ( x ) i C ( x ) są dwie funkcje transcendentalne nazwane Augustin-Jean Fresnela , które są stosowane w optyce i są ściśle związane z funkcją błędu ( erf ). Powstają one w opisie zjawiska dyfrakcji Fresnela w bliskim polu i są definiowane za pomocą następujących reprezentacji całkowych :
Równoczesne parametryczne wykres z S ( x ) i C ( x ) jest spirala Eulera (znany również jako spirala Cornu lub klotoidy).
Definicja
Całki Fresnela dopuszczają następujące rozwinięcia szeregów potęgowych, które są zbieżne dla wszystkich x :
Niektóre powszechnie używane tabele używają π/2t 2 zamiast t 2 dla argumentu całek definiujących S ( x ) i C ( x ) . To zmienia ich granice w nieskończoności z1/2· √π/2 do 1/2oraz długość łuku dla pierwszego zakrętu spiralnego od √ 2 π do 2 (przy t = 2 ). Te alternatywne funkcje są zwykle znane jako znormalizowane całki Fresnela .
Spirala Eulera
Eulera spirali , znany również jako spirala Cornu lub klotoidy , jest krzywą utworzoną przez parametryczny wykresu z S ( t ), z C ( t ) . Spirala Cornu została stworzona przez Marie Alfred Cornu jako nomogram do obliczeń dyfrakcyjnych w nauce i inżynierii.
Z definicji całek Fresnela nieskończenie małe dx i dy są następujące:
Zatem długość spirali mierzoną od początku można wyrazić jako
Oznacza to, że parametr t jest długością krzywej mierzoną od początku (0, 0) , a spirala Eulera ma nieskończoną długość. Wektor (cos( t 2 ), sin( t 2 )) również wyraża jednostkowy wektor styczny wzdłuż spirali, dając θ = t 2 . Ponieważ t jest długością krzywej, krzywiznę κ można wyrazić jako
Zatem szybkość zmiany krzywizny w odniesieniu do długości krzywej wynosi
Spirala Eulera ma tę właściwość, że jej krzywizna w dowolnym punkcie jest proporcjonalna do odległości wzdłuż spirali, mierzonej od początku. Ta właściwość sprawia, że jest ona użyteczna jako krzywa przejściowa w inżynierii drogowej i kolejowej: jeśli pojazd porusza się po spirali z jednostkową prędkością, parametr t w powyższych pochodnych również reprezentuje czas. W konsekwencji pojazd poruszający się po spirali ze stałą prędkością będzie miał stałe przyspieszenie kątowe .
Sekcje od spirale Eulera są powszechnie uwzględnione w kształcie rollercoaster pętli, aby tak zwane klotoidy pętli .
Nieruchomości
- C ( x ) i S ( x ) jest nieparzyste funkcje z X .
- Asymptotyki całek Fresnela jako x → ∞ mają wzory:
- Wykorzystując powyższe rozwinięcia szeregów potęgowych, całki Fresnela można rozszerzyć do dziedziny liczb zespolonych , gdzie stają się funkcjami analitycznymi zmiennej zespolonej.
- C ( z ) i S ( z ) są pełnymi funkcjami zmiennej zespolonej z .
- Całki Fresnela można wyrazić za pomocą funkcji błędu w następujący sposób:
- lub
Granice, gdy x zbliża się do nieskończoności
Całki definiujące C ( x ) i S ( x ) nie mogą być oceniane w formie zamkniętej w kategoriach funkcji elementarnych , z wyjątkiem szczególnych przypadków. Te granice tych funkcji, x dąży do nieskończoności znane są:
Granice C ( x ) i S ( x ) jako argumentu x dąży do nieskończoności można znaleźć za pomocą kilku metod. Jeden z nich wykorzystuje całkę po konturze funkcji
wokół granicy regionu w kształcie sektora w płaszczyźnie zespolonej utworzonej przez dodatnią oś x , dwusieczną pierwszego kwadrantu y = x przy x ≥ 0 i łuku koła o promieniu R wyśrodkowanym w punkcie początkowym.
Gdy R zmierza do nieskończoności, całka wzdłuż łuku kołowego γ 2 dąży do 0
gdzie użyto współrzędnych biegunowych z = Re , a dla drugiej nierówności wykorzystano nierówność Jordana . Całka wzdłuż osi rzeczywistej γ 1 zmierza do połowy całki Gaussa
Zauważ też, że ponieważ całka jest całą funkcją na płaszczyźnie zespolonej, jej całka wzdłuż całego konturu wynosi zero. Ogólnie musimy mieć
gdzie γ 3 oznacza dwusieczną pierwszego kwadrantu, jak na schemacie. Aby ocenić lewą stronę, sparametryzuj dwusieczną jako
gdzie t wynosi od 0 do +∞ . Zauważ, że kwadrat tego wyrażenia to po prostu + it 2 . Dlatego podstawienie daje lewą stronę jako
Używając wzoru Eulera, aby wziąć rzeczywiste i urojone części e − to 2 daje to jako
gdzie napisaliśmy 0 i, aby podkreślić, że oryginalna wartość całki Gaussa jest całkowicie rzeczywista z zerową częścią urojoną. Wpuszczanie
a następnie zrównanie części rzeczywistych i urojonych daje następujący układ dwóch równań w dwóch niewiadomych I C i I S :
Rozwiązanie tego dla I C i I S daje pożądany rezultat.
Uogólnienie
Całka
jest konfluentną funkcją hipergeometryczną, a także niepełną funkcją gamma
co redukuje się do całek Fresnela, jeśli bierze się części rzeczywiste lub urojone:
- .
Terminem wiodącym w asymptotycznej ekspansji jest
i dlatego
Dla m = 0 , w szczególności urojona część tego równania to
z lewą stroną zbieżną dla a > 1 i prawą stroną będącą jej analitycznym rozszerzeniem na całą płaszczyznę mniej, gdzie leżą bieguny Γ ( a -1 ) .
Transformacja Kummera konfluentnej funkcji hipergeometrycznej to
z
Przybliżenie liczbowe
W przypadku obliczeń z dowolną precyzją szereg potęgowy jest odpowiedni dla małych argumentów. W przypadku dużej argumentacji rozwinięcia asymptotyczne zbiegają się szybciej. Można również zastosować metody frakcjonowania ciągłego.
Do obliczeń z określoną precyzją celu opracowano inne przybliżenia. Cody opracował zestaw efektywnych aproksymacji opartych na funkcjach wymiernych, które dają błędy względne do2 x 10 -19 . FORTRAN realizacja zbliżenia Cody, który zawiera wartości współczynników potrzebnych do realizacji w innych językach została opublikowana przez van Snyder. Boersma opracował przybliżenie z błędem mniejszym niż1,6 x 10 -9 .
Aplikacje
Całki Fresnela były pierwotnie używane do obliczania natężenia pola elektromagnetycznego w środowisku, w którym światło załamuje się wokół nieprzezroczystych obiektów. Niedawno zostały one wykorzystane w projektowaniu autostrad i linii kolejowych, a konkretnie ich stref przejściowych krzywizny, patrz krzywa przejścia toru . Inne zastosowania to rollercoastery lub obliczanie przejść na torze toru w celu umożliwienia szybkiego wejścia w zakręty i stopniowego wyjścia.
Zobacz też
Uwagi
Bibliografia
- Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , wyd. (1983) [czerwiec 1964]. "Rozdział 7". Podręcznik funkcji matematycznych z formułami, wykresami i tabelami matematycznymi . Seria matematyki stosowanej. 55 (dziewiąty przedruk z dodatkowymi poprawkami dziesiątego oryginalnego druku z poprawkami (grudzień 1972); wyd. pierwsze). Waszyngton; Nowy Jork: Departament Handlu Stanów Zjednoczonych, Krajowe Biuro Standardów; Publikacje Dovera. Numer ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .
- Alazah, Mahomet (2012). „Obliczanie całek Fresnela za pomocą zmodyfikowanych zasad trapezu”. Matematyka numeryczna . 128 (4): 635–661. arXiv : 1209.3451 . Kod Bib : 2012arXiv1209.3451A . doi : 10.1007/s00211-014-0627-z . S2CID 13934493 .
- Beatty, Tomasz (2013). „Jak ocenić całki Fresnela” (PDF) . Matematyka FGCU - lato 2013 . Źródło 27 lipca 2013 .
- Boersma, J. (1960). „Obliczanie całek Fresnela” . Matematyka. komp . 14 (72): 380. doi : 10.1090/S0025-5718-1960-0121973-3 . MR 0121973 .
- Bulirscha, Rolanda (1967). „Numeryczne obliczenie całek sinusa, cosinusa i Fresnela”. Numer. Matematyka . 9 (5): 380–385. doi : 10.1007/BF02162153 . S2CID 121794086 .
- Cody, William J. (1968). „Przybliżenia Czebyszewa dla całek Fresnela” (PDF) . Matematyka. komp . 22 (102): 450–453. doi : 10.1090/S0025-5718-68-99871-2 .
- Hangelbroek, RJ (1967). „Numeryczne przybliżenie całek Fresnela za pomocą wielomianów Czebyszewa”. J. inż. Matematyka . 1 (1): 37-50. Kod Bibcode : 1967JEnMa...1...37H . doi : 10.1007/BF01793638 . S2CID 122271446 .
- Mathara, RJ (2012). „Rozszerzenie serii uogólnionych całek Fresnela”. arXiv : 1211.3963 [ math.CA ].
- Nawa, R. (2002). „Spirala Cornu” . (Użycia π/2t 2 zamiast t 2 .)
- Prasa, WH; Teukolski SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). „Punkt 6.8.1. Całki Fresnela” . Przepisy numeryczne: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). Nowy Jork: Cambridge University Press. Numer ISBN 978-0-521-88068-8.
- van Snyder, W. (1993). „Algorytm 723: Całki Fresnela”. ACM Trans. Matematyka. Oprogramowanie . 19 (4): 452–456. doi : 10.1145/168173.168193 . S2CID 12346795 .
- Stewart, James (2008). Rachunek wczesne transcendentale . Cengage Learning EMEA. Numer ISBN 978-0-495-38273-7.
- Temme, NM (2010), "Funkcje błędów, całki Dawsona i Fresnela" , w: Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (red.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
- van Wijngaarden, A.; Scheen, WL (1949). Tabela całek Fresnela . Verhandl. Konink. Ned. Akad. Wetenschapen. 19 .
- Zajta, Aurel J.; Goel, Sudhir K. (1989). „Techniki integracji parametrycznej”. Magazyn Matematyka . 62 (5): 318–322. doi : 10.1080/0025570X.1989.11977462 .
Linki zewnętrzne
- Cephes , darmowy/open-source kod C++/C do obliczania całek Fresnela wśród innych funkcji specjalnych. Używany w SciPy i ALGLIB .
- Faddeeva Package , darmowy/open-source kod C++/C do obliczania złożonych funkcji błędów (z których można uzyskać całki Fresnela), z wrapperami dla Matlaba, Pythona i innych języków.
- "Całki Fresnela" , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
- "Kształty pętli kolejki górskiej" . Zarchiwizowane z oryginału 23 września 2008 . Pobrano 13.08.2008 .
- Weisstein, Eric W. „Całki Fresnela” . MatematykaŚwiat .
- Weisstein, Eric W. „Spirala Cornu” . MatematykaŚwiat .