Endomorfizm Frobeniusa - Frobenius endomorphism

W algebrze przemiennej i teorii pola , endomorfizm Frobeniusa (po Ferdinand Georg Frobenius ) jest specjalnym endomorfizmem pierścieni przemiennych o pierwszej charakterystyce p , ważnej klasie obejmującej ciała skończone . Endomorfizm mapuje każdy element do jego p -tej potęgi. W pewnych kontekstach jest to automorfizm , ale generalnie nie jest to prawdą.

Definicja

Niech R będzie pierścieniem przemiennym o charakterystyce pierwszej p (na przykład dziedzina integralna o charakterystyce dodatniej ma zawsze charakterystykę pierwszą). Endomorfizm Frobeniusa F jest zdefiniowany przez

${\ Displaystyle F (r) = r ^ {p}}$

dla wszystkich r w R . Respektuje mnożenie R :

${\ Displaystyle F (rs) = (rs) ^ {p} = r ^ {p} s ^ {p} = F (r) F (s)}$

a F (1) jest oczywiście 1 również. Ciekawe jest jednak to, że respektuje również dodatek R . Wyrażenie ( r + s ) ^p można rozszerzyć za pomocą twierdzenia dwumianowego . Ponieważ p jest liczbą pierwszą, dzieli p ! ale nie żadne q ! dla q < p ; dlatego podzieli licznik , ale nie mianownik , wyraźnego wzoru na współczynniki dwumianowe

${\displaystyle {\frac {p!}{k!(pk)!}},}$

jeśli 1 ≤ k ≤ p − 1 . W związku z tym współczynniki wszystkich warunków wyjątkiem r ^p i a ^p jest podzielna przez p , charakterystyki, a tym samym znikają. A zatem

${\ Displaystyle F (r + s) = (r + s) ^ {p} = r ^ {p} + s ^ {p} = F (r) + F (s).}$

To pokazuje, że F jest homomorfizmem pierścienia.

Jeżeli φ  : R → S jest homomorfizmem pierścieni o charakterystyce p , to

${\ Displaystyle \ phi (x ^ {p}) = \ phi (x) ^ {p}}$

Jeśli F _R i F _S są endomorfizmami Frobeniusa R i S , to można to przepisać jako:

${\ Displaystyle \ phi \ circ F_ {R} = F_ {S} \ circ \ phi.}$

Oznacza to, że endomorfizm Frobenius jest naturalna transformacja z tożsamością funktora w kategorii charakterystycznych p pierścieni do siebie.

Jeśli pierścień R jest pierścieniem bez elementów nilpotencjalnych , to endomorfizm Frobeniusa jest iniekcyjny: F ( r ) = 0 oznacza r ^p = 0 , co z definicji oznacza, że r jest nilpotencjalny rzędu co najwyżej p . W rzeczywistości jest to konieczne i wystarczające, ponieważ jeśli r jest jakąkolwiek nilpotentną, to jedna z jej mocy będzie co najwyżej nilpotentna porządku p . W szczególności, jeśli R jest polem, to endomorfizm Frobeniusa jest iniekcyjny.

Morfizm Frobeniusa niekoniecznie jest suriektywny , nawet gdy R jest polem. Na przykład niech K = F _p ( t ) będzie skończonym polem p elementów wraz z pojedynczym elementem transcendentalnym; równoważnie K jest ciałem funkcji wymiernych o współczynnikach w F _p . Wtedy obraz F nie zawiera t . Gdyby tak było, istniałaby funkcja wymierna q ( t )/ r ( t ), której p-ta potęga q ( t ) ^p / r ( t ) ^p równałaby się t . Ale stopień tej p -tej potęgi to p deg( q ) − p deg( r ) , który jest wielokrotnością p . W szczególności nie może to być 1, co jest stopniem t . To jest sprzeczność; więc t nie jest na obrazie F .

Pole K nazywamy doskonałym, jeśli ma charakterystykę zerową lub dodatnią, a jego endomorfizm Frobeniusa jest automorfizmem. Na przykład wszystkie pola skończone są idealne.

Stałe punkty endomorfizmu Frobeniusa

Rozważmy pole skończone F _p . Według małego twierdzenia Fermata każdy element x z F _p spełnia x ^p = x . Równoważnie jest to pierwiastek wielomianu X ^p − X . Elementy F _p determinują zatem p pierwiastków tego równania, a ponieważ równanie to ma stopień p , ma nie więcej niż p pierwiastków w dowolnym rozszerzeniu . W szczególności, jeśli K jest rozszerzeniem algebraicznym F _p (takim jak domknięcie algebraiczne lub inne ciało skończone), to F _p jest stałym ciałem automorfizmu Frobeniusa K .

Niech R będzie pierścieniem o charakterystyce p > 0 . Jeśli R jest dziedziną całkową, to według tego samego rozumowania, punkty stałe Frobeniusa są elementami ciała pierwszego. Jednakże, jeśli R nie jest domeną, to X ^p - X może mieć więcej niż p pierwiastków; na przykład dzieje się tak, jeśli R = F _p × F _p .

Podobną własność na ciele skończonym ma n -tyter automorfizmu Frobeniusa: Każdy element jest pierwiastkiem , więc jeśli K jest rozszerzeniem algebraicznym, a F jest automorfizmem Frobeniusa z K , to stałe ciało F ⁿ jest . Jeżeli R jest dziedziną, która jest -algebrą, to punkty stałe n- titeratu Frobeniusa są elementami obrazu . ${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {n}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {n}}}$${\ Displaystyle X ^ {p ^ {n}} - X}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {n}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {n}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {n}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {n}}}$

Iteracja mapy Frobeniusa daje sekwencję elementów w R :

${\ Displaystyle x, x ^ {p}, x ^ {p ^ {2}}, x ^ {p ^ {3}}, \ ldots.}$

Ta sekwencja iteracji jest używana do definiowania domknięcia Frobeniusa i ciasnego domknięcia ideału.

Jako generator grup Galois

Grupa Galois rozszerzenia ciał skończonych jest generowana przez iterację automorfizmu Frobeniusa. Najpierw rozważmy przypadek, w którym pole gruntu jest polem pierwszym F _p . Niech F _q będzie ciałem skończonym q elementów, gdzie q = p ⁿ . Automorfizm Frobeniusa F z F _q ustala pole pierwsze F _p , a więc jest elementem grupy Galois Gal( F _q / F _p ) . W rzeczywistości, ponieważ jest cykliczna z q − 1 elementami , wiemy, że grupa Galois jest cykliczna, a F jest generatorem. Porządek F to n , ponieważ F ⁿ działa na element x wysyłając go do x ^q , i jest to identyczność elementów F _q . Każdy automorfizmem F _Q jest siła F , a generatory uprawnienia F ^I z I względnie pierwsze do n . ${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {q} ^ {\ razy}}$

Rozważmy teraz skończone pole F _{q ^f} jako rozszerzenie F _q , gdzie q = p ⁿ jak wyżej. Jeśli n > 1 , to automorfizm Frobeniusa F z F _{q ^f} nie ustala pola podstawowego F _q , ale jego n- te iteracja F ⁿ tak. Grupa Galois Gal( F _{q ^f}  / F _q ) jest cykliczna rzędu fi jest generowana przez F ⁿ . Jest to podgrupa Gal( F _{q ^f}  / F _p ) generowana przez F ⁿ . Generatory Gal( F _{q ^f}  / F _q ) to potęgi F ^{ni ,} gdzie i jest względnie pierwsze do f .

Automorfizm Frobeniusa nie jest generatorem absolutnej grupy Galois

${\ Displaystyle \ operatorname {Gal} \ left ({\ overline {\ mathbf {f} _ {q}}} / \ mathbf {f} _ {q} \ prawej),}$

ponieważ ta grupa Galois jest izomorficzna z liczbami całkowitymi nieskończonymi

${\ Displaystyle {\ widehat {\ mathbf {Z}}} = \ varprojlim _ {n} \ mathbf {Z} / n \ mathbf {Z},}$

które nie są cykliczne. Ponieważ jednak automorfizm Frobeniusa jest generatorem grupy Galois każdego skończonego rozszerzenia F _q , jest on generatorem każdego skończonego ilorazu absolutnej grupy Galois. W konsekwencji jest to generator topologiczny w zwykłej topologii Krulla na absolutnej grupie Galois.

Frobenius dla schematów

Istnieje kilka różnych sposobów definiowania morfizmu Frobeniusa dla schematu . Najbardziej fundamentalnym jest absolutny morfizm Frobeniusa. Jednak bezwzględny morfizm Frobeniusa zachowuje się słabo w sytuacji względnej, ponieważ nie zwraca uwagi na schemat bazowy. Istnieje kilka różnych sposobów dostosowania morfizmu Frobeniusa do sytuacji względnej, z których każdy jest przydatny w określonych sytuacjach.

Niech φ : X → S będzie morfizmem schematów i oznacza bezwzględne morfizmy Frobeniusa S i X odpowiednio przez F _S i F _X . Zdefiniuj X ^{( p )} jako bazową zmianę X przez F _S . Następnie powyższy diagram przechodzi i kwadrat jest kartezjański . Morfizmem F _{X / S} jest stosunkowo Frobeniusa.

Absolutny morfizm Frobeniusa

Załóżmy, że X jest schematem cechy p > 0 . Wybierz otwarty podzbiór afiniczny U = Spec A of X . Pierścień A jest algebrą F _p , więc dopuszcza endomorfizm Frobeniusa. Jeśli V jest otwartym podzbiorem afinicznym U , to przez naturalność Frobeniusa morfizm Frobeniusa na U , gdy jest ograniczony do V , jest morfizmem Frobeniusa na V . W konsekwencji morfizm Frobeniusa skleja się dając endomorfizm X . Ten endomorfizm nazywany jest absolutna Frobeniusa morfizmem z X , oznaczony K _X . Z definicji jest to homeomorfizm X z samym sobą. Absolutny morfizm Frobeniusa jest naturalnym przekształceniem funktora tożsamościowego na kategorii schematów F _p do siebie samego.

Jeśli X jest schematem S, a morfizm Frobeniusa S jest identycznością, to bezwzględny morfizm Frobeniusa jest morfizmem schematów S. Generalnie jednak tak nie jest. Rozważmy na przykład pierścień . Niech X i S równają się Spec A z odwzorowaniem struktury X → S będącym identycznością. Frobenius morfizmem na A wysyła się z ^p . Nie jest to morfizm -algebr. Gdyby tak było, to pomnożenie przez element b in zamieniłoby się z zastosowaniem endomorfizmu Frobeniusa. Ale to nieprawda, ponieważ: ${\ Displaystyle A = \ mathbf {F} _ {p ^ {2}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {2}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {2}}}$

${\ Displaystyle b \ cdot a = ba \ neq F (b) \ cdot a = b ^ {p} a.}$

Pierwszym z nich jest działanie b w strukturze -algebry, od której A zaczyna się, a drugim działaniem indukowanym przez Frobeniusa. W konsekwencji morfizm Frobeniusa na Spec A nie jest morfizmem schematów -. ${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {2}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {2}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {p ^ {2}}}$

Absolutny morfizm Frobeniusa jest czysto nierozłącznym morfizmem stopnia p . Jego różnica wynosi zero. Konserwuje produkty, co oznacza, że ​​dla dowolnych dwóch schematów X i Y , F _{X × Y} = F _X × F _Y .

Ograniczenie i rozszerzenie skalarów przez Frobenius

Załóżmy, że φ  : X → S jest morfizmem struktury dla S -schematu X . Schemat bazowy S ma morfizm Frobeniusa F _S . Składanie φ z F _S daje w wyniku schemat S X _F nazwany przez Frobeniusa ograniczeniem skalarów . Ograniczenie skalarów jest w rzeczywistości funktorem, ponieważ S- morfizm X → Y indukuje S- morfizm X _F → Y _F .

Rozważmy na przykład pierścień A o charakterystyce p > 0 i skończenie przedstawioną algebrę nad A :

${\ Displaystyle R = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1}, \ ldots, f_ {m}).}$

Działanie A na R wyraża się wzorem:

${\ Displaystyle c \ cdot \ suma a_ {\ alfa} X ^ {\ alfa} = \ suma ca_ {\ alfa} X ^ {\ alfa},}$

gdzie α jest indeksem wielokrotnym. Niech X = Spec R . Wtedy X _F jest schematem afinicznym Spec R , ale jego morfizm struktury Spec R → Spec A , a co za tym idzie działanie A na R , jest inny:

${\ Displaystyle c \ cdot \ suma a_ {\ alfa} X ^ {\ alfa} = \ suma F (c) a_ {\ alfa} X ^ {\ alfa} = \ suma c ^ {p} a_ {\ alfa} X^{\alfa}.}$

Ponieważ ograniczenie skalarów przez Frobeniusa jest po prostu złożeniem, wiele właściwości X jest dziedziczonych przez X _F pod odpowiednimi hipotezami dotyczącymi morfizmu Frobeniusa. Na przykład, jeśli zarówno X, jak i S _F są typu skończonego, to tak samo jest z X _F .

Rozszerzenie skalarów przez Frobenius jest zdefiniowana jako:

${\ Displaystyle X ^ {(p)} = X \ razy _ {S} S_ {F}.}$

Rzutowanie na S czynnika powoduje X ^{( p )} jest S -schemat. Jeśli S nie jest jasne z kontekstu, to X ^{( p )} jest oznaczane przez X ^{( p / S )} . Podobnie jak ograniczenie skalarów, rozszerzenie skalarów jest funktorem: S -morfizm X → Y determinuje S -morfizm X ^{( p )} → Y ^{( p )} .

Jak poprzednio, rozważmy pierścień A i skończoną algebrę R nad A , i znowu niech X = Spec R . Następnie:

${\ Displaystyle X ^ {(p)} = \ operatorname {specyfikacja} R \ otimes _ {A} A_ {F}.}$

Sekcja globalna X ^{( p )} ma postać:

${\ Displaystyle \ suma _ {i} \ lewo (\ suma _ {\ alfa} a_ {i \ alfa} X ^ {\ alfa} \ prawej) \ czasami b_ {i} = \ suma _ {i} \ suma _ {\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }^{p}b_{i},}$

gdzie α jest _{multiindeksem} i każdy a _iα oraz b _i jest elementem A . Działanie elementu c z A na tym odcinku jest:

${\ Displaystyle c \ cdot \ suma _ {i} \ lewo (\ suma _ {\ alfa} a_ {i \ alfa} X ^ {\ alfa} \ prawej) \ czasami b_ {i} = \ suma _ {i} \left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}c.}$

W konsekwencji X ^{( p )} jest izomorficzny z:

${\ Displaystyle \ Operatorname {Spec} A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / \ lewo (f_ {1} ^ {(p)}, \ ldots, f_ {m} ^ { (p) }\dobrze),}$

gdzie, jeśli:

${\ Displaystyle f_ {j} = \ suma _ {\ beta} f_ {j \ beta} X ^ {\ beta},}$

następnie:

${\ Displaystyle f_ {j} ^ {(p)} = \ suma _ {\ beta} f_ {j \ beta} ^ {p} X ^ {\ beta}.}$

Podobny opis dotyczy dowolnych A- algebr R .

Ponieważ wydłużenie skalarów jest zmianą bazy, zachowuje ograniczenia i produkty towarzyszące. Oznacza to w szczególności, że jeśli X ma strukturę algebraiczną zdefiniowaną w kategoriach skończonych granic (takich jak bycie schematem grupowym), to tak samo X ^{( p )} . Co więcej, bycie zmianą bazy oznacza, że ​​rozszerzenie skalarów zachowuje takie właściwości, jak bycie skończonym typem, skończoną prezentacją, rozdzieleniem, afinią i tak dalej.

Rozszerzenie skalarów jest dobrze zachowane w odniesieniu do zmiany bazy: Przy danym morfizmie S ′ → S , istnieje naturalny izomorfizm:

${\ Displaystyle X ^ {(p / S)} \ razy _ {S} S '\ cong (X \ razy _ {S} S') ^ {(p / S')}.}$

Względny Frobenius

Niech X będzie schematem S o morfizmie struktury φ . Względem Frobeniusa morfizmem z X jest morfizmem:

${\ Displaystyle F_ {X/S}: X \ do X ^ {(p)}}$

zdefiniowana przez uniwersalną właściwość cofnięcia X ^{( p )} (patrz diagram powyżej):

${\ Displaystyle F_ {X/S} = (F_ {X}, \ varphi).}$

Ponieważ bezwzględny morfizm Frobeniusa jest naturalny, względny morfizm Frobeniusa jest morfizmem schematów S.

Rozważmy na przykład A -algebrę:

${\ Displaystyle R = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1}, \ ldots, f_ {m}).}$

Mamy:

${\ Displaystyle R ^ {(p)} = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1} ^ {(p)}, \ ldots, f_ {m} ^ {(p )}).}$

Względny morfizm Frobeniusa to homomorfizm R ^{( p )} → R zdefiniowany przez:

${\ Displaystyle \ suma _ {i} \ suma _ {\ alfa} X ^ {\ alfa} \ czasami a_ {i \ alfa} \ mapsto \ suma _ {i} \ suma _ {\ alfa} a_ {i \ alfa }X^{p\alfa}.}$

Względny Frobenius jest zgodny ze zmianą bazy w tym sensie, że przy naturalnym izomorfizmie X ^{( p / S )} × _S S ′ i ( X × _S S ′ ) ^{( p / S ′ )} mamy:

${\ Displaystyle F_ {X / S} \ razy 1_ {S'} = F_ {X \ razy _ {S} S '/S'}.}$

Relative Frobenius to uniwersalny homeomorfizm. Jeśli X → S jest otwartą immersją, to jest tożsamością. Jeśli X → S jest zamkniętą immersją określoną przez idealny snop I z O _S , to X ^{( p )} jest określone przez idealny snop I ^{p ,} a względny Frobenius jest mapą rozszerzeń O _S / I ^p → O _S / I .

X jest nierozgałęziony względem S wtedy i tylko wtedy, gdy F _{X / S} jest nierozgałęziony i wtedy i tylko wtedy, gdy F _{X / S} jest monomorfizmem. X jest etale nad S wtedy i tylko wtedy, gdy F _{X / S} jest etale i wtedy i tylko wtedy, gdy F _{X / S} jest izomorfizmem.

Frobenius arytmetyczny

Arytmetyczna Frobeniusa morfizmem o S -schemat X jest morfizmem:

${\ Displaystyle F_ {X / S} ^ {a}: X ^ {(p)} \ do X \ razy _ {S} S \ cong X}$

określony przez:

${\ Displaystyle F_ {X/S} ^ {a} = 1_ {X} \ razy F_ {S}.}$

Oznacza to, że jest to podstawowa zmiana F _S o 1 _X .

Ponownie, jeśli:

${\ Displaystyle R = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1}, \ ldots, f_ {m})}$

${\ Displaystyle R ^ {(p)} = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1}, \ ldots, f_ {m}) \ otimes _ {A} A_ {F },}$

wtedy arytmetyka Frobeniusa jest homomorfizmem:

${\ Displaystyle \ suma _ {i} \ lewo (\ suma _ {\ alfa} a_ {i \ alfa} X ^ {\ alfa} \ prawej) \ czasami b_ {i} \ mapsto \ suma _ {i} \ suma _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{p}X^{\alpha}.}$

Jeśli przepiszemy R ^{( p )} jako:

${\ Displaystyle R ^ {(p)} = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / \ lewo (f_ {1} ^ {(p)}, \ ldots, f_ {m} ^ { (p)}\prawda),}$

to ten homomorfizm to:

${\ Displaystyle \ suma a_ {\ alfa} X ^ {\ alfa} \ mapsto \ suma a_ {\ alfa} ^ {p} X ^ {\ alfa}.}$

Geometryczny Frobenius

Załóżmy, że bezwzględny morfizm Frobeniusa S jest odwracalny z odwrotnością . Pozwolić oznaczają S -schemat . Następnie następuje rozszerzenie skalarów X o : ${\ Displaystyle F_ {S} ^ {-1}}$${\ Displaystyle S_ {F ^ {-1}}}$${\ Displaystyle F_ {S} ^ {-1}: S \ do S}$${\ Displaystyle F_ {S} ^ {-1}}$

${\ Displaystyle X ^ {(1/p)} = X \ razy _ {S} S_ {F ^ {-1}}.}$

Gdyby:

${\ Displaystyle R = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1}, \ ldots, f_ {m})}$

następnie rozszerzając skalary o : ${\ Displaystyle F_ {S} ^ {-1}}$

${\ Displaystyle R ^ {(1/p)} = A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1}, \ ldots, f_ {m}) \ otimes _ {A} A_ {F^{-1}}.}$

Gdyby:

${\ Displaystyle f_ {j} = \ suma _ {\ beta} f_ {j \ beta} X ^ {\ beta},}$

wtedy piszemy:

${\ Displaystyle f_ {j} ^ {(1/p)} = \ suma _ {\ beta} f_ {j \ beta} ^ {1/p} X ^ {\ beta},}$

a potem jest izomorfizm:

${\ Displaystyle R ^ {(1/p)} \ cong A [X_ {1}, \ ldots, X_ {n}] / (f_ {1} ^ {(1/p)} \ ldots, f_ {m }^{(1/p)}).}$

Geometryczny Frobeniusa morfizmem o S -schemat X jest morfizmem:

${\ Displaystyle F_ {X / S} ^ {g}: X ^ {(1/p)} \ do X \ razy _ {S} S \ cong X}$

określony przez:

${\ Displaystyle F_ {X/S} ^ {g} = 1 _ {X} \ razy F_ {S} ^ {-1}.}$

Jest to zmiana podstawy przez 1 _X . ${\ Displaystyle F_ {S} ^ {-1}}$

Kontynuując nasz przykład A i R powyżej, geometryczny Frobenius definiuje się jako:

${\ Displaystyle \ suma _ {i} \ lewo (\ suma _ {\ alfa} a_ {i \ alfa} X ^ {\ alfa} \ po prawej) \ czasami b_ {i} \ mapsto \ suma _ {i} \ suma _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{1/p}X^{\alpha }.}$

Po przepisaniu R ^{(1/ p )} w kategoriach , geometryczny Frobenius to: ${\ Displaystyle \ {f_ {j} ^ {(1/p)} \}}$

${\ Displaystyle \ suma a_ {\ alfa} X ^ {\ alfa} \ mapsto \ suma a_ {\ alfa} ^ {1/p} X ^ {\ alfa}.}$

Arytmetyka i geometryczna Frobenius jako działania Galois

Załóżmy, że morfizm Frobeniusa S jest izomorfizmem. Następnie generuje podgrupę grupy automorfizmu S . Jeżeli S = Spec k jest widmem ciała skończonego, to jego grupa automorfizmu jest grupą Galois pola nad ciałem pierwszym, a morfizm Frobeniusa i jego odwrotność są generatorami grupy automorfizmu. Ponadto X ^{( p )} i X ^{(1/ p )} można utożsamiać z X . Morfizmy arytmetyczne i geometryczne Frobeniusa są więc endomorfizmami X , a więc prowadzą do działania grupy Galois k na X .

Rozważmy zbiór K- punktów X ( K ) . Ten zbiór ma działanie Galois: Każdy taki punkt x odpowiada homomorfizmowi O _X → K ze snopa struktury do K , który dzieli przez k(x) , pole reszt w x , a działanie Frobeniusa na x jest zastosowanie morfizmu Frobeniusa do pola pozostałości. To działanie Galois zgadza się z działaniem arytmetycznego Frobeniusa: Złożony morfizm

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} \ do k (x) {\ xrightarrow {\ overset {}{F}}} k (x)}$

jest taki sam jak morfizm złożony:

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X} {\ xrightarrow {{\ przesłonięty {} {F}} _ {X/S} ^ {a}}} {\ mathcal {O}} _ {X} \do k(x)}$

zgodnie z definicją arytmetycznego Frobeniusa. W konsekwencji arytmetyka Frobeniusa wyraźnie wykazuje działanie grupy Galois na punkty jako endomorfizm X .

Frobenius dla lokalnych pól

Biorąc pod uwagę unramified skończone rozszerzenie L / K z lokalnych pól , istnieje pojęcie endomorfizm frobeniusa który indukuje endomorfizm Frobenius w odpowiednim rozszerzeniu pola pozostałości .

Załóżmy, że L/K jest nierozgałęzionym rozszerzeniem lokalnych pól, z pierścieniem liczb całkowitych O _K od K takim, że pole resztowe , liczby całkowite K modulo ich unikalny maksymalny ideał φ , jest skończonym ciałem rzędu q , gdzie q jest potęgą liczby pierwszej. Jeśli Φ jest liczbą pierwszą z L leżącą nad φ , to L/K jest nierozgałęziona oznacza z definicji, że liczby całkowite L modulo Φ , pole resztowe L , będą skończonym polem rzędu q ^f rozszerzającym pole resztowe K gdzie f jest stopniem L / K . Mogli określić mapę Frobenius'a elementów pierścienia z liczb O _L z L w automorfizmem s _cp z L w taki sposób,

${\ Displaystyle s_ {\ Phi} (x) \ równoważne x ^ {q} \ mod \ Phi.}$

Frobenius dla światowych dziedzin

W algebraicznej teorii liczb , elementy Frobeniusa są zdefiniowane dla rozszerzeń L / K z globalnych pól , które są skończone rozszerzenia Galois za ideał pierwszy cp z L , które są unramified w L / K . Ponieważ rozszerzenie jest unramified grupa dekompozycja z cp jest Grupa Galois rozszerzenia pól pozostałości. Element Frobeniusa można wtedy zdefiniować dla elementów pierścienia liczb całkowitych L jak w przypadku lokalnym, przez

${\ Displaystyle s_ {\ Phi} (x) \ równoważne x ^ {q} \ mod \ Phi}$

gdzie q jest rzędem pola pozostałości O _K /(Φ ∩ O _K ) .

Windy Frobeniusa są zgodne z wyprowadzeniami p .

Przykłady

Wielomian

x ⁵ − x − 1

ma wyróżnik

19 × 151 ,

i tak jest nierozgałęziony na pierwszej 3; jest to również nierozkładalny modyfikacji 3. W związku z przylegających głównego p go do zakresu 3 -adic liczbie P ₃ daje unramified wewnętrzny Q ₃ ( p ) o Q ₃ . Możemy znaleźć obraz ρ pod mapą Frobeniusa, umieszczając pierwiastek najbliższy ρ ³ , co możemy zrobić metodą Newtona . W ten sposób otrzymujemy element pierścienia liczb całkowitych Z ₃ [ ρ ] ; jest to wielomian stopnia czwartego w ρ ze współczynnikami w 3- adycznych liczbach całkowitych Z ₃ . Modulo 3 ⁸ ten wielomian to

${\ Displaystyle \ rho ^ {3} + 3 (460 + 183 \ rho -354 \ rho ^ {2}-979 \ rho ^ {3}-575 \ rho ^ {4})}$.

Jest to algebraiczne względem Q i jest poprawnym globalnym obrazem Frobeniusa pod względem osadzenia Q w Q ₃ ; ponadto współczynniki są algebraiczne, a wynik można wyrazić algebraicznie. Jednak są one stopnia 120, rzędu grupy Galois, co ilustruje fakt, że obliczenia jawne są znacznie łatwiejsze do wykonania, jeśli wystarczą wyniki p -adyczne.

Jeśli L/K jest abelowym rozszerzeniem ciał globalnych, otrzymujemy znacznie silniejszą zgodność, ponieważ zależy ona tylko od liczby pierwszej φ w polu bazowym K . Na przykład, pod uwagę rozszerzenie Q ( p ) z P uzyskuje się przez przylegającą pierwiastek β spełniających

${\ Displaystyle \ beta ^ {5} + \ beta ^ {4}-4 \ beta ^ {3}-3 \ beta ^ {2} + 3 \ beta +1 = 0}$

do Q . To rozszerzenie jest cykliczne rzędu piątego, z pierwiastkami

${\ Displaystyle 2 \ cos {\ tfrac {2 \ pi n} {11}}}$

dla liczby całkowitej n . Ma korzenie, które są Wielomiany Czebyszewa z beta :

β ² – 2, β ³ – 3 β , β ⁵ – 5 β ³ + 5 β

podaj wynik odwzorowania Frobeniusa dla liczb pierwszych 2, 3 i 5, i tak dalej dla większych liczb pierwszych nie równych 11 lub postaci 22 n + 1 (które dzielą). Od razu widać, jak odwzorowanie Frobeniusa daje wynik równy mod p do p -tej potęgi pierwiastka β .

Zobacz też

• Idealne pole
• Frobenioid
• Pole skończone § automorfizm Frobeniusa i teoria Galois
• Uniwersalny homeomorfizm

Bibliografia

• „Automorfizm Frobeniusa” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]
• „Endomorfizm Frobeniusa” , Encyklopedia Matematyki , EMS Press , 2001 [1994]